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\documentclass[uebung]{../../../lecture}

\title{Einführung in die Numerik: Übungsblatt 10}
\author{Leon Burgard, Christian Merten}

\begin{document}

\punkte

\begin{aufgabe}
    Beh.: Seien $n$ paarweise verschiedene Stützstellen $\{x_0, \ldots, x_{n-1}\} $ gegeben
    und eine Permutation derselben $\{\tilde{x}_0, \ldots, \tilde{x}_{n-1}\} $. Dann gilt
    \[
        f[x_0, \ldots, x_{n-1}] = f[\tilde{x}_0, \ldots, \tilde{x}_{n-1}]
    .\]
    \begin{proof}
        Es gilt nach VL mit der Newtondarstellung für das Interpolationspolynom
        zu den Stützstellen $x_0, \ldots, x_{n-1}$:
        \begin{salign*}
            p(x) &= \sum_{i=0}^{n-1} y[x_0, \ldots, x_i] N_i(x) \\
            &= \sum_{i=0}^{n-2} y[x_0, \ldots, x_i] N_i(x) + y[x_0, \ldots, x_{n-1}] N_{n-1}(x) \\
            &= \mathcal{O}(x^{n-2}) + y[x_0, \ldots, x_{n-1}] \prod_{i=0}^{n-2} (x - x_i) \\
            &= \mathcal{O}(x^{n-2}) + y[x_0, \ldots, x_{n-1}] \left(x^{n-1} + \mathcal{O}(x^{n-2})\right) \\
            &= y[x_0, \ldots, x_{n-1}] x^{n-1} + \mathcal{O}(x^{n-2})
        .\end{salign*}
        Der Leitkoeffizient des Interpolationspolynoms in der Monombasis ist also
        $y[x_0, \ldots, x_{n-1}]$. Dieser ist unabhängig von der Reihenfolge der Stützstellen. Damit
        folgt die Behauptung.
    \end{proof}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    Beh.: Für $N \ge 2 \pi 10^{3}$ gilt $\displaystyle \max_{0 \le x \le 1} |f(x) - s(x)| < 10^{-12}$.
    \begin{proof}
        Es ist $f \in C^{4}([0, 1])$. Dann gilt nach VL
        \[
            \delta \coloneqq \max_{0 \le x \le 1} |f(x) - s(x)| \le h^{4} \max_{0 \le x \le 1} |f^{(4)}(x)|
        .\] Mit $f(x) = \sin(2\pi x)$ folgt sofort
        \[
            f^{(4)}(x) = 16 \pi^{4} \sin(2 \pi x) \quad \text{also}\quad
            \max_{0 \le x \le 1} |f^{(4)}(x)| = 16 \pi^{4}
        .\] Mit $h = \frac{1}{N}$ ergibt sich
        \[
            \delta \le 16 \frac{\pi^{4}}{N^{4}} \implies N \ge 2 \pi \sqrt[4]{\delta } = 2 \pi 10^{3}
        .\] 
    \end{proof}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    Beh.: Das komplexe trigonometrische Interpolationspolynom ist gegeben als
    \[
        t ^{*}(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} e^{ix} - \frac{1}{4} e^{3ix}
    .\] 
    \begin{proof}
        Die Stützstellen sind als $x_j = \frac{2 \pi j}{4}$, $j = 0, \ldots, 3$ gegeben. Damit folgt
        \begin{salign*}
            f(x_0) &= f(0) = \min \{0, 2\} = 0 \\
            f(x_1) &= f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \min \left\{ \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right\} = \frac{1}{2} \\
            f(x_2) &= f(\pi) = \min \{1, 1\} = 1 \\
            f(x_3) &= f\left( \frac{3}{2}\pi \right) = \min \left\{ \frac{3}{2}, \frac{1}{2} \right\} = \frac{1}{2}
        .\end{salign*}
        Die Interpolationsbedingung ist erfüllt, denn
        \begin{salign*}
            t ^{*}(x_0) &= \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0 = f(x_0) \\
            t ^{*}(x_1) &= \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \underbrace{e^{i \frac{\pi}{2}}}_{= i} - \frac{1}{4}
            \underbrace{e^{i \frac{3}{2} \pi}}_{= -i} = \frac{1}{2} = f(x_1) \\
            t ^{*}(x_2) &= \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \underbrace{e^{i \pi}}_{= -1} - \frac{1}{4}
            \underbrace{e^{i \pi}}_{= -1} = 1 = f(x_2) \\
            t ^{*}(x_3) &= \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \underbrace{e^{i \frac{3}{2} \pi}}_{= i} - \frac{1}{4}
