final version

sose2022/bachelorarbeit/arbeit.cls

@@ -201,7 +201,7 @@
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+  { (<&|&<|\c{iff}&|&\c{iff}|\c{impliedby}&|&\c{impliedby}|\c{implies}&|&\c{implies}|\c{approx}&|&\c{approx}|\c{equiv}&|&\c{equiv}|=&|&=|\c{le}&|&\c{le}|\c{ge}&|&\c{ge}|&\c{stackrel}{.*?}{.*?}|\c{stackrel}{.*?}{.*?}&|&\c{neq}|\c{neq}&|\c{simeq}&|&\c{simeq}) }
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   \l__lec_text_tl

sose2022/bachelorarbeit/vortrag.tex

@@ -16,17 +16,22 @@ $N$ die Adjunktion
 \[
     - \otimes_A N \dashv \operatorname{Hom}_A(N, -)
 \] bekannt. In der klassischen homologischen Algebra definiert man
-die Funktoren $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ und $\operatorname{Tor}_A^{i}(-, N)$ als
+die Funktoren $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ und $\operatorname{Tor}_i^{A}(-, N)$ als
 Ableitungen der Funktoren $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ und $- \otimes_A N$. Nun stellt sich
 die Frage, ob zwischen diesen ein analoges Adjunktionsresultat gilt.
 
-Die Antwort ist nein, denn angenommen $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ wäre rechtsadjungiert, dann
-folgte, dass $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ linksexakt sei. Die exakte Folge
+\begin{satz}[]
+    $\operatorname{Ext}$ ist nicht rechtsadjungiert.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+Angenommen $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ ist rechtsadjungiert, dann
+ist $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ linksexakt sei. Die exakte Folge
 \[
 \begin{tikzcd}
     0 \arrow{r} & \Z \arrow{r}{\cdot 2} & \Z \arrow{r} & \Z / 2 \Z \arrow{r} & 0
 \end{tikzcd}
-\] in $\Z$-Mod lieferte dann die exakte Folge
+\] in $\Z$-Mod liefert die exakte Folge
 \[
 \begin{tikzcd}
     \underbrace{\operatorname{Ext}^{0}_{\Z}(\Z / 2\Z, \Z)}_{= 0} \arrow{r} &
@@ -38,25 +43,18 @@ folgte, dass $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ linksexakt sei. Die exakte Folge
 und $\operatorname{Ext}_{\Z}^{0}(\Z / 2 \Z, \Z) = \operatorname{Hom}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z) = 0$, also ist
 $\operatorname{Ext}_{\Z}^{1}(\Z / 2 \Z, \Z) \to \operatorname{Ext}^{1}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z)$ nicht injektiv.
 
