update ana10 and 11

ws2019/ana/lectures/analysis10.tex

@@ -6,10 +6,16 @@
 
 \begin{document}
 
-Sorry für die Verspätung..
-
-Rechenregeln für komplexe Zahlen
-(siehe Übungsblatt)
+\begin{bem}Rechenregeln für komplexe Zahlen
+    \begin{enumerate}
+        \item $\overline{z_1+z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$, $\overline{z_1z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$, $\overline{\overline{z}} = z$ 
+        \item $\text{Re}(z) = \frac{1}{2}(z + \overline{z})$, $\text{Im}(z) = \frac{i}{2}(z-\overline{z})$
+        \item $|z| \ge 0$ und $|z| = 0 \iff z = 0$
+        \item $|\overline{z}| = |z|$
+        \item $|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$
+        \item $|z_1+z_2| \le |z_1| + |z_2|$, $|z_1-z_2| \ge | |z_1| - |z_2| |$
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
 
 Reelle Zahlen: $z \in \R \iff \text{Im}(z) = 0 \iff z = \overline{z}$
  

ws2019/ana/lectures/analysis11.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\documentclass{lecture}
+\documentclass{../../../lecture}
 
 \begin{document}
 
@@ -36,6 +36,126 @@ Zahlen, weile streng monoton wächst, d.h. $n_1 < n_2 < \ldots.$ bzw. $n_k < n_{
         \item In Def. kann auch $\le \epsilon$ und statt $\epsilon$ kann man $\frac{1}{N}$ für beliebig große $N \in \N$ schreiben.
     \end{enumerate}
 \end{bem}
-Bald ist mein Akku leer :/
+
+\begin{satz}
+    Eine Folge $(a_n)_{n\in\N} \in \R$ ist genau dann konvergent, wenn sie Cauchy-Folge ist, d.h.
+    $\forall \epsilon > 0 \quad \exists n_\epsilon \in \N$, s.d. $\forall n, m \ge n_\epsilon$ gilt:
+    $|a_n - a_m| < \epsilon$.
+\end{satz}
+
+\begin{satz}[Eindeutigkeit des Limes]
+    Sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine Folge in  $\R$ und $a, a' \in \R$ mit $\lim_{n \to \infty} a_n = a$ und
+    $\lim_{n \to \infty} a_n = a'$, dann gilt $a = a'$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof} Angenommen $a \neq a'$. Definiere $\epsilon := \frac{|a - a'|}{2} > 0$.
+
+    Dann $\exists n_1,n 2 \in \N$ mit $|a_n - a| < \epsilon \quad \forall n \ge n_1$
+    und $|a_n - a'| < \epsilon \quad \forall n \ge n_2$.
+
+    Dann $\forall n \ge \text{max}\{n_1, n_2\}$ gilt:
+    \begin{align*}
+        |a - a'| = |a - a_n + a_n -a'| \le |a-a_n| + |a_n - a'| < \epsilon + \epsilon = | a - a'|
+    .\end{align*}
+    $\implies |a - a'| < |a - a'|$. Widerspruch $\implies a = a'$
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+    Konvergente Folgen sind beschränkt.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Sei $(a_n)_{n\in\N}$ mit $a_n \to a, n \to \infty, a \in \R$.
+
+    Wähle $\epsilon = 1$. Dann $\exists n_\epsilon \in \N$ mit $|a_n - a| < 1 \quad \forall n \ge n_\epsilon$.
+
+    Dann gilt $\forall n \ge n_\epsilon$:
+    \begin{align*}
+        |a_n| = |a_n - a + a | \le |a_n - a| + |a| \le 1 + |a|
+    .\end{align*}
+    \[
+        \implies |a_n| \le \left(\max_{k = 1,\ldots, n_\epsilon} |a_k|\right) + |a| + 1 \quad \forall n \in \N
+    .\] 
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Konvergenz und Nullfolgen]
+    Eine Nullfolge ist eine Folge, die gegen Null konvergiert. Sei $(a_n)_{n\in\N}$ Folge mit
+    $\lim_{n \to \infty} a_n = a$.
+
+    Dann sind äquivalent:
