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@@ -0,0 +1,267 @@
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\documentclass[uebung]{../../../lecture}
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\usepackage{gauss}
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\begin{document}
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\title{Lineare Algebra II: Übungsblatt 3}
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\author{Dominik Daniel, Christian Merten}
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\punkte[12]
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\begin{aufgabe}
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\begin{enumerate}[(a)]
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\item Seien $m, n \in \Z$. Beh.: Folgende Aussagen sind äquivalent
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $\overline{m}$ ist eine Einheit in $\Z / n \Z$
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\item $\text{ggT}(m,n) = 1$
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\end{enumerate}
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\begin{proof}
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(i)$\implies$(ii): Sei $\overline{m} \in \left( \Z / n \Z \right)^{\times}$. Dann
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existiert ein $l \in \Z$ mit $\overline{m} \cdot \overline{l} = \overline{1}$.
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Also ist $ml - 1 \in n \Z$ und es ex. $k \in \Z$ mit
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$ml - 1 = kn \implies 1 = ml - kn$. Sei nun $d \in \Z$ mit
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$d \mid m$ und $d \mid n$. Dann folgt
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$d \mid (ml - kn) = 1$. Wegen $d \in \Z$, folgt $d = \pm 1$. Damit ist
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$\text{ggT}(m,n) = 1$.
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(ii)$\implies$(i): Sei $\text{ggT}(m,n) = 1$. Dann folgt
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mit dem Erw. Euklid. Alg.: $\exists u, v \in \Z$ mit
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$um + vn = 1 \implies \overline{um} + \underbrace{\overline{vn}}_{= \overline{0}} = 1
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\implies \overline{u} \cdot \overline{m} = 1 \implies \overline{m} \in (\Z / n \Z)^{\times}$.
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\end{proof}
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\item Es ist mit Euklidischem Algorithmus
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\begin{align*}
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51 &= 1 \cdot 42 + 9 \\
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42 &= 4 \cdot 9 + 6 \\
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9 &= 1 \cdot 6 + 3 \\
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6 &= 2\cdot 3
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\intertext{Also ist $\text{ggT}(51, 42) = 3 \implies \overline{42} \not\in (\Z / 51 \Z)^{\times}$.}
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55 &= 1\cdot 42 + 13 \\
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42 &= 3 \cdot 13 + 3\\
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13 &= 4\cdot 3 + 1 \\
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3 &= 3 \cdot 1
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\end{align*}
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Also ist $\text{ggT}(55, 42) = 1 \implies \overline{42} \in ( \Z / 55 \Z)^{\times }$.
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Der EEA liefert:
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\begin{align*}
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1 &= 13 - 4 \cdot 3 \\
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&= 13 - 4 (42 - 3\cdot 13) \\
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&= 13 \cdot 13 - 4 \cdot 42 \\
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&= 13 (55 - 42) - 4\cdot 42 \\
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&= 13 \cdot 55 + (-17) \cdot 42
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.\end{align*}
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Es ist $-17 + 55 = 38$, also folgt $\overline{42} \cdot \overline{38} = \overline{1}$
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in $\Z / 55 \Z$.
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\end{enumerate}
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\end{aufgabe}
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\begin{aufgabe}
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\begin{enumerate}[(a)]
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\item Beh.: $\forall z \in \mathbb{C}$ ex. $a + bi \in \Z[i]$ mit
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$\delta |z - (a+bi)| \le \frac{1}{\sqrt{2} }$.
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\begin{proof}
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Mit $\text{rd}\colon \R \to \Z$
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\[
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\text{rd}(x) = \begin{cases}
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\left\lceil x \right\rceil & |x - \left\lceil x \right\rceil |
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\le |x - \left\lfloor x \right\rfloor | \\
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\left\lfloor x \right\rfloor & \text{sonst}
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\end{cases}
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.\] Damit folgt $\forall x \in \R$ $|x - \text{rd}(x)| \le \frac{1}{2}$.
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Sei nun $z \in \mathbb{C}$ mit $c, d \in \R$ und $z = c + di$. Dann wähle $a := \text{rd}(c)$
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und $b := \text{rd}(d)$. Damit folgt
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\[
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0 \le (\underbrace{c - a}_{\le \frac{1}{2}})^2 + (\underbrace{d - b}_{\le \frac{1}{2}})^2
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\le \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}
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.\] Da beide Seiten nicht negativ, folgt
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\begin{align*}
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|z - (a + bi)| &= |c + di - (a + bi)| = |(c-a)^2 + (d-b)^2| \le \frac{1}{\sqrt{2}}
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.\end{align*}
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\end{proof}
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\item Beh.: $\delta(xy) = \delta (x) \cdot \delta (y)$ $\forall x, y \in \Z$.
