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ws2020/algebra/uebungen/algebra2.tex

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+\documentclass[uebung]{../../../lecture}
+
+\title{Algebra 1: Übungsblatt 2}
+\author{Lukas Nullmeier, Christian Merten}
+
+\begin{document}
+
+\punkte
+
+\begin{aufgabe}[]
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Sei $d \in \Z$. Beh.: $\Z[\sqrt{d}]$ ist der kleinste Unterring von $\mathbb{C}$, der $\sqrt{d} $ enthält.
+            \begin{proof}
+                Durch Nachrechnen ist sofort offensichtlich, dass $\Z[\sqrt{d}]$ ein Unterring ist, der $\sqrt{d} $ enthält. Sei nun
+                $R \subseteq \mathbb{C}$ ein Unterring mit $\sqrt{d} \in R$. Dann ist
+                $\Z \ni 1 \in R$, da $R$ Unterring, d.h. durch Addition der $1$ folgt
+                $\Z \subseteq R$. Sei nun $x \in \Z[\sqrt{d}]$. Dann ex. $a, b \in \Z$ mit
+                $x = a + b\sqrt{d}$. Da $a, b, \sqrt{d} \in R$ folgt, da $R$ Unterring, dass auch
+                $x \in R$, also $\Z[\sqrt{d}] \subseteq R$.
+            \end{proof}
+        \item Sei $d = -5$. Beh.: $N$ ist multiplikativ.
+            \begin{proof}
+                Seien $x, y \in \Z[\sqrt{-5}]$. Dann ex. $a, b, e, f \in \Z$, s.d.
+                $x = a + b \sqrt{-5} $ und $y = e + f \sqrt{-5} $. Damit folgt direkt
+                \begin{salign*}
+                    N(xy) &= N(ae - 5bf + (af + be)\sqrt{-5} ) \\
+                    &= (ae-5bf)^2 + 5(af + be)^2 \\
+                    &= a^2e^2 + 25 b^2f^2 + 5 a^2f^2 + 5 b^2e^2 \\
+                    &= (a^2 + 5b^2) (e^2 + 5f^2) \\
+                    &= N(x)N(y)
+                .\end{salign*}
+            \end{proof}
+            Beh.: Für $u \in \Z[\sqrt{-5}]$ gilt $u \in \Z[\sqrt{-5}]^{x} \iff N(u) =1$.
+            \begin{proof}
+                Sei $u \in \Z[\sqrt{-5}]$. ,,$\implies$'': Sei $u \in \Z[\sqrt{-5}]^{\times }$. Dann
+                ex. $v \in \Z[\sqrt{-5}]$, s.d. $uv = 1$. Damit folgt
+                wegen $N$ multiplikativ
+                \[
+                    1 = N(1) = N(uv) = \underbrace{N(u)}_{\in \Z_{\ge 0}} \underbrace{N(v)}_{\in \Z_{\ge 0}}
+                .\] Es folgt also $N(u) = 1$.
+
+                ,,$\impliedby$'': Sei $N(u) = 1$. Es ex. $a, b \in \Z$, s.d. $u = a + b \sqrt{-5} $. Wegen
+                \[
+                    1 = N(u) = N(a + b\sqrt{-5}) = a^2 + 5 b^2
+                \] folgt $b = 0$ und damit $a^2 = 1$, also $u = a$ mit $u^2 = 1$, also $u \in \Z[\sqrt{-5}]^{\times }$.
+            \end{proof}
+            Beh.: $\Z[\sqrt{-5}]^{\times } = \{\pm 1\} $.
+            \begin{proof}
+                Sei $u \in \Z[\sqrt{-5}]$ mit $u = a + b\sqrt{-5} $ für $a, b \in \Z$. Dann ist
+                \begin{align*}
+                    N(u) = 1 &\iff a^2 + 5b^2 = 1 \\
+                             &\iff a^2 = 1 \land b = 0 \\
+                             &\iff a \in \{\pm 1\} \land b = 0 \\
+                             &\iff u \in \{\pm 1\} 
+                .\end{align*}
+                Damit folgt die Behauptung mit der Vorüberlegung.