            \underbrace{e^{i \frac{3}{2} \pi}}_{= -i} = \frac{1}{2} = f(x_3)
        .\end{salign*}
        Aus der Eindeutigkeit des komplexen trigonometrischen Interpolationspolynoms folgt die Behauptung.
    \end{proof}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    \begin{enumerate}[a)]
        \item 
            \begin{enumerate}[(1)]
                \item Es ist
                    \[
                        f_1''(x) = 6x - 14 \implies f_1''(0) = -14 \neq 0
                    .\] Also erfüllt $f_1$ nicht die natürlichen Randbedingungen, also $f_1 \not\in S(X)$.
                \item Es gilt für $0 \le x < 1$:
                    \begin{salign*}
                        f_2(x) &= -\frac{1}{2} x^{3} \xrightarrow{x \to 1} -\frac{1}{2}\\
                        f_2'(x) &= -\frac{3}{2} x^2 \xrightarrow{x \to 1} - \frac{3}{2} \\
                        f_2''(x) &= - 3x \xrightarrow{x \to 1} -3 \text{ und } f_2''(0) = 0
                        \intertext{Für $1 \le x \le 2$ gilt:}
                        f_2(x) &= (x-1)^{3} -\frac{1}{2} x^{3} \implies f_2(1) = -\frac{1}{2} \\
                        f_2'(x) &= 3(x-1)^2 - \frac{3}{2} x^2 \implies f_2'(1) = -\frac{3}{2} \\
                        f_2''(x) &= 3x - 6 \implies f_2''(1) = -3 \text{ und } f_2''(2) = 0
                    .\end{salign*}
                    $f_2$ ist auf beiden Teilintervallen ein Polynom von Grad $3$ und damit
                    auf den Teilintervallen beliebig oft stetig differenzierbar. Außerdem
                    ist $f_2$ $2$ mal stetig differenzierbar an der Stelle $1$, also insgesamt
                    $f_2 \in C^{2}([0, 2])$. Die natürlichen Randbedingungen sind außerdem erfüllt, also
                    folgt $f_2 \in S(X)$.
                \item Es ist
                    \[
                        f_3''(x) = 6x - 2 \implies f_3''(0) = -2 \neq 0
                    .\] Also erfüllt $f_3$ nicht die natürlichen Randbedingungen, also $f_3 \not\in S(X)$.
            \end{enumerate}
        \item Der interpolierende Spline $s$ von $f(x) = x^{3}$ folgt mit der Darstellung der VL direkt
            als
            \[
                s(x) = \begin{cases}
                    1 + 4x + 4,5 x^2 + 1,5 x^{3} & x \in [0, 1) \\
                    8 + 8,5(x-1) - 1,5(x-1)^{3} & x \in [1,2]
                \end{cases}
            .\] 
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    Auszüge aus \textit{splines.cc}:
    \begin{lstlisting}[language=C++, title=Schneller Löser für tridiagonale Matrizen, captionpos=b]
template<typename REAL>
void solveTriDiag(hdnum::DenseMatrix<REAL> &A, std::vector<REAL> &x, std::vector<REAL> &b) {
    int N = b.size();
    x[0] = A[0][0];
    // LU Zerlegung
    REAL l;
    for (int j=1; j<N; j++) {
        // berechne l faktor
        l = A[j][j-1] / x[j-1];
        // modifiziere diagonalelemente und rechte seite
        x[j] = A[j][j] - l * A[j-1][j];
        b[j] = b[j] - l * b[j-1];
    }
    // Loesen durch Rueckwaertseinsetzen
    x[N-1] = b[N-1] / x[N-1];
    for (int j=N-2; j>=0; j--) {
        x[j] = (b[j] - A[j][j+1]*x[j+1])/x[j];
    }
}\end{lstlisting}
Implementation in einer Klasse \lstinline{CubicSpline}. Die Funktion \lstinline{getCubicSpline}
entspricht dem ersten Konstruktor.
\begin{lstlisting}[language=C++, title=Konstruktion und Auswertung eines kubischen Splines, captionpos=b]
template<typename REAL>
class CubicSpline {
    public:
        // erstelle einen kubischen spline mit vorgegebenen stuetzstellen
        // und werten
        CubicSpline(std::vector<REAL> xs, std::vector<REAL> ys) {
            calculateCoefficients(xs, ys);
        }