+\end{proof}
+
 \section{Neuer Ableitungsbegriff}
 
-Es liegt also nahe, dass der klassische Ableitungsbegriff unvollständig ist.
-Um einen allgemeineren zu finden,
-betrachtet man die Bildung von klassischen Ableitungen.
-%Konstruktion eines neuen Ableitungsbegriffs führt zum Begriff der derivierten Kategorie:
-%Sei $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie und sei $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ die Homotopiekategorie
-%von $\mathcal{A}$, das heißt die Kategorie, deren Objekte Komplexe aus $\mathcal{A}$ und
-%deren Morphismen Homotopieäquivalenzklassen von Komplexhomomorphismen sind.
-Dazu seien $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ abelsche Kategorien und $\mathcal{A}$ habe
-genügend viele Injektive.
-Sei $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ ein additiver und linksexakter Funktor und
-$X \in \mathcal{A}$. Dann existiert eine injektive Auflösung von $X$, also ein Komplex
-$\com{I}$ in $\mathcal{A}$, sodass
-\[
-\begin{tikzcd}
-    0 \arrow{r} & X \arrow{r} & I^{0} \arrow{r} & I^{1} \arrow{r} & \cdots
-\end{tikzcd}
-\] exakt ist oder, äquivalent dazu, dass die vertikalen Morphismen in
+Seien $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ abelsche Kategorien, $\mathcal{A}$ habe genügend viele Injektive
+und $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ sei additiv und linksexakt.
+
+\begin{bem}[Erinnerung]
+Sei $X \in \mathcal{A}$.
+\begin{enumerate}[(1)]
+    \item Es existiert eine injektive Auflösung von $X$, also ein Komplex
+$\com{I}$ in $\mathcal{A}$ mit injektiven Objekten, sodass
 \begin{equation}
 \begin{tikzcd}
     \cdots \arrow{r} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & X \arrow{r} \arrow{d} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & \cdots \\
@@ -64,132 +62,107 @@ $\com{I}$ in $\mathcal{A}$, sodass
     \label{eq:resolution}
 \end{tikzcd}
 \end{equation}
-einen Quasiisomorphismus bilden, das heißt ein Komplexhomomorphismus, der Isomorphismen auf
-den Kohomologiegruppen induziert. Die Ableitungen von $F$ bei $X$ sind nun die Kohomologiegruppen
-des Komplexes $F(\com{I})$. Man zeigt dann aufwendig, dass dieser Prozess wohldefiniert ist, das
-heißt insbesondere nicht von der Wahl der injektiven Auflösung von $X$ abhängt.
-
-Anstatt den abgeleiteten Funktor von $F$ auf $\mathcal{A}$ zu konstruieren, definiert man nun
-die Ableitung auf einer Komplexkategorie von $\mathcal{A}$, das heißt einer Kategorie, deren
-Objekte Komplexe mit Objekten aus $\mathcal{A}$ sind. Bezeichne mit $X[0]$ den oberen Komplex
-in \eqref{eq:resolution}. Dann ist es natürlich zu fordern, dass die Ableitung von $F$ bei
-$X[0]$ bis auf Isomorphie mit der Ableitung von $F$ bei $\com{I}$ und bei allen weiteren injektiven
-Auflösungen von $X$ übereinstimmt.
-
-Dies führt zu der Idee, Objekte (und allgemeiner Komplexe) auf kategorieller Ebene
-mit ihren Auflösungen zu identifizieren,
-also eine geeignete Kategorie von Komplexen zu finden,
-in der quasiisomorphe Komplexe bereits isomorph sind.
-Dazu kann man zunächst zur
-Homotopiekategorie $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ übergehen, das heißt die Kategorie, deren
-Objekte Komplexe aus $\mathcal{A}$ und deren Morphismen
