add ana22

ws2019/ana/lectures/analysis22.tex

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+\documentclass{../../../lecture}
+
+\usepackage[]{subcaption}
+
+\begin{document}
+
+\begin{satz}[Satz von Taylor]
+    Jede Funktion $f \in C^{n+1}(D,\R)$ lässt sich für
+    $x, x_0 \in D$ nach Potenzen von $(x-x_0)$
+    entwickeln:
+    \begin{align*}
+        f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2 + \ldots + f^{(n)}(x_0)\frac{(x - x_0)^{n}}{n!} + R_{n+1}(x)
+    .\end{align*} Dabei ist das Restglied $R_{n+1}(x)$:
+    \begin{align*}
+        R_{n+1}(x) = f^{(n+1)}(\xi) \frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}
+    .\end{align*} mit $\xi$ ein Punkt zwischen $x_0$ und $x$
+    ($\xi = x_0 + \tau(x-x_0)$, $\tau \in (0,1)$).
+
+    Der Ausdruck
+    \[
+        T_n(x) = T_{n}(f, x, x_0) := \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^{k}
+    .\] heißt Taylorpolynom $n$-ter Ordnung von $f$ bei $x_0$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Für $x = x_0$: klar.
+
+    Sei $x \neq x_0$. Betrachte $R = R(x, x_0)$ definiert durch
+    $f(x) = T_N(f, x, x_0) + \frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot R$.
+
+    Für $y \in D$ definiere
+    \[
+        \varphi(y) := f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(y)}{k!}(x-y)^{k} - \frac{(x-y)^{n+1}}{(n+1)!}R
+    .\] 
+    Dann folgt $\varphi(x_0) = 0 = \varphi(x)$, $\varphi \in C^{1}$.\\
+    $\stackrel{\text{Satz von Rolle}}{\implies}$ $\exists \xi$ zwischen $x$ und $x_0$ mit $\varphi'(\xi) = 0$.
+    \begin{align*}
+        0 = \varphi'(\xi) &= - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k+1)}(\xi)}{k!} (x-\xi)^{k}
+         - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(\xi)}{k!}k(x-\xi)^{k-1}(-1)
+         - \frac{(n+1)(x-\xi)^{n}}{(n+1)!} R \\
+                          &\stackrel{\mathclap{\text{Teleskop}}}{=} \quad - \frac{f^{n+1}(\xi)}{n!}(x-\xi)^{n} + \frac{(x-\xi)^{n}}{n!} R \\
+                          &= \frac{(x-\xi)^{n}}{n!} \left( - f^{(n+1)}(\xi) + R \right)
+     .\end{align*} $\implies R = f^{(n+1)}(\xi)$, $\xi$ zwischen $x$ und $x_0$.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+    Sei $f$ auf einem beschränkten Intervall  $(a,b)$ eine
+    $C^{\infty}$ Funktion mit gleichmäßig beschränkten Ableitungen.
+    \[
+        \sup_{x \in (a,b)} \left| f^{(n)}(x) \right| \le M < \infty
+    .\] Dann ist $f$ auf $(a,b)$ analytisch, d.h.
+    $\forall x, x_0 \in (a,b)$ konvergiert die Taylor-Reihe von $f$ und
+    es gilt:
+    \[
+        f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^{k}
+    .\] 
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    \[
+        |f(x) - T_n(f, x, x_0)| \le \frac{\left| f^{(n+1)}(\xi)\right|}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}
+        \le \frac{M}{(n+1)!(b-a)^{n+1}}
+    .\] $\implies \forall \epsilon > 0$ $\exists n_{\epsilon}$, s.d. $\frac{M}{(n+1)!}(b-a)^{n+1} < \epsilon$
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}
+        \item Eine $C^{\infty}$ Funktion muss nicht analytisch sein.
+        \item Ist $f \in C^{n}$ mit $f(n) \equiv 0$ auf $D$, dann ist
+             $f$ ein Polynom vom Grad kleiner oder gleich $n-1$, da
+             \[
+                 f(x) = T_{n-1}(f, x, x_0) + \underbrace{R_n(x, x_0)}_{= \;0}
+             .\] 
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\begin{korrolar}[Lokale Extrema]
+    Sei $f \in C^{n}(D, \R)$, $D = (a,b)$ und
+    für $x_0 \in (a,b)$ gelte
+    \[
+        f'(x_0) = f''(x_0) = \ldots = f^{(n-1)}(x_0) \quad \text{und} \quad f^{(n)}(x_0) \neq 0
+    .\] Dann gilt
+    \begin{enumerate}
+        \item Ist $n$ gerade und $f^{(n)}(x_0) < 0$ bzw. $f^{(n)}(x_0) > 0$, dann ist
+            $x_0$ ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum von $f$.
