add num9

lecture.cls

@@ -27,6 +27,17 @@
 \RequirePackage{environ}
 
 \usetikzlibrary{quotes, angles}
+\pgfplotsset{
+    compat=1.15,
+    default 2d plot/.style={%
+        grid=both,
+        minor tick num=4,
+        grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+        major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+        axis lines=middle,
+        enlargelimits={abs=0.2}
+    },
+}
 
 \DeclareOption*{\PassOptionsToClass{\CurrentOption}{article}}
 \DeclareOption{uebung}{

sose2020/num/uebungen/num9.tex

@@ -0,0 +1,211 @@
+\documentclass[uebung]{../../../lecture}
+
+\title{Einführung in die Numerik: Übungsblatt 9}
+\author{Leon Burgard, Christian Merten}
+
+\usepackage[]{subcaption}
+
+\begin{document}
+
+\punkte
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[a)]
+        \item Es ergibt sich durch Ausrechnen:
+            \begin{salign*}
+                a_0 &= y_0 = \frac{1}{2} \\
+                a_1 &= \frac{y_1 - a_0 N_0(t_1)}{N_1(t_1)} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{2}{3} \\
+                a_2 &= \frac{y_2 - a_0 N_0(t_2) - a_1N_1(t_2)}{N_2(t_2)} = -\frac{4}{45}
+                \intertext{Damit folgt}
+                p_2(t) &= \frac{1}{2} + \frac{2}{3}\left( t - \frac{1}{4} \right) - \frac{4}{45} \left( t - \frac{1}{4} \right) (t- 1)
+            .\end{salign*}
+        \item Es folgt für $t_3 = 9$ $y_3 = 3$, also
+            \begin{salign*}
+                a_3 &= \frac{y_3 - a_0N_0(t_3) - a_1N_1(t_3) - a_2 N_2(t_3)}{N_3(t_3)}
+                = \frac{13}{1575}
+                \intertext{Damit folgt}
+                p_3(t) &= \frac{1}{2} + \frac{2}{3}\left( t - \frac{1}{4} \right) - \frac{4}{45} \left( t - \frac{1}{4} \right) (t- 1) + \frac{13}{1575} \left( t - \frac{1}{4} \right) (t-1)(t-4)
+            .\end{salign*}
+        \item Graph:\\
+            \begin{tikzpicture}
+                \begin{axis}[default 2d plot,
+                             xmin=0,xmax=10,
+                             legend pos=outer north east]
+                    \addplot[domain=0:10, smooth,green]{0.5 + 2/3*(x-1/4) - 4/45*(x-1/4)*(x-1)};
+                    \addlegendentry{$p_2(t)$}
+                    \addplot[domain=0:10, smooth, blue]{0.5 + 2/3*(x-1/4) - 4/45*(x-1/4)*(x-1)+13/1575*(x-1/4)*(x-1)*(x-4)};
+                    \addlegendentry{$p_3(t)$}
+                    \addplot[domain=0:10, smooth, red]{sqrt(x)};
+                    \addlegendentry{$\sqrt{t}$}
+                \end{axis}
+            \end{tikzpicture}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[a)]
+        \item Bezeichne:
+            \begin{align*}
+                &r_{i,0}(x) \coloneqq y_i \\
+                &r_{i,k}(x) \coloneqq \frac{(x-x_i) p_{i+1, k-1}(x) - (x- x_{i+k})p_{i,k-1}(x)}{x_{i+k}-x_i}
+            .\end{align*}
+            Z.z.: $p_{i,0}(x) = r_{i,0}(x)$ und $p_{i,k}(x) = r_{i,k}(x)$.
+
+            $r_{i,0}$ bzw. $r_{i,k}$ sind Polynome vom Grad $0$ bzw. $k$. D.h. es genügt zu zeigen,
+            dass sie die Interpolationseigenschaft erfüllen. Die Behauptung folgt dann aus der
+            Eindeutigkeit des Interpolationspolynoms.
+
+            Für $r_{i,0}(x)$ ist die Interpolationseigenschaft trivialerweise für die eine Stützstelle
+            $x_i$ erfüllt, denn $r_{i,0}(x_i) = y_i$.
+
+            Für $r_{i,k}$ gilt für $i \le j \le i+k$:
+            \begin{salign*}
+                r_{i,k}(x_{j}) &= \frac{(x_j-x_i) p_{i+1, k-1}(x_j) - (x_j- x_{i+k})p_{i,k-1}(x_j)}{x_{i+k}-x_i} \\