-Homotopieäquivalenzklassen von Komplexhomomorphismen sind. Allerdings ist ein Quasiisomorphismus im
-Allgemeinen keine Homotopieäquivalenz. Deshalb konstruiert man eine weitere Kategorie
-$\mathcal{D}(\mathcal{A})$, die derivierte Kategorie von $\mathcal{A}$, mit den Objekten
-von $\mathcal{K}(\mathcal{A})$, wobei alle Quasiisomorphismen in $\mathcal{K}(\mathcal{A})$
-Isomorphismen in $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ induzieren. Man erhält einen kanonischen Funktor
-$Q_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{A})$.
-
-Die (Rechts-)Ableitung von $F$ ist nun (falls existent) ein Funktor
-$\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$ mit
-einer natürlichen Transformation
-$\xi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to \text{R}F \circ Q_{\mathcal{A}}$, die den Zusammenhang
-zwischen $\text{R}F$ und $F$ herstellt.
-
-Im Allgemeinen ist die Existenz von $\text{R}F$ eine schwierige Frage, in der klassischen
-Situation existiert $\text{R}F$ jedoch zumindest
-auf der Unterkategorie $\mathcal{D}(\mathcal{A})^{+}$ der
-nach unten beschränkten Komplexe und die Kohomologiegruppen $H^{i}\text{R}F(X[0])$ stimmen
-mit den klassischen Rechtsableitungen $\text{R}^{i}F(X)$ überein. Vom klassischen Standpunkt
-erwartungsgemäß, induziert die natürliche Transformation $\xi$ auf der Klasse der nach
-unten beschränkten Komplexe mit injektiven Objekten Isomorphismen, das heißt $F$ stimmt mit
-seiner Ableitung $\text{R}F$ auf diesen Komplexen überein.
-
-Dieser neue Ableitungsbegriff erlaubt auf natürliche Weise auch Funktoren\footnote{Unter Voraussetzung
-einer schwachen Bedingung an $F$, die beispielsweise erfüllt ist, wenn
-$F$ von einem additiven Funktor
-$\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ induziert ist.}
-$F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$ zuzulassen.
-Analog zur klassischen
-Theorie ist dann die Existenz der Ableitung von $F$ gesichert durch:
-\begin{enumerate}[(1)]
-    \item eine Klasse $\mathcal{J}$ von $F$-azyklischen Komplexen, das heißt
-        eine Klasse von Komplexen für die $F$ Exaktheit erhält, und
-    \item für jeden Komplex einen Quasiisomorphismus in einen Komplex aus $\mathcal{J}$.
+ein Quasiisomorphismus ist, das heißt ein Komplexhomomorphismus, der Isomorphismen auf
+den Kohomologiegruppen induziert.
+
+\item Die Ableitungen von $F$ bei $X$ sind nun die Kohomologiegruppen
+des Komplexes $F(\com{I})$.
+
+\item Wohldefiniert.
 \end{enumerate}
-In diesem Fall induziert $\xi$ auf den Komplexen aus $\mathcal{J}$ Isomorphismen, das heißt
-Ableitungen berechnen sich, analog zur klassischen Situation, durch Auflösungen durch Komplexe
-aus $\mathcal{J}$.
-
-Besonders die zweite Bedingung ist für beliebige abelsche Kategorien jedoch nur
-sehr schwer zu erfüllen und hängt durch $\mathcal{J}$ von dem konkreten Funktor $F$ ab. Spaltenstein
-hat das in seiner
-Arbeit ,,Resolution of unbounded complexes`` \cite{spaltenstein}
-für zahlreiche Funktoren unter wenigen Voraussetzungen
-an die beteiligten Kategorien gelöst. Die vorliegende Arbeit stellt im
-\ref{sec:resolutions}. Abschnitt sein Argument dar, um dies im \ref{sec:application}.
-Abschnitt auf den Homfunktor und das Tensorprodukt anzuwenden.
-
