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sose2022/bachelorarbeit/arbeit.cls

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sose2022/bachelorarbeit/arbeit.tex

@@ -1,6 +1,8 @@
 \documentclass{arbeit}
 
-\author{Christian Merten}
+\author{Christian Merten\\[1cm]
+{\small Betreuung durch: Prof. Dr. Alexander Schmidt,
+Dr. Marius Leonhardt, Dr. Katharina Hübner}}
 \title{Auflösung unbeschränkter Komplexe}
 \usepackage{tikz-cd}
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@@ -9,6 +11,13 @@
 
 %\newcommand{\smallbullet}{\tikz \draw (0,0) circle (1.5pt);}
 
+\renewenvironment{abstract}{
+  \vspace*{\fill}
+  \begin{center}%
+    \bfseries\abstractname
+  \end{center}}%
+  {\vfill}
+
 \newcommand{\com}[1]{#1^{\text{\scalebox{0.7}{\textbullet}}}}
 \newcommand{\K}{\mathcal{K}}
 %\newcommand{\colim}{\underset{\longrightarrow}{\text{colim }}}
@@ -46,19 +55,72 @@
 
 \begin{document}
 
-\maketitle
+\begin{titlepage}
+    \begin{center}
+        \vspace*{3cm}
+        \textsc{Bachelorarbeit} \\[1cm]
+        {
+            \LARGE
+            \textbf{Auflösung unbeschränkter Komplexe}
+        }
+
+        \vspace{2cm}
+        {
+        \large
+        \emph{Christian Merten}
+        }
+
+        {
+        \vspace{1cm}
+        Heidelberg, den \today.
+        }
+
+        \vfill
+
+        \small
+        \textsc{Betreuung durch}\\[5mm]
+        \begin{tabular}{c}
+            \emph{Prof. Dr. Alexander Schmidt} \\
+            \emph{Dr. Marius Leonhardt} \\
+            \emph{Dr. Katharina Hübner}
+        \end{tabular}
+    \end{center}
+\end{titlepage}
+
+\clearpage
+
+\selectlanguage{german}
+
+\pagenumbering{gobble}
 
 \begin{abstract}
-    Wir zeigen die Existenz der abgeleiteten $R\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$,
-    $R\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{N}) $ und $- \otimes_A^{L} \com{N}$, indem
-    für jeden Komplex von $R$-Moduln für einen Ring $R$, eine K-injektive und K-projektive
-    Auflösung konstruiert wird.
+    Wir geben eine Einführung in die Konstruktion von derivierten Kategorien und
+    abgeleiteten Funktoren. Danach konstruieren wir verschiedene Auflösungen
+    unbeschränkter Komplexe von Moduln über einem Ring und wenden dies
+    letztendlich an, um die Existenz der abgeleiteten Funktoren von Hom und Tensorprodukt
+    zu zeigen und das klassische Adjunktionsresultat auf die abgeleiteten Funktoren
+    zu übertragen.
 \end{abstract}
 
+\selectlanguage{english}
+\begin{abstract}
+    We give an introduction to the construction of derived categories and derived
+    functors. Then we construct various resolutions of unbounded
+    complexes of modules over a ring, which we finally apply to show
+    the existence of the derived functors of Hom and tensorproduct and to transfer the
+    classic adjunction to the derived functors.
+\end{abstract}
+
+\selectlanguage{german}
+
+\clearpage
+
 \tableofcontents
 
 \newpage
 
+\pagenumbering{arabic}
+
 \section{Einleitung}
 
 %Aus der kommutativen Algebra ist für einen kommutativen Ring $A$ und $A$-Moduln
@@ -71,7 +133,7 @@ $N$ die Adjunktion
 \[
     - \otimes_A N \dashv \operatorname{Hom}_A(N, -)
 \] bekannt. In der klassischen homologischen Algebra definiert man
-die Funktoren $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ und $\operatorname{Tor}_A^{i}(-, N)$, als
+die Funktoren $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ und $\operatorname{Tor}_A^{i}(-, N)$ als
 Ableitungen der Funktoren $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ und $- \otimes_A N$. Nun stellt sich
 die Frage, ob zwischen diesen ein analoges Adjunktionsresultat gilt.
 