+                &\stackrel{(*)}{=} \frac{(x_j - x_i) y_j - (x_j - x_{i+k})y_j}{x_{i+k}-x_i} \\
+                &= y_j \frac{x_j - x_i - x_j + x_{i+k}}{x_{i+k}-x_i} \\
+                &= y_j \frac{x_{i+k} - x_i}{x_{i+k}-x_i} \\
+                &= y_j
+            .\end{salign*}
+            $(*)$: Falls $j = i$, dann ist $p_{i+1,k-1}(x_j)$ i.A. nicht $y_j$, aber dann ist
+            $(x_j - x_i) = (x_i - x_i) = 0$, also gilt dennoch $(x_j - x_i) p_{i+1,k-1}(x_j) = (x_j - x_i)y_j$.
+            Analog für $j = i+k$.
+        \item Durch Berechnung von $p_{0,3}(61.7)$ mit dem Schema aus (a) erhält man die Tageslänge
+            am Ort $E$ mit $19$h $29,55$m.
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[a)]
+        \item
+            \begin{itemize}
+                \item Für die Koeffizienten $a_i$ gilt $a_i = y_i$. Also keine Operationen nötig.
+                \item Auswertung von $L_i^{(n)}(\xi) = \prod_{j=0,j\neq i}^{n} \frac{(\xi-x_j)}{x_i - x_j} $:
+                    $n+1$ Faktoren mit $3$ Operationen plus $n$ Multiplikationen für das Produkt. Gesamt:
+                    $3(n+1) + n = 4n+4+n=5n+4=5(n+1)-1$.
+
+                    Auswertung von $p(\xi)$: $n+1$ Summanden mit $5(n+1)-1$ Operationen plus Multiplikation
+                    mit $y_i$, ergibt $(n+1)\cdot (5(n+1)-1+1) = 5(n+1)^2$. Mit zusätzlich $n$ Additionen
+                    für die Auswertung der Summe ergibt sich insgesamt $5(n+1)^2 + n = \mathcal{O}(n^2)$.
+            \end{itemize}
+        \item 
+            \begin{itemize}
+                \item 
+            Berechnung der Koeffizienten erfordert die Lösung eines LGS mit unterer Dreicksmatrix.
+            Dies erfordert $\mathcal{O}^2$ Operationen.
+        \item Auswertung von $N_i(\xi) = \prod_{j=0}^{i-1} (\xi - x_j) $ erfordert $1$ Addition pro Faktor und
+            insgesamt $i-1$ Multiplikationen für das Produkt, also insgesamt: $2i - 1$.
+
+            Auswertung von $p(\xi)$ erfordert entsprechend die Auswertung von $N_i(\xi)$ und die
+            Multiplikation mit dem Koeffizienten und Summation über alle $(n+1)$ Summanden. Ergibt also
+            insgesamt mit kleinem Gauß $(n+1)(n+2) = n^2 + 3n + 2 = \mathcal{O}(n^2)$.
+            \end{itemize}
+        \item 
+            \begin{itemize}
+                \item Berechnung der Koeffizienten erfordert die Lösung eines vollen LGS, also
+            $\mathcal{O}(n^{3})$ Operationen.
+        \item Auswertung eines Summanden: $a_i t ^{i}$ erfordert $i-1 + 1 = i$ Multiplikationen.
+
+            Auswertung von $p(x)$ erfordert das Summieren von $n+1$ Summanden, also $n$ zusätzliche Additionen.
+            Insgesamt folgt also wieder mit kleinem Gauß $\frac{(n+1)(n+2)}{2} + n = \frac{n^2 + 3n + 2}{2} + n = \frac{n^2 + 5n +4}{2} = \mathcal{O}(n^2)$.
+            \end{itemize}
+        \item Auswertung von $p_{i,k}$ im Neville Schema erfordert
+            \begin{align*}
+                N(k) &= 2 + N(k-1) + 1 + 1 + 1 + N(k-1) + 1 + 1 \\
+                     &= 7 + 2 N(k-1) \\
+                     &= 7 + 2 \cdot 7 + 4 \cdot N(k-2) = \ldots = \sum_{j=0}^{k-1} 7 \cdot 2^{j} \\
+                     &= 7 \frac{2^{k} - 1}{2 - 1} \\
+                     &= 7 (2^{k} - 1) \\
+                     &= \mathcal{O}(2^{k})
+            .\end{align*}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[a)]
+        \item Auszug aus \textit{polynom.cc}
+    \begin{lstlisting}[language=C++, title=Auswertung des Interpolationspolynoms für vorgegebene Stüztstellen, captionpos=b]