-Dafür erweitern wir die Funktoren $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ und $- \otimes_A N$ in natürlicher Weise
-zu Funktoren $\mathcal{K}(A\text{-Mod}) \to \mathcal{K}(A\text{-Mod})$, sodass die Erweiterungen,
-angewendet auf eingradige Komplexe, mit den ursprünglichen Funktoren übereinstimmen. Der naive
-Ansatz $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ bzw. $\operatorname{Hom}_A(-, N)$ in beiden Variablen zu erweitern,
-indem für Komplexe $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ gradweise
-$\operatorname{Hom}_A(M^{i}, N^{i})$ gebildet wird, ist nicht hinreichend,
-denn dieser neue Komplex enthielte keine Informationen über die Komplexhomomorphismen
-von $\com{M}$ nach $\com{N}$.
-
-%Die Idee
-%der derivierten Kategorie kommt von der Beobachtung, dass vor allem die Kohomologiegruppen von
-%Komplexen von Interessse sind. Allerdings ist ein Quasiisomorphismus
-%$f\colon \com{X} \to \com{Y}$ zwischen Komplexen $\com{X}, \com{Y} $ in $\mathcal{A}$,
-%also ein Komplexhomomorphismus, der Isomorphismen zwischen den Kohomologiegruppen induziert,
-%im Allgemeinen keine Homotopieäquivalenz, das heißt kein Isomorphismus in $\mathcal{K}(\mathcal{A})$.
-%Diesen Defekt behebt die deriverte Kategorie $\mathcal{D}(\mathcal{A})$, die die selben Objekte
-%hat wie $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ und in der alle Quasiisomorphismen zu Isomorphismen erklärt
-%werden. Bezeichne im Folgenden
-%$Q_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{A})$ den kanonischen Funktor.
-
-%Sei nun $\mathcal{B}$ eine weitere abelsche Kategorie und $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$
-%ein additiver Funktor. Dann definiert man einen Funktor
-%$\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$
-%mit einer natürlichen Transformation
-%$\xi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to \text{R}F \circ Q_{\mathcal{A}}$. Für ein Objekt
-%$X \in \mathcal{A}$ bezeichne $X[0] \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ den Komplex der im Grad $0$ $X$
-%zu stehen hat und in allen anderen Graden $0$ ist.
-%Falls $F$ linksexakt ist,
-%existiert $\text{R}F$ und die Kohomologiegruppen $H^{i}\text{R}F(X[0]) $ entsprechen
-%den klassischen Rechtsableitungen $\text{R}^{i}F(X)$. Allgemeiner definiert man $\text{R}F$
-%für bestimmte Funktoren $F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{A})$. Das
-%bedeutet der neue Ableitungsbegriff ist eine echte Verallgemeinerung des alten.
-
-%Um die abgeleitete Hom-Tensor Adjunktion zu formulieren, werden die Funktoren $\operatorname{Hom}_A(N, -)$
-%und $- \otimes_A N$ in natürlicher Weise zu Funktoren
-%$\mathcal{K}(A\text{-Mod}) \to \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ erweitert, sodass
-%die Erweiterungen, angewendet auf eingradige Komplexe, mit den ursprünglichen Funktoren
-%übereinstimmen. Der so (in beiden Variablen) funktoriell definierte Komplex
-%$\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{N})$ für
-%Komplexe $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ soll dabei Informationen über die
-%Morphismen in $\mathcal{K}(A\text{-Mod})$ von $\com{M} $ nach $\com{N} $ enthalten. Man definiert
-%also für $n \in \Z$
+\end{bem}
+
+\begin{bem}[Idee]
+    Identifiziere $X$ bzw. $X[0]$ mit seinen Auflösungen.
+\end{bem}
 