        // erstelle einen kubischen spline mit vorgegebenen stuetzstellen
        // und einer zu interpolierenden funktion
        CubicSpline(std::vector<REAL> xs, REAL(*f)(REAL)) {
            int N = xs.size();
            std::vector<double> ys(N);
            for (int i=0; i<N; i++) {
                ys[i] = f(xs[i]);
            }
            calculateCoefficients(xs, ys);
        }

        // erstelle einen kubischen spline an aequidistanten stuetzstellen
        // und einer zu interpolierenden funktion
        CubicSpline(REAL a, REAL b, int N, REAL(*f)(REAL)) {
            std::vector<double> xs(N+1);
            std::vector<double> ys(N+1);
            for (int i=0; i<=N; i++) {
                xs[i] = a + (1.0*i)/N*(b-a);
                ys[i] = f(xs[i]);
            }
            calculateCoefficients(xs, ys);
        }

        // werte kubischen spline an vorgegebener stelle aus
        REAL evaluate(REAL x) {
            for (int i=1; i<x_s.size(); i++) {
                if (x > x_s[i] && i < x_s.size() - 1) {
                    continue;
                } else {
                    return a_0[i-1] + a_1[i-1] *(x - x_s[i]) + a_2[i-1]*std::pow(x - x_s[i], 2) + a_3[i-1]*std::pow(x-x_s[i], 3);
                }
            }
            return 0;
        }

        // gebe alle interpolations polynome aus
        void print() {
            for(int i=0; i<x_s.size()-1; i++) {
                printf("p_%d(x) = %4.2f + %4.2f(x - %4.2f) + %4.2f(x - %4.2f)^2 + %4.2f(x - %4.2f)^3\n",
                       i, a_0[i], a_1[i], x_s[i], a_2[i], x_s[i], a_3[i], x_s[i]);
            }
        }

    private:
        // stuetzstellen
        std::vector<REAL> x_s;
        // koeffizienten
        std::vector<REAL> a_0;
        std::vector<REAL> a_1;
        std::vector<REAL> a_2;
        std::vector<REAL> a_3;

        void calculateCoefficients(std::vector<REAL> xs, std::vector<REAL> ys) {
            // stuetzstellen from x_0 ... to x_n
            int n = xs.size()-1;
            // copy stuetzstellen
            x_s = std::vector<double>(n+1);
            x_s = xs;
            // setup (n-1)x(n-1) matrix for a_2
            hdnum::DenseMatrix<REAL> A(n-1,n-1);
            std::vector<REAL> b(n-1);
            std::vector<REAL> x(n-1);
            REAL h; // h_i
            REAL h1; // h_{i+1}
            // setup LGS for a_2
            // A has tridiagonal structure
            for (int i = 1; i<n; i++) {
                h = xs[i] - xs[i-1];
                h1 = xs[i+1] - xs[i];
                b[i-1] = 3 * ((ys[i+1] - ys[i])/h1 - (ys[i] - ys[i-1])/h);
                if (i > 1) {
                    A[i-1][i-2] = h;
                } if (i < n-1) {
                    A[i-1][i] = h1;
                }
                A[i-1][i-1] = 2 * (h + h1);
            }
            // initialize vectors
            a_0 = std::vector<double>(n);
            a_1 = std::vector<double>(n);
            a_2 = std::vector<double>(n);
            a_3 = std::vector<double>(n);
            solveTriDiag(A,a_2,b);
            // natuerliche randbedingung
            a_2[n-1] = 0;
            // berechne restliche koeffizienten
            for (int i = 1; i<=n; i++) {
                h = xs[i] - xs[i-1]; // h_i
                h1 = xs[i+1] - xs[i]; // h_{i+1}
                a_0[i-1] = ys[i];
                if (i == 1) { // a_2[-1] = 0
                    a_1[i-1] = (ys[i] - ys[i-1])/h + (h/3)*(2*a_2[i-1]);
                    a_3[i-1] = (a_2[i-1])/(3*h);
                } else {
                    a_1[i-1] = (ys[i] - ys[i-1])/h + h/3*(2*a_2[i-1] + a_2[i-2]);
                    a_3[i-1] = (a_2[i-1] - a_2[i-2])/(3 * h);
                }
            }
        }
};\end{lstlisting}
\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[xtick=\empty, ytick=\empty]
            \addplot[purple] table {saurier.dat};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{Rekonstruktion des Sauriers}
    \label{fig:}
\end{figure}

\end{aufgabe}

\end{document}