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sose2020/ana/lectures

@@ -1 +1 @@
-Subproject commit ba8188da5cecb3d9ccabf7de434463d71bf68fdb
+Subproject commit 1541088353c5e6549eb97723e74d8436ea336278

ws2019/ana/lectures/analysis.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\documentclass[titlepage]{../../../lecture}
+\documentclass[titlepage]{../../../sose2020/ana/lectures/lecture}
 
 \usepackage{standalone}
 \usepackage{tikz}
@@ -15,7 +15,6 @@
 \restoregeometry
 
 \tableofcontents
-\newpage
 
 \input{analysis1-2.tex}
 \input{analysis3.tex}

ws2019/ana/lectures/analysis1-2.tex

@@ -2,9 +2,9 @@
 
 \begin{document}
 
-\section{Grundlagen}
+\chapter{Grundlagen}
 
-\subsection{Mengen und Aussagen}
+\section{Mengen und Aussagen}
 
 \begin{definition}
 	Seien $A$ und $B$ Mengen.
@@ -31,7 +31,7 @@
 \end{bem}
 
 
-\subsection{Wahrheitstabellen}
+\section{Wahrheitstabellen}
 \label{sec:wahrheitstafeln}
 
 \begin{definition}
@@ -129,7 +129,7 @@
 \end{bem}
 
 
-\subsection{Abbildungen}
+\section{Abbildungen}
 
 \begin{definition}[Abbildungen]
 	Seien $A, B$ Mengen. Eine Abbildung $f$ zwischen $A$ und $B$ $f: A \rightarrow B$ ist eine Vorschrift, die jedem Element $a \in A$ genau ein Element $b \in B$ zugeordnet. \\

ws2019/ana/lectures/analysis11.tex

@@ -2,8 +2,8 @@
 
 \begin{document}
 
-\section{Folgen und Reihen}
-\subsection{Folgen}
+\chapter{Folgen und Reihen}
+\section{Folgen}
 \begin{definition}[Folgen]
     Eine Zahlenfolge ist eine Abbildung von $\N$ nach $\R$, d.h. $n \mapsto a_n \in \R$.
 

ws2019/ana/lectures/analysis13.tex

@@ -2,7 +2,7 @@
 
 \begin{document}
 
-\subsection{Konvergenz in $\mathbb{C}$}
+\section{Konvergenz in $\mathbb{C}$}
 
 Eine Folge $(z_n)_{n\in\N}$ komplexer Zahlen $(z_n \in \mathbb{C} \quad \forall n \in \N)$ konvergiert
 gegen $z \in \mathbb{C}$, falls $\forall \epsilon > 0$ $\exists n_\epsilon \in \N$, s.d. $|z_n - z| < \epsilon$ $\forall n \ge n_\epsilon$ 
@@ -38,7 +38,7 @@ Aus Definitionen:
     \end{enumerate}
 \end{bsp}
 
-\subsection{Unendliche Summe (,,Reihen'')}
+\section{Unendliche Summe (,,Reihen'')}
 
 \begin{definition}
     Sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine Folge reeller oder komplexer Zahlen. Wir
@@ -145,7 +145,7 @@ Aus Definitionen:
     Alles Falsch (Kostina: ,,Alles Schrot!''), weil $\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} $ divergent.
 \end{bsp}
 
-\subsubsection{Konvergenzkriterien}
+\subsection{Konvergenzkriterien}
 Die Konvergenz einer Reihe ist nichts anderes als die Konvergenz der
 Folge der Partialsummen.
 

ws2019/ana/lectures/analysis14.tex

@@ -160,7 +160,7 @@ Kostina glaubt, dass das so stimmt, aber offensichtlich ist sie sich nicht siche
     \end{enumerate}
 \end{bsp}
 
-\subsection{Umordnen von Reihen}
+\section{Umordnen von Reihen}
 
 \begin{definition}[Umordnung]
     Sei $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ eine Reihe und $\tau: \N \to \N$ eine
@@ -207,7 +207,7 @@ Kostina glaubt, dass das so stimmt, aber offensichtlich ist sie sich nicht siche
     gegen $c \in \R$ konvergiert (oder divergiert).
 \end{bem}
 
