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| \documentclass{../../../lecture} | |||
| \usepackage[]{subcaption} | |||
| \begin{document} | |||
| \begin{satz}[Satz von Taylor] | |||
| Jede Funktion $f \in C^{n+1}(D,\R)$ lässt sich für | |||
| $x, x_0 \in D$ nach Potenzen von $(x-x_0)$ | |||
| entwickeln: | |||
| \begin{align*} | |||
| f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2 + \ldots + f^{(n)}(x_0)\frac{(x - x_0)^{n}}{n!} + R_{n+1}(x) | |||
| .\end{align*} Dabei ist das Restglied $R_{n+1}(x)$: | |||
| \begin{align*} | |||
| R_{n+1}(x) = f^{(n+1)}(\xi) \frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!} | |||
| .\end{align*} mit $\xi$ ein Punkt zwischen $x_0$ und $x$ | |||
| ($\xi = x_0 + \tau(x-x_0)$, $\tau \in (0,1)$). | |||
| Der Ausdruck | |||
| \[ | |||
| T_n(x) = T_{n}(f, x, x_0) := \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^{k} | |||
| .\] heißt Taylorpolynom $n$-ter Ordnung von $f$ bei $x_0$. | |||
| \end{satz} | |||
| \begin{proof} | |||
| Für $x = x_0$: klar. | |||
| Sei $x \neq x_0$. Betrachte $R = R(x, x_0)$ definiert durch | |||
| $f(x) = T_N(f, x, x_0) + \frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot R$. | |||
| Für $y \in D$ definiere | |||
| \[ | |||
| \varphi(y) := f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(y)}{k!}(x-y)^{k} - \frac{(x-y)^{n+1}}{(n+1)!}R | |||
| .\] | |||
| Dann folgt $\varphi(x_0) = 0 = \varphi(x)$, $\varphi \in C^{1}$.\\ | |||
| $\stackrel{\text{Satz von Rolle}}{\implies}$ $\exists \xi$ zwischen $x$ und $x_0$ mit $\varphi'(\xi) = 0$. | |||
| \begin{align*} | |||
| 0 = \varphi'(\xi) &= - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k+1)}(\xi)}{k!} (x-\xi)^{k} | |||
| - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(\xi)}{k!}k(x-\xi)^{k-1}(-1) | |||
| - \frac{(n+1)(x-\xi)^{n}}{(n+1)!} R \\ | |||
| &\stackrel{\mathclap{\text{Teleskop}}}{=} \quad - \frac{f^{n+1}(\xi)}{n!}(x-\xi)^{n} + \frac{(x-\xi)^{n}}{n!} R \\ | |||
| &= \frac{(x-\xi)^{n}}{n!} \left( - f^{(n+1)}(\xi) + R \right) | |||
| .\end{align*} $\implies R = f^{(n+1)}(\xi)$, $\xi$ zwischen $x$ und $x_0$. | |||
| \end{proof} | |||
| \begin{satz} | |||
| Sei $f$ auf einem beschränkten Intervall $(a,b)$ eine | |||
| $C^{\infty}$ Funktion mit gleichmäßig beschränkten Ableitungen. | |||
| \[ | |||
| \sup_{x \in (a,b)} \left| f^{(n)}(x) \right| \le M < \infty | |||
| .\] Dann ist $f$ auf $(a,b)$ analytisch, d.h. | |||
| $\forall x, x_0 \in (a,b)$ konvergiert die Taylor-Reihe von $f$ und | |||
| es gilt: | |||
| \[ | |||
| f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^{k} | |||
| .\] | |||
| \end{satz} | |||
| \begin{proof} | |||
| \[ | |||
| |f(x) - T_n(f, x, x_0)| \le \frac{\left| f^{(n+1)}(\xi)\right|}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1} | |||
| \le \frac{M}{(n+1)!(b-a)^{n+1}} | |||