+            \end{proof}
+        \item Beh.: $2 \in \Z[\sqrt{-5}]$ ist irreduzibel.
+            \begin{proof}
+                Ang.: $\exists x, y \in \Z[\sqrt{-5}]$, s.d. $2 = xy$ mit
+                $x, y \not\in \Z[\sqrt{-5}]^{\times }$. Dann folgt
+                \[
+                    4 = N(2) = N(xy) = N(x) N(y)
+                .\] Da $4 \neq 0 \implies N(x), N(y) \in \N$ und wegen $x, y \not\in \Z[\sqrt{-5}]^{\times }$,
+                ist $N(x), N(y) \neq 1$, also $N(x) = N(y) = 2$. Das heißt
+                es ex. $a, b \in \Z$, s.d $N(a + b\sqrt{-5}) = 2$. Dann
+                folgt $a^2 + 5b^2 = 2$, also $b = 0$ (sonst $a^2 + 5b^2 \ge 5 > 2$). Damit
+                ist $a^2 = 2 \implies \sqrt{2} \in \Z$ $\contr$.
+            \end{proof}
+            Beh.: $\Z[\sqrt{-5}]$ nicht faktoriell.
+            \begin{proof}
+                Es gilt
+                \[
+                    2 \cdot 3 = 6 = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})
+                .\] Aber $2, 3, 1+\sqrt{-5}, 1-\sqrt{-5} $ irreduzibel, also hat $6$ zwei
+                verschiedene Darstellungen als Produkt von irreduziblen Elementen.
+                Damit ist $\Z[\sqrt{-5}]$ nicht faktoriell.
+            \end{proof}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    Sei $(*):$ Für $R$ Ring, ex. ein $n \in \N_{\ge 2}$, s.d. $x^{n} = x$ für alle $x \in R$.
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Beh.: Endliche nullteilerfreie Ringe $R$ sind Körper.
+            \begin{proof}
+                Sei $R$ nullteilerfreier, endlicher Ring. Zunächst ist $R \neq 0$, da
+                $R$ nullteilerfrei. Sei nun $x \in R \setminus \{0\} $. Dann betrachte
+                $f_x\colon R \to R, y \mapsto xy$. Es ist $f_x$ injektiv, denn
+                für $y_1, y_2 \in R$ folgt
+                \[
+                    f_x(y_1) = f_x(y_2) \implies xy_1 = xy_2
+                    \qquad
+                    \stackrel{R \text{ nullteilerfrei}, x\neq 0}{\implies}
+                    \qquad
+                    x(y_1 - y_2) = 0 \implies y_1 = y_2
+                .\] Da $R$ endlich ist $f_x$ auch surjektiv, inbes. ex. ein $y \in R$, s.d
+                $f_x(y) = 1 \implies xy = 1$, also $x \in R^{x}$. Insgesamt
+                also $R^{x} = R \setminus \{ 0 \}$.
+            \end{proof}
+        \item Beh.: $R$ nullteilerfrei mit $(*)$ $\implies$ $R$ endlicher Körper.
+            \begin{proof}
+                Sei $x \in R \setminus \{0\} $. Wegen $n \ge 2$ ist $n-2 \ge 0$. Es gilt
+                \[
+                    x^{n} = x \implies x^{n-1} x = x
+                .\] Da $x \neq 0$ und $R$ nullteilerfrei, folgt $x^{n-1} = 1$. Damit ist
+                \[
+                x^{n-2} x = 1 \implies x \in R^{x}
+                .\] 
+            \end{proof}
+        \item Beh.: Jedes Primideal in $R$ mit $(*)$ ist maximal.
+            \begin{proof}
+                Sei $I \subsetneqq R$ Primideal. Dann sei $\overline{x} \in R / I$. Dann ist
+                $\overline{x}^{n} = \overline{x^{n}} = \overline{x}$, wegen $(*)$.