+// Auswertung von p_{i,k}(t) mit Neville Schema bei t=x
+template<typename REAL>
+REAL evaluateNeville(REAL x, std::vector<REAL> &xs, std::vector<REAL> &ys, int i, int k) {
+    if(k == 0) {
+        return ys[i];
+    } else {
+        // nevile rekursionsformel
+        return ((x - xs[i])*evaluateNeville(x, xs, ys,i+1,k-1) - (x - xs[i+k])*evaluateNeville(x, xs, ys, i, k-1))/(xs[i+k]-xs[i]);
+    }
+}
+
+// Auswertung eines Interpolationspolynoms p(t) bei t=x
+template<typename REAL>
+REAL evaluate(REAL x, std::vector<REAL> &xs, std::vector<REAL> &ys) {
+    // nutze neville verfahren mit p(x) = p_{0,n}(x)
+    evaluateNeville(x, xs, ys, 0, xs.size()-1);
+}\end{lstlisting}
+\item Auszug aus \textit{polynom.cc}
+\begin{lstlisting}[language=C++, title=Auswertung von I-Polynomen für äquidistante Stützstellen, captionpos=b]
+// Auswertung eines Interpolationspolynoms einer Funktion bei vorgegebenen Stuetzstellen
+template <typename REAL>
+REAL evaluateFunction(REAL x, std::vector<REAL> &xs, REAL(*f)(REAL)) {
+    std::vector<double> ys(xs.size());
+    for (int i = 0; i < xs.size(); i++) {
+        // berechne stuetzstellen
+        ys[i] = f(xs[i]);
+    }
+    // verwende polynominterpolation
+    return evaluate(x, xs, ys);
+}
+
+// Auswertung eines Interpolationspolynoms einer Funktion bei aequidistanten Stuetzstellen
+template <typename REAL>
+REAL evaluateFunctionEqualDist(REAL x, REAL a, REAL b, REAL h, REAL(*f)(REAL)) {
+    std::vector<double> xs(std::floor((b-a)/h));
+    std::vector<double> ys(xs.size());
+    for (int i = 0; i < xs.size(); i++) {
+        // berechne stuetzstellen
+        xs[i] = a + i*h;
+        // und funktionswerte
+        ys[i] = f(xs[i]);
+    }
+    // werte polynom aus
+    return evaluate(x, xs, ys);
+}\end{lstlisting}
+\begin{figure}[h]
+    \begin{subfigure}[b]{.5\linewidth}
+    \begin{tikzpicture}
+        \begin{axis}[default 2d plot, xmin=-1, xmax=1]
+            \addplot[green] table {f1_5.dat};
+            \addlegendentry{$n=5$}
+            \addplot[orange] table {f1_10.dat};
+            \addlegendentry{$n=10$}
+            \addplot[blue] table {f1_20.dat};
+            \addlegendentry{$n=20$}
+            \addplot[red, samples=100] {1/(1+x^2)};
+            \addlegendentry{$\frac{1}{1+x^2}$}
+        \end{axis}
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{$f_1 = \frac{1}{1+x^2}$}
+    \end{subfigure}
+    \begin{subfigure}[b]{.5\linewidth}
+    \begin{tikzpicture}
+        \begin{axis}[default 2d plot, xmin=-0.5, xmax=0.5, legend pos=outer north east,
+                restrict y to domain=-1:5]
+            \addplot[green] table {f2_5.dat};
+            \addlegendentry{$n=5$}
+            \addplot[orange] table {f2_10.dat};
+            \addlegendentry{$n=10$}
+            \addplot[blue] table {f2_20.dat};
+            \addlegendentry{$n=20$}
+            \addplot[red, samples=5000] {sqrt(abs(x))};
+            \addlegendentry{$\sqrt{|x|} $}
+        \end{axis}
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{$f_2 = \sqrt{|x|} $}
+    \end{subfigure}
+\end{figure}
+\item Für $\frac{1}{1+x^2}$ funktioniert die Interpolation mit äquidistanten Stützstellen sehr gut.
+    Für $\sqrt{|x|} $ entstehen durch die nicht differenzierbare Stelle bei $x=0$ sehr große Abweichungen,
+    die zu den Rändern mit wachsendem Polynomgrad sogar zunehmen.
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\end{document}

