update num and theo

sose2020/num/uebungen/num3.tex

@@ -46,17 +46,25 @@
             &\Vert x \Vert_1 = \sum_{k=1}^{n} |x_k|
             = \Vert x \Vert_2  \left( \sum_{k=1}^{n} \underbrace{\frac{|x_k|}{\Vert x \Vert_2}}_{\le 1} \right)
             \ge \Vert x \Vert_2 \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{|x_k|^{2}}{\Vert x \Vert_2^2} \right)
-            = \Vert x \Vert_2 \frac{\Vert x \Vert_2^2}{\Vert_x \Vert_2^2} = \Vert x \Vert_2 \\
+            = \Vert x \Vert_2 \frac{\Vert x \Vert_2^2}{\Vert x \Vert_2^2} = \Vert x \Vert_2 \\
             &\Vert x \Vert_2 = \sqrt{\sum_{k=1}^{n} |x_k|^2} \ge \sqrt{\Vert x \Vert_{\infty}^2}
             = \Vert x \Vert_{\infty}
             .\end{align*}
             Damit folgt
             \begin{align*}
-            &\Vert x \Vert_2 \le \Vert x \Vert_1 \le \sqrt{n} \Vert x \Vert_2 \\
+                \frac{1}{\sqrt{n}} \Vert x \Vert_1 \le &\Vert x \Vert_2 \le \Vert x \Vert_1 \\
-            &\Vert x \Vert_\infty \le \Vert x \Vert_2 \le \sqrt{n} \Vert x \Vert_\infty
+                \frac{1}{\sqrt{n}} \Vert x \Vert_1 \le &\Vert x \Vert_{\infty} \le \Vert x \Vert_1 \\
+                \Vert x \Vert_2 \le &\Vert x \Vert_1 \le \sqrt{n} \Vert x \Vert_2 \\
+                \frac{1}{\sqrt{n}} \Vert x \Vert_2 \le &\Vert x \Vert_{\infty} \le \Vert x \Vert_2 \\
+                \Vert x \Vert_\infty \le \Vert x \Vert_2 \le &\Vert x \Vert_1 \le \sqrt{n} \Vert x \Vert_2
+                \le n \Vert x \Vert_\infty \\
+                \Vert x \Vert_\infty \le &\Vert x \Vert_2 \le \sqrt{n} \Vert x \Vert_\infty
             .\end{align*}
-            Die anderen Kombinationen folgen durch Multiplikation mit $\frac{1}{\sqrt{n}}$.
+            Für $n = 1$ sind alle Abschätzungen scharf, denn dann ist
-            Für $n \to \infty$ ist $\sqrt{n} \to \infty$.
+            $\Vert x \Vert_1 = \Vert x \Vert_2 = \Vert x \Vert_{\infty}$ und $\sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} = 1$.
+
+            Es gilt $n \xrightarrow{n \to \infty} \infty$, $\sqrt{n} \xrightarrow{n \to \infty} \infty$ und
+            $\frac{1}{\sqrt{n}} \xrightarrow{n \to \infty} 0$.
     \end{enumerate}
 \end{aufgabe}
 

sose2020/theo/uebungen/theo5.tex

@@ -12,9 +12,22 @@
 \begin{aufgabe}[]
     \begin{enumerate}[a)]
         \item Die potentielle Energie ist gegeben als $mgz$, mit $z = R \cos \vartheta$ folgt also
-            $m g R \cos \vartheta$. Die kinetische Energie hat zwei Komponenten, einmal die Rotation
+            $m g R \cos \vartheta$.
-            um $\vartheta$, gegeben als $R^2 \dot{\vartheta}^2$ und die Rotation um die $z$-Achse, die
+
-            abhängig ist vom Rotationsradius, also gegeben als $R^2 \omega^2 \sin^2 \vartheta$.
+            Im mitrotierten Bezugssystem (gestrichene Koordinaten) ist
+            \[
+                \vec{x}' = R \begin{pmatrix} \sin\vartheta \\ 0 \\ \cos\vartheta \end{pmatrix} 
+            .\] Daraus ergibt sich im Laborsystem mit einer Drehmatrix $S$
+            \[
+                \vec{x} = S \vec{x}'
+            .\] Die Geschwindigkeit ist damit gegeben als
+            \[
+                \dot{\vec{x}}' = S \left( \dot{\vec{x}}' + \vec{\omega} \times \vec{x}' \right) 
+            .\] Also folgt mit $\vec{w} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \omega \end{pmatrix}$
+            und wegen $S^{T}S = \mathbbm{1}_3$:
+            \[
+                \dot{\vec{x}}^2 = R^2 (\dot{\vartheta}^2 + \omega^2 \sin^2\vartheta)
+            .\] Damit folgt die Lagrangefunktion.
         \item Für den kanonisch konjugierten Impuls gilt
             \begin{align*}
                 \frac{\partial L}{\partial \dot{\vartheta}}
@@ -23,8 +36,17 @@
                 H &= \frac{p_{\vartheta}^2}{mR^2} - L = \frac{p_{\vartheta}^2}{mR^2}
                 - \frac{1}{2} mR^2 (\dot{\vartheta}^2 + \omega^2\sin^2\vartheta) + mg R \cos\vartheta
             .\end{align*}
-        \item Da ein Potential vorliegt, ist die Hamilton-Funktion nach VL gleich der Gesamtenergie.
+        \item Es liegt hier zwar ein Potential vor, allerdings ist
-            Sie sind wegen $\frac{\partial H}{\partial t} = 0$ beide zeitlich erhalten.
+            die kinetische Energie des Systems gegeben als
+            \[
+                T = \frac{m}{2}R^2(\dot{\vartheta}^2 + \omega^2 \sin^2\vartheta)
+            .\] Diese ist nicht homogen vom Grad $2$ in $\dot{\vartheta}$, also ist die
+            Hamiltonfunktion nicht gleich der Gesamtenergie. Das liegt
+            an der zeitabhängigen Zwangsbedingung.
+
+            Wegen $\frac{\partial H}{\partial t} = 0$ ist die Hamilton Funktion zeitlich
+            erhalten. Außerdem ist $\dot{w} = 0$, also ist das System
+            invariant gegenüber Zeittranslation. Damit folgt Energieerhaltung.
         \item Für die kanonischen Gleichungen folgt
             \begin{align*}
                 \frac{\partial H}{\partial p_{\vartheta}} &= \frac{2 p_{\vartheta}}{mR^2} - \frac{p_{\vartheta}}{mR^2}
@@ -146,13 +168,16 @@
                 L \to L(q, \dot{q}) = \int_{0}^{l}  \text{Lagrange-Dichte} \d x
             .\] Die Wirkung ist das Zeitintegral über eine Lagrangefunktion.
         \item Die d'Alembertsche Gleichung ist eine homogene partielle Differentialgleichung
-            zweiter Ordnung.
+            zweiter Ordnung. ,,Zweite Zeitableitung $-$ charakteristische Geschwindigkeit zum Quadrat
+            mal zweite Ortsableitung gleich 0``.
             \[
             \frac{\partial^2 q}{\partial t^2} - \sum_{i=1}^{N} v^2 \frac{\partial^2 q}{\partial x_i^2} = 0
-            .\] Allgemein ist die Lösung für zwei beliebige Funktionen $g$ und $h$ gegeben als
+            .\] Allgemein ist die Lösung für zwei beliebige, zweifach differenzierbare
+            Funktionen $g$ und $h$ gegeben als
             \[
                 q(x, t) = g(x + vt) + h(x - vt)
-            ,\] also eine Überlagerung zweier Wellen, wobei $g$ rück- und $h$ vorläufig ist.
+            ,\] also eine Überlagerung zweier Wellen, wobei $g$ rück- und $h$ vorläufig ist. D.h.
+            die Funktionen müssen sich jeweils mit der charakteristischen Geschwindigkeit verschieben.
     \end{enumerate}
 \end{aufgabe}