update ana, add first two lectures
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\setlength{\parindent}{0mm}
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\theoremstyle{definition}
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\newmdtheoremenv{satz}{Satz}
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\newmdtheoremenv{lemma}{Lemma}
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\newmdtheoremenv{korrolar}{Korrolar}
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\newmdtheoremenv{definition}{Definition}
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\newmdtheoremenv{satz}{Satz}[section]
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\newmdtheoremenv{lemma}[satz]{Lemma}
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\newmdtheoremenv{korrolar}[satz]{Korrolar}
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\newmdtheoremenv{definition}[satz]{Definition}
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\newtheorem{bsp}{Beispiel}
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\newtheorem{bem}{Bemerkung}
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\newtheorem{aufgabe}{Aufgabe}
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\newtheorem{bsp}[satz]{Beispiel}
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\newtheorem{bem}[satz]{Bemerkung}
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\newtheorem{aufgabe}[satz]{Aufgabe}
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\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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Binary file not shown.
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\usepackage{standalone}
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\usepackage{tikz}
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\title{Analysis I}
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\author{Prof. Dr. Ekaterina Kostina}
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\date{WS 2019/20}
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\begin{document}
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\input{analysis1-2.tex}
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\input{analysis3.tex}
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\input{analysis4.tex}
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\input{analysis5.tex}
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@@ -15,5 +20,6 @@
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\input{analysis10.tex}
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\input{analysis11.tex}
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\input{analysis12.tex}
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\input{analysis13.tex}
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\end{document}
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Binary file not shown.
@@ -0,0 +1,261 @@
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\documentclass{../../../lecture}
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\begin{document}
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\maketitle
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\newpage
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\tableofcontents
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\newpage
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\section{Grundlagen}
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\subsection{Mengen und Aussagen}
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\begin{definition}
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Seien $A$ und $B$ Mengen.
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\begin{itemize}
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%Venn Diagramme wären schön
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\item \textbf{Teilmenge} $B \subset A$ bedeutet: jedes Element von $B$ ist auch Element von $A$ \\
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$B$ ist eine Teilmenge von $A$; bsp.: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$
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\item \textbf{Mengengleichheit} Zwei Mengen $A$ und $B$ sind gleich, wenn $A \subset B$ und $B \subset A$.
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\item \textbf{Strikte Teilmenge} $B$ ist eine strikte Teilmenge von $A$, wenn es ein Elemnt $a \in A$ gibt, mit $a \notin B$.
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\item \textbf{Leere Menge} oder "Nullmenge" $\emptyset$ enthält keine Elemente. \\
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Es gilt konventionsgemäß $\emptyset \in A$ für alle Mengen $A$
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\item \textbf{Vereinigung} von $A$ und $B$: $A \cup B := \{ \ a \ | \ a \in A \ \text{oder} \ a \in B \ \}$
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\item \textbf{Durchschnitt} von $A$ und $B$: $A \cap B := \{ \ a \ | \ a \in A \ \text{und} \ a \in B \ \}$
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\item \textbf{Differenz} von $A$ und $B$: $A \setminus B := \{ \ a \ | \ a \in A \ \text{und} \ a \notin B \ \}$
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\item \textbf{Produktmenge}: $A \times B := \{ \ (a, b) \ | \ a \in A \ \text{und} \ b \in B \ \}$
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||||
\item \textbf{Disjunkte Mengen} $A$ und $B$ sind disjunkt, falls gilt: $A \cap B = \emptyset$
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{definition}
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\begin{bem}
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||||
Das ODER im mathematischen Sinne bedeutet das einschließliche oder und nicht das entweder oder.
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\end{bem}
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\subsection{Wahrheitstabellen}
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\label{sec:wahrheitstafeln}
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\begin{definition}
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||||
Seien $V$ und $E$ Aussagen. \\
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Eine Aussage ist ein Satz, von dem eindeutig feststeht, ob er wahr oder falsch ist.\\
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\begin{itemize}
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\item \textbf{UND und ODER} \ Man definiere die Verknüpfungen UND $\land$ und ODER $\lor$ wie folgt:
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\begin{tabular}{l|c|c|c}
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||||
$V$ & $E$ & $V \ \text{und} \ E$ & $V \ \text{oder} \ E$ \\
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\hline
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w & w & w & w \\
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w & f & f & w \\
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f & w & f & w \\
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f & f & f & f \\
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||||
\end{tabular}
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\\
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||||
\item \textbf{Negation} \ Man definiere die NICHT-Verknüpfung wie folgt:
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\begin{tabular}{l|c}
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||||
$V$ & $\neg V$ \\
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\hline
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w & f \\
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f & w \\
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||||
\end{tabular}
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\\
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||||
\item \textbf{Implikation} \ Wenn $V$ gilt, gilt auch $E$. Man sagt: $V$ ist hinreichende Bedingung für $E$, oder die Voraussetzungen von $V$ sind hinreichend für die Gültigkeit von $E$. Die Gültigkeit von $E$ ist notwendig für die Gültigkeit von $V$, oder die Ungültigkeit von $E$ impliziert die Ungültigkeit von $V$. Es gilt: $V \implies E$ ist wahr, falls $\neg V$ oder $E$ wahr ist.