-\subsection{Das Cauchy-Produkt von Reihen}
+\section{Das Cauchy-Produkt von Reihen}
 
 \begin{satz}[Cauchy-Produkt]
     Seien $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ und $\sum_{n=0}^{\infty} b_n$ 
@@ -298,7 +298,7 @@ Kostina glaubt, dass das so stimmt, aber offensichtlich ist sie sich nicht siche
     \end{enumerate}
 \end{proof}
 
-\subsection{Potenzreihen}
+\section{Potenzreihen}
 
 \begin{definition}
     Eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt $z_0 \in \mathbb{C}$ ist

ws2019/ana/lectures/analysis15.tex

@@ -2,7 +2,7 @@
 
 \begin{document}
 
-\section{Funktionen und Stetigkeit}
+\chapter{Funktionen und Stetigkeit}
 
 \begin{definition}[Funktion]
     Es sei $D \subset \R$ eine nichtleere Teilmenge. Eine
@@ -19,7 +19,7 @@
     .\end{align*}
 \end{definition}
 
-\subsection{Grenzwerte bei Funktionen}
+\section{Grenzwerte bei Funktionen}
 
 \begin{definition}[Berührpunkt]
     Sei $D \subset  \R$. Ein Punkt $a \in \R$ heißt Berührpunkt von $D$, falls
@@ -199,7 +199,7 @@
     \end{itemize}
 \end{proof}
 
-\subsection{Stetigkeit}
+\section{Stetigkeit}
 
 \begin{definition}[Stetigkeit]
     Sei $f: D \to \R$, und $a \in D$. $f$ heißt stetig im Punkt $a$, falls

ws2019/ana/lectures/analysis16.tex

@@ -81,7 +81,7 @@ in dieser Umgebung.
     \end{enumerate}
 \end{bsp}
 
-\subsection{Weitere Eigenschaften stetiger Funktionen}
+\section{Weitere Eigenschaften stetiger Funktionen}
 
 \begin{definition}[offene, abgeschlossene, kompakte Mengen]
     Eine Menge $D \subset \R$ heißt offen, falls $\forall  x \in D$

ws2019/ana/lectures/analysis18.tex

@@ -29,7 +29,7 @@
     trivial.
 \end{proof}
 
-\subsection{Gleichmäßige Stetigkeit}
+\section{Gleichmäßige Stetigkeit}
 
 \begin{definition}[gleichmäßige Stetigkeit]
     Eine Funktion $f\colon D \to \R$, $D \subset \R$ heißt
@@ -110,7 +110,7 @@
     als gleichmäßige Stetigkeit)
 \end{bem}
 
-\subsection{Trigonometrische Funktionen}
+\section{Trigonometrische Funktionen}
 
 \begin{satz}
     Für $x \in \R$ definiere $\cos(x) := \text{Re}(e^{ix})$ und

ws2019/ana/lectures/analysis19.tex

@@ -111,7 +111,7 @@
     genauso für $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x}$.
 \end{proof}
 
-\subsection{Die Zahl $\pi$}
+\section{Die Zahl $\pi$}
 Ziel: Analytische Definition von $\pi \in \R$.
 
 \begin{satz}[und Definition]

ws2019/ana/lectures/analysis20.tex

@@ -2,9 +2,9 @@
 
 \begin{document}
 
-\section{Differentiation}
+\chapter{Differentiation}
 
-\subsection{Ableitung}
+\section{Ableitung}
 
 \begin{definition}
     Sei $f\colon D \to \R$, $D \subset \R$, eine Funktion. Definiere

ws2019/ana/lectures/analysis21.tex

@@ -2,7 +2,7 @@
 
 \begin{document}
 
-\subsection{Mittelwertsatz und Satz von Rolle}
+\section{Mittelwertsatz und Satz von Rolle}
 
 \begin{definition}[globales / lokales Extremum]
     Die Funktion $f\colon D \to \R$ hat in
@@ -168,7 +168,7 @@
     f(b) = f(a)$.
 \end{proof}
 
