2 geänderte Dateien mit 0 neuen und 275 gelöschten Zeilen
BIN
ws2020/wtheo/uebungen/whteo1.pdf
Datei anzeigen
+ 0
- 275
ws2020/wtheo/uebungen/whteo1.tex
Datei anzeigen
| @@ -1,275 +0,0 @@ | |||
| \documentclass[uebung]{../../../lecture} | |||
| \title{Wtheo 0: Übungsblatt 1} | |||
| \author{Josua Kugler, Christian Merten} | |||
| \newcommand{\IP}{\mathbb{P}} | |||
| \usepackage[]{mathrsfs} | |||
| \begin{document} | |||
| \punkte | |||
| \begin{aufgabe} | |||
| \begin{enumerate}[(a)] | |||
| \item Seien $\mathcal{A}_i, i \in I$ $\sigma$-Algebren über $\Omega$. | |||
| Beh.: $\bigcap_{i \in I} \mathcal{A}_i$ $\sigma$-Algebra über $\Omega$. | |||
| \begin{proof} | |||
| \begin{enumerate}[(i)] | |||
| \item $\Omega \in \bigcap_{i \in I} \mathcal{A}_i$, denn | |||
| $\forall i \in I\colon \Omega \in \mathcal{A}_i$, da $\mathcal{A}_i$ $\sigma$-Algebra. | |||
| \item Sei $A \in \bigcap_{i \in I} \mathcal{A}_i$. Dann ist für $i \in I$: | |||
| $A \in \mathcal{A}_i$. Da $\mathcal{A}_i$ $\sigma$-Algebra, | |||
| ist $A^{c} \in \mathcal{A}_i$. Damit folgt | |||
| $A^{c} \in \bigcap_{i \in I} \mathcal{A}_i$. | |||
| \item Sei $A_j \in \bigcap_{i \in I} \mathcal{A}_i$ $\forall j \in \N$. Da | |||
| für alle $i \in I$, $\mathcal{A}_i$ $\sigma$-Algebra, ist | |||
| $\bigcap_{j \in \N} A_j \in \mathcal{A}_i$. Also auch | |||
| $\bigcap_{j \in \N} A_j \in \bigcap_{i \in I} \mathcal{A}_i$. | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{proof} | |||
| \item Beh.: Die Aussage ist falsch. | |||
| \begin{proof} | |||
| Es sei $\Omega \coloneqq \{ 0, 1, 2\} $, | |||
| $\mathcal{A}_1 \coloneqq \sigma(\{0\}) = \{ \Omega, \emptyset, \{0\} , \{1, 2\} \} $ und \\ | |||
| $\mathcal{A}_2 \coloneqq \sigma(\{2\} ) = \{\Omega, \emptyset, \{2\}, \{0, 1\} \} $. | |||
| Dann sind $\mathcal{A}_1$ und $\mathcal{A}_2$ nach VL $\sigma$-Algebren über $\Omega$, aber | |||
| $\mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2 = \{\Omega, \emptyset, \{0\} , \{2\} , \{1,2\} , \{0,1\} \} $ | |||
| nicht, da $\{0\} \cup \{2\} = \{0, 2\} \not\in \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2$. | |||
| \end{proof} | |||
| \item Sei $\mathcal{A}$ $\sigma$-Algebra über $\Omega$ und $f\colon \mathcal{X} \to \Omega$ Abbildung. | |||
| Beh.: $f^{-1}(\mathcal{A}) \coloneqq \{ f^{-1}(A) \colon A \in \mathcal{A}\} $ ist $\sigma$-Algebra. | |||
| \begin{proof} | |||
| \begin{enumerate}[(i)] | |||
| \item $\mathcal{X} \in f^{-1}(\mathcal{A})$, denn $f^{-1}(\Omega) = \mathcal{X}$. | |||
| \item Sei $B \in f^{-1}(\mathcal{A})$. Dann ex. ein $A \in \mathcal{A}$, s.d. | |||
| $f^{-1}(A) = B$. Da $\mathcal{A}$ $\sigma$-Algebra ist $A^{c} \in \mathcal{A}$. | |||
| Damit folgt | |||
| \[ | |||
| B^{c} = f^{-1}(A)^{c} = f^{-1}(A^{c}) \in f^{-1}(\mathcal{A}) | |||
| .\] | |||
| \item Seien $B_i \in f^{-1}(\mathcal{A})$ $\forall i \in \N$. Dann ex. $\forall i \in \N$ | |||
