add num5 and update la5

sose2020/la/uebungen/la5.tex

@@ -25,7 +25,8 @@
                 Mit dem Satz von Cayley-Hamilton gilt
                 $\chi_{A}^{\text{char}}(A) = 0 \implies \chi_A^{\text{char}} \in I_A$.
             \end{proof}
-        \item Beh.: Es ex. ein eindeutig bestimmtes Polynom $\chi_{A}^{\text{min}} \in K[t] \setminus \{0\} $
+        \item Beh.: Es ex. ein eindeutig bestimmtes normiertes Polynom
+            $\chi_{A}^{\text{min}} \in K[t] \setminus \{0\} $
             mit $I_A = \left( \chi_{A}^{\text{min}} \right) $.
             \begin{proof}
                 Es ist $\chi_{A}^{\text{char}} \neq 0$ und $\chi_{A}^{\text{char}} \in I_A$, also
@@ -76,7 +77,8 @@
                     \iff & f(A) = 0 \\
                     \stackrel{S \neq 0}{\iff} & S f(A) S^{-1} = 0 \\
                     \iff& f(SAS^{-1}) = 0 \\
-                    \iff & f(B) = 0
+                    \iff & f(B) = 0 \\
+                    \iff & f \in I_B
                 .\end{salign*}
                 Also ist $(\chi_{A}^{\text{min}}) = I_A = I_B = (\chi_{B}^{\text{min}})$ und,
                 wegen $\chi_{A}^{\text{min}}$ und $\chi_{B}^{\text{min}} $ normiert,