+        \item Ist $n$ ungerade, dann ist $x_0$ kein
+            lokales Extremum von $f$ (Sattelpunkt, Wendepunkt).
+    \end{enumerate}
+\end{korrolar}
+
+\begin{figure}
+    \centering
+    \begin{subfigure}{.4\textwidth}
+    \caption{$f(x) = x^3$}
+        \begin{tikzpicture}
+            \begin{axis}%
+                [grid=both,
+                 minor tick num=4,
+                 grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+                 major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+                 axis lines=middle,
+                 enlargelimits={abs=0.2},
+                 ymax=3,
+                 ymin=-3,
+                 width=.9\textwidth
+                ]
+                \addplot[domain=-2:2,samples=100,smooth,red] {x^3};
+              \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{subfigure}
+    \begin{subfigure}{.4\textwidth}
+    \caption{$f(x) = x^2$}
+        \begin{tikzpicture}
+            \begin{axis}%
+                [grid=both,
+                 minor tick num=4,
+                 grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+                 major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+                 axis lines=middle,
+                 enlargelimits={abs=0.2},
+                 ymax=3,
+                 ymin=-3,
+                 width=.9\textwidth
+                ]
+                \addplot[domain=-2:2,samples=100,smooth,red] {x^2};
+              \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{subfigure}
+\end{figure}
+
+\begin{proof}
+    Taylor Satz $\implies$ $f(x) = f(x_0) + \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!} (x-x_0)^{n}$
+    $f^{(n)}$ stetig in $x_0$, $f^{(n)} \neq 0$ in $x_0$ \\
+    $\implies \exists \delta > 0$, s.d. $f^{(n)}(x) \neq 0$ für
+    $x \in \; ]x_0 - \delta , x_0 + \delta [$ und hat das gleiche
+    Vorzeichen wie $f^{(n)}(x_0)$.
+    \begin{enumerate}
+        \item $n$ gerade $\implies (x-x_0)^{n} > 0$, falls
+            $x \neq x_0$.
+            \[
+                f(x) = f(x_0) + \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}\underbrace{(x-x_0)^n}_{> 0}
+            .\] $\implies$ $f(x) > f(x_0)$, falls $f^{(n)}(\xi) > 0$, dann
+            $f^{(n)}(x_0) > 0$.
+            $f(x) < f(x_0)$, falls $f^{(n)}(x_0) < 0$.
+        \item $n$ ungerade, wechselt $(x-x_0)^{n}$ das Vorzeichen.
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{korrolar}
+    Sei $f \in C^{2}\left( (a,b), \R \right) $ und
+    $x_0 \in (a,b)$. Dann folgt
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item $x_0$ ist ein lokales Minimum von $f$
+            $\implies f'(x_0) = 0$, $f''(x_0) \ge 0$
+        \item $x_0$ ist ein lokales Maximum von $f$ 
+            $\implies f'(x_0) = 0, f''(x_0) \le 0$.
+    \end{enumerate}
+\end{korrolar}
+
+\begin{proof}
+    klar.
+\end{proof}
+
+\begin{korrolar}[Hinreichende Optimalitätsbedingung]
+    Sei $x_0$ mit $f'(x_0) = 0$, $f''(x_0) > 0$. Dann ist
+    $x_0$ ein lokales Minimum.
+\end{korrolar}
+
+\begin{proof}
+    trivial.
+\end{proof}
+
+\subsection{Die Regeln von de l'Hospital}
+
+Ziel: Grenzwerte zu berechnen für $x \to \pm \infty$ oder
+$f(x) \to \pm \infty$. Grenzwerte vom Typ:
+\[
+    \left( \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0 \cdot \infty, \infty - \infty, \infty^{\infty}, \ldots \right) 
+.\] 
+
+\begin{lemma}[Verallgemeinerter Mittelwertsatz]
+    Seien $f, g$ im Intervall $[a,b]$ stetig und in $(a,b)$
+    differenzierbar, $g'(x) \neq 0$ $\forall x \in (a,b)$.
+    Dann $\exists $ ein $c \in (a,b)$ s.d. gilt
+    \[
+        \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}
+    .\] 
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    ohne Beweis.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[1. Regel von de l'Hospital]
+    Seien $-\infty \le a < b \le + \infty$, $I := (a,b)$ und
+    $f, g\colon I \to \R$ differenzierbare Funktionen
+    mit
+    \[
+        \lim_{x \nearrow b} f(x) = 0 = \lim_{x \nearrow b} g(x)
+    .\] Es gelte
+    $g'(x) \neq 0$ $\forall x \in I$ und
+    $\lim_{x \nearrow b} \frac{f'(x)}{g'(x)} = c$. $c \in \R \cup \{\pm \infty\} $.