| ein $A_i \in \mathcal{A}$, s.d. $f^{-1}(A_i) = B_i$. Da | |||
| $\mathcal{A}$ $\sigma$-Algebra ist $\bigcup_{i \in \N} A_i \in \mathcal{A}$. | |||
| Damit folgt | |||
| \[ | |||
| \bigcup_{i \in \N} B_i = \bigcup_{i \in \N} f^{-1}(A_i) | |||
| = f^{-1} \left( \bigcup_{i \in \N} A_i \right) \in f^{-1}(\mathcal{A}) | |||
| .\] | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{proof} | |||
| \item Sei $T \subseteq \Omega$ mit $T \neq \emptyset$ und sei $\mathcal{A}$ $\sigma$-Algebra über | |||
| $\Omega$. Beh.: $A|_T \coloneqq \{ A \cap T \colon A \in \mathcal{A}\} $ $\sigma$-Algebra. | |||
| \begin{proof} | |||
| Betrachte die kanonische Inklusion $\iota \colon T \xhookrightarrow{} \Omega$. Dann | |||
| gilt | |||
| \begin{align*} | |||
| \iota^{-1}(\mathcal{A}) &= \{ \iota^{-1}(A) \colon A \in \mathcal{A}\} \\ | |||
| &= \{ \{ x \in T \colon \iota(x) \in A \} \colon A \in \mathcal{A}\} \\ | |||
| &= \{ \{ x \in T \colon x \in A \} \colon A \in \mathcal{A}\} \\ | |||
| &= \{ A \cap T \colon A \in \mathcal{A}\} | |||
| .\end{align*} | |||
| Damit folgt die Behauptung mit (c). | |||
| \end{proof} | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{aufgabe} | |||
| \begin{aufgabe} | |||
| Sei $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ Wahrscheinlichkeitsraum und $A, B, A_n \in \mathcal{A}$ für | |||
| $n \in \N$. | |||
| \begin{enumerate}[(a)] | |||
| \item Beh.: $A \subseteq B \implies \mathbb{P}(A) \le \mathbb{P}(B)$. | |||
| \begin{proof} | |||
| Sei $A \subseteq B$. Dann ist | |||
| \begin{salign*} | |||
| \mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(A \cupdot B \setminus A) | |||
| &\stackrel{\sigma \text{-Additivität}}{=} \mathbb{P}(A) + | |||
| \underbrace{\mathbb{P}(B \setminus A)}_{\ge 0} \ge \mathbb{P}(A) | |||
| .\end{salign*} | |||
| \end{proof} | |||
| \item Beh.: $| \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(B)| \le \mathbb{P}(A \triangle B)$. | |||
| \begin{proof} | |||
| Es ist zunächst | |||
| \begin{salign*} | |||
| \mathbb{P}(A \triangle B) &= \mathbb{P}(A \setminus B \cupdot B \setminus A) \\ | |||
| &\stackrel{\sigma \text{-Additivität}}{=} \mathbb{P}(A \setminus B) + \mathbb{P}(B \setminus A) \\ | |||
| &= \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(A \cap B) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B) \\ | |||
| \intertext{ | |||
| Sei o.E. $\mathbb{P}(A) \ge \mathbb{P}(B)$ (sonst analog durch Hinzufügen von | |||
| $\mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(A)$). Dann folgt} | |||
| \mathbb{P}(A \triangle B) &= \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(B) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B) \\ | |||
| &= |\mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(B)| + \underbrace{2 \mathbb{P}(B \setminus A)}_{\ge 0} \\ | |||