sose2020/num/uebungen/polynom.cc

@@ -0,0 +1,75 @@
+#include <iostream>
+#include <vector>
+#include <math.h>
+
+// Auswertung von p_{i,k}(t) mit Neville Schema bei t=x
+template<typename REAL>
+REAL evaluateNeville(REAL x, std::vector<REAL> &xs, std::vector<REAL> &ys, int i, int k) {
+    if(k == 0) {
+        return ys[i];
+    } else {
+        // nevile rekursionsformel
+        return ((x - xs[i])*evaluateNeville(x, xs, ys,i+1,k-1) - (x - xs[i+k])*evaluateNeville(x, xs, ys, i, k-1))/(xs[i+k]-xs[i]);
+    }
+}
+
+// Auswertung eines Interpolationspolynoms p(t) bei t=x
+template<typename REAL>
+REAL evaluate(REAL x, std::vector<REAL> &xs, std::vector<REAL> &ys) {
+    // nutze neville verfahren mit p(x) = p_{0,n}(x)
+    evaluateNeville(x, xs, ys, 0, xs.size()-1);
+}
+
+// Auswertung eines Interpolationspolynoms einer Funktion bei vorgegebenen Stuetzstellen
+template <typename REAL>
+REAL evaluateFunction(REAL x, std::vector<REAL> &xs, REAL(*f)(REAL)) {
+    std::vector<double> ys(xs.size());
+    for (int i = 0; i < xs.size(); i++) {
+        // berechne stuetzstellen
+        ys[i] = f(xs[i]);
+    }
+    // verwende polynominterpolation
+    return evaluate(x, xs, ys);
+}
+
+// Auswertung eines Interpolationspolynoms einer Funktion bei äquidistanten Stützstellen
+template <typename REAL>
+REAL evaluateFunctionEqualDist(REAL x, REAL a, REAL b, REAL h, REAL(*f)(REAL)) {
+    std::vector<double> xs(std::floor((b-a)/h));
+    std::vector<double> ys(xs.size());
+    for (int i = 0; i < xs.size(); i++) {
+        // berechne stuetzstellen
+        xs[i] = a + i*h;
+        // und funktionswerte
+        ys[i] = f(xs[i]);
+    }
+    // werte polynom aus
+    return evaluate(x, xs, ys);
+}
+
+// beispiel funktionen
+template <typename REAL>
+REAL f1(REAL x) {
+    return 1/(1+std::pow(x,2));
+}
+
+template <typename REAL>
+REAL f2(REAL x) {
+    return std::sqrt(std::abs(x));
+}
+
+int main() {
+    // polynom grad
+    int n = 5;
+    // abstand zwischen stützstellen
+    double h = 2.0 / n;
+
+    // schrittweite
+    double dx = 2.0 / 1000;
+    double x = 0;
+    for(int i = 0; i < 1000; i++) {
+        x = -1.0 + i*dx;
+        // werte polynom mit äquidistanten stuetzstellen zwischen -1 und 1 mit abstand h bei t=x aus
+        std::cout << x << " " << evaluateFunctionEqualDist(x, -1.0, 1.0, h, f2) << std::endl;
+    }
+}