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@@ -161,43 +161,6 @@
     Behauptung.
 \end{proof}
 
-\begin{lemma}
-    Sei $(A, \mathfrak{m})$ ein lokaler Ring. Dann hat $A$ keine nicht-trivialen idempotenten Elemente.
-    \label{lemma:local-idempotents}
-\end{lemma}
-
-\begin{proof}
-    Sei $e \in A$ idempotent. Dann ist $e(1-e) = e^2 - e = e - e = 0$. Falls $e \in A^{\times }$, folgt
-    $1-e = 0$ also $e = 1$. Falls $e \not\in A^{\times}$: Dann ist $e \in \mathfrak{m}$. Angenommen
-    $1-e \in \mathfrak{m}$, dann ist auch $1 = 1-e +e \in \mathfrak{m}$. Widerspruch. Also ist
-    $1-e \not\in \mathfrak{m}$. Da $A$ lokal, ist also $1-e \in A^{\times}$ und damit $e = 0$.
-\end{proof}
-
-\begin{lemma}
-    Sei $A$ ein Ring ohne nicht-triviale Idempotente und seien $E,D$ endliche Mengen. Dann
-    ist jeder $A$-Algebra Homomorphismus $A^{E} \to A^{D}$ induziert von einer Abbildung $D \to E$.
-    \label{lemma:no-idempotents}
-\end{lemma}
-
-\begin{proof}
-    Sei $\psi\colon A^{E} \to A^{D}$ ein $A$-Algebra Homomorphismus.
-    Setze $f_e \coloneqq (\delta_{\tilde{e}e})_{\tilde{e} \in E} \in A^{E}$. Dann ist $f_e^2 = 1$ und
-    $f_ef_{\tilde{e}} = 0$ falls $e \neq \tilde{e}$.
-
-    Sei nun $d \in D$ beliebig. Dann gilt
-    $\psi(f_e)^2 = \psi(f_e^2) = \psi(f_e)$, also $\psi(f_e)_d$ idempotent, also $\psi(f_e)_d \in \{0, 1\}$.
-    Weiter ist $1 = \psi(1)_d = \psi(\sum_{e \in E} f_e)_d$ und für $e \neq \tilde{e} \in E$ ist
-    $0 = \psi(f_ef_{\tilde{e}})_d = \psi(f_e)_d \psi(f_{\tilde{e}})_d$. Es existiert also
-    genau ein $e(d) \in E$, sodass $\psi(f_e)_d = 1$.
-
-    Setze nun $\phi\colon D \to E$, $d \mapsto e(d)$. Nun sei $f = (a_e)_{e \in E} \in A^{E}$ beliebig. Dann
-    gilt
-    $f = \sum_{e \in E} a_e f_e$ und
-    \[
-        \psi(f)_d = \sum_{e \in E} a_e \psi(f_e)_d = a_{\phi(d)}
-    .\]
-\end{proof}
-
 \begin{lemma}
     Sei $M$ endlich präsentierter $A$-Modul, das heißt es existiere eine exakte Folge
     \[
@@ -312,10 +275,10 @@ Aus Vorträgen 7 und 8 kennen wir den folgenden Zusammenhang:
     Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus. Dann sind äquivalent
     \begin{enumerate}[(i)]
         \item $f$ endlich étale, das heißt $f$ ist endlich, flach und unverzweigt.
-        \item $B$ ist endlich präsentiert und flach als $A$-Modul und $\Omega_{B / A} = 0$.
-        %\item $B$ endliche projektive $A$-Algebra und $\Omega_{B / A} = 0$.
         \item Es existiert eine Zariskiüberdeckung $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$, sodass
             $B_{f_i}$ endliche, freie, separable $A_{f_i}$-Algebra ist.
+        \item $B$ ist endlich präsentiert und flach als $A$-Modul und $\Omega_{B / A} = 0$.
+        \item $B$ endliche projektive $A$-Algebra und $\Omega_{B / A} = 0$.