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\begin{tabular}{l|c|c}
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||||
$V$ & $E$ & $V \implies E$ \\
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\hline
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w & w & w \\
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w & f & f \\
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f & w & w \\
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f & f & w \\
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||||
\end{tabular}
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\\
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||||
\item \textbf{Äquivalenz} \ Man definiere die Äquivalenzrelation $V \Leftrightarrow E$ als:\\
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$V \Leftrightarrow E$ steht für $V \implies E$ und $E \implies V$.
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\begin{tabular}{l|c|c}
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||||
$V$ & $E$ & $V \Leftrightarrow E$ \\
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\hline
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w & w & w \\
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||||
w & f & f \\
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||||
f & w & f \\
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||||
f & f & w \\
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||||
\end{tabular}
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\\
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\end{itemize}
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\end{definition}
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\begin{definition}[Quantoren]
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Man definiere folgende Quantoren:
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\begin{itemize}
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\item $\forall$ Allquantor, also als: für alle.
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\item $\exists$ Existenzquantor, also als: es existiert ein.
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\item $\exists !$ als: es existiert genau ein a.
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\end{itemize}
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\end{definition}
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\begin{bem}
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Häufig hilft es Aussagen zu negieren. Hierbei gelten folgende Regeln (können mithilfe von WT gezeigt werden):
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\begin{itemize}
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\item $ \neg (\forall a \in A: V(a)) \Leftrightarrow (\exists a \in A: \neg V(a))$
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||||
\item $ \neg (\exists a \in A: V(a)) \Leftrightarrow (\forall a \in A: \neg V(a))$
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\end{itemize}
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\end{bem}
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\begin{bem}[Kontraposition]
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Zwei weitere Hilfsmittel:
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\begin{itemize}
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\item $( V \implies E) \Leftrightarrow (\neg E \implies \neg V)$
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\item $(V \Leftarrow E) \Leftrightarrow (\neg E \Leftarrow \neg V)$
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\end{itemize}
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\end{bem}
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\begin{bem}
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Zu Quantoren:
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\begin{itemize}
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\item Quantoren müssen immer angegeben werden.
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\item Die Reihenfolge der Quantoren ist essentiell. \\
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Bsp.: $T:=$ Menge aller Töpfe, $D:=$ Menge aller Deckel, $V(a,b)=$ Deckel $b$ passt auf Topf $a$. \\
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$\forall a \in T: \exists b \in D: V(a,b)$ ist vermutlich wahr, \\
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||||
$\exists b \in D: \forall a \in T: V(a,b)$ ist vermutlich falsch.
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\end{itemize}
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\end{bem}
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\subsection{Abbildungen}
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\begin{definition}[Abbildungen]
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Seien $A, B$ Mengen. Eine Abbildung $f$ zwischen $A$ und $B$ $f: A \rightarrow B$ ist eine Vorschrift, die jedem Element $a \in A$ genau ein Element $b \in B$ zugeordnet. \\
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Hierbei nenne man $A$ Definitionsmenge von $f$ und $B$ Wertemenge von $f$.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Folgen]
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||||
Zahlenfolgen sind Abbildungen $a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$. Schreibweise: statt $a(n)$ wird $a_{n}$ und statt $a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ wird $(a_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ geschrieben.
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\end{definition}
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\begin{definition}[injektiv, surjektiv, bijektiv]
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Es sei $f: A \rightarrow B$ eine Abbildung.
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\begin{itemize}
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||||
\item Abbildung $f$ heißt injektiv, wenn gilt:
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\begin{equation*}
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\forall a_{1}, a_{2} \in A: f(a_{1}) = f(a_{2}) \implies a_{1} = a_{2}.
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\end{equation*}
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||||
\item Abbildung $f$ heißt surjektiv wenn gilt:
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\begin{equation*}
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\forall b \in B: \exists a \in A: b = f(a).
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\end{equation*}
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||||
\item Abbildung $f$ heißt bijektiv, wenn $f$ injektiv und surjektiv ist.
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\end{itemize}
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\end{definition}
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\begin{bsp}
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Es sei $f$ eine Abbildung: $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ x \mapsto \operatorname{sin} (x)$. Dann ist $f$ weder injektiv, noch surjektiv. \\
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Jedoch ist $f: \mathbb{R} \rightarrow [-1, 1], \ x \mapsto \operatorname{sin} (x)$ surjektiv, aber nicht injektiv. \\
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Und $f: [-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} ] \rightarrow [-1, 1], \ x \mapsto \operatorname{sin} (x)$ ist injektiv und surjektiv, also bijektiv.