| .\] $\implies \forall \epsilon > 0$ $\exists n_{\epsilon}$, s.d. $\frac{M}{(n+1)!}(b-a)^{n+1} < \epsilon$ | |||
| \end{proof} | |||
| \begin{bem} | |||
| \begin{enumerate} | |||
| \item Eine $C^{\infty}$ Funktion muss nicht analytisch sein. | |||
| \item Ist $f \in C^{n}$ mit $f(n) \equiv 0$ auf $D$, dann ist | |||
| $f$ ein Polynom vom Grad kleiner oder gleich $n-1$, da | |||
| \[ | |||
| f(x) = T_{n-1}(f, x, x_0) + \underbrace{R_n(x, x_0)}_{= \;0} | |||
| .\] | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{bem} | |||
| \begin{korrolar}[Lokale Extrema] | |||
| Sei $f \in C^{n}(D, \R)$, $D = (a,b)$ und | |||
| für $x_0 \in (a,b)$ gelte | |||
| \[ | |||
| f'(x_0) = f''(x_0) = \ldots = f^{(n-1)}(x_0) \quad \text{und} \quad f^{(n)}(x_0) \neq 0 | |||
| .\] Dann gilt | |||
| \begin{enumerate} | |||
| \item Ist $n$ gerade und $f^{(n)}(x_0) < 0$ bzw. $f^{(n)}(x_0) > 0$, dann ist | |||
| $x_0$ ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum von $f$. | |||
| \item Ist $n$ ungerade, dann ist $x_0$ kein | |||
| lokales Extremum von $f$ (Sattelpunkt, Wendepunkt). | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{korrolar} | |||
| \begin{figure} | |||
| \centering | |||
| \begin{subfigure}{.4\textwidth} | |||
| \caption{$f(x) = x^3$} | |||
| \begin{tikzpicture} | |||
| \begin{axis}% | |||
| [grid=both, | |||
| minor tick num=4, | |||
| grid style={line width=.1pt, draw=gray!10}, | |||
| major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50}, | |||
| axis lines=middle, | |||
| enlargelimits={abs=0.2}, | |||
| ymax=3, | |||
| ymin=-3, | |||
| width=.9\textwidth | |||
| ] | |||
| \addplot[domain=-2:2,samples=100,smooth,red] {x^3}; | |||
| \end{axis} | |||
| \end{tikzpicture} | |||
| \end{subfigure} | |||
| \begin{subfigure}{.4\textwidth} | |||
| \caption{$f(x) = x^2$} | |||
| \begin{tikzpicture} | |||
| \begin{axis}% | |||
| [grid=both, | |||
| minor tick num=4, | |||
| grid style={line width=.1pt, draw=gray!10}, | |||
| major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50}, | |||
| axis lines=middle, | |||
| enlargelimits={abs=0.2}, | |||
| ymax=3, | |||
| ymin=-3, | |||
| width=.9\textwidth | |||
| ] | |||
| \addplot[domain=-2:2,samples=100,smooth,red] {x^2}; | |||
| \end{axis} | |||
| \end{tikzpicture} | |||
| \end{subfigure} | |||
| \end{figure} | |||
| \begin{proof} | |||
| Taylor Satz $\implies$ $f(x) = f(x_0) + \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!} (x-x_0)^{n}$ | |||
| $f^{(n)}$ stetig in $x_0$, $f^{(n)} \neq 0$ in $x_0$ \\ | |||
| $\implies \exists \delta > 0$, s.d. $f^{(n)}(x) \neq 0$ für | |||
| $x \in \; ]x_0 - \delta , x_0 + \delta [$ und hat das gleiche | |||
| Vorzeichen wie $f^{(n)}(x_0)$. | |||
| \begin{enumerate} | |||
| \item $n$ gerade $\implies (x-x_0)^{n} > 0$, falls | |||
| $x \neq x_0$. | |||
| \[ | |||
| f(x) = f(x_0) + \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}\underbrace{(x-x_0)^n}_{> 0} | |||
| .\] $\implies$ $f(x) > f(x_0)$, falls $f^{(n)}(\xi) > 0$, dann | |||
| $f^{(n)}(x_0) > 0$. | |||
| $f(x) < f(x_0)$, falls $f^{(n)}(x_0) < 0$. | |||
| \item $n$ ungerade, wechselt $(x-x_0)^{n}$ das Vorzeichen. | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{proof} | |||
| \begin{korrolar} | |||
| Sei $f \in C^{2}\left( (a,b), \R \right) $ und | |||
| $x_0 \in (a,b)$. Dann folgt | |||
| \begin{enumerate}[(i)] | |||
| \item $x_0$ ist ein lokales Minimum von $f$ | |||
| $\implies f'(x_0) = 0$, $f''(x_0) \ge 0$ | |||
| \item $x_0$ ist ein lokales Maximum von $f$ | |||
| $\implies f'(x_0) = 0, f''(x_0) \le 0$. | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{korrolar} | |||
| \begin{proof} | |||
| klar. | |||
| \end{proof} | |||
| \begin{korrolar}[Hinreichende Optimalitätsbedingung] | |||
| Sei $x_0$ mit $f'(x_0) = 0$, $f''(x_0) > 0$. Dann ist | |||
| $x_0$ ein lokales Minimum. | |||
| \end{korrolar} | |||
| \begin{proof} | |||
| trivial. | |||
| \end{proof} | |||
| \subsection{Die Regeln von de l'Hospital} | |||
| Ziel: Grenzwerte zu berechnen für $x \to \pm \infty$ oder | |||
| $f(x) \to \pm \infty$. Grenzwerte vom Typ: | |||
| \[ | |||
| \left( \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0 \cdot \infty, \infty - \infty, \infty^{\infty}, \ldots \right) | |||
| .\] | |||
| \begin{lemma}[Verallgemeinerter Mittelwertsatz] | |||
| Seien $f, g$ im Intervall $[a,b]$ stetig und in $(a,b)$ | |||
| differenzierbar, $g'(x) \neq 0$ $\forall x \in (a,b)$. | |||
| Dann $\exists $ ein $c \in (a,b)$ s.d. gilt | |||
| \[ | |||
| \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} | |||
| .\] | |||
| \end{lemma} | |||
| \begin{proof} | |||
| ohne Beweis. | |||
| \end{proof} | |||
| \begin{satz}[1. Regel von de l'Hospital] | |||
| Seien $-\infty \le a < b \le + \infty$, $I := (a,b)$ und | |||
| $f, g\colon I \to \R$ differenzierbare Funktionen | |||
| mit | |||
| \[ | |||
| \lim_{x \nearrow b} f(x) = 0 = \lim_{x \nearrow b} g(x) | |||
| .\] Es gelte | |||
| $g'(x) \neq 0$ $\forall x \in I$ und | |||
| $\lim_{x \nearrow b} \frac{f'(x)}{g'(x)} = c$. $c \in \R \cup \{\pm \infty\} $. | |||
| Dann gilt: | |||
| \[ | |||
| g(x) \neq 0 \quad \forall x \in I \; \text{und} \; | |||
| \lim_{x \nearrow b} \frac{f(x)}{g(x)} = c | |||
| .\] Analoge Aussagen gelten für $x \searrow a$. | |||
| \end{satz} | |||
| \begin{proof} | |||
| $f, g$ in $b$ stetig $\implies f(b) = g(b) = 0$. | |||
| $g'(x) \neq 0 \implies$ keine weiteren Nullstellen von | |||
| $g$ in $(a,b)$, d.h. $g(x) \neq 0$ $\forall x \in (a,b)$. | |||
| Wir nutzen den verallgemeinerten Mittelwertsatz. | |||
| $\implies \exists \xi \in (a,b)$ mit | |||
| \[ | |||
| \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(x)}{g(x)} | |||