     \end{enumerate}
 \end{satz}
 
@@ -398,14 +361,6 @@ Aus Vorträgen 7 und 8 kennen wir den folgenden Zusammenhang:
 
 \subsection{Grad}
 
-\begin{bem}[Offene und abgeschlossene Mengen in $\spec A$]
-    Sei $A$ ein Ring. Dann sind die offenen und abgeschlossenen Mengen in $\spec A$
-    von der Form $D(e)$, wobei $e$ idempotent und eindeutig bestimmt ist. Insbesondere
-    existiert für alle $n \ge 0$ genau ein Idempotent $e$, sodass
-    $\{\mathfrak{p} \in \spec A  \mid [ B : A](\mathfrak{p}) = n\} = D(e)$.
-    \label{bem:clopen-sets}
-\end{bem}
-
 \begin{definition}[Treuprojektive Algebren]
     Sei $B$ endliche projektive $A$-Algebra. Dann ist $B$ \emph{treuprojektiv}, wenn $[B : A] \ge 1$.
 \end{definition}
@@ -508,46 +463,13 @@ Aus Vorträgen 7 und 8 kennen wir den folgenden Zusammenhang:
     die Behauptung aus \ref{satz:4.14}.
 \end{proof}
 
-\begin{satz}[Aufgabe 5.3]
-    Sei $A$ ein Ring und $B_i$ $A$-Algebren für $1 \le i \le n$. Sei weiter
-    $B = \prod_{i=1}^{n} B_i$. Dann ist $B$ genau dann endlich étale, wenn
-    jedes $B_i$ endlich étale ist. In diesem Fall gilt
-    $[B : A] = \sum_{i=1}^{n} [B_i : A]$.
-    \label{ex:5.3}
-\end{satz}
-
-\begin{proof}
-    Als $A$-Modul ist $B \simeq \bigoplus_{i = 1}^{n} B_i$. Also ist $B$ genau dann endlich erzeugt bzw. projektiv, wenn
-    $B_i$ endlich erzeugt bzw. projektiv ist für $1 \le i \le n$. Ebenso
-    existiert ein natürlicher $A$-Modulisomorphismus
-    \[
-        \text{Hom}_A(B, A) = \text{Hom}_A\left( \bigoplus_{i=1}^{n} B_i, A \right)
-        = \prod_{i=1}^{n} \text{Hom}_A(B_i, A) 
-    .\] Das heißt
-    $B \to \text{Hom}_A(B, A)$ ist genau dann ein Isomorphismus, wenn $B_i \to \text{Hom}_A(B_i, A)$ ein Isomorphismus
-    ist für $1 \le i \le n$.
-
-    Gradformel: Sei $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann ist
-    \[
-        [B : A](\mathfrak{p})% = \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} B_{\mathfrak{p}}
-        = \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} \left(\bigoplus_{i = 1}^{n} B_i\right)_{\mathfrak{p}}
-        = \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} \left( \bigoplus_{i = 1}^{n} (B_{i})_{\mathfrak{p}} \right)
-        = \sum_{i=1}^{n} \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} (B_{i})_{\mathfrak{p}}
-        = \sum_{i=1}^{n} [B_i : A ](\mathfrak{p})
-    .\]
-\end{proof}
-
-\begin{lemma}
-    Seien $A_1, \ldots, A_n$ Ringe und $f \in \prod_{i=1}^{n} A_i$. Dann ist der natürliche Homomorphismus
-    \[
-        \left(\prod_{i=1}^{n} A_i\right)_f \longrightarrow \prod_{i=1}^{n} (A_i)_{f_i} 
-    \] ein Isomorphismus.
-    \label{lemma:localised-product-ring}
-\end{lemma}
-
-\begin{proof}
-    Man bediene sich der Endlichkeit.
-\end{proof}
+\begin{bem}[Offene und abgeschlossene Mengen in $\spec A$]
+    Sei $A$ ein Ring. Dann sind die offenen und abgeschlossenen Mengen in $\spec A$
+    von der Form $D(e)$, wobei $e$ idempotent und eindeutig bestimmt ist. Insbesondere
+    existiert für alle $n \ge 0$ genau ein Idempotent $e$, sodass
+    $\{\mathfrak{p} \in \spec A  \mid [ B : A](\mathfrak{p}) = n\} = D(e)$.