| &\ge | \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(B)| | |||
| .\end{salign*} | |||
| \end{proof} | |||
| \item Beh.: $\mathbb{P}(\bigcup_{k \in \N} A_k) \le \sum_{k=1}^{\infty} \mathbb{P}(A_k)$. | |||
| \begin{proof} | |||
| Betrachte $B_n \coloneqq A_n \setminus \left(\bigcup_{k=1}^{n-1}A_k\right)$. Dann | |||
| ist $\forall n \in \N: B_n \subseteq A_n$ also mit (a) $\mathbb{P}(B_n) \le \mathbb{P}(A_n)$. | |||
| Damit folgt | |||
| \begin{salign*} | |||
| \mathbb{P}\left( \bigcup_{n \in \N} A_n \right) | |||
| = \mathbb{P}\left( \bigcupdot_{n \in \N} B_n \right) | |||
| &\stackrel{\sigma \text{Additivität}}{=} | |||
| \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(B_n) \le \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(A_n) | |||
| .\end{salign*} | |||
| \end{proof} | |||
| \item Beh.: $A_n \subseteq A_{n+1} \forall n \in \N \implies \mathbb{P}(\bigcup_{n \in \N} A_n) | |||
| = \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(A_n)$. | |||
| \begin{proof} | |||
| Sei $A_n \subseteq A_{n+1}$ $\forall n \in \N$. Betrachte | |||
| $B_n \coloneqq A_n \setminus \left( \bigcup_{k=1}^{n-1} A_k \right) $. Da $A_n$ monoton | |||
| wachsend, ist für $n \ge 2\colon B_n = A_n \setminus A_{n-1}$. Damit folgt | |||
| \begin{salign*} | |||
| \mathbb{P}(\bigcup_{n \in \N} A_n) &= \mathbb{P}\left( \bigcupdot_{n \in \N} B_n \right)\\ | |||
| &\stackrel{\sigma \text{Additivität}}{=} \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(B_n) \\ | |||
| &= \mathbb{P}(B_1) + \sum_{n=2}^{\infty} \left( \mathbb{P}(A_n) - \mathbb{P}(A_n \cap A_{n-1}) \right) \\ | |||
| &\stackrel{A_n \subseteq A_{n+1}}{=} | |||
| \mathbb{P}(B_1) + \sum_{n=2}^{\infty} \left( \mathbb{P}(A_n) - \mathbb{P}(A_{n-1}) \right) \\ | |||
| &\stackrel{\text{Teleskopsumme}}{=} \mathbb{P}(B_1) - \mathbb{P}(A_1) + \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(A_n) \\ | |||
| &\stackrel{B_1 = A_1}{=} \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(A_n) | |||
| .\end{salign*} | |||
| \end{proof} | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{aufgabe} | |||
| \begin{aufgabe} | |||
| Sei $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. | |||
| \begin{enumerate}[(a)] | |||
| \item Der Induktionsanfang ist offensichtlich wahr, $\IP(A_1) = (-1)^0 \cdot \IP(A_1)$. Gelte die Behauptung also für ein $n\in \N$. Dann folgern wir | |||
| \begin{align*} | |||
| \IP\left(\bigcup_{j=1}^{n+1} A_j\right) =& \IP\left(\bigcup_{j=1}^{n} A_j\right) + \IP(A_{n+1}) - \IP\left(\bigcup_{j=1}^{n} A_j \cap A_{n+1}\right)\\ | |||
| =& \sum_{j = 1}^{n} \left((-1)^{j-1} \cdot \sum_{\{k_1, \dots, k_n\} \subset \{1,\dots, n\}} \IP(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_j})\right) + \IP(A_{n+1})\\ | |||
| &- \IP\left(\bigcup_{j=1}^{n} (A_j \cap A_{n+1})\right)\\ | |||