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\begin{proof}
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Durch Einsetzen der Definition und Nachrechnen, analog zum letzten Zettel.
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\end{proof}
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Beh.: $\forall z, w \in \Z[i]$ mit $w \neq 0$ ex. $q \in \Z[i]$ mit
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$\delta (z - q\cdot w) \le \frac{1}{2}\delta(w)$.
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\begin{proof}
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Seien $z, w \in \Z[i]$ mit $w \neq 0$. Dann ex. mit (a) ein $q \in \Z[i]$, s.d.
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\begin{align*}
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\delta \left(\frac{z}{w} - q\right) &\le \frac{1}{2}
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.\end{align*}
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Damit folgt direkt
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\begin{align*}
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\delta (w) \delta \left( \frac{z}{w} - q \right)
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= \delta \left( w \left(\frac{z}{w} - q\right) \right)
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= \delta ( z - q w)
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&\le \frac{1}{2} \delta (w)
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.\end{align*}
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\end{proof}
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\item Beh.: $\Z[i]$ ist Euklidischer Ring.
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\begin{proof}
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Zunächst ist $\Z[i]$ nullteilerfrei. Weiter seien $f, g \in \Z[i]$ mit $g \neq 0$.
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Dann ex. mit (b) ein $q \in \Z[i]$ mit
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\[
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\delta(f - q\cdot g) \le \frac{1}{2}\delta (g)
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.\] Mit $r := f - q\cdot g$
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folgt damit $\delta (r) \le \frac{1}{2} \delta(g)$,
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also wegen $g \neq 0$ und $\delta(r), \delta (g) \in \N_0$, $\delta (r) < \delta (g)$.
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Damit folgt
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\[
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f = qg + r \qquad (\delta (r) < \delta (g) \text{ oder } r = 0)
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.\]
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\end{proof}
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\item Beh.: $1 \in \text{GGT}(9, 3+4i)$.
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\begin{proof}
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Mit dem Euklid. Alg. folgt:
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\begin{align*}
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9 &= (1 - i) (3+4i) + (2 - i) \\
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3+4i &= 2 i \cdot (2 - i) + 1 \\
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2 - i &= (2 - i) \cdot 1
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.\end{align*}
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\end{proof}
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\end{enumerate}
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\end{aufgabe}
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\begin{aufgabe}
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Beh.: Sei $R \neq 0$ ein Ring, dann sind äquivalent:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $R$ ist ein Körper
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\item $R[t]$ ist ein Euklidischer Ring
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\item $R[t]$ ist ein Hauptidealring
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\end{enumerate}
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\begin{proof}
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(i) $\implies$ (ii): Polynomringe über Körper sind nach VL euklidisch.
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(ii) $\implies$ (iii): Jeder Euklidische Ring ist nach VL Hauptidealring.
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(iii) $\implies$ (i): Sei $R$ kein Körper. Falls
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$R$ nicht nullteilerfrei, folgt die Behauptung. Sei im Folgenden
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also $R$ nullteilerfrei. Wegen $R \neq 0$ existiert ein
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$x \in R \setminus \{0\} $ mit $xy \neq 1$ $\forall y \in R$.
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Beh.: $(x,t)$ ist kein Hauptideal. Ang.: $\exists f \in R[t]$ mit $(f) = (x, t)$. Dann
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ex. $h \in R[t]$ mit $x = fh$. Da $R$ nullteilerfrei, folgt
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\[
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0 = \text{deg}(x) = \text{deg}(f) + \text{deg}(h) \implies \text{deg}(f) = \text{deg}(h) = 0
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.\] Es ex. also ein $a \in R$ mit $f = a$. Außerdem ex. $g \in R[t]$
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mit $t = fg = a g$. Also ist $\text{deg}(g) = 1$ und wegen $e(t) = 1$ folgt
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\[
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1 = e(t) = e(a) \cdot e(g) = a \cdot \underbrace{e(h)}_{\in R}
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.\] Also ist $a \in \R^{\times}$ und damit $1 \in (a) = (x, t)$, denn $1 = aa^{-1}$.
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Wegen $(a) = (x, t)$, existieren $u, v \in R[t]$ mit
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\[
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1 = xu + tv \stackrel{t = 0}{\implies} 1 = x \cdot \underbrace{u(0)}_{\in R}
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.\] Damit ist $x \in R^{\times }$ $\contr$.