 \begin{definition}
-Anstatt dessen definiert man für $n \in \Z$ und Komplexe $\com{M}, \com{N} \in
-\mathcal{K}(\mathcal{A})$:
-\[
-\operatorname{Hom}^{n}(\com{M}, \com{N}) = \prod_{i \in \Z} \operatorname{Hom}_A(M^{i}, N^{i+n})
-\] mit Differential
-\[
-    d^{n}(f) = d_{\com{N} } f - (-1)^{n} f d_{\com{M}}
-.\]
+    Sei $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ die Kategorie mit:
+    \begin{itemize}
+        \item Objekten: Komplexe von $\mathcal{A}$.
+        \item Morphismen: Komplexhomomorphismen modulo Homotopie.
+    \end{itemize}
 \end{definition}
 
-\begin{lemma}
-    Dann erhält man den Zusammenhang
+\begin{definition}[Derivierte Kategorie]
+    Sei $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ die derivierte Kategorie von $\mathcal{A}$ mit
+    \begin{itemize}
+        \item Objekte: Komplexe von $\mathcal{A}$
+    \end{itemize}
+    und einem kanonischen Funktor
+    $Q_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{A})$, sodass
+    Quasiisomorphismen Isomorphismen induzieren in $\mathcal{D}(\mathcal{A})$.
+\end{definition}
+
+\begin{bem}[Mengentheorie]
+    Es gibt mengentheoretische Probleme.
+\end{bem}
+
+$F$ induziert natürlicherweise einen Funktor $\mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$.
+
+\begin{definition}[Totalableitung]
+    Sei $F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$ ein additiver
+    Funktor plus $(*)$.
+    Die (Rechts-)Ableitung von $F$ ist nun (falls existent) ein Funktor
+    $\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$ mit
+    einer natürlichen Transformation
+    $\varphi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to \text{R}F \circ Q_{\mathcal{A}}$, die
+    eine gewissen universelle Eigenschaft erfüllen.
+\end{definition}
+
+\begin{bem}[Universelle Eigenschaft]
+    Für jeden Funktor $G\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$
+    und jede natürliche Transformation
+    $\psi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to G \circ Q_{\mathcal{A}}$ eine
+    eindeutige natürliche Transformation $\eta\colon RF \to G$ existiert, sodass
     \[
-    H^{0}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{N}) = \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{M}, \com{N})
-    .\]
-\end{lemma}
+        \begin{tikzcd}
+            Q_{\mathcal{B}} \circ F \arrow{r}{\phi} \arrow{dr}{\psi} & RF \circ Q_{\mathcal{A}} \arrow[dashed]{d}{\eta} \\
+            & G \circ Q_{\mathcal{A}}
+        \end{tikzcd}
+    .\] 
+\end{bem}
+
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}[(1)]
+        \item In der klassischen Situation existiert $RF$ auf der Unterkategorie
+            $\mathcal{D}(\mathcal{A})^{+}$.
+        \item Kohomologiegruppen $H^{i}\text{R}F(X[0])$ stimmen mit den klassischen
+            Rechtsableitungen $\text{R}^{i}F(X)$ überein.
+        \item $\varphi$ induziert Isomorphismen auf der Klasse der nach unten beschränkten
+            Komplexe mit injektiven Objekten.
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\begin{satz}[]
+    Sei $\mathcal{J}$ eine Klasse von Komplexen in $\mathcal{A}$.
+    \begin{enumerate}[(1)]
+        \item Für $\com{I} \in \mathcal{J}$ gilt: $\com{I} $ exakt
+            $\implies$ $F(\com{I})$ exakt.
+        \item Für alle $\com{X} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ existiert
+            ein Quasiisomorphismus $\com{X} \to \com{I} $ mit $\com{I} \in \mathcal{J}$.
+    \end{enumerate}
+    Dann existiert $RF\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$
+    und $\varphi(\com{I})$ ist ein Isomorphismus für alle $\com{I} \in \mathcal{J}$.
+\end{satz}
+
+\section{Ableitungen von Hom und Tensorprodukt}
+
+Erweitern von Hom und Tensorprodukt auf $\mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$.
+
+\begin{definition}[]
+    Für $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ definieren wir
+    $\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{N}) \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$, sodass
+    \begin{itemize}
+        \item $\com{\operatorname{Hom}}$ auf eingradigen Komplexen
+            mit $\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}$ übereinstimmt,
+        \item und
+            \[
+            H^{0}(\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{N})) =
+            \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}(\mathcal{A}}(\com{M}, \com{N})
+            .\] 
+    \end{itemize}
+\end{definition}
 
 \begin{definition}
 Für $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ definiert man nun
@@ -202,7 +175,7 @@ $\com{P} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ einen natürlichen Isomorphismus
 \end{definition}
 Das Ziel ist nun die Funktoren $\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$, $\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{N})$
 und $- \otimes_A \com{N} $ abzuleiten.
-Dafür suchen wir jeweils eine Klasse $\mathcal{J}$ von Komplexen, die die Bedingungen
+Dafür suchen wir jeweils eine Klasse $\mathcal{I}$ von Komplexen, die die Bedingungen
 (1) und (2) für den entsprechenden Funktor erfüllt.
 
 Für
@@ -214,7 +187,17 @@ $\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$ definieren wir dafür
     $\com{M} \to \com{I} $ mit einem K-injektiven Komplex $\com{I}$.
 \end{definition}
 
-Sei nun $\mathcal{J}$ die Klasse der K-injektiven Komplexe. Die Bedingung
+\begin{bem}
+    $\com{I} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ ist genau dann K-injektiv, wenn
+    jeder Komplexhomomorphismus von einem exakten Komplex nach $\com{I} $
+    nullhomotop ist.
+\end{bem}
+
+\begin{bsp}
+    Jeder nach unten beschränkte Komplex mit injektiven Objekten ist K-injektiv (Algebra II).
+\end{bsp}
+
+Sei nun $\mathcal{I}$ die Klasse der K-injektiven Komplexe. Die Bedingung
 (1) ist für diese Wahl erfüllt, denn:
 
 \begin{lemma}
@@ -231,52 +214,197 @@ Sei nun $\mathcal{J}$ die Klasse der K-injektiven Komplexe. Die Bedingung
 
 Der schwierige Teil ist Bedingung (2) nachzuweisen.
 
