fix ana7

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@@ -9,11 +9,11 @@
 
 \begin{aufgabe}
     \begin{enumerate}[(a)]
-        \item $f\colon R^2 \to \R$, $f(x,y) = e^{x} \cos(y) + \ln(1+y^2)$. Dann gilt
+        \item $f\colon \R^2 \to \R$, $f(x,y) = e^{x} \cos(y) + \ln(1+y^2)$. Dann gilt
             \[
                 \nabla f = \begin{pmatrix} e^{x} \cos(y) \\ -e^{x} \sin(y) + \frac{2y}{1+y^2} \end{pmatrix} 
             .\] 
-        \item $f\colon R^2 \to R$ mit
+        \item $f\colon \R^2 \to \R$ mit
             \[
                 f(x,y) = \begin{cases}
                     xy \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} & (x,y) \neq (0,0) \\
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                     \frac{\partial^2f(0,0)}{\partial y \partial x}
                     &= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial x}(0,h) - \frac{\partial f}{\partial x}(0)}{h}
                     = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial y}(0,h)}{h}
-                    = - \frac{h^{5}}{h h^{4} } = -1
+                    = - \frac{h^{5}}{h h^{4} } = -1 \\
+                    \frac{\partial^2f(0,0)}{\partial x \partial x}
+                    &= 0
+                    \\
+                    \frac{\partial^2f(0,0)}{\partial y \partial y}
+                    &= 0
                 .\end{salign*}
                 Also existieren die zweiten partiellen Ableitungen auf ganz $\R^2$, aber es gilt
                 \[
@@ -67,14 +72,14 @@
             \begin{proof}
                 Es gilt für $(x,y) \neq (0,0)$:
                 \begin{align*}
-                \frac{\partial f}{\partial x \partial y}
+                \frac{\partial f^2}{\partial x \partial y}
                 = \frac{x^{6} + 9x^{4}y^2 - 9x^2y^{4} - y^{6}}{(x^2 + y^2)^{3}}
                 .\end{align*}
                 Mit $(x,y)_n = \left( \frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right) $ gilt
                 $(x,y)_n \xrightarrow{n \to \infty} (0,0)$, aber
                 \begin{align*}
-                    \frac{\partial f}{\partial x \partial y}(x,y)_n
-                    = \frac{\frac{1}{n^{6}} + \frac{9}{n^{6}} - \frac{9}{n^{6}} - \frac{1}{n^{6}}}{\frac{8}{n^{6}}} = 0 \neq 1 = \frac{\partial f}{\partial x \partial y} (0,0)
+                    \frac{\partial f^2}{\partial x \partial y}(x,y)_n
+                    = \frac{\frac{1}{n^{6}} + \frac{9}{n^{6}} - \frac{9}{n^{6}} - \frac{1}{n^{6}}}{\frac{8}{n^{6}}} = 0 \neq 1 = \frac{\partial f^2}{\partial x \partial y} (0,0)
                 .\end{align*}
             \end{proof}
             Der Satz von Schwarz für ein $x \in D$ gilt nur, wenn $f$ 2-mal stetig
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                     \frac{\partial f}{\partial v} (0, 0) = \lim_{t \searrow 0} 
                     \frac{f(tv) - f(0)}{t}
                     = \lim_{t \searrow 0} \frac{f(tv)}{t}
-                    = \lim_{t \searrow 0} \frac{v_xv_y^2}{v_x^2 + \frac{1}{t^2}v_y^{4}} = \frac{v_y^2}{v_x}
+                    = \lim_{t \searrow 0} \frac{v_xv_y^2}{v_x^2 + \frac{1}{t^2}v_y^{4}}% = \frac{v_y^2}{v_x}
+                    =
+                    \begin{cases}
+                        0 & v_x = 0 \\
+                        \frac{v_y^2}{v_x} & v_x \neq 0
+                    \end{cases}
                 .\end{salign*}
                 Also existieren alle Richtungsableitungen in $(x,y) = (0,0)$.
             \end{proof}
-        \item $f\colon R^2 \to \R$ mit
+        \item $f\colon \R^2 \to \R$ mit
             \[
                 f(x,y) = \begin{cases}
                     (x^2 + y^2) \sin\left( \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2} } \right) & (x,y) \neq (0,0) \\
@@ -158,7 +168,7 @@
 \end{aufgabe}
 
 \begin{aufgabe}
-    Sei $D \coloneqq \R^2 \setminus \{ (x_1, x_2)^{T}  \mid x_2 \le 0 \text{ oder } x_1x_2 = k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in \Z\} $, $f\colon D \to \R^2$ und $g \colon R^2 \to \R^2$ mit
+    Sei $D \coloneqq \R^2 \setminus \{ (x_1, x_2)^{T}  \mid x_2 \le 0 \text{ oder } x_1x_2 = k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in \Z\} $, $f\colon D \to \R^2$ und $g \colon \R^2 \to \R^2$ mit
     \[
         f(x_1, x_2) = \begin{pmatrix} x_1 \ln(x_2) \\ \tan(x_1, x_2) \end{pmatrix},
         \quad g(y_1, y_2) = \begin{pmatrix} y_1^2 \\ y_2^2 \end{pmatrix}