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\end{proof}
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\end{aufgabe}
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\begin{aufgabe}
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\begin{enumerate}[(a)]
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\item Rechnerei ergibt
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\begin{align*}
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&\begin{gmatrix}[p] 0 & 20 & 0 \\ 10 & 12 & 6 \\ 20 & 12 & 10
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\rowops
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\swap{0}{1}
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\colops
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\swap{0}{2}
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\end{gmatrix}
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\rightsquigarrow
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\begin{gmatrix}[p] 6 & 12 & 10 \\ 0 & 20 & 0 \\ 10 & 12 & 20
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\colops
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\add[-2]{0}{1}
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\rowops
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\add[-1]{0}{2}
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\swap{0}{2}
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\end{gmatrix}
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|
\rightsquigarrow
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\begin{gmatrix}[p] 4 & -8 & 10 \\ 0 & 20 & 0 \\ 6 & 0 & 10
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\rowops
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\add[-1]{0}{2}
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\swap{0}{2}
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|
\add[-2]{0}{2}
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\swap{0}{2}
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\end{gmatrix} \\
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&\rightsquigarrow
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\begin{gmatrix}[p] 2 & 8 & 0 \\ 0 & 20 & 0 \\ 0 & -24 & 10
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\colops
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\add[-4]{0}{1}
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\rowops
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\add{1}{2}
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\swap{1}{2}
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\add[-5]{1}{2}
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\end{gmatrix}
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\rightsquigarrow
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\begin{gmatrix}[p] 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 10 \\ 0 & 0 & -50
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\colops
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\add[-2]{1}{2}
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|
\swap{1}{2}
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\end{gmatrix}
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\rightsquigarrow
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|
\begin{gmatrix}[p] 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & -50 & 0
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|
\rowops
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\add[25]{1}{2}
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|
\colops
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\add[-2]{1}{2}
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\end{gmatrix}
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\rightsquigarrow
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\begin{gmatrix}[p] 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 100
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\end{gmatrix}
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.\end{align*}
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Damit folgen mit dem Elementarteilersatz die Elementarteiler $2, 2$ und $100$.
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Also folgen die Fittingideale mit
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$\text{Fit}_1(A) = (2)$, $\text{Fit}_2(A) = (2\cdot 2) = (4)$ und
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$\text{Fit}_3(A) = (2 \cdot 2 \cdot 100) = (400)$.
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\item Noch mehr Rechnerei ergibt
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\begin{align*}
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&\begin{gmatrix}[p] 1 -t & -1 & 2 \\
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-1 & -t & 3 \\
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0 & -1 & 3-t
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\rowops
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\swap{0}{1}
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\mult{0}{\cdot (-1)}
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\end{gmatrix}
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\rightsquigarrow
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|
\begin{gmatrix}[p] 1 & t & -3 \\
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1 - t & -1 & 2 \\
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0 & -1 & 3-t
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\colops
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\add[-t]{0}{1}
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\add[-3]{0}{2}
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\rowops
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\add[-(t-1)]{0}{1}
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\end{gmatrix}\\
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&\rightsquigarrow
|
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|
\begin{gmatrix}[p] 1 & 0 & 0 \\
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0 & -1-t+t^2 & 5-3t \\
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0 & -1 & 3-t
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|
\colops
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|
\rowops
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|
\swap{1}{2}
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|
\mult{1}{\cdot (-1)}
|
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|
\end{gmatrix}
|
||||||
|
\rightsquigarrow
|
||||||
|
\begin{gmatrix}[p] 1 & 0 & 0 \\
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|
0 & 1 & -3 + t \\
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|
0 & -1 -t + t^2 & 5-3t
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|
\colops
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|
\add[-(-3 + t)]{1}{2}
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|
\rowops
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|
\add[t+t-t^2]{1}{2}
|
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|
\end{gmatrix} \\
|
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|
&\rightsquigarrow
|
||||||
|
\begin{gmatrix}[p] 1 & 0 & 0 \\
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|
0 & 1 & 0 \\
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0 & 0 & 8 + t - 4t^2 + t^3
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\end{gmatrix}
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.\end{align*}
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Damit folgen die Elementarteiler $1$, $1$ und $8 + t - 4t^2 + t^3$. Für die Fittingideale gilt
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$\text{Fit}_1(B) = (1)$, $\text{Fit}_2(B) = (1)$ und $\text{Fit}_3(B) = (8 + t - 4t^2 + t^{3})$.
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\end{enumerate}
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\end{aufgabe}
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\end{document}
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Reference in New Issue
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