| .\] Aus $x \nearrow b$ folgt $\xi \nearrow b$ $\implies$ Behauptung. | |||
| \end{proof} | |||
| \begin{bsp} | |||
| \begin{align*} | |||
| \intertext{1.} | |||
| \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} &= | |||
| \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1 | |||
| \intertext{2.} | |||
| \lim_{x \searrow 0} \frac{\sin x}{x^2} | |||
| &= \lim_{x \searrow 0} \frac{\cos x}{2x} = + \infty | |||
| \intertext{3.} | |||
| \lim_{x \searrow 0} \frac{(\sin x)^2}{x^2} | |||
| &= \lim_{x \searrow 0} \frac{2 \sin(x) \cdot \cos(x)}{2x} | |||
| = \lim_{x \searrow 0} \frac{2(\cos^2 x - \sin^2(x)}{2} | |||
| = 1 | |||
| .\end{align*} | |||
| \end{bsp} | |||
| \begin{satz}[2. Regel von de l'Hospital] | |||
| Seien $- \infty \le a < b \le + \infty$, $I := (a,b)$ und | |||
| $f,g \colon I \to \R$ differenzierbar mit | |||
| $\lim_{x \nearrow b} g(x) = \pm \infty$, | |||
| $g'(x) \neq 0$ $\forall x \in I$. | |||
| \[ | |||
| \lim_{x \nearrow b} f(x) = \pm \infty \quad \text{und} | |||
| \quad \lim_{x \nearrow b} \frac{f'(x)}{g'(x)} = c \in \R \cup \{ \pm \infty\} | |||
| .\] Dann gilt: $\exists x_0 \in I$ mit $g(x) \neq 0$ für | |||
| $a < x_0 \le x < b$ und | |||
| \[ | |||
| \lim_{x \nearrow b} \frac{f(x)}{g(x)} = c | |||
| .\] Analoge Aussage für $x \searrow a$. | |||
| \end{satz} | |||
| \begin{proof} | |||
| Rannacher. | |||
| \end{proof} | |||
| \begin{bem} | |||
| \begin{enumerate} | |||
| \item | |||
| Grenzprozesse für $x \to \pm \infty$. | |||
| \[ | |||
| \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{g(x)} | |||
| .\] Substitution $y = \frac{1}{x}$, $(y \to 0$ für $x \to \pm \infty$). | |||
| \[ | |||
| \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{y \to 0} | |||
| \frac{f(\frac{1}{y}}{g(\frac{1}{y})} | |||
| .\] | |||
| \item $0 - \infty$ | |||
| \[ | |||
| \lim_{x \nearrow b} f(x) = 0, \lim_{x \nearrow b} g(x) = \infty | |||
| .\] | |||
| \[ | |||
| \lim_{x \nearrow b} f(x) \cdot g(x) = \lim_{x \nearrow b} | |||
| \frac{f(x)}{g(x)^{-1}} \sim \frac{0}{0} | |||
| .\] | |||
| \item $\infty - \infty$ | |||
| \[ | |||
| \lim_{x \to b} f(x) = \infty, \lim_{x \to b} g(x) = \infty | |||
| .\] | |||
| \[ | |||
| \lim_{x \to b} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to b} \left( \frac{1}{\frac{1}{f(x)}}- \frac{1}{\frac{1}{g(x)}} \right) | |||
| = \lim_{x \to b} \frac{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x)} \cdot \frac{1}{g(x)}} \sim \frac{0}{0} | |||
| .\] | |||
| \item $f(x) \to 1$, $g(x) \to \infty$\\ | |||
| $f(x) \to \infty$, $g(x) \to 0$ \\ | |||
| $f(x) \to 0$, $g(x) \to 0$ \\ | |||
| $\lim f(x)^{g(x)}$? | |||
| Logarithmiere $f(x)^{g(x)} = A$. | |||
| \[ | |||
| \ln A = g(x) \cdot \ln f(x) | |||
| .\] $\lim A = \exp(\lim g(x) \cdot \ln(f(x)))$ | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{bem} | |||
| \end{document} | |||