| =& \sum_{j = 1}^{n} \left((-1)^{j-1} \cdot \sum_{\{k_1, \dots, k_n\} \subset \{1,\dots, n\}} \IP(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_j})\right) + \IP(A_{n+1})\\ | |||
| &- \sum_{j = 1}^{n} \left((-1)^{j-1} \cdot \sum_{\{k_1,\dots, k_j\} \subset \{1,\dots, n\}} \IP((A_{k_1} \cap A_{n+1}) \cap \dots \cap (A_{k_j} \cap A_{n+1}))\right)\\ | |||
| =& \sum_{j = 1}^{n} \left((-1)^{j-1} \cdot \sum_{\{k_1, \dots, k_n\} \subset \{1,\dots, n\}} \IP(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_j})\right) + \IP(A_{n+1})\\ | |||
| &- \sum_{j = 1}^{n} \left((-1)^{j-1} \cdot \sum_{\{k_1, \dots, k_j\} \subset \{1,\dots, n\}} \IP(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_j} \cap A_{n+1})\right)\\ | |||
| =& \sum_{j = 1}^{n} \left((-1)^{j-1} \cdot \sum_{\substack{\{k_1, \dots, k_n\} \subset \{1,\dots, n+1\}\\\forall i\colon k_i \neq n+1}} \IP(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_j})\right) + \IP(A_{n+1})\\ | |||
| &+ \sum_{j = 2}^{n+1} \left((-1)^{j-1} \cdot \sum_{\substack{\{k_1, \dots, k_j\} \subset \{1,\dots, n+1\}\\\exists i\colon k_i = n+1}} \IP(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_j})\right)\\ | |||
| =& \sum_{j = 1}^{n} \left((-1)^{j-1} \cdot \sum_{\substack{\{k_1, \dots, k_n\} \subset \{1,\dots, n+1\}\\\forall i\colon k_i \neq n+1}} \IP(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_j})\right)\\ | |||
| &+ \sum_{j = 1}^{n+1} \left((-1)^{j-1} \cdot \sum_{\substack{\{k_1, \dots, k_j\} \subset \{1,\dots, n+1\}\\\exists i\colon k_i = n+1}} \IP(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_j})\right)\\ | |||
| \end{align*} | |||
| Für $j = n+1$ gilt $\{k_1,\dots, k_j\} = \{1,\dots, n+1\}$. Daher können wir die beiden Summen im letzten Schritt einfach zusammenfassen und erhalten | |||
| \[ | |||
| \IP\left(\bigcup_{j=1}^{n+1} A_j\right) = \sum_{j = 1}^{n+1} \left((-1)^{j-1} \cdot \sum_{\{k_1, \dots, k_n\} \subset \{1,\dots, n\}} \IP(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_j})\right), | |||
| \] | |||
| was zu zeigen war. | |||
| % \item Sei $n \in \N$ und $A_1, \ldots, A_n \in \mathcal{A}$. | |||
| % Beh.: | |||
| % \[ | |||
| % \mathbb{P}\left( \bigcup_{j=1}^{n} A_n \right) | |||
| % = \sum_{j=1}^{n} \left( (-1)^{j-1} \cdot \sum_{\{k_1, \ldots, k_j\} \subseteq \{1, \ldots, n\} } | |||
| % \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \ldots \cap A_{k_j}) \right) | |||
| % .\] | |||
| % \begin{proof} | |||
| % Per Induktion über $n$. Sei $n=1$: Dann ist $\mathbb{P}(\bigcup_{j=1}^{1} A_j) = \mathbb{P}(A_1)$. | |||
| % Sei nun $n \in \N$ und Behauptung gezeigt für $k \le n$. Dann gilt | |||
| % \begin{salign*} | |||
| % \mathbb{P}\left( \bigcup_{j=1}^{n+1} A_j \right) | |||
| % =& \mathbb{P}\left(\bigcup_{j=1}^{n} A_j \cup A_{n+1}\right) \\ | |||
| % \stackrel{(*)}{=}& \mathbb{P}\left( \bigcup_{j=1}^{n} A_j \right) | |||
| % + \mathbb{P}(A_{n+1}) - \mathbb{P}\left( \bigcup_{j=1}^{n} A_j \cap A_{n+1} \right) \\ | |||