+    \label{bem:clopen-sets}
+\end{bem}
 
 \begin{lemma}
     Sei $A$ ein Ring und $\{f_i\}_{i \in I}$ Elemente von $A$, sodass
@@ -594,68 +516,6 @@ Aus Vorträgen 7 und 8 kennen wir den folgenden Zusammenhang:
     = f^{-1}(\mathfrak{p}) \iff \mathfrak{p} \not\in D(f(a))$.
 \end{proof}
 
-\begin{satz}[Aufgabe 5.4]
-    Seien $(A_i)_{i \in I}, (B_i)_{i \in I}$ Ringe mit $I$ endlich und sei $B_i$ endlich étale $A_i$-Algebra
-    für alle $i \in I$. Dann ist $\prod_{i \in I} B_i$ endlich étale $\prod_{i \in I} A_i$-Algebra. Außerdem
-    ist jede endlich étale $\prod_{i \in I} A_i$ Algebra von dieser Form.
-    Weiter ist
-    \[
-    \left[ \prod_{i \in I} B_i : \prod_{i \in I} A_i \right]\Big|_{\spec A_j} = [ B_j : A_j]
-    .\] 
-    \label{satz:projective-prod}
-\end{satz}
-
-\begin{proof}
-    Die Folge abelscher Gruppen
-    \[
-        \begin{tikzcd}
-            \left( \prod_{i \in I} A_i \right)^{n} \arrow{r}\arrow{d}{\simeq}
-            & \left( \prod_{i \in I} A_i \right)^{m} \arrow{r}\arrow{d}{\simeq}
-        & \prod_{i \in I} B_i \arrow{r} \arrow{d}{=} & 0 \\
-        \prod_{i \in I} A_i^{n} \arrow{r} & \prod_{i \in I} A_i^{m} \arrow{r} & \prod_{i \in I} B_i \arrow{r} & 0
-        \end{tikzcd}
-    \] ist genau dann exakt, wenn
-    \[
-    \begin{tikzcd}
-        A_i^{n} \arrow{r} & A_i^{m} \arrow{r} & B_i \arrow{r} & 0
-    \end{tikzcd}
-    \] exakt ist für alle $i \in I$. Also ist $\prod_{i \in I} B_i$ genau dann endlich präsentierter
-    $\prod_{i \in I} A_i$-Modul, wenn $B_i$ endlich präsentierter $A_i$-Modul ist für alle $i \in I$.
-
-    Außerdem ist $\spec A = \coprod_{i \in I} \spec A_i$. Also für $\mathfrak{p} \in \spec A$
-    existiert genau ein $i \in I$, sodass $\mathfrak{p} \in \spec A_i$ und
-    $A_{\mathfrak{p}} = (A_{i})_{\mathfrak{p}}$ und $B_{\mathfrak{p}} = (B_{i})_{\mathfrak{p}}$.
-    Also ist $A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ genau dann frei separabel für
-    alle $\mathfrak{p} \in \spec A$, wenn
-    $(A_i)_{\mathfrak{p}} \to (B_{i})_{\mathfrak{p}}$ frei separabel ist für alle $\mathfrak{p} \in \spec A_i$ und
-    alle $i \in I$.
-
-    Insgesamt ist $A \to B$ genau dann endlich étale, wenn $A_i \to B_i$ endlich étale ist für alle $i \in I$.
