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sose2020/num/uebungen/num10.tex

@@ -0,0 +1,262 @@
+\documentclass[uebung]{../../../lecture}
+
+\title{Einführung in die Numerik: Übungsblatt 10}
+\author{Leon Burgard, Christian Merten}
+
+\begin{document}
+
+\punkte
+
+\begin{aufgabe}
+    Beh.: Seien $n$ paarweise verschiedene Stützstellen $\{x_0, \ldots, x_{n-1}\} $ gegeben
+    und eine Permutation derselben $\{\tilde{x}_0, \ldots, \tilde{x}_{n-1}\} $. Dann gilt
+    \[
+        f[x_0, \ldots, x_{n-1}] = f[\tilde{x}_0, \ldots, \tilde{x}_{n-1}]
+    .\]
+    \begin{proof}
+        Es gilt nach VL mit der Newtondarstellung für das Interpolationspolynom
+        zu den Stützstellen $x_0, \ldots, x_{n-1}$:
+        \begin{salign*}
+            p(x) &= \sum_{i=0}^{n-1} y[x_0, \ldots, x_i] N_i(x) \\
+            &= \sum_{i=0}^{n-2} y[x_0, \ldots, x_i] N_i(x) + y[x_0, \ldots, x_{n-1}] N_{n-1}(x) \\
+            &= \mathcal{O}(x^{n-2}) + y[x_0, \ldots, x_{n-1}] \prod_{i=0}^{n-2} (x - x_i) \\
+            &= \mathcal{O}(x^{n-2}) + y[x_0, \ldots, x_{n-1}] \left(x^{n-1} + \mathcal{O}(x^{n-2})\right) \\
+            &= y[x_0, \ldots, x_{n-1}] x^{n-1} + \mathcal{O}(x^{n-2})
+        .\end{salign*}
+        Der Leitkoeffizient des Interpolationspolynoms in der Monombasis ist also
+        $y[x_0, \ldots, x_{n-1}]$. Dieser ist unabhängig von der Reihenfolge der Stützstellen. Damit
+        folgt die Behauptung.
+    \end{proof}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    Beh.: Für $N \ge 2 \pi 10^{3}$ gilt $\displaystyle \max_{0 \le x \le 1} |f(x) - s(x)| < 10^{-12}$.
+    \begin{proof}
+        Es ist $f \in C^{4}([0, 1])$. Dann gilt nach VL
+        \[
+            \delta \coloneqq \max_{0 \le x \le 1} |f(x) - s(x)| \le h^{4} \max_{0 \le x \le 1} |f^{(4)}(x)|
+        .\] Mit $f(x) = \sin(2\pi x)$ folgt sofort
+        \[
+            f^{(4)}(x) = 16 \pi^{4} \sin(2 \pi x) \quad \text{also}\quad
+            \max_{0 \le x \le 1} |f^{(4)}(x)| = 16 \pi^{4}
+        .\] Mit $h = \frac{1}{N}$ ergibt sich
+        \[
+            \delta \le 16 \frac{\pi^{4}}{N^{4}} \implies N \ge 2 \pi \sqrt[4]{\delta } = 2 \pi 10^{3}
+        .\] 
+    \end{proof}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    Beh.: Das komplexe trigonometrische Interpolationspolynom ist gegeben als
+    \[
+        t ^{*}(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} e^{ix} - \frac{1}{4} e^{3ix}
+    .\] 
+    \begin{proof}
+        Die Stützstellen sind als $x_j = \frac{2 \pi j}{4}$, $j = 0, \ldots, 3$ gegeben. Damit folgt
+        \begin{salign*}
+            f(x_0) &= f(0) = \min \{0, 2\} = 0 \\
+            f(x_1) &= f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \min \left\{ \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right\} = \frac{1}{2} \\
+            f(x_2) &= f(\pi) = \min \{1, 1\} = 1 \\
+            f(x_3) &= f\left( \frac{3}{2}\pi \right) = \min \left\{ \frac{3}{2}, \frac{1}{2} \right\} = \frac{1}{2}
+        .\end{salign*}
+        Die Interpolationsbedingung ist erfüllt, denn
+        \begin{salign*}
+            t ^{*}(x_0) &= \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0 = f(x_0) \\
+            t ^{*}(x_1) &= \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \underbrace{e^{i \frac{\pi}{2}}}_{= i} - \frac{1}{4}
+            \underbrace{e^{i \frac{3}{2} \pi}}_{= -i} = \frac{1}{2} = f(x_1) \\
+            t ^{*}(x_2) &= \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \underbrace{e^{i \pi}}_{= -1} - \frac{1}{4}
+            \underbrace{e^{i \pi}}_{= -1} = 1 = f(x_2) \\
+            t ^{*}(x_3) &= \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \underbrace{e^{i \frac{3}{2} \pi}}_{= i} - \frac{1}{4}
+            \underbrace{e^{i \frac{3}{2} \pi}}_{= -i} = \frac{1}{2} = f(x_3)
+        .\end{salign*}
+        Aus der Eindeutigkeit des komplexen trigonometrischen Interpolationspolynoms folgt die Behauptung.