+    \begin{enumerate}
+        \item $a_n \to a, n \to \infty$
+        \item $(a_n - a) \to 0$
+        \item $|a_n - a| \to 0$
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    durch Behauptung.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Konvergenz von Teilfolgen]
+    Teilfolgen einer gegen $a \in \R$ konvergierenden Folge konvergieren ebenfalls gegen $a \in \R$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    trivial.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Einschließungskriterium (Sandwich)]
+    Seien $(a_n)_{n\in\N}$, $(b_n)_{n\in\N}$, $(c_n)_{n\in\N}$ Folgen \\
+    mit $\lim_{n \to \infty} a_n = a$, $\lim_{n \to \infty} b_n = b$ und $\lim_{n \to \infty} c_n = c$.
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Falls $a_n \le c_n \quad \forall n \in \N \implies a \le c$.
+        \item Falls $a = c$ und $a_n \le b_n \le c_n \quad \forall n \in \N \implies b = a \implies \lim_{n \to \infty} b_n = a$
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Sei $\epsilon > 0$.
+    \begin{enumerate}
+        \item $\exists n_\epsilon \in \N$ mit $|a_n - a| < \frac{\epsilon}{2}$ und
+            $|c_n - c| < \frac{\epsilon}{2} \quad \forall n \ge n_\epsilon$.
+
+            Dann: $a - c \le a - (a_n - c_n) - c \le |a-a_n| + |c_n - c| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \quad \forall n \ge n_\epsilon$ \\
+            $\implies \forall \epsilon > 0$ gilt $a - c < \epsilon \implies a - c \le 0$
+    \item $\exists n_\epsilon \in \N$ mit $|a_n - a| < \epsilon$ und $|c_n - a| < \epsilon \quad \forall n \ge n_\epsilon$ 
+
+        Dann gilt $\forall n \ge n_\epsilon$ und wegen $|a_n| \le  |b_n| \le |c_n|$:
+        \[
+        - \epsilon < - |a_n - a| \le a_n - a \le b_n - a \le c_n - a \le |c_n - a| < \epsilon
+        .\] $\implies -\epsilon < b_n - a < \epsilon \implies |b_n - a| < \epsilon \quad \forall n \ge n_\epsilon$ \\
+        $\implies \lim_{n \to \infty} b_n = a$
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Rechenregeln für konvergente Folgen]
+    Seien $(a_n)_{n\in\N}$, $(b_n)_{n\in\N}$ mit $\lim_{n \to \infty} a_n = a$ und $\lim_{n \to \infty} b_n = b$.
+    Dann gilt:
+    \begin{enumerate}
+        \item $\lim_{n \to \infty} |a_n| = |a|$
+        \item $\lim_{n \to \infty} (\lambda a_n + \mu b_n) = \lambda a + \mu b \quad \forall \lambda, \mu \in \R$
+        \item $\lim_{n \to \infty} a_n b_n = a b$
+        \item Falls $b \neq 0$, gilt $b_n \neq 0$ für fast alle $n \in \N$ und
+            $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b}$.
+        \item Falls $a_n \ge 0 \quad \forall n \in \N \implies a \ge 0$ und $(a_n)^{\frac{1}{k}} \to a^{\frac{1}{k}}, n \to \infty$.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    durch Zurückblättern.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[monoton + beschränkt $\implies$ konvergent]
+    Eine monoton wachsende (fallende) nach oben (unten) beschränkte Folge konvergiert
+    gegen ihr Supremum:
+    \[
+    \sup_{n \in \N} a_n := \sup \{a_n | n \in \N\} = \min \{c \in \R | a_n \le c\} 
+    .\] bzw. ihr Infimum:
+    \[
+    \inf_{n \in \N} a_n := \inf \{a_n  \mid n \in \N\} = \max \{c \in \R  \mid a_n \ge  c\} 
+    .\] 
+\end{satz}
 
 \end{document}