-
-    %Endlich étale ist eine lokale Eigenschaft auf $A$, genauer: Für alle $i \in I$ existieren
-    %$\{f_{ij}\}_{j \in J_i}$, sodass $A_i = \sum_{j \in J_i} (f_{ij})$ und
-    %$(B_i)_{f_{ij}}$ separable, freie $(A_{i})_{f_{ij}}$-Algebra für alle $j \in J_i$. Dann
-    %setze $\tilde{f}_{ij} = (0, \ldots, 0, f_{ij}, 0, \ldots, 0)$. Dann ist mit \ref{lemma:localised-product-ring}
-    %$B_{\tilde{f}_{ij}} = (B_i)_{f_{ij}}$ separable, freie $A_{\tilde{f}_{ij}} = (A_i)_{f_{ij}}$-Algebra
-    %und $A = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J_i} (\tilde{f}_{ij})$. Also ist $B$ endlich separable $A$-Algebra.
-
-    Sei nun $f\colon \prod_{i \in I} A_i \to B$ endlich étale. Es ist
-    $\spec A = \coprod_{i \in I} \spec A_i$. Nach \ref{bem:clopen-sets} existieren
-    also idempotente Elemente $e_i \in A$, sodass $\spec A = \coprod_{i \in I} D(e_i)$. Nach
-    \ref{lemma:preimage-of-d} ist $\spec B = \coprod_{i \in I} D(f(e_i))$. Wir haben das folgende kommutative
-    Diagramm
-    \[
-    \begin{tikzcd}
-        B \arrow{r} & \prod_{i \in I} B_{e_i} \\
-        A \arrow{u} \arrow{r} & \prod_{i \in I} A_{e_i} \arrow{u}
-    \end{tikzcd}
-    .\] Nach \ref{lemma:disjoint-union-of-spec} sind die horizontalen Pfeile Isomorphismen
-    und wir sind in der obigen Situation.
-
-    Die Gradformel folgt aus $\spec A = \coprod_{i \in I} \spec A_i$ und durch Berechnung in der Überdeckung aus dem
-    ersten Absatz.
-\end{proof}
-
 \begin{definition}[Total zerlegbare Algebren]
     Eine $A$-Algebra $B$ ist \emph{total zerlegbar}, wenn
     $A$ ein endliches Produkt von Ringen $A_n$ ist mit $n \ge 0$ und
@@ -736,6 +596,45 @@ einen Ringhomomorphismus $A^{E} \to A^{D}$.
     und damit $A^{E} \to A^{D}$ nach \ref{ex:5.3}.
 \end{proof}
 
+Wir benötigen noch zwei Lemmata aus der kommutativen Algebra:
+
+\begin{lemma}
+    Sei $(A, \mathfrak{m})$ ein lokaler Ring. Dann hat $A$ keine nicht-trivialen idempotenten Elemente.
+    \label{lemma:local-idempotents}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Sei $e \in A$ idempotent. Dann ist $e(1-e) = e^2 - e = e - e = 0$. Falls $e \in A^{\times }$, folgt
+    $1-e = 0$ also $e = 1$. Falls $e \not\in A^{\times}$: Dann ist $e \in \mathfrak{m}$. Angenommen
+    $1-e \in \mathfrak{m}$, dann ist auch $1 = 1-e +e \in \mathfrak{m}$. Widerspruch. Also ist
+    $1-e \not\in \mathfrak{m}$. Da $A$ lokal, ist also $1-e \in A^{\times}$ und damit $e = 0$.
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+    Sei $A$ ein Ring ohne nicht-triviale Idempotente und seien $E,D$ endliche Mengen. Dann
+    ist jeder $A$-Algebra Homomorphismus $A^{E} \to A^{D}$ induziert von einer Abbildung $D \to E$.
+    \label{lemma:no-idempotents}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Sei $\psi\colon A^{E} \to A^{D}$ ein $A$-Algebra Homomorphismus.
+    Setze $f_e \coloneqq (\delta_{\tilde{e}e})_{\tilde{e} \in E} \in A^{E}$. Dann ist $f_e^2 = 1$ und
+    $f_ef_{\tilde{e}} = 0$ falls $e \neq \tilde{e}$.
+
+    Sei nun $d \in D$ beliebig. Dann gilt
+    $\psi(f_e)^2 = \psi(f_e^2) = \psi(f_e)$, also $\psi(f_e)_d$ idempotent, also $\psi(f_e)_d \in \{0, 1\}$.