+    \end{proof}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[a)]
+        \item 
+            \begin{enumerate}[(1)]
+                \item Es ist
+                    \[
+                        f_1''(x) = 6x - 14 \implies f_1''(0) = -14 \neq 0
+                    .\] Also erfüllt $f_1$ nicht die natürlichen Randbedingungen, also $f_1 \not\in S(X)$.
+                \item Es gilt für $0 \le x < 1$:
+                    \begin{salign*}
+                        f_2(x) &= -\frac{1}{2} x^{3} \xrightarrow{x \to 1} -\frac{1}{2}\\
+                        f_2'(x) &= -\frac{3}{2} x^2 \xrightarrow{x \to 1} - \frac{3}{2} \\
+                        f_2''(x) &= - 3x \xrightarrow{x \to 1} -3 \text{ und } f_2''(0) = 0
+                        \intertext{Für $1 \le x \le 2$ gilt:}
+                        f_2(x) &= (x-1)^{3} -\frac{1}{2} x^{3} \implies f_2(1) = -\frac{1}{2} \\
+                        f_2'(x) &= 3(x-1)^2 - \frac{3}{2} x^2 \implies f_2'(1) = -\frac{3}{2} \\
+                        f_2''(x) &= 3x - 6 \implies f_2''(1) = -3 \text{ und } f_2''(2) = 0
+                    .\end{salign*}
+                    $f_2$ ist auf beiden Teilintervallen ein Polynom von Grad $3$ und damit
+                    auf den Teilintervallen beliebig oft stetig differenzierbar. Außerdem
+                    ist $f_2$ $2$ mal stetig differenzierbar an der Stelle $1$, also insgesamt
+                    $f_2 \in C^{2}([0, 2])$. Die natürlichen Randbedingungen sind außerdem erfüllt, also
+                    folgt $f_2 \in S(X)$.
+                \item Es ist
+                    \[
+                        f_3''(x) = 6x - 2 \implies f_3''(0) = -2 \neq 0
+                    .\] Also erfüllt $f_3$ nicht die natürlichen Randbedingungen, also $f_3 \not\in S(X)$.
+            \end{enumerate}
+        \item Der interpolierende Spline $s$ von $f(x) = x^{3}$ folgt mit der Darstellung der VL direkt
+            als
+            \[
+                s(x) = \begin{cases}
+                    1 + 4x + 4,5 x^2 + 1,5 x^{3} & x \in [0, 1) \\
+                    8 + 8,5(x-1) - 1,5(x-1)^{3} & x \in [1,2]
+                \end{cases}
+            .\] 
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    Auszüge aus \textit{splines.cc}:
+    \begin{lstlisting}[language=C++, title=Schneller Löser für tridiagonale Matrizen, captionpos=b]
+template<typename REAL>
+void solveTriDiag(hdnum::DenseMatrix<REAL> &A, std::vector<REAL> &x, std::vector<REAL> &b) {
+    int N = b.size();
+    x[0] = A[0][0];
+    // LU Zerlegung
+    REAL l;
+    for (int j=1; j<N; j++) {
+        // berechne l faktor
+        l = A[j][j-1] / x[j-1];
+        // modifiziere diagonalelemente und rechte seite
+        x[j] = A[j][j] - l * A[j-1][j];
+        b[j] = b[j] - l * b[j-1];
+    }
+    // Loesen durch Rueckwaertseinsetzen
+    x[N-1] = b[N-1] / x[N-1];
+    for (int j=N-2; j>=0; j--) {
+        x[j] = (b[j] - A[j][j+1]*x[j+1])/x[j];
+    }
+}\end{lstlisting}
+Implementation in einer Klasse \lstinline{CubicSpline}. Die Funktion \lstinline{getCubicSpline}
+entspricht dem ersten Konstruktor.
+\begin{lstlisting}[language=C++, title=Konstruktion und Auswertung eines kubischen Splines, captionpos=b]
+template<typename REAL>
+class CubicSpline {
+    public:
+        // erstelle einen kubischen spline mit vorgegebenen stuetzstellen
+        // und werten
+        CubicSpline(std::vector<REAL> xs, std::vector<REAL> ys) {
+            calculateCoefficients(xs, ys);
+        }
+
+        // erstelle einen kubischen spline mit vorgegebenen stuetzstellen
+        // und einer zu interpolierenden funktion
+        CubicSpline(std::vector<REAL> xs, REAL(*f)(REAL)) {
+            int N = xs.size();
+            std::vector<double> ys(N);
+            for (int i=0; i<N; i++) {
+                ys[i] = f(xs[i]);
+            }
+            calculateCoefficients(xs, ys);
+        }
+
+        // erstelle einen kubischen spline an aequidistanten stuetzstellen
+        // und einer zu interpolierenden funktion
+        CubicSpline(REAL a, REAL b, int N, REAL(*f)(REAL)) {
+            std::vector<double> xs(N+1);
+            std::vector<double> ys(N+1);
+            for (int i=0; i<=N; i++) {
+                xs[i] = a + (1.0*i)/N*(b-a);
+                ys[i] = f(xs[i]);
+            }
+            calculateCoefficients(xs, ys);
+        }
+
+        // werte kubischen spline an vorgegebener stelle aus
+        REAL evaluate(REAL x) {
+            for (int i=1; i<x_s.size(); i++) {
+                if (x > x_s[i] && i < x_s.size() - 1) {
+                    continue;
+                } else {
+                    return a_0[i-1] + a_1[i-1] *(x - x_s[i]) + a_2[i-1]*std::pow(x - x_s[i], 2) + a_3[i-1]*std::pow(x-x_s[i], 3);
+                }
+            }
+            return 0;
+        }
+
+        // gebe alle interpolations polynome aus
+        void print() {
+            for(int i=0; i<x_s.size()-1; i++) {
+                printf("p_%d(x) = %4.2f + %4.2f(x - %4.2f) + %4.2f(x - %4.2f)^2 + %4.2f(x - %4.2f)^3\n",
+                       i, a_0[i], a_1[i], x_s[i], a_2[i], x_s[i], a_3[i], x_s[i]);
+            }
+        }
+
+    private:
+        // stuetzstellen
+        std::vector<REAL> x_s;
+        // koeffizienten
+        std::vector<REAL> a_0;
+        std::vector<REAL> a_1;
+        std::vector<REAL> a_2;
+        std::vector<REAL> a_3;
+
+        void calculateCoefficients(std::vector<REAL> xs, std::vector<REAL> ys) {
+            // stuetzstellen from x_0 ... to x_n
+            int n = xs.size()-1;
+            // copy stuetzstellen
+            x_s = std::vector<double>(n+1);
+            x_s = xs;
+            // setup (n-1)x(n-1) matrix for a_2
+            hdnum::DenseMatrix<REAL> A(n-1,n-1);
+            std::vector<REAL> b(n-1);
+            std::vector<REAL> x(n-1);
+            REAL h; // h_i
+            REAL h1; // h_{i+1}
+            // setup LGS for a_2
+            // A has tridiagonal structure
+            for (int i = 1; i<n; i++) {
+                h = xs[i] - xs[i-1];
+                h1 = xs[i+1] - xs[i];
+                b[i-1] = 3 * ((ys[i+1] - ys[i])/h1 - (ys[i] - ys[i-1])/h);
+                if (i > 1) {
+                    A[i-1][i-2] = h;
+                } if (i < n-1) {
+                    A[i-1][i] = h1;
+                }
+                A[i-1][i-1] = 2 * (h + h1);
+            }
+            // initialize vectors
+            a_0 = std::vector<double>(n);
+            a_1 = std::vector<double>(n);