-Zuänchst bemerken wir, dass nach unten beschränkte Komplexe mit injektiven Objekten
-K-injektiv sind. Klassisch ist bekannt, dass
-jeder nach unten beschränkte Komplex eine Auflösung durch einen solchen Komplex hat. Für
-einen beliebigen (unbeschränkten) Komplex $\com{M} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ funktioniert die
-klassische, induktive Konstruktion jedoch nicht.
-
-Wir konstruieren deshalb geeignete $\mathcal{J}$-spezielle inverse Systeme.
-Das sind abzählbare inverse Systeme mit surjektiven Übergangsabbildungen, wobei die Kerne dieser
-in $\mathcal{J}$ liegen. Im ersten Schritt zeigen wir nun, dass $\mathcal{J}$ abgeschlossen
-unter $\mathcal{J}$-speziellen inversen Limites ist, das heißt, dass die Limites von solchen
-Systemen in $\mathcal{J}$ liegen.
-
-Die Idee im zweiten Schritt ist nun, für $n \in \N$ den unbeschränkten Komplex
-$\com{M}$ so abzuschneiden, dass
-die Kohomologiegruppen vom Grad $\ge -n$ erhalten bleiben. So erhalten wir ein System
-$(\tau^{\ge -n} \com{M})_{n \in \N}$ der abgeschnittenen Komplexe von $\com{M}$.
-
-Induktiv konstruieren wir dann ein $\mathcal{J}$-spezielles inverses System
-$(\com{I}_n)_{n \in \N}$ und ein inverses System von Quasiisomorphismen
-$f_n\colon \tau^{\ge -n} \com{M} \to \com{I}_n$, indem wir in jedem Schritt für $n \in \N$
-aus $\tau^{\ge -n} \com{M}$ und $\com{I}_{n-1}$ einen nach unten beschränkten Komplex konstruieren,
-der klassisch durch einen K-injektiven aufgelöst werden kann.
-So erhalten wir im Limes einen K-injektiven Komplex $\com{I}$ und einen Komplexhomomorphismus
-$f\colon \com{M} \to \com{I}$.
-
-Da für $\mathcal{A} = A\text{-Mod}$ der inverse Limes jedoch nicht exakt ist, ist
-$f\colon \com{M} \to \com{I}$
-a priori kein Quasiisomorphismus, obwohl $f_n$ ein solcher ist für alle $n \in \N$.
-Mithilfe einer Variante des
-Mittag-Leffler Kriteriums können wir zeigen, dass $f$ dennoch ein Quasiisomorphismus ist.
-
-Dual dazu definieren wir K-projektive Komplexe und Auflösungen und zeigen, dass jeder
-Komplex in $A$-Mod ebenfalls eine K-projektive Auflösung hat.
-Für den Funktor $- \otimes_A \com{N}$ benötigen
-wir dann noch eine dritte Klasse von Komplexen, die K-flachen Komplexe, die analog zu den
-K-Injektiven auf das Tensorprodukt angepasst definiert werden. Wir können dann zeigen, dass
-jeder K-projektive Komplex schon K-flach ist und erhalten so, dass jeder Komplex auch eine K-flache
-Auflösung besitzt.
-
-Im letzten Abschnitt wenden wir die Existenz von K-injektiven, K-projektiven und K-flachen
-Auflösungen an, um die Existenz der abgeleiteten Funktoren $\text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$,
-$\text{R}\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{N})$ und $- \otimes_A^{L} \com{N} $ zu zeigen.
-Als Korollar erhalten wir daraus die Adjunktion von $- \otimes^{L}_A \com{N}$
-und $\text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$, indem wir durch geeignetes Auflösen
-der beteiligten Komplexe die
-Situation auf die Adjunktion von $- \otimes_A \com{N}$ und $\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$
-zurückführen.
+\begin{bsp}
+    Falls $\mathcal{A}$ genügend viele Injektive hat, hat
+    jeder nach unten beschränkte Komplex eine Auflösung durch einen
+    nach unten beschränkten Komplex mit injektiven Objekten. Das konstruiert man induktiv, indem
+    man schrittweise in injektive Objekte einbettet.
+\end{bsp}
+
+Das funktioniert nur nicht für unbeschränkte Komplexe.
+
+Idee: Wir bedienen uns der Auflösung beschränkter Komplexe, konstruieren damit ein inverses System