+                Da $I$ Primideal, ist
+                $R / I$ nullteilerfrei mit Eigenschaft $(*)$. Mit (b) ist
+                $R / I$ also Körper, also $I$ Maximalideal.
+            \end{proof}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    Zunächst sind Polynome vom Grad 1 immer irreduzibel über $\mathbb{F}_2[X]$, da $\mathbb{F}_2$
+    nullteilerfrei und damit auch $\mathbb{F}_2[X]$ nullteilerfrei. Damit folgt für ein
+    $f \in \mathbb{F}_2[X]$ mit $\text{deg}(f) = 1$ und $f = gh$ für $g, h \in \mathbb{F}_2$[X], dass
+    \[
+    1 = \text{deg}(f) = \text{deg}(gh) = \text{deg}(g)  + \text{deg}(h) 
+    .\] Da $\text{deg}(f) = 1$ ist $g, h \neq 0$, also $\text{deg}(g), \text{deg}(h)  \ge 0$ und
+    damit $\text{deg}(g) = 0$ oder $\text{deg}(h)  = 0$. Da $\mathbb{F}_2$ Körper ist damit
+    $g \in \mathbb{F}_2[X]^{\times }$ oder $h \in \mathbb{F}_2[X]^{\times }$, also $f$ irreduzibel.
+
+    Da $\mathbb{F}_2$ Körper sind zudem alle Polynome vom Grad 0 Einheiten also nicht irreduzibel.
+
+    Weiter ist $\# \mathbb{F}_2 = 2$, also existieren genau $2^{k}$ paarweise verschiedene Polynome
+    vom Grad $k$, für $k \ge 0$. Da $\mathbb{F}_2$ Körper, ist $\mathbb{F}_2$ HIR, also faktoriell
+    und nach Satz von Gauß ist auch $\mathbb{F}_2[X]$ faktoriell. Das heißt die irreduziblen
+    Polynome sind diejenigen die nicht als Produkt von irreduziblen Polynomen enstehen.
+    Damit sind also
+    \begin{salign*}
+        f_1 &\coloneqq X \\
+    f_2 &\coloneqq X+1
+    \intertext{
+        alle Polynome vom Grad 1 und irreduzibel.
+    Daraus entstehen als Produkte die Polynome}
+        f_3 &\coloneqq X^2 = X \cdot X \\
+        f_4 &\coloneqq X^2 + X = X (X+1) \\
+        f_5 &\coloneqq X^2 + 1 = (X+1)^2 \\
+        \intertext{Es bleibt als viertes Polynom vom Grad 2 nur}
+        f_6 &\coloneqq X^2 + X + 1
+        \intertext{das damit irreduzibel sein muss. Aus den irreduziblen Polynome vom Grad $\le 2$
+        ergeben sich}
+        f_7 &\coloneqq X^3 \\
+        f_8 &\coloneqq X^3 + X^2 = X^2 (X+1) \\
+        f_9 &\coloneqq X^3 + X^2 + X = X(X^2 + X +1) \\
+        f_{10} &\coloneqq X^3 + X^2 + X + 1 = (X+1)^3 \\
+        f_{11} &\coloneqq x^3 + X = X(X+1)^2 \\
+        f_{12} &\coloneqq X^3 + 1 = (X^2 + X + 1)(X +1) \\
+        \intertext{Damit bleiben als Polynome vom Grad 3 nur noch}
+        f_{13} &\coloneqq X^3 + X^2 + 1 \\
+        f_{14} &\coloneqq X^3 + X + 1
+    \end{salign*}
+    die damit irreduzibel sein müssen.
+    Damit sind alle irreduziblen Polynome vom Grad $\le 3$ in $\mathbb{F}_2[X]$ gegeben als
+    \[
+        \{f_1, f_2, f_6, f_{13}, f_{14}\} 
+    .\]
+    Es existieren genau $2^{4} = 16$ Polynome vom Grad $4$ in $\mathbb{F}_2[X]$. Die reduziblen
+    ergeben sich wieder als Produkte der irreduziblen Polynome vom Grad $\le 3$. Da sich
+    die Grade bei Produktbildung addieren, treten folgende Kombinationen auf:
+    \begin{salign*}
+        \text{(i)} \qquad 4 &= 1 + 1 + 1 +1 \\
+        \text{(ii)} \qquad 4 &= 1 + 1 + 2 \\
+        \text{(iii)} \qquad 4 &= 1 + 3 \\
+        \text{(iv)} \qquad 4 &= 2 + 2
+    .\end{salign*}
+    Die Anzahl der Kombinationen pro Fall ergibt sich durch Produktbildung der Möglichkeiten Polynome
+    der entsprechenden Grade auszuwählen. Damit ergeben sich nach Ana I für (i) $\binom{2 + 4 - 1}{4} = 5$
+    Kombinationen, für (ii): $1 \cdot \binom{2 + 3 - 1}{2} = 3$, für (iii): $2 \cdot 2$ und
+    für (iv): $1 \cdot 1 = 1$ Kombinationen. In Summe also $5 + 3 + 4 + 1 = 13$ reduzible Polynome,
+    also $16 - 13 = 3$ irreduzible Polynome vom Grad $4$.
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item $f = \frac{(X-1)^{3}}{1} \in Q(\R[X]) \implies v_{X-1}(f) = 3$ und
+            $g = \frac{1}{(X-1)^2} \in Q(\R[X]) \implies v_{X-1}(g) = -2$. Folgt direkt aus
+            der Definition.
+        \item $X^2 + 1$ ist irreduzibel über $\R$, da $X^2 + 1$ keine Nullstellen in $\R$ hat.
+        \item $(2,X)$ ist kein Hauptideal in $\Z[X]$.
+            \begin{proof}
+                Ang. es ex. ein $f \in \Z[X]$ mit $(f) = (2,X)$, dann ex. $g \in \Z[X]$ mit
+                $2 = fg$, da $\Z[X]$ nullteilerfrei, folgt mit Gradformel, dass $\text{deg}(f) = 0$, also
+                $f \in \Z$. Außerdem ex. ein $h \in \Z[X]$ mit $X = f h$. Dann ist
+                $e(X) = 1 = e(f) e(g)$, also $f \in \Z^{\times }$. Damit ist
+                $(f) = (2,X) = (1) = \Z$. Insbesondere ist $1 \in (2, X)$, d.h. es ex. $h, g \in \Z[X]$
+                mit
+                \[
+                1 = 2h + Xg
+                .\] Es ist offensichtlich $h, g \neq 0$ also $\text{deg}(2h + Xg) \ge 1 > 0 = \text{deg}(1)$.
+                $\contr$.
+            \end{proof}
+        \item $(X)$ in $\Z[X,Y]$. Es ist offensichtlich $(X) \subsetneqq (X,Y) \subsetneqq \Z[X, Y]$,
+            denn $Y \not\in (X)$ und $1 \not\in \Z[X, Y]$. Da $X$ irreduzibel über $\Z[X, Y]$ und
+            $\Z[X,Y]$ faktoriell ist $X$ auch Primelement also $(X)$ Primideal, aber kein Maximalideal.
+        \item $R = \Z[X,Y]$ und $a = X$, $b = Y$. Es ist $\text{ggT}(X,Y) = 1$, da
+            $X, Y$ prim aber $1 \not\in (X) + (Y)$, also $(X) + (Y) \neq (1)$.
+        \item $K = Q(\Z / 2 \Z[X])$ ist Körper mit Charakteristik $2$, denn
+            \[
+                Q(\Z / 2 \Z[X]) \ni 1 = \frac{\overline{1}}{\overline{1}} + \frac{\overline{1}}{\overline{1}}
+            = \frac{\overline{1} + \overline{1}}{\overline{1}} = \frac{\overline{0}}{\overline{1}}
+            = 0 \in Q(\Z / 2 \Z[X])
+        ,\] aber $Q(\Z / 2 \Z[X])$ unendlich, da $\Z / 2 \Z[X]$ Polynomring und hat damit unendlich viele
+        Elemente, also auch $Q( \Z / 2 \Z [X])$.
