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2019-12-17 21:08:16 +01:00
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@@ -159,8 +159,7 @@
\to \to
\begin{gmatrix}[p] 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \begin{gmatrix}[p] 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0
\end{gmatrix} \end{gmatrix}
\intertext{$\implies$ Rang 1} \intertext{$\implies$ Rang 1 \vspace{2mm}\newline Für $a = 1$ folgt direkt:}
\intertext{Für $a = 1$ folgt direkt:}
&\begin{gmatrix}[p] &\begin{gmatrix}[p]
a & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & a a & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & a
\end{gmatrix} \end{gmatrix}
@@ -173,7 +172,7 @@
\to \to
\begin{gmatrix}[p] 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \begin{gmatrix}[p] 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{gmatrix} \end{gmatrix}
\intertext{$\implies$ Rang 1 \\Für $a = -1$ folgt} \intertext{$\implies$ Rang 1 \vspace{2mm}\newline Für $a = -1$ folgt}
&\begin{gmatrix}[p] &\begin{gmatrix}[p]
a & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & a a & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & a
\end{gmatrix} \end{gmatrix}
@@ -182,11 +181,13 @@
\rowops \rowops
\add{0}{1} \add{0}{1}
\add[-1]{0}{2} \add[-1]{0}{2}
\mult{0}{\scriptstyle\cdot -1}
\end{gmatrix} \end{gmatrix}
\to \to
\begin{gmatrix}[p] 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \begin{gmatrix}[p] 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{gmatrix} \end{gmatrix}
\intertext{$\implies$ Rang 0\\ Für $a \neq 1 \land a \neq -1 \implies 1 - a^2 \neq 0$, damit:} \intertext{$\implies$ Rang 0 \vspace{2mm} \newline
Für $a \neq 1 \land a \neq -1 \implies 1 - a^2 \neq 0$, damit:}
&\begin{gmatrix}[p] &\begin{gmatrix}[p]
a & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & a a & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & a
\rowops \rowops
@@ -213,10 +214,10 @@
\add[-a]{1}{0} \add[-a]{1}{0}
\end{gmatrix} \end{gmatrix}
\to \to
\begin{pmatrix} \begin{gmatrix}[p]
1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \end{gmatrix}
.\end{align*} \end{align*}
$\implies$ Rang 2 $\implies$ Rang 2
\end{aufgabe} \end{aufgabe}
@@ -234,7 +235,7 @@
$\implies$ $\underline{v}$ ist linear unabhängig wegen $\text{dim } \Q^{2} = 2$ eine Basis $\implies$ $\underline{v}$ ist linear unabhängig wegen $\text{dim } \Q^{2} = 2$ eine Basis
von $\Q^{2}$. von $\Q^{2}$.
\end{proof} \end{proof}
Beh.: $\underline{w} = \left( (1,1)^{t}, (3,2)^{t} \right) $ is Basis von $\Q^{2}$ Beh.: $\underline{w} = \left( (1,1)^{t}, (3,2)^{t} \right) $ ist Basis von $\Q^{2}$
\begin{proof} \begin{proof}
Zu zeigen.: $\underline{v}$ ist linear unabhängig Zu zeigen.: $\underline{v}$ ist linear unabhängig