add a lot
This commit is contained in:
Binary file not shown.
@@ -0,0 +1,341 @@
|
||||
\documentclass{../../../lecture}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Majoranten Kriterium]
|
||||
Es sei $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ eine reelle Reihe ($b_n \in \R$ $\forall n \in \N)$.
|
||||
\begin{enumerate}[(i)]
|
||||
\item Ist $\sum_{n=1}^{\infty} b_n $ konvergent und gilt
|
||||
$|a_n| \le b_n$ ($a_n \in \mathbb{C}$ oder $\R$ ) für
|
||||
fast alle $n \in \N$ (d.h. $\forall n \ge N_0)$, so
|
||||
ist $\sum_{n=1}^{\infty} a_n $ absolut konvergent.
|
||||
|
||||
Die Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ heißt Majorante der Reihe
|
||||
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$.
|
||||
\item Ist $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ divergent und $a_n \in \R$ mit
|
||||
$a_n \ge |b_n|$ für fast alle $n \in \N$, so ist
|
||||
die reelle Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ divergent. Die
|
||||
Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} b_n $ heißt Minorante der Reihe
|
||||
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{enumerate}[(i)]
|
||||
\item $(s_n)_{n\in\N}, (t_n)_{n\in\N}$ Partialsummen von
|
||||
$(a_n)_{n\in\N}, (b_n)_{n\in\N}$. Dann
|
||||
\[
|
||||
|s_n - s_m| \le \sum_{k=m+1}^{n} |a_k| \le \sum_{k=m+1}^{n} b_k
|
||||
= |t_n - t_m|
|
||||
.\] $\implies (s_n)_{n \in \N}$ ist C.F.\\
|
||||
$\implies (s_n)_{n \in \N}$ konvergiert.
|
||||
\item Ann. $\sum_{n=1}^{\infty} a_n $ konvergiert
|
||||
$\implies \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ konvergente Majorante
|
||||
zu $\sum_{n=1}^{\infty} b_n \implies \sum_{n=1}^{\infty} b_n$
|
||||
konvergiert. Widerspruch.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{4^{n}}$.
|
||||
\[
|
||||
2^{n} = (1+1)^{n} \ge 1+n \quad \forall n
|
||||
\implies \frac{n}{2^{n}} \le \frac{n}{1+n} < 1 \quad \forall n
|
||||
.\] $\implies$
|
||||
\[
|
||||
\frac{n}{4^{n}} \le \frac{n}{2^{n}} \cdot \frac{1}{2^{n}} < \frac{1}{2^{n}} \quad \forall n
|
||||
.\] $\implies \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^{n}$ konvergente
|
||||
Majorante für $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{4^{n}}$.
|
||||
\item $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n} } $ ist divergent, weil
|
||||
$\frac{1}{\sqrt{n} } \ge \frac{1}{n}$ ($\sqrt{n} \ge 1$
|
||||
$\implies \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ divergente
|
||||
Minorante.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Quotientenkriterium]
|
||||
Sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine Folge mit $|a_n| \neq 0$ für fast alle
|
||||
$n \in \N (a_n \in \mathbb{C} \text{ oder } \R)$.
|
||||
\begin{enumerate}[(i)]
|
||||
\item Falls ein $0 < q < 1$ mit
|
||||
\[
|
||||
\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} \le q \quad \forall n \in \N, n \ge N_0
|
||||
,\] dann ist $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ absolut konvergent.
|
||||
\item Falls $\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} \ge 1 \quad \forall n \ge N_0$,
|
||||
so ist $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ divergent.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
Kostina glaubt, dass das so stimmt, aber offensichtlich ist sie sich nicht sicher.
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{enumerate}[(i)]
|
||||
\item $\forall n \ge N_0$ gilt:
|
||||
\[
|
||||
|a_n| \le q |a_{n-1}| \le \ldots \le q^{n-N_0} |a_{N_0}|
|
||||
.\] $\implies \frac{|a_{N_0}}{q^{N_0}} \sum_{n=1}^{\infty} q^{n}$
|
||||
ist konvergente Majorante.
|
||||
\item $|a_n| \ge |a_{n-1}| \ge \ldots \ge |a_n| \implies
|
||||
(a_n)_{n\in\N}$ keine Nullfolge $\implies \sum_{n=1}^{\infty} a_n$
|
||||
divergiert.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Exponentialreihe]
|
||||
$\forall z \in C$ :
|
||||
\[
|
||||
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} =: \text{exp}(z) \text{ oder } e^{z}
|
||||
.\] Zahl $e := \text{exp}(1)$
|
||||
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} $ absolut konvergent, für alle
|
||||
$z \in \mathbb{C}$.
|
||||
\[
|
||||
a_n := \frac{z^{n}}{n!} \implies \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} =
|
||||
\frac{\frac{|z|^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{|z|^{n}}{n!}} = \frac{|z|}{n+1}
|
||||
.\] Für $n \ge 2 |z|$ gilt:
|
||||
\[
|
||||
\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \frac{|z|}{n+1} \le \frac{1}{2} =: q < 1
|
||||
.\]
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Wurzelkriterium]
|
||||
Es sei $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ eine Reihe
|
||||
($a_n \in \R$ oder $\mathbb{C}$ ).
|
||||
\begin{enumerate}[(i)]
|
||||
\item Falls $\exists \quad 0 < q < 1$ und $N_0 \in \N$ mit
|
||||
\[
|
||||
\sqrt[n]{|a_n|} \le q \quad \forall n \ge N_0
|
||||
,\] so ist $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ absolut
|
||||
konvergent.
|
||||
\item Falls $\exists N_0$ mit $\sqrt[n]{|a_n|} \ge 1 $ $\forall n \ge N_0$, so ist $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ divergent.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Für $n \ge N_0$ ist $|a_n| \le q^{n} \implies$ konvergente
|
||||
Majorante
|
||||
\item $\sqrt[n]{|a_n|} \ge 1 \implies |a_n| \ge 1 \implies (a_n)_{n\in\N}$ keine Nullfolge $\implies$ Divergenz.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{bem}
|
||||
Im Quotientenkriterium und Wurzelkriterium wird gefordert:
|
||||
\[
|
||||
\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} \text{ bzw. } \sqrt[n]{|a_n|} \le q < 1
|
||||
.\] Die Forderung $\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}$ bzw. $\sqrt[n]{|a_n|} < 1$
|
||||
reicht nicht: Bsp.: $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}$ divergent.
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Verdichtungskriterium von Cauchy]
|
||||
Sei $(a_n)_{n\in\N}$, $a_n \in \R_{+}$, eine reelle, positive
|
||||
monoton fallende Nullfolge. Dann gilt
|
||||
\[
|
||||
\sum_{k=1}^{\infty} a_k \text{ konvergent } \iff \sum_{k=1}^{\infty} 2^{k} a_{2k} \text{ konvergent}
|
||||
.\]
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
durch Übung.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}$
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\alpha \le 0$: $\left( \frac{1}{n^{\alpha}} \right)_{n \in \N} $
|
||||
keine Nullfolge $\implies \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}$
|
||||
divergent.
|
||||
\item $\alpha > 0$ :
|
||||
\[
|
||||
\left( \frac{1}{n^{\alpha}} \right)_{n \in \N}
|
||||
.\] eine monoton fallende Nullfolge mit
|
||||
\[
|
||||
\sum_{k=1}^{\infty} 2^{k} \frac{1}{(2^{k})^\alpha}
|
||||
= \sum_{k=1}^{\infty} (\underbrace{2^{1-\alpha}}_{=: q})^{k} =
|
||||
\sum_{k=1}^{\infty} q^{k}
|
||||
.\] mit $q = 2^{1-\alpha}$
|
||||
|
||||
Falls $|q| < 1 \iff $ konvergenz \\
|
||||
d.h. $\alpha > 1 \iff $ konvergenz
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\subsection{Umordnen von Reihen}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Umordnung]
|
||||
Sei $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ eine Reihe und $\tau: N \to N$ eine
|
||||
bijektive Abbildung.
|
||||
|
||||
Dann heißt $\sum_{n=1}^{\infty} a_{\tau(n)} =
|
||||
a_{\tau(1)} + a_{\tau(2)} + \ldots$ eine Umordnung der Reihe
|
||||
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
\[
|
||||
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots \text{ konvergiert}
|
||||
.\] Umordnung:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
1 - \frac{1}{2} &+ \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7}
|
||||
- \frac{1}{6} + \underbrace{\frac{1}{9} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{15}}_{> 4 \frac{1}{15} > \frac{1}{4}}
|
||||
- \frac{1}{8} \\
|
||||
&+ \ldots +
|
||||
\underbrace{\left( \frac{1}{2^{n}+1} + \frac{1}{2^{n}+3} + \ldots + \frac{1}{2^{n} + 2^{n} - 1} \right)}_{> 2^{n-1} \frac{1}{2^{n+1} - 1} > \frac{1}{4}} - \frac{1}{2n +2}
|
||||
.\end{align*}
|
||||
divergiert!
|
||||
|
||||
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ konvergent, aber nicht
|
||||
absolut konvergent, deshalb kann eine Umordnung die
|
||||
Konvergenzeigenschaften drastisch ändern !!!
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Umordnungssatz]
|
||||
Sei $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ eine absolut konvergente Reihe.
|
||||
|
||||
Dann konvergiert jede Umordnung dieser Reihe absolut gegen
|
||||
denselben Grenzwert.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Forster.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{bem}
|
||||
Ist $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ eine reelle Reihe, welche konvergiert,
|
||||
aber nicht absolut, so gibt es zu jedem $c \in \R$ oder $c = \pm \infty$
|
||||
eine Umordnung $\sum_{n=1}^{\infty} a_{\tau(n)}$, welche
|
||||
gegen $c \in \R$ konvergiert (oder divergiert).
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\subsection{Das Cauchy-Produkt von Reihen}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Cauchy-Produkt]
|
||||
Seien $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ und $\sum_{n=0}^{\infty} b_n$
|
||||
absolut konvergente Reihen. Für $n \in \N_0$ sei $c_n$ definiert
|
||||
durch
|
||||
\[
|
||||
c_n := \sum_{k=0}^{\infty} a_k b_{n-k} = a_0b_n + a_1b_{n-1}
|
||||
+ \ldots + a_nb_0
|
||||
.\] Dann ist die Reihe $\sum_{n=0}^{\infty} c_n$ absolut konvergent
|
||||
mit $\sum_{k=0}^{\infty} c_n = \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n \right)
|
||||
\left( \sum_{n=0}^{\infty} b_n \right)$
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Forster.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{bem}
|
||||
Die Voraussetzung der absoluten Konvergenz ist wichtig:
|
||||
\[
|
||||
\sum_{n=1}^{\infty} a_n, \sum_{n=1}^{\infty} b_n \text{ mit }
|
||||
a_n := b_n := \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1} }
|
||||
.\] konvergieren, aber ihr Cauchy-Produkt:
|
||||
\[
|
||||
c_n := \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}, \quad n \in \N_0
|
||||
.\] divergiert
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
durch Übung.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{bsp} Für $x, y \in \mathbb{C}$ gilt
|
||||
\[
|
||||
\text{exp}(x+y) = \text{exp}(x)\cdot \text{exp}(y)
|
||||
.\]
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\[
|
||||
\text{exp}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!},
|
||||
\text{exp}(y) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{y^{n}}{n!}
|
||||
.\] Bilde Cauchy-Produkt
|
||||
\[
|
||||
.\]
|
||||
\begin{align*}
|
||||
c_n &:= \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k} \\
|
||||
&= \sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}
|
||||
\cdot \frac{y^{n-k}}{(n-k)!} \\
|
||||
&= \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n!} \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!}
|
||||
x^{k} y^{n-k} \\
|
||||
&= \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k}y^{n-k}
|
||||
= \frac{1}{n!} (x+y)^{n}
|
||||
.\end{align*}
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{korrolar}
|
||||
\begin{enumerate}[(i)]
|
||||
\item $\forall z \in \mathbb{C}$ gilt $(\exp(z))^{-1} = \exp(-z)$
|
||||
\item $\forall x \in \R$ gilt $\exp(x) > 0$
|
||||
\item $\forall n \in \Z$ ist
|
||||
\[
|
||||
\exp(n) = e^{n} = \begin{cases}
|
||||
e \cdot e \cdot \ldots \cdot e & n > 0 \\
|
||||
e^{-1} \cdot e^{-1} \cdot \ldots \cdot e^{-1} & n < 0 \\
|
||||
1 & n = 0
|
||||
\end{cases}
|
||||
.\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{korrolar}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{enumerate}[(i)]
|
||||
\item $\exp(-z)\cdot \exp(z) = \exp(-z+z) = \exp(0) = 1$
|
||||
\item Für $x \in \R, x \ge 0$ ist $\exp(z) = 1 + x + \ldots > 0$
|
||||
|
||||
Für $x < 0 $ ist $(\exp(x))^{-1} = (\exp(-x)) > 0 \implies \exp(x) > 0$.
|
||||
\item Zz.: $\exp(n) = e^{n}$ $\forall n \in \N$
|
||||
|
||||
Vollständige Induktion:\\
|
||||
$n = 1$ : $\exp(1) = e$ nach Definition\\
|
||||
$n \to n+1$ : $\exp(n+1) = \exp(n) \cdot \exp(1) =e^{n} \cdot e
|
||||
= e^{n+1}$
|
||||
|
||||
Für $n \in \Z$ mit $n < 0$ gilt:
|
||||
|
||||
$(\exp(n))^{-1} = \exp(-n) = e^{-n} \implies \exp(n) = e^{n}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\subsection{Potenzreihen}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt $z_0 \in \mathbb{C}$ ist
|
||||
definiert durch
|
||||
\[
|
||||
\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^{n}, z \in \mathbb{C}
|
||||
.\] $a_n \in \mathbb{C}, \forall n \in N_0$
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Exponentialreihe]
|
||||
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} z^{n} $ mit Entwicklungspunkt
|
||||
$0 \in \mathbb{C}$ konvergiert für $\forall z \in \mathbb{C}$.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Konvergenzradius]
|
||||
Zur Potenzreihe $\sum_{k=1}^{\infty} a_k(z-z_0)^{k}$ definiere
|
||||
den Konvergenzradius $\rho$ durch
|
||||
\[
|
||||
\rho := \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \text{sup } \sqrt[n]{|a_n|} }
|
||||
.\]
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
\begin{enumerate}[(i)]
|
||||
\item $\sum_{n=1}^{\infty} a_n (z - z_0)^{n}$ konvergiert absolut
|
||||
$\forall z \in \mathbb{C}$ mit $|z-z_0| < \rho$
|
||||
\item $\sum_{n=1}^{\infty} a_n (z-z_0)^{n} $ divergiert für $\forall z \in \mathbb{C}$ mit $|z-z_0| > \rho$
|
||||
\item für $|z-z_0| = \rho$ ist keine allgemeine Aussage möglich.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
\[
|
||||
\underbrace{\sum_{k=1}^{\infty}}_{\text{divergent für }|x|=1} x^{k} \qquad
|
||||
\underbrace{\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k}}_{\text{div für } |z}
|
||||
\qquad \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k^2}
|
||||
.\] $\rho$ für alle Reihen.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
Reference in New Issue
Block a user