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\end{bsp}
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\begin{definition}[Bild]
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Das Bild von $A_{1}$ (unter $f$):
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\begin{equation*}
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f(A_{1}) := \{ f(a) \ | \ a \in A_{1} \ \} = \{ b \in B \ | \ \exists a \in A_{1}: b = f(a) \ \}
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\end{equation*}
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\end{definition}
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\begin{definition}[Urbild]
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Das Urbild von $B_{1}$ (unter $f$):
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\begin{equation*}
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f^{-1}(B_{1}) := \{ a \ | \ f(a) \in B_{1} \ \} \subset A
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\end{equation*}
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\end{definition}
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\begin{definition}[Inverse]
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Zu einer bijektiven Abbildung existiert eine sogenannte Umkehrabbildung, auch Inverse, die ebenfalls bijektiv ist:
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\begin{equation*}
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f^{-1}: B \rightarrow A \ \text{mit} \ a = f^{-1}(b) \ :\Leftrightarrow \ b = f(a)
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\end{equation*}
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\end{definition}
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\begin{bem}
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Nur bijektive Abbildung besitzen Inverse. \\
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Die Notation $f^{-1}(B)$ hat zwei Bedeutungen:
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\begin{itemize}
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\item Urbild von $B$ unter $f$
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\item Bild von $B$ unter $f^{-1}$
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\end{itemize}
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Das Urbild ist also für beliebige Abbildungen definiert
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\end{bem}
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\begin{definition}[Komposition von Abbildungen]
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Es sein $f: A \rightarrow B$ und $g: B \rightarrow C$ Abbildungen.
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Dann sei:
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\begin{equation*}
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g \circ f : A \rightarrow C, \ (g\circ f)(a) := g(f(a))
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\end{equation*}
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Man sagt: $g \circ f$ heißt $g$ komponiert $f$.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Morphismen]
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Seien $A$ und $B$ Mengen mit einer gewissen Operation $\oplus_{A}$ bzw. $\oplus_{B}$, z.B. Addition, Multiplikation. \\
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Die Abbildung $f: A \rightarrow B$ heißt homomorph (strukturerhaltend ), wenn gilt:
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\begin{equation*}
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\forall a_{1}, a_{2} \in A: f(a_{1} \oplus_{A} a_{2}) =f(a_{1}) \oplus_{A} f(a_{2})
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\end{equation*}
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Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Äquivalenzrelation]
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Äquivalenzrelation auf eine Menge $A$ ist eine Beziehung $a \sim b$ zwischen Elementen von $A$ mit Eigenschaften
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\begin{itemize}
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\item $R_{1}$ (Relation)für $\forall a, b \in A$ gilt entweder $a \sim b$ oder $a \nsim b$
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\item $R_{2}$(Reflexivität) $a \sim a$
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\item $R_{3}$(Symmetrie) $a \sim b \implies b \sim a$
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\item $R_{4}$(Transitivität) $a \sim b$ und $b \sim c \implies a \sim c$
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\end{itemize}
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\end{definition}
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\begin{definition}[Äquivalenzklasse]
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$[a] := \{ b \in A \ | \ b \sim a \ \}$ \\
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||||
$a$ heißt Repräsentant der Äquivalenzklasse $[a]$.
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\end{definition}
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\begin{bsp}
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$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ \\
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Man definiere folgende Äquivalenzrelation: \\
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\begin{equation*}
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(n, m) \sim (n', m') :\Leftrightarrow n + m' = n' + m \Leftrightarrow n - m = n' - m'
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\end{equation*}
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$R_{1}$ und $R_{2}$ sind offenbar erfüllt. \\
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$R_{3}$ $n + m' = n' + m \implies (n', m') \sim (n, m)$ \\
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||||
$R_{4}$ $(n, m) \sim (n', m')$ und $(n', m') \sim (n'', m'')$ gilt: \\
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||||
$(n' + m') + m'' = (n' + m) + m'' = (n' + m'') + m = (m' + n'') + m$ \\
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||||
$\implies n + m'' = n'' + m \implies (n, m) \sim (n'', m'')$ \\
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||||
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||||
Die zugehörigen Äquivalenzklassen bestehen aus allen Paaren natürlicher Zahlen mit gleicher Differenz.
|
||||
\end{bsp}
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||||
\end{document}
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||||
@@ -1,8 +1,6 @@
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\documentclass{lecture}
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||||
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||||
\begin{document}
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||||
\section{Grundlagen}
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\subsection{Vollständige Induktion}
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\begin{bsp}
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Reference in New Issue
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