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item 
+            \begin{figure}[h]
+                \begin{tikzpicture}
+                    \begin{axis}[ytick={1, 2, -1, -2}, yticklabels={$\sqrt{2}$, $2\sqrt{2}$, $-\sqrt{2}$,
+                        $-2\sqrt{2} $},
+                        grid=both, axis lines=middle,
+                        grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+                        major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+                        enlargelimits={abs=0.2},
+                        xlabel=$\text{Re}(z)$,
+                        ylabel=$\text{Im}(z)$
+                        ]
+                        \addplot[only marks, mark=x]
+                            coordinates{ % plot 1 data set
+                              (0, 0)
+                              (0, 1)
+                              (0, 2)
+                              (0, -1)
+                              (0, -2)
+                              (1, 0)
+                              (1, 1)
+                              (1, 2)
+                              (1, -0)
+                              (1, -1)
+                              (1, -2)
+                              (2, 0)
+                              (2, 1)
+                              (2, 2)
+                              (2, 0)
+                              (2, -1)
+                              (2, -2)
+                              (-1, 0)
+                              (-1, 1)
+                              (-1, 2)
+                              (-1, -0)
+                              (-1, -1)
+                              (-1, -2)
+                              (-2, 0)
+                              (-2, 1)
+                              (-2, 2)
+                              (-2, 0)
+                              (-2, -1)
+                              (-2, -2)
+                              % more points...
+                            };
+                    \end{axis}
+                \end{tikzpicture}
+                \centering
+                \caption{Ausschnitt von $\Z[\sqrt{-2}] \subseteq \mathbb{C}$ in der komplexen Ebene}
+            \end{figure}
+            Beh.: $\Z[\sqrt{-2}]$ euklidisch. Sei dazu
+            $\text{rd}\colon \R \to  \Z$ die Rundungsfunktion. Bei zwei Möglichkeiten wähle die größere.
+            Dann ist $\forall x \in \R\colon |x - \text{rd}(x)| \le \frac{1}{2}$.
+
+            Schritt 1: Sei zunächst
+            $z \in \mathbb{C}$ mit $z = c + id$ mit $c, d \in \R$. Dann wähle
+            $a = \text{rd}(c)$ und $b = \text{rd}(d)$. Dann ist
+            $a + b \sqrt{-2} \in \Z[\sqrt{-2}]$ und
+            \begin{salign*}
+                |z - (a + \sqrt{-2}b)| = |(c - a) + i \sqrt{2} (d -b)|
+                = \sqrt{(c-a)^2 + 2(d-b)^2}
+                = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{2}{4}} = \frac{\sqrt{3} }{2} < 1
+            .\end{salign*}
+
+            Schritt 2: $\Z[\sqrt{-2}]$ ist nullteilerfrei.
+
+            Schritt 3: Seien nun $z, w \in \Z[\sqrt{-2}]$ mit $w \neq 0$. Dann ist $\frac{z}{w} \in C$ und es
+            ex. nach Schritt 1
+            ein $q \in \Z[\sqrt{-2}]$ mit $\left| \frac{z}{w} - q \right|\le \frac{\sqrt{3} }{2}$.
+            Dann setze $r \coloneqq z - qw$. Dann gilt, da der komplexe Betrag multiplikativ ist:
+            \[
+                N(r) = N(z - qw) = |z - qw|^2 = |\frac{z}{w} - q|^2 |w|^2
+                \le \frac{3}{4} N(w) < N(w)
+            .\] Damit ist $\Z[\sqrt{-2}]$ euklidisch mit der Normfunktion $N$.
+        \item Beh.: $\Z[\sqrt{-2}]^{\times } = \{\pm 1\} $
+            \begin{proof}
+                Es ist schnell nachgerechnet, dass $N$ multiplikativ ist. Wende dann das
+                exakt selbe Argument wie in 1(b) an.
+            \end{proof}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\end{document}