@@ -93,10 +155,11 @@ folgte, dass $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ linksexakt sei. Die exakte Folge
 und $\operatorname{Ext}_{\Z}^{0}(\Z / 2 \Z, \Z) = \operatorname{Hom}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z) = 0$, also ist
 $\operatorname{Ext}_{\Z}^{1}(\Z / 2 \Z, \Z) \to \operatorname{Ext}^{1}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z)$ nicht injektiv.
 
-Es liegt also nahe, dass der klassische Ableitungsbegriff unvollständig ist. Um einen
-neuen und allgemeineren Ableitungsbegriff zu finden,
-betrachten wir wie klassische Ableitungen gebildet
-werden.
+Es liegt also nahe, dass der klassische Ableitungsbegriff unvollständig ist.
+Im \ref{sec:derived-cat}. Abschnitt wird deshalb ein allgemeinerer Ableitungsbegriff
+dargestellt.
+Um diesen zu finden,
+betrachtet man die Bildung von klassischen Ableitungen.
 %Konstruktion eines neuen Ableitungsbegriffs führt zum Begriff der derivierten Kategorie:
 %Sei $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie und sei $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ die Homotopiekategorie
 %von $\mathcal{A}$, das heißt die Kategorie, deren Objekte Komplexe aus $\mathcal{A}$ und
@@ -180,8 +243,9 @@ sehr schwer zu erfüllen und hängt durch $\mathcal{J}$ von dem konkreten Funkto
 hat das in seiner
 Arbeit ,,Resolution of unbounded complexes`` \cite{spaltenstein}
 für zahlreiche Funktoren unter wenigen Voraussetzungen
-an die beteiligten Kategorien gelöst. Die vorliegende Arbeit stellt sein Argument dar und
-wendet dies auf den Homfunktor und das Tensorprodukt an.
+an die beteiligten Kategorien gelöst. Die vorliegende Arbeit stellt im
+\ref{sec:resolutions}. Abschnitt sein Argument dar, um dies im \ref{sec:application}.
+Abschnitt auf den Homfunktor und das Tensorprodukt anzuwenden.
 
 Dafür erweitern wir die Funktoren $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ und $- \otimes_A N$ in natürlicher Weise
 zu Funktoren $\mathcal{K}(A\text{-Mod}) \to \mathcal{K}(A\text{-Mod})$, sodass die Erweiterungen,
@@ -275,7 +339,7 @@ Es wird schnell klar, dass ein exakter K-injektiver Komplex bereits der Nullkomp
 damit die Bedingung (1) erfüllt ist. Der schwierige Teil ist Bedingung (2) nachzuweisen.
 
 Zuänchst bemerken wir, dass nach unten beschränkte Komplexe mit injektiven Objekten
-K-injektiv sind. Klassisch ist ist bekannt, dass
+K-injektiv sind. Klassisch ist bekannt, dass
 jeder nach unten beschränkte Komplex eine Auflösung durch einen solchen Komplex hat. Für
 einen beliebigen (unbeschränkten) Komplex $\com{M} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ funktioniert die
 klassische, induktive Konstruktion jedoch nicht.
@@ -326,6 +390,8 @@ zurückführen.
 
 \section{Derivierte Kategorien und abgeleitete Funktoren}
 
+\label{sec:derived-cat}
+
 Seien $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ abelsche Kategorien und sei $F\colon \mathcal{A} \to 
 \mathcal{B}$ ein additiver Funktor. Das Ziel ist es in natürlicher Weise für jedes Objekt
 $X \in \mathcal{A}$ einen Komplex $\text{R}F(X)$ zu definieren, dessen Kohomologiegruppen,
@@ -1040,6 +1106,8 @@ $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ lassen sich explizit bestimmen:
 
 \section{K-injektive und K-projektive Auflösungen}
 
+\label{sec:resolutions}
+
 Sei $\com{Y} \in \mathcal{K}$.
 Um die Bedingungen von \ref{satz:existence-derived-functors} für
 $\com{\operatorname{Hom}}(\com{Y}, -)$ (bzw. $\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{Y})$)
@@ -2179,6 +2247,8 @@ Durch Umdrehen der Pfeile erhalten wir die duale Aussagen von
 
 \section{Ableitungen und Adjunktion}
 
+\label{sec:application}
+
 Sei $R$ ein Ring und im Folgenden $\mathcal{A}$ die Kategorie der $R$ (links-)Moduln.
 
 \subsection{Abgeleitete $\com{\operatorname{Hom}}$ Funktoren}