| % \stackrel{\text{I.V.}}{=}& | |||
| % \sum_{j=1}^{n} \left( (-1)^{j-1} \sum_{\{k_1, \ldots, k_j\} \subseteq \{1, \ldots, n\}} | |||
| % \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \ldots \cap A_{k_j})\right) | |||
| % + \mathbb{P}(A_{n+1}) \\ | |||
| % &- \sum_{j=1}^{n} \left( (-1)^{j-1} \sum_{\{k_1, \ldots, k_j\} \subseteq \{1, \ldots, n\} } | |||
| % \mathbb{P}(A_{k_1} \cap A_{n+1} \cap \ldots \cap A_{k_j} \cap A_{n+1}) \right) \\ | |||
| % =& \sum_{j=1}^{n+1} \left( (-1)^{j-1} \sum_{\{k_1, \ldots, k_j\}\subseteq \{1, \ldots, n\} } | |||
| % \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \ldots \cap A_{k_j})\right) | |||
| % .\end{salign*} | |||
| % \end{proof} | |||
| \item Beh.: Die Wahrscheinlichkeit für $n \to \infty$ ist $1 - \frac{1}{e}$. | |||
| \begin{proof} | |||
| Setze $\Omega \coloneqq \{ (g_1, \ldots, g_n) \mid g_1, \ldots, g_n \in \{1, \ldots, n\}, | |||
| g_i \neq g_j \text{ für } i \neq j\} $. Dabei bezeichnet ein Ergebnis | |||
| $(g_1, \ldots, g_n) \in \Omega$: ,,Roter Marsmensch $i$ tanzt mit grünem Marsmensch $g_i$ | |||
| für $i \in \{1, \ldots, n\} $''. Die ursprüngliche Paarung | |||
| sei dabei $(1, 2, \ldots, n) \in \Omega$. | |||
| Es folgt direkt $\# \Omega = n!$. | |||
| Definiere weiter | |||
| \begin{align*} | |||
| \mathbb{P}\colon 2^{\Omega} &\to [0,1] \\ | |||
| A &\mapsto \frac{\#A}{n!} | |||
| .\end{align*} | |||
| Wegen $\mathbb{P}(\Omega) = \frac{n!}{n!} = 1$ und $\mathbb{P}(\emptyset) = 0$ | |||
| ist $(\Omega, 2^{\Omega}, \mathbb{P})$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. | |||
| Damit ist für $i \in \{1, \ldots, n\} $: | |||
| \begin{align*} | |||
| A_i &= \text{,,Roter Marmensch }i\text{ tanzt mit der ursprünglichen Begleitung zusammen''} \\ | |||
| &= \{ (g_1, \ldots, g_n) \in \Omega \mid g_i = i\} | |||
| .\end{align*} | |||
| Sei $A_n =$ ,,Mindestens ein ursprüngliches von insgesamt $n$ Paaren tanzt gemeinsam ''. | |||
| Damit folgt | |||
| \begin{salign*} | |||
| \mathbb{P}(A_n) &= \mathbb{P}\left( \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right) \\ | |||
| &\stackrel{\text{(a)}}{=} \sum_{j=1}^{n} \left((-1)^{j-1} | |||
| \sum_{\{k_1, \ldots, k_j\} \subseteq \{1, \ldots, n\} } \mathbb{P}(A_k \cap \ldots \cap A_{k_j}) \right) \\ | |||
| &= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{j-1} \binom{n}{j} \frac{(n-j)!}{n!} \\ | |||
| &= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{j-1} \frac{n!}{(n-j)! j!} \frac{(n-j)!}{n!} \\ | |||
| &= \sum_{j=1}^{n} \frac{(-1)^{j-1}}{j!} \\ | |||
| \intertext{Für $n \to \infty$ folgt} | |||
| \mathbb{P}(A_{\infty}) &= \sum_{j=1}^{\infty} \frac{(-1)^{j-1}}{j!} \\ | |||
| &= - \left( \sum_{j=1}^{\infty} \frac{(-1)^{j}}{j!} \right) \\ | |||
| &= - \left( \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^{j}}{j!} - 1 \right) \\ | |||