+und der Limes liefert dann eine K-injektive Auflösung.
+
+Sei $\mathcal{J}$ eine Klasse von Komplexen.
+
+\begin{definition}
+    Ein $\mathcal{J}$-spezielles inverses System ist ein abzählbares inverses System
+    $(\com{I}_n)_{n \in \N}$, sodass
+    \begin{enumerate}[(1)]
+        \item $\com{I}_1 = 0$
+        \item Für $n > 1$ ist
+            die kurze Folge
+            \[
+            \begin{tikzcd}
+                0 \arrow{r} & \text{ker } p_n \arrow{r} & \com{I}_n \arrow{r}{p_n}
+                            & \com{I}_{n-1} \arrow{r} & 0
+            \end{tikzcd}
+            \] exakt, zerfällt stufenweise und $\text{ker } p_n$ liegt in $\mathcal{J}$.
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+Wir zeigen nun zunächst, dass die Klasse $\mathcal{I}$ der K-Injektiven abgeschlossen unter
+speziellen inversen Systemen ist, das heißt, dass der inverse Limes
+$\mathcal{I}$-spezieller inverser Systeme wieder in $\mathcal{I}$ liegt.
+
+Dazu beobachtet man
+
+\begin{lemma}
+    Die Klasse der exakten Komplexe ist abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Diagrammjagd.
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+    Sei $\mathcal{B}$ eine weitere abelsche Kategorie,
+    $\mathcal{J} \subset \mathcal{K}(\mathcal{B})$ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
+    Angenommen inverse Limites existieren in $\mathcal{A}$ und sei
+    $F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$ ein kovarianter
+    Funktor der mit inversen Limites vertauscht und gradweise zerfallende kurze exakte Folgen erhält.
+    
+    Dann ist $F^{-1}(\mathcal{J}) \subset \mathcal{K}(\mathcal{A})$ abgeschlossen unter speziellen
+    inversen Limites.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Das liegt daran, dass $F$ $F^{-1}(\mathcal{J})$-spezielle inverse Systeme in
+    $\mathcal{J}$-spezielle inverse Systeme überführt.
+\end{proof}
+
+\begin{korollar}[]
+Die Klasse $\mathcal{I}$ der K-injektiven Komplexe
+ist abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
+\end{korollar}
+
+\begin{proof}
+    Sei $\mathcal{E}$ die Klasse der exakten Komplexe in $\mathcal{A}$,
+    dann ist für jeden exakten Komplex $\com{T} $ in $\mathcal{A}$ die Klasse
+    $\com{\operatorname{Hom}}(\com{T}, -)^{-1}(\mathcal{E})$ abgeschlossen
+    unter speziellen inversen Limites. Mit
+    \[
+    \mathcal{I} = \bigcap_{\com{T} \in \mathcal{E}}
+    \com{\operatorname{Hom}} (\com{T}, -)^{-1}(\mathcal{E})
+    \] folgt jetzt die Behauptung.
+\end{proof}
+
+Sei nun $\com{M} \in \mathcal{K}$ ein beliebiger Komplex.
+Wir wollen ein $\mathcal{I}$-spezielles inverses System konstruieren, dessen Limes eine Auflösung
+von $\com{M} $ liefert.
+
+\begin{definition}[Abschneiden]
+    Für $n \in \N$ betrachten wir den Komplex $\tau^{\ge -n} \com{M} $
+    \[
+        \begin{tikzcd}
+            0 \arrow{r} & \arrow{r} \operatorname{coker } d_{M}^{-n-1}
+              & \arrow{r} M^{-n+1}
+              & \arrow{r} M^{-n+2}
+              & \cdots
+        \end{tikzcd}
+    .\] 
+\end{definition}
+
+\begin{bem}[]
+    Dann ist für $i \ge -n$
+    \[
+        H^{i}(\tau^{\ge -n}\com{M}) = H^{i}(\com{M})
+    .\] 
+\end{bem}
+
+\begin{satz}[]
+    Es existiert ein $\mathcal{I}$-spezielles inverses System $(\com{I}_n)_{n \in \N}$
+    mit einem inversen System von Quasiisomorphismen $f_n\colon \tau^{\ge -n} \com{M} \to \com{I}_n$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Wir gehen induktiv vor: Setze $I_1 = 0$ und $f_1 = 0$. Sei $\com{M}_n = \tau^{\ge -n} \com{M}$.
+    Dann ist $\com{M}_2$ nach unten beschränkt, also existiert ein K-injektiver Komplex
+    $\com{I}_2$ und ein Quasiisomorphismus $f_2 \colon \com{M}_2 \to \com{I}_2$.
+
+    Sei nun $n \ge 3$, $\com{I}_{n-1}$ und $f_{n-1}$ bereits konstruiert.
+    Aus $\com{I}_{n-1}$ und $\com{M}_n$ konstruiert man einen neuen nach unten beschränkten
+    Komplex, der wieder durch einen K-injektiven aufgelöst werden kann. Durch geeignete Modifikation
+    erhält man dann $\com{I}_n$ und $f_n$.
+\end{proof}
+
+Wir nehmen nun an, dass in $\mathcal{A}$ inverse Limites existieren.
+
+\begin{bem}[]
+    \begin{enumerate}[(a)]
+    \item Sei $\com{I} $ der Limes des Systems
+        $(\com{I}_n)_{n \in \N}$ und $f\colon \com{M} \to \com{I}$ der Limes des Systems
+        $(f_n)_{n \in \N}$.
+    \item Dann sind zwar die $f_n$ Quasiisomorphismen, aber
+        $f$ a priori kein Quasiisomorphismus, da der inverse Limes im Allgemeinen,
+        insbesondere für $\mathcal{A} = A\text{-Mod}$, nicht exakt ist.
+    \item Abhilfe: Mittag Leffler + Diagrammjagd. Also
+        $f$ für $\mathcal{A} = A\text{-Mod}$ ein Quasiisomorphismus.
+\end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\begin{korollar}[]
+Existenz von $R\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$.
+\end{korollar}
+
+\begin{bem}[Umdrehen der Pfeile]
+    Dual dazu definieren wir K-projektive Komplexe und Auflösungen und zeigen, dass jeder
+    Komplex in $A$-Mod ebenfalls eine K-projektive Auflösung hat.
+\end{bem}
+
+\begin{korollar}[]
+Existenz von $R\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{N})$.
+\end{korollar}
+
+\begin{definition}[K-flach]
+    Analog zu K-injektiv für $- \otimes_A \com{N}$.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[]
+    K-projektiv $\implies$ K-flach
+\end{satz}
+
+\begin{korollar}[]
+    Es existieren K-flache Auflösungen.
+\end{korollar}
+
+\begin{korollar}
+    Abgeleitetes Tensorprodukt existiert.
+\end{korollar}
+
+Die K-flachen Komplexe hängen noch auf wichtige Weise mit den K-injektiven zusammen:
+\begin{satz}[]
+    Sei $\com{M} \in \mathcal{K}$. Dann ist $\com{M} $ genau dann K-flach, wenn
+    $\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{I})$ K-injektiv ist für jeden K-Injektiven
+    $\com{I} \in \mathcal{K}$.
+\end{satz}
+
+
+\begin{korollar}
+    Seien $\com{M}, \com{N}, \com{P} \in \mathcal{D}(\mathcal{A})$. Dann existiert
+    ein natürlicher Isomorphismus
+    \[
+    R\com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{L} \com{N}, \com{P})
+    = R\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, R\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
+    .\] 
+\end{korollar}
+
+\begin{proof}
+    Da in $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ Quasiisomorphismen Isomorphismen induzieren und
+    wir die Existenz der verschiedenen Auflösungen kennen, können wir ohne Einschränkung annehmen,
+    dass $\com{P} $ K-injektiv und $\com{N} $ K-flach ist. Dann ist
+    \begin{align*}
+    R\com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{L} \com{N}, \com{P})
+    &= \com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{L} \com{N}, \com{P}) \\
+    &= \com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P}) \\
+    &= \com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
+    &= \com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
+    &= R\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
+    &= R\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, R\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
+    .\end{align*}
+\end{proof}
+
+Die eigentliche Adjunktion bekommen wir durch Anwenden von $H^{0}$
 
 \end{document}