-\subsection{Höhere Ableitungen und Satz von Taylor}
+\section{Höhere Ableitungen und Satz von Taylor}
 
 \begin{definition}
     Ist $f\colon D \to \R$ differenzierbar und $f'\colon D \to \R$

ws2019/ana/lectures/analysis22.tex

@@ -170,7 +170,7 @@
     trivial.
 \end{proof}
 
-\subsection{Die Regeln von de l'Hospital}
+\section{Die Regeln von de l'Hospital}
 
 Ziel: Grenzwerte zu berechnen für $x \to \pm \infty$ oder
 $f(x) \to \pm \infty$. Grenzwerte vom Typ:

ws2019/ana/lectures/analysis23.tex

@@ -2,19 +2,19 @@
  
 \usepackage{pgf,tikz}
 \usepackage{pgfplots}
-\usetikzlibrary{intersections}
+\usetikzlibrary{interchapters}
 \usetikzlibrary{arrows}
 \usetikzlibrary{positioning}
 \tikzset{>=stealth',inner sep=0pt,outer sep=2pt}
 
 \begin{document}
 
-\section{Integration}
+\chapter{Integration}
 
 Es sei $f\colon [a,b] \to \R$ eine Funktion. Ziel: Fläche unter dem Graphen
 berechnen.
 
-\subsection{Riemannintegral}
+\section{Riemannintegral}
 
 \begin{definition}[Zerlegungen, Stützpunkte]
     Eine endliche Zerlegung $Z$ von einem (beschränkten) Intervall $[a,b]$ ist
@@ -252,7 +252,7 @@ berechnen.
     .\] $I = [0,1]$. $\underline{S}_Z(f) = 0 \neq 1 = \overline{S}_Z(f)$.
 \end{bsp}
 
-\subsection{Eigenschaften des Riemann-Integrals}
+\section{Eigenschaften des Riemann-Integrals}
 
 \begin{satz}[Additivität]
     \begin{enumerate}

ws2019/ana/lectures/analysis24.tex

@@ -264,7 +264,7 @@
     .\end{align*}
 \end{bem}
 
-\subsection{Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung}
+\section{Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung}
 
 \begin{satz}[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]
     Es sei $a < b$,  $f \colon [a,b] \to \R $ stetig.

ws2019/ana/lectures/analysis25.tex

@@ -33,7 +33,7 @@
     .\end{align*}
 \end{bem}
 
-\subsection{Integrationsformeln}
+\section{Integrationsformeln}
 
 \begin{lemma}[Partielle Integration]
     $f, g\colon  [a,b] \to \R$ stetig differenzierbar. Dann gilt
@@ -107,7 +107,7 @@
     .\end{align*}
 \end{bsp}
 
-\subsection{Uneigentliche Integrale}
+\section{Uneigentliche Integrale}
 
 \begin{satz}[Uneigentliches R.-Integral Typ 1]
     Sei $f\colon (a, b] \to \R$ auf $(a, b]$

ws2019/ana/lectures/analysis26.tex

@@ -2,7 +2,7 @@
 
 \begin{document}
 
-\subsection{Konvergenzkriterien für uneigentliche Integrale}
+\section{Konvergenzkriterien für uneigentliche Integrale}
 
 \begin{satz}[Cauchy-Kriterium]
     Es sei $-\infty < a < b \le + \infty$ und $f\colon [a,b) \to \R$ lokal

ws2019/ana/lectures/analysis3.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
 \documentclass{lecture}
 
 \begin{document}
-\subsection{Vollständige Induktion}
+\section{Vollständige Induktion}
 
 \begin{bsp}
     Betrachte die Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen. Es gilt:
@@ -87,7 +87,7 @@ $ \forall a, b \in \R$ und $n \in \N$ gilt:
     .\end{align*}
 \end{proof}
 