| &= - \left( \frac{1}{e} - 1 \right) \\ | |||
| &= 1 - \frac{1}{e} | |||
| .\end{salign*} | |||
| \end{proof} | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{aufgabe} | |||
| \begin{aufgabe} | |||
| Sei $(\R, \mathscr{B}, \mathbb{P})$ Wahrscheinlichkeitsraum und | |||
| $\mathbb{F}\colon \R \to [0,1]$, $\mathbb{F}(x) \coloneqq \mathbb{P} ((-\infty, x])$ für $x \in \R$. | |||
| \begin{enumerate}[(a)] | |||
| \item Beh.: $\mathbb{F}$ monoton wachsend. | |||
| \begin{proof} | |||
| Seien $x_1, x_2 \in \R$ mit $x_1 \le x_2$. Dann ist | |||
| $(-\infty, x_1] \subseteq (-\infty, x_2]$. Mit 2(a) folgt damit | |||
| $\mathbb{F}(x_1) = \mathbb{P}((-\infty, x_1]) \le \mathbb{P}((-\infty, x_2]) = \mathbb{F}(x_2)$. | |||
| \end{proof} | |||
| \item Beh.: $\lim_{x \to \infty} \mathbb{F}(x) = \R$. | |||
| \begin{proof} | |||
| Sei $(x_n)_{n \in \N}$ Folge mit $x_n \xrightarrow{n \to \infty} \infty$. Dann ist | |||
| $A_n \coloneqq \bigcup_{j=1}^{n} (-\infty, x_n]$ monoton wachsende Folge | |||
| mit $A_n \uparrow \R$. Damit folgt da $\mathbb{P}$ Wahrscheinlichkeitsmaß | |||
| \[ | |||
| \lim_{n \to \infty} \mathbb{F}(x_n) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(A_n) | |||
| \; \stackrel{\text{2(d)}}{=} \;\mathbb{P}(\R) = 1 | |||
| .\] | |||
| \end{proof} | |||
| Beh.: $\lim_{x \to -\infty} \mathbb{F}(x) = 0$. | |||
| \begin{proof} | |||
| Analog, betrachte nun $A_n \coloneqq \bigcap_{j=1}^{n} (-\infty, x_n] \downarrow \emptyset$. | |||
| \end{proof} | |||
| \item Beh.: $\mathbb{F}$ rechtsseitig stetig. | |||
| \begin{proof} | |||
| Sei $(x_n)_{n \in \N}$ in $\R$ mit $x_n \downarrow x$. Dann betrachte | |||
| $A_n \coloneqq (-\infty, x_n]$. Es gilt sofort $A_n \downarrow | |||
| \bigcap_{k \in \N} (-\infty, x_k] = (-\infty, x]$. Damit folgt | |||
| \[ | |||
| \lim_{n \to \infty} \mathbb{F}(x_n) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(A_n) | |||
| \stackrel{\text{2(d)}}{=} \mathbb{P}((-\infty, x]) = \mathbb{F}(x) | |||
| .\] | |||
| \end{proof} | |||
| \item Beh.: $\mathbb{F}$ hat höchstens abzählbar viele Sprungstellen. | |||
| \begin{proof} | |||
| Sei $a \in \R$ beliebig. Dann betrachte | |||
| \begin{salign*} | |||
| \lim_{x \searrow a} \mathbb{F}(x) - \lim_{x \nearrow a} \mathbb{F}(x) | |||
| &\stackrel{\text{(c) und Hinweis}}{=} \mathbb{P}((-\infty, a]) | |||
| - \mathbb{P}((-\infty, a)) \\ | |||
| &= \mathbb{P}((-\infty, a]) - \mathbb{P}((-\infty, a] \cap (-\infty, a)) \\ | |||
| &= \mathbb{P}((-\infty, a] \setminus (-\infty, a)) \\ | |||
| &= \mathbb{P}( \{ a\} ) | |||
| .\end{salign*} | |||
| Die Sprungstellen von $F$ sind also gerade die Atome von $\mathbb{P}$. Da $\mathbb{P}$ | |||
| nach VL nur höchstens abzählbar viele Atome auf $\R$ hat, folgt die Behauptung. | |||
| \end{proof} | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{aufgabe} | |||
| \end{document} | |||