update ana and whteo

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@@ -13,7 +13,10 @@
     Beh.: $\mathcal{A}_{\mu}$ ist eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
     \begin{proof}
         \begin{enumerate}[(i)]
-            \item $X \in \mathcal{A}_{\mu}$, denn $\mu(\emptyset) = 0$, da
+            \item Mit der $\sigma$-Additivtät von $\mu$ folgt
+                $\mu(\emptyset) = \mu(\emptyset \cup \emptyset) = \mu(\emptyset) + \mu(\emptyset) \implies \mu(\emptyset) = 0$.
+                Damit folgt
+                $X \in \mathcal{A}_{\mu}$, denn $\mu(\emptyset) = 0$, da
                 $\mu$ Maß und $X \triangle X = \emptyset$. Mit (ii) ist
                 auch $\emptyset = X^{C} \in \mathcal{A}_{\mu}$.
             \item Sei $A \in \mathcal{A}_{\mu}$. Dann ex.
@@ -48,7 +51,7 @@
                                   &\subset
                                   \left( \bigcup_{i \in \N} A_i \setminus B_i \right) \cup \left( \bigcup_{i \in \N} B_i \setminus A_i \right) \\
                                   &= \bigcup_{i \in \N} \left( A_i \setminus B_i \cup B_i \setminus A_i \right) \\
-                                  &\subset C_i \\
+                                  &\subset \bigcup_{i \in \N} C_i \\
                                   &= C
                 .\end{align*}
         \end{enumerate}
@@ -98,14 +101,14 @@
                 Ang. es existiert ein Wahrscheinlichkeitsmaß $\nu \colon \mathscr{P}(X) \to \{0, 1\} $. Dann
                 ist $\nu([0,1]) = 1$. Definiere nun induktiv: $I_1 = [0, 1]$.
                 Für $I_{k+1}$ teile $I_k$ beliebig in zwei disjunkte Teilintervalle $A, B \subseteq I_k$ mit
-                $A \cap B = \emptyset$, $A \cup B = I_k$ und $A, B \neq \emptyset$. Da $\mu(I_k) = 1$ und
+                $A \cap B = \emptyset$, $A \cup B = I_k$ und $A, B \neq \emptyset$. Da $\nu(I_k) = 1$ und
                 $A$ und $B$ disjunkt folgt mit der Additivität von $\nu$, dass entweder $\nu(A) = 1$ oder
-                $\nu(B) = 1$. Wähle dann $I_{k+1} = A$ oder $I_{k+1} = B$, s.d. $\nu(I_k) = 1$. Damit
+                $\nu(B) = 1$. Wähle dann $I_{k+1} = A$ oder $I_{k+1} = B$, s.d. $\nu(I_{k+1}) = 1$. Damit
                 ist $I_{k+1} \subsetneqq I_k$ also $I_k$ monoton fallend und $I_k \searrow \{ x \} $
                 für $x \in [0,1]$. Außerdem gilt nach Konstruktion $\nu(I_k) = 1$ $\forall k \in \N$. Damit folgt
                 nach VL
                 \[
-                    \lim_{k \to \infty} \mu(I_k) = 1 \neq 0 = \mu\left( \left\{ x \right\}  \right) 
+                    \lim_{k \to \infty} \nu(I_k) = 1 \neq 0 = \nu\left( \left\{ x \right\}  \right) 
                     \quad \contr
                 .\]
             \end{proof}
@@ -121,7 +124,7 @@
                         abzählbar, also $\bigcup_{i \in \N} A_i \in \mathcal{A}$.
 
                         Falls $\exists j \in \N$, s.d. $A_j \in \mathcal{A}$ überabzählbar, dann ist
-                        $\mathcal{A}^{c}$ höchstens abzählbar nach Definition. Damit folgt
+                        $A_j^{c}$ höchstens abzählbar nach Definition. Damit folgt
                         \[
                             \left(\bigcup_{i \in \N} A_i\right)^{c} = \bigcap_{i \in \N} A_i ^{c}
                             \subseteq A_j^{c}

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@@ -36,10 +36,10 @@
                 nicht, da $\{0\}  \cup \{2\} = \{0, 2\} \not\in \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2$.
             \end{proof}
         \item Sei $\mathcal{A}$ $\sigma$-Algebra über $\Omega$ und $f\colon \mathcal{X} \to \Omega$ Abbildung.
-            Beh.: $f^{-1}(\mathcal{A}) \coloneqq \{ f^{-1}(A) \colon A \in \mathcal{A}\} $.
+            Beh.: $f^{-1}(\mathcal{A}) \coloneqq \{ f^{-1}(A) \colon A \in \mathcal{A}\} $ ist $\sigma$-Algebra.
             \begin{proof}
                 \begin{enumerate}[(i)]
-                    \item $\mathcal{X} \in f^{-1}(\mathcal{A})$, denn $f^{-1}(\mathcal{X}) = \Omega$.
+                    \item $\mathcal{X} \in f^{-1}(\mathcal{A})$, denn $f^{-1}(\Omega) = \mathcal{X}$.
                     \item Sei $B \in f^{-1}(\mathcal{A})$. Dann ex. ein $A \in \mathcal{A}$, s.d.
                         $f^{-1}(A) = B$. Da $\mathcal{A}$ $\sigma$-Algebra ist $A^{c} \in \mathcal{A}$.
                         Damit folgt
@@ -120,7 +120,7 @@
                 wachsend, ist für $n \ge 2\colon B_n = A_n \setminus A_{n-1}$. Damit folgt
                 \begin{salign*}
                     \mathbb{P}(\bigcup_{n \in \N} A_n) &= \mathbb{P}\left( \bigcupdot_{n \in \N} B_n \right)\\
-                    &\stackrel{\sigma \text{Additivität}}{=} \sum_{n=1}^{\infty} B_n  \\
+                    &\stackrel{\sigma \text{Additivität}}{=} \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(B_n)  \\
                     &= \mathbb{P}(B_1) + \sum_{n=2}^{\infty} \left( \mathbb{P}(A_n) - \mathbb{P}(A_n \cap A_{n-1}) \right) \\
                     &\stackrel{A_n \subseteq A_{n+1}}{=}
                     \mathbb{P}(B_1) + \sum_{n=2}^{\infty} \left( \mathbb{P}(A_n) - \mathbb{P}(A_{n-1}) \right) \\
@@ -151,7 +151,7 @@
                     + \mathbb{P}(A_{n+1}) - \mathbb{P}\left( \bigcup_{j=1}^{n} A_j \cap A_{n+1} \right) \\
                     \stackrel{\text{I.V.}}{=}&
                     \sum_{j=1}^{n} \left( (-1)^{j-1} \sum_{\{k_1, \ldots, k_j\} \subseteq \{1, \ldots, n\}}
-                    \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \ldots \cap A_{k_j}\right)
+                    \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \ldots \cap A_{k_j})\right)
                     + \mathbb{P}(A_{n+1}) \\
                     &- \sum_{j=1}^{n} \left( (-1)^{j-1} \sum_{\{k_1, \ldots, k_j\} \subseteq \{1, \ldots, n\} }
                     \mathbb{P}(A_{k_1} \cap A_{n+1} \cap \ldots \cap A_{k_j} \cap A_{n+1}) \right) \\