+            a_2 = std::vector<double>(n);
+            a_3 = std::vector<double>(n);
+            solveTriDiag(A,a_2,b);
+            // natuerliche randbedingung
+            a_2[n-1] = 0;
+            // berechne restliche koeffizienten
+            for (int i = 1; i<=n; i++) {
+                h = xs[i] - xs[i-1]; // h_i
+                h1 = xs[i+1] - xs[i]; // h_{i+1}
+                a_0[i-1] = ys[i];
+                if (i == 1) { // a_2[-1] = 0
+                    a_1[i-1] = (ys[i] - ys[i-1])/h + (h/3)*(2*a_2[i-1]);
+                    a_3[i-1] = (a_2[i-1])/(3*h);
+                } else {
+                    a_1[i-1] = (ys[i] - ys[i-1])/h + h/3*(2*a_2[i-1] + a_2[i-2]);
+                    a_3[i-1] = (a_2[i-1] - a_2[i-2])/(3 * h);
+                }
+            }
+        }
+};\end{lstlisting}
+\begin{figure}[h]
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}
+        \begin{axis}[xtick=\empty, ytick=\empty]
+            \addplot[purple] table {saurier.dat};
+        \end{axis}
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{Rekonstruktion des Sauriers}
+    \label{fig:}
+\end{figure}
+
+\end{aufgabe}
+
+\end{document}

sose2020/num/uebungen/splines.cc

@@ -0,0 +1,161 @@
+#include <vector>
+#include "hdnum.hh"    // hdnum header
+
+template<typename REAL>
+void solveTriDiag(hdnum::DenseMatrix<REAL> &A, std::vector<REAL> &x, std::vector<REAL> &b) {
+    int N = b.size();
+    x[0] = A[0][0];
+    // LU Zerlegung
+    REAL l;
+    for (int j=1; j<N; j++) {
+        // berechne l faktor
+        l = A[j][j-1] / x[j-1];
+        // modifiziere diagonalelemente und rechte seite
+        x[j] = A[j][j] - l * A[j-1][j];
+        b[j] = b[j] - l * b[j-1];
+    }
+    // Loesen durch Rueckwaertseinsetzen
+    x[N-1] = b[N-1] / x[N-1];
+    for (int j=N-2; j>=0; j--) {
+        x[j] = (b[j] - A[j][j+1]*x[j+1])/x[j];
+    }
+}
+
+template<typename REAL>
+class CubicSpline {
+    public:
+        // erstelle einen kubischen spline mit vorgegebenen stuetzstellen
+        // und werten
+        CubicSpline(std::vector<REAL> xs, std::vector<REAL> ys) {
+            calculateCoefficients(xs, ys);
+        }
+
+        // erstelle einen kubischen spline mit vorgegebenen stuetzstellen
+        // und einer zu interpolierenden funktion
+        CubicSpline(std::vector<REAL> xs, REAL(*f)(REAL)) {
+            int N = xs.size();
+            std::vector<double> ys(N);
+            for (int i=0; i<N; i++) {
+                ys[i] = f(xs[i]);
+            }
+            calculateCoefficients(xs, ys);
+        }
+
+        // erstelle einen kubischen spline an aequidistanten stuetzstellen
+        // und einer zu interpolierenden funktion
+        CubicSpline(REAL a, REAL b, int N, REAL(*f)(REAL)) {
+            std::vector<double> xs(N+1);
+            std::vector<double> ys(N+1);
+            for (int i=0; i<=N; i++) {
+                xs[i] = a + (1.0*i)/N*(b-a);
+                ys[i] = f(xs[i]);
+            }
+            calculateCoefficients(xs, ys);
+        }
+
+        // werte kubischen spline an vorgegebener stelle aus
+        REAL evaluate(REAL x) {
+            for (int i=1; i<x_s.size(); i++) {
+                if (x > x_s[i] && i < x_s.size() - 1) {
+                    continue;
+                } else {
+                    return a_0[i-1] + a_1[i-1] *(x - x_s[i]) + a_2[i-1]*std::pow(x - x_s[i], 2) + a_3[i-1]*std::pow(x-x_s[i], 3);
+                }