-\subsection{Elemente der Kombinatorik}
+\section{Elemente der Kombinatorik}
 
 Für $n \in \N$ ist die Fakultät $n!$ rekursiv definiert durch:
 \[

ws2019/ana/lectures/analysis4.tex

@@ -63,7 +63,7 @@
     .\end{align*}
 \end{proof}
 
-\subsection{Grundlegendes über Zahlenmengen}
+\section{Grundlegendes über Zahlenmengen}
 \[
     \N = \{1, 2, 3, \ldots\} \text{ natürliche Zahlen}
 .\] Auf $\N$ sind die arithmetischen Operationen ,,$+$'' (Addition) und ,,$\cdot$''
@@ -107,7 +107,7 @@ a = \frac{r}{s}, b = \frac{u}{v} \in \Q = \begin{cases}
 \end{cases}
 .\] $\Q$ bildet mit der Operation ,,$+$'' und ,,$\cdot$'' einen ,,Körper''.
 
-\subsection{Was ist ein Körper?}
+\section{Was ist ein Körper?}
 
 Sei $K$ eine Menge mit Operationen ,,$+$'' und ,,$\cdot$''.
 

ws2019/ana/lectures/analysis5.tex

@@ -101,9 +101,9 @@ Es folgt aus den Eigenschaften:
     Siehe Lehrbuch
 \end{proof}
 
-\section{Die Reellen Zahlen}
+\chapter{Die Reellen Zahlen}
 
-\subsection{Von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen}
+\section{Von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen}
 
 \begin{lemma}[Irrationalität der Quadratwurzel]
     Die quadratische Gleichung $x^2 = 2$ besitzt keine rationale

ws2019/ana/lectures/analysis7.tex

@@ -116,7 +116,7 @@ Fortsetzung Beweis:
     Für $b=2$ : dijadische Entwicklung
 \end{bem}
 
-\subsubsection{Zusammenfassung}
+\subsection{Zusammenfassung}
 
 Beobachtung: Jede reelle Zahl ist ein Grenzwert von einer Folge 
 $(a_n)_{n\in\N}$ rationaler Zahlen.
@@ -151,7 +151,7 @@ Konstruktion nach Cantor, 1873
 Als nächstes: $\R$ ist ein angeordneter Körper mit ,,$+$ '', ,,$\cdot$'',
 ,,$>$'' und ist auch ,,vollständig''.
 
-\subsection{Der Körper $\R$}
+\section{Der Körper $\R$}
 
 Seien $a \in \R, b \in \R$ und $(a_n)_{n\in\N}$, $(b_n)_{n\in\N}$
 zugehörige approximierende Folgen rationaler Zahlen.

ws2019/ana/lectures/analysis8.tex

@@ -75,11 +75,11 @@
     .\end{align*}
 \end{bem}
 
-\subsection{Wichtige Aussage}
+\section{Wichtige Aussage}
 
 $\R$ ist vollständig, da alle C.F. in $\R$ haben einen Grenzwert in $\R$.
 
-\subsection{Weitere Möglichkeiten, die Vollständigkeit von $\R$ zu charakterisieren}
+\section{Weitere Möglichkeiten, die Vollständigkeit von $\R$ zu charakterisieren}
 
 \begin{definition}[Maximum, Minimum, obere/untere Schranke, Supremum, Infimum]
     Sei $M \subset \R, M \neq \emptyset$.

ws2019/ana/lectures/analysis9.tex

@@ -134,7 +134,7 @@ Heute: Längstes deutsches Wort!
     .\] 
 \end{bsp}
 
-\subsection{Mächtigkeit von $\Q$ und $\R$ }
+\section{Mächtigkeit von $\Q$ und $\R$ }
 
 \begin{definition}[Mächtigkeit]
     Die Mächtigkeit einer Menge ist die Anzahl ihrer Elemente.
@@ -229,7 +229,7 @@ Heute: Längstes deutsches Wort!
     .\] aber $d_k \neq d_{kk}$ nach Konstruktion.
 \end{proof}
 
-\subsection{Die Komplexen Zahlen $\C$}
+\section{Die Komplexen Zahlen $\C$}
 \[
     \C := \R \times \R = \{ z = (x, y)  \mid x, y \in \R\} 
 .\] Addition in $\C$ : $z_1 = (x_1, y_1) \in \C$, $z_2 = (x_2, y_2) \in \C$: