christian/uni
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Releases Wiki Activity

update ana and whteo

Browse Source
This commit is contained in:
christian
2020-11-11 11:57:43 +01:00
parent b6e5344942
commit 76c67aeca0
4 changed files with 13 additions and 10 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files
ws2020/ana/uebungen/ana1.pdf
BIN
View File
Binary file not shown.
ws2020/ana/uebungen/ana1.tex
+9 -6
View File
@@ -13,7 +13,10 @@
Beh.: $\mathcal{A}_{\mu}$ ist eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(i)]
\item $X \in \mathcal{A}_{\mu}$, denn $\mu(\emptyset) = 0$, da
\item Mit der $\sigma$-Additivtät von $\mu$ folgt
$\mu(\emptyset) = \mu(\emptyset \cup \emptyset) = \mu(\emptyset) + \mu(\emptyset) \implies \mu(\emptyset) = 0$.
Damit folgt
$X \in \mathcal{A}_{\mu}$, denn $\mu(\emptyset) = 0$, da
$\mu$ Maß und $X \triangle X = \emptyset$. Mit (ii) ist
auch $\emptyset = X^{C} \in \mathcal{A}_{\mu}$.
\item Sei $A \in \mathcal{A}_{\mu}$. Dann ex.
@@ -48,7 +51,7 @@
&\subset
\left( \bigcup_{i \in \N} A_i \setminus B_i \right) \cup \left( \bigcup_{i \in \N} B_i \setminus A_i \right) \\
&= \bigcup_{i \in \N} \left( A_i \setminus B_i \cup B_i \setminus A_i \right) \\
&\subset C_i \\
&\subset \bigcup_{i \in \N} C_i \\
&= C
.\end{align*}
\end{enumerate}
@@ -98,14 +101,14 @@
Ang. es existiert ein Wahrscheinlichkeitsmaß $\nu \colon \mathscr{P}(X) \to \{0, 1\} $. Dann
ist $\nu([0,1]) = 1$. Definiere nun induktiv: $I_1 = [0, 1]$.
Für $I_{k+1}$ teile $I_k$ beliebig in zwei disjunkte Teilintervalle $A, B \subseteq I_k$ mit
$A \cap B = \emptyset$, $A \cup B = I_k$ und $A, B \neq \emptyset$. Da $\mu(I_k) = 1$ und
$A \cap B = \emptyset$, $A \cup B = I_k$ und $A, B \neq \emptyset$. Da $\nu(I_k) = 1$ und
$A$ und $B$ disjunkt folgt mit der Additivität von $\nu$, dass entweder $\nu(A) = 1$ oder
$\nu(B) = 1$. Wähle dann $I_{k+1} = A$ oder $I_{k+1} = B$, s.d. $\nu(I_k) = 1$. Damit
$\nu(B) = 1$. Wähle dann $I_{k+1} = A$ oder $I_{k+1} = B$, s.d. $\nu(I_{k+1}) = 1$. Damit
ist $I_{k+1} \subsetneqq I_k$ also $I_k$ monoton fallend und $I_k \searrow \{ x \} $
für $x \in [0,1]$. Außerdem gilt nach Konstruktion $\nu(I_k) = 1$ $\forall k \in \N$. Damit folgt
nach VL
\[
\lim_{k \to \infty} \mu(I_k) = 1 \neq 0 = \mu\left( \left\{ x \right\} \right)
\lim_{k \to \infty} \nu(I_k) = 1 \neq 0 = \nu\left( \left\{ x \right\} \right)
\quad \contr
.\]
\end{proof}
@@ -121,7 +124,7 @@
abzählbar, also $\bigcup_{i \in \N} A_i \in \mathcal{A}$.
Falls $\exists j \in \N$, s.d. $A_j \in \mathcal{A}$ überabzählbar, dann ist
$\mathcal{A}^{c}$ höchstens abzählbar nach Definition. Damit folgt
$A_j^{c}$ höchstens abzählbar nach Definition. Damit folgt
\[
\left(\bigcup_{i \in \N} A_i\right)^{c} = \bigcap_{i \in \N} A_i ^{c}
\subseteq A_j^{c}