+            }
+            return 0;
+        }
+
+        // gebe alle interpolations polynome aus
+        void print() {
+            for(int i=0; i<x_s.size()-1; i++) {
+                printf("p_%d(x) = %4.2f + %4.2f(x - %4.2f) + %4.2f(x - %4.2f)^2 + %4.2f(x - %4.2f)^3\n",
+                       i, a_0[i], a_1[i], x_s[i], a_2[i], x_s[i], a_3[i], x_s[i]);
+            }
+        }
+
+    private:
+        // stuetzstellen
+        std::vector<REAL> x_s;
+        // koeffizienten
+        std::vector<REAL> a_0;
+        std::vector<REAL> a_1;
+        std::vector<REAL> a_2;
+        std::vector<REAL> a_3;
+
+        void calculateCoefficients(std::vector<REAL> xs, std::vector<REAL> ys) {
+            // stuetzstellen from x_0 ... to x_n
+            int n = xs.size()-1;
+            // copy stuetzstellen
+            x_s = std::vector<double>(n+1);
+            x_s = xs;
+            // setup (n-1)x(n-1) matrix for a_2
+            hdnum::DenseMatrix<REAL> A(n-1,n-1);
+            std::vector<REAL> b(n-1);
+            std::vector<REAL> x(n-1);
+            REAL h; // h_i
+            REAL h1; // h_{i+1}
+            // setup LGS for a_2
+            // A has tridiagonal structure
+            for (int i = 1; i<n; i++) {
+                h = xs[i] - xs[i-1];
+                h1 = xs[i+1] - xs[i];
+                b[i-1] = 3 * ((ys[i+1] - ys[i])/h1 - (ys[i] - ys[i-1])/h);
+                if (i > 1) {
+                    A[i-1][i-2] = h;
+                } if (i < n-1) {
+                    A[i-1][i] = h1;
+                }
+                A[i-1][i-1] = 2 * (h + h1);
+            }
+            // initialize vectors
+            a_0 = std::vector<double>(n);
+            a_1 = std::vector<double>(n);
+            a_2 = std::vector<double>(n);
+            a_3 = std::vector<double>(n);
+            solveTriDiag(A,a_2,b);
+            // natuerliche randbedingung
+            a_2[n-1] = 0;
+            // berechne restliche koeffizienten
+            for (int i = 1; i<=n; i++) {
+                h = xs[i] - xs[i-1]; // h_i
+                h1 = xs[i+1] - xs[i]; // h_{i+1}
+                a_0[i-1] = ys[i];
+                if (i == 1) { // a_2[-1] = 0
+                    a_1[i-1] = (ys[i] - ys[i-1])/h + (h/3)*(2*a_2[i-1]);
+                    a_3[i-1] = (a_2[i-1])/(3*h);
+                } else {
+                    a_1[i-1] = (ys[i] - ys[i-1])/h + h/3*(2*a_2[i-1] + a_2[i-2]);
+                    a_3[i-1] = (a_2[i-1] - a_2[i-2])/(3 * h);
+                }
+            }
+        }
+};
+
+double f1(double x) {
+    return std::pow(x,3);
+}
+
+int main() {
+    // std::vector<double> xs = {0, 1, 2};
+    // CubicSpline<double> phi(xs, f1);
+    // phi.print();
+
+    // saurier fundstellen
+    std::vector<double> xs = {3.75, 3.75, 2.25, 1.25, 0.25, 0.75, 4.00, 5.50, 6.25, 9.00, 12.5, 12.75, 12.25};
+    std::vector<double> ys = {0.25, 1.50, 3.25, 4.25, 4.65, 4.83, 2.50, 3.25, 3.65, 3.00, 1.25, 2.150, 3.500};
+
+    std::vector<double> ts(13);
+    ts[0] = 0;
+    for (int i = 1; i<=12; i++) {
+        ts[i] = ts[i-1] + std::sqrt(std::pow(xs[i] - xs[i-1], 2) + std::pow(ys[i] - ys[i-1], 2));
+    }
+
+    CubicSpline<double> phi(ts, xs);
+    CubicSpline<double> psi(ts, ys);
+
+    double xi;
+    for (int j = 0; j<=100; j++) {
+        xi = j*ts[12] / 100;
+        std::cout << phi.evaluate(xi) << " " << psi.evaluate(xi) << std::endl;
+    }
+}