+    Dann gilt:
+    \[
+        g(x) \neq 0 \quad \forall x \in I \; \text{und} \;
+        \lim_{x \nearrow b} \frac{f(x)}{g(x)} = c
+    .\] Analoge Aussagen gelten für $x \searrow a$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    $f, g$ in $b$ stetig $\implies f(b) = g(b) = 0$.
+    $g'(x) \neq 0 \implies$ keine weiteren Nullstellen von
+    $g$ in $(a,b)$, d.h. $g(x) \neq 0$ $\forall x \in (a,b)$.
+    
+    Wir nutzen den verallgemeinerten Mittelwertsatz.
+    $\implies \exists \xi \in (a,b)$ mit
+    \[
+        \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(x)}{g(x)}
+    .\] Aus $x \nearrow b$ folgt $\xi \nearrow b$ $\implies$ Behauptung.
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{align*}
+        \intertext{1.}
+        \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} &=
+        \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1
+        \intertext{2.}
+        \lim_{x \searrow 0} \frac{\sin x}{x^2}
+                                        &= \lim_{x \searrow 0} \frac{\cos x}{2x} = + \infty
+        \intertext{3.}
+        \lim_{x \searrow 0} \frac{(\sin x)^2}{x^2}
+                                        &= \lim_{x \searrow 0} \frac{2 \sin(x) \cdot \cos(x)}{2x}
+            = \lim_{x \searrow 0} \frac{2(\cos^2 x - \sin^2(x)}{2}
+            = 1
+    .\end{align*}
+\end{bsp}
+
+\begin{satz}[2. Regel von de l'Hospital]
+    Seien $- \infty \le a < b \le + \infty$, $I := (a,b)$ und
+    $f,g \colon I \to \R$ differenzierbar mit
+    $\lim_{x \nearrow b} g(x) = \pm \infty$,
+    $g'(x) \neq 0$ $\forall x \in I$.
+    \[
+        \lim_{x \nearrow b} f(x) = \pm \infty \quad \text{und}
+        \quad \lim_{x \nearrow b} \frac{f'(x)}{g'(x)} = c \in \R \cup \{ \pm \infty\} 
+    .\] Dann gilt: $\exists x_0 \in I$ mit $g(x) \neq 0$ für
+    $a < x_0 \le x < b$ und
+    \[
+        \lim_{x \nearrow b} \frac{f(x)}{g(x)} = c
+    .\] Analoge Aussage für $x \searrow a$. 
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Rannacher.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+    Grenzprozesse für $x \to \pm \infty$.
+    \[
+        \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{g(x)}
+    .\] Substitution $y = \frac{1}{x}$, $(y \to 0$ für $x \to \pm \infty$).
+    \[
+        \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{y \to 0}
+        \frac{f(\frac{1}{y}}{g(\frac{1}{y})}
+    .\] 
+\item $0 - \infty$
+    \[
+        \lim_{x \nearrow b}  f(x) = 0, \lim_{x \nearrow b} g(x) = \infty
+    .\] 
+    \[
+        \lim_{x \nearrow b} f(x) \cdot g(x) = \lim_{x \nearrow b} 
+        \frac{f(x)}{g(x)^{-1}} \sim \frac{0}{0}
+    .\] 
+\item $\infty - \infty$
+    \[
+        \lim_{x \to b} f(x) = \infty, \lim_{x \to b} g(x) = \infty
+    .\]
+    \[
+        \lim_{x \to b} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to b} \left( \frac{1}{\frac{1}{f(x)}}- \frac{1}{\frac{1}{g(x)}} \right)
+        = \lim_{x \to b} \frac{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x)} \cdot \frac{1}{g(x)}} \sim \frac{0}{0}
+    .\] 
+
+\item $f(x) \to 1$, $g(x) \to \infty$\\
+    $f(x) \to \infty$, $g(x) \to 0$ \\
+    $f(x) \to 0$, $g(x) \to 0$ \\
+    $\lim f(x)^{g(x)}$?
+
+    Logarithmiere $f(x)^{g(x)} = A$.
+    \[
+        \ln A = g(x) \cdot \ln f(x)
+    .\] $\lim A = \exp(\lim g(x) \cdot  \ln(f(x)))$
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\end{document}