+    Weiter ist $1 = \psi(1)_d = \psi(\sum_{e \in E} f_e)_d$ und für $e \neq \tilde{e} \in E$ ist
+    $0 = \psi(f_ef_{\tilde{e}})_d = \psi(f_e)_d \psi(f_{\tilde{e}})_d$. Es existiert also
+    genau ein $e(d) \in E$, sodass $\psi(f_e)_d = 1$.
+
+    Setze nun $\phi\colon D \to E$, $d \mapsto e(d)$. Nun sei $f = (a_e)_{e \in E} \in A^{E}$ beliebig. Dann
+    gilt
+    $f = \sum_{e \in E} a_e f_e$ und
+    \[
+        \psi(f)_d = \sum_{e \in E} a_e \psi(f_e)_d = a_{\phi(d)}
+    .\]
+\end{proof}
+
 \begin{lemma}
     Seien $A, B, C$ Ringe und $f\colon A \to B$, $g\colon A \to C$ total zerlegbar und $h\colon C \to B$ ein
     Ringhomomorphismus mit $f = hg$. Sei weiter $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann
@@ -807,4 +706,98 @@ einen Ringhomomorphismus $A^{E} \to A^{D}$.
     $h\colon C \to B$ endlich étale.
 \end{proof}
 
+\section{Aufgaben nach unserem Kapitel}
+
+\begin{satz}[Aufgabe 5.3]
+    Sei $A$ ein Ring und $B_i$ $A$-Algebren für $1 \le i \le n$. Sei weiter
+    $B = \prod_{i=1}^{n} B_i$. Dann ist $B$ genau dann endlich étale, wenn
+    jedes $B_i$ endlich étale ist. In diesem Fall gilt
+    $[B : A] = \sum_{i=1}^{n} [B_i : A]$.
+    \label{ex:5.3}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Als $A$-Modul ist $B \simeq \bigoplus_{i = 1}^{n} B_i$. Also ist $B$ genau dann endlich erzeugt bzw. projektiv, wenn
+    $B_i$ endlich erzeugt bzw. projektiv ist für $1 \le i \le n$. Ebenso
+    existiert ein natürlicher $A$-Modulisomorphismus
+    \[
+        \text{Hom}_A(B, A) = \text{Hom}_A\left( \bigoplus_{i=1}^{n} B_i, A \right)
+        = \prod_{i=1}^{n} \text{Hom}_A(B_i, A) 
+    .\] Das heißt
+    $B \to \text{Hom}_A(B, A)$ ist genau dann ein Isomorphismus, wenn $B_i \to \text{Hom}_A(B_i, A)$ ein Isomorphismus
+    ist für $1 \le i \le n$.
+
+    Gradformel: Sei $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann ist
+    \[
+        [B : A](\mathfrak{p})% = \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} B_{\mathfrak{p}}
+        = \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} \left(\bigoplus_{i = 1}^{n} B_i\right)_{\mathfrak{p}}
+        = \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} \left( \bigoplus_{i = 1}^{n} (B_{i})_{\mathfrak{p}} \right)
+        = \sum_{i=1}^{n} \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} (B_{i})_{\mathfrak{p}}
+        = \sum_{i=1}^{n} [B_i : A ](\mathfrak{p})
+    .\]
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Aufgabe 5.4]
+    Seien $(A_i)_{i \in I}, (B_i)_{i \in I}$ Ringe mit $I$ endlich und sei $B_i$ endlich étale $A_i$-Algebra
+    für alle $i \in I$. Dann ist $\prod_{i \in I} B_i$ endlich étale $\prod_{i \in I} A_i$-Algebra. Außerdem
+    ist jede endlich étale $\prod_{i \in I} A_i$ Algebra von dieser Form.
+    Weiter ist
+    \[
+    \left[ \prod_{i \in I} B_i : \prod_{i \in I} A_i \right]\Big|_{\spec A_j} = [ B_j : A_j]
+    .\] 
+    \label{satz:projective-prod}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Die Folge abelscher Gruppen
+    \[
+        \begin{tikzcd}
+            \left( \prod_{i \in I} A_i \right)^{n} \arrow{r}\arrow{d}{\simeq}
+            & \left( \prod_{i \in I} A_i \right)^{m} \arrow{r}\arrow{d}{\simeq}
+        & \prod_{i \in I} B_i \arrow{r} \arrow{d}{=} & 0 \\
+        \prod_{i \in I} A_i^{n} \arrow{r} & \prod_{i \in I} A_i^{m} \arrow{r} & \prod_{i \in I} B_i \arrow{r} & 0
+        \end{tikzcd}
+    \] ist genau dann exakt, wenn
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        A_i^{n} \arrow{r} & A_i^{m} \arrow{r} & B_i \arrow{r} & 0
+    \end{tikzcd}
+    \] exakt ist für alle $i \in I$. Also ist $\prod_{i \in I} B_i$ genau dann endlich präsentierter
+    $\prod_{i \in I} A_i$-Modul, wenn $B_i$ endlich präsentierter $A_i$-Modul ist für alle $i \in I$.
+
+    Außerdem ist $\spec A = \coprod_{i \in I} \spec A_i$. Also für $\mathfrak{p} \in \spec A$
+    existiert genau ein $i \in I$, sodass $\mathfrak{p} \in \spec A_i$ und
+    $A_{\mathfrak{p}} = (A_{i})_{\mathfrak{p}}$ und $B_{\mathfrak{p}} = (B_{i})_{\mathfrak{p}}$.
+    Also ist $A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ genau dann frei separabel für
+    alle $\mathfrak{p} \in \spec A$, wenn
+    $(A_i)_{\mathfrak{p}} \to (B_{i})_{\mathfrak{p}}$ frei separabel ist für alle $\mathfrak{p} \in \spec A_i$ und
+    alle $i \in I$.
+
+    Insgesamt ist $A \to B$ genau dann endlich étale, wenn $A_i \to B_i$ endlich étale ist für alle $i \in I$.
+
+    %Endlich étale ist eine lokale Eigenschaft auf $A$, genauer: Für alle $i \in I$ existieren
+    %$\{f_{ij}\}_{j \in J_i}$, sodass $A_i = \sum_{j \in J_i} (f_{ij})$ und
+    %$(B_i)_{f_{ij}}$ separable, freie $(A_{i})_{f_{ij}}$-Algebra für alle $j \in J_i$. Dann
+    %setze $\tilde{f}_{ij} = (0, \ldots, 0, f_{ij}, 0, \ldots, 0)$. Dann ist mit \ref{lemma:localised-product-ring}
+    %$B_{\tilde{f}_{ij}} = (B_i)_{f_{ij}}$ separable, freie $A_{\tilde{f}_{ij}} = (A_i)_{f_{ij}}$-Algebra
+    %und $A = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J_i} (\tilde{f}_{ij})$. Also ist $B$ endlich separable $A$-Algebra.
+
+    Sei nun $f\colon \prod_{i \in I} A_i \to B$ endlich étale. Es ist
+    $\spec A = \coprod_{i \in I} \spec A_i$. Nach \ref{bem:clopen-sets} existieren
+    also idempotente Elemente $e_i \in A$, sodass $\spec A = \coprod_{i \in I} D(e_i)$. Nach
+    \ref{lemma:preimage-of-d} ist $\spec B = \coprod_{i \in I} D(f(e_i))$. Wir haben das folgende kommutative
+    Diagramm
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        B \arrow{r} & \prod_{i \in I} B_{e_i} \\
+        A \arrow{u} \arrow{r} & \prod_{i \in I} A_{e_i} \arrow{u}
+    \end{tikzcd}
+    .\] Nach \ref{lemma:disjoint-union-of-spec} sind die horizontalen Pfeile Isomorphismen
+    und wir sind in der obigen Situation.
+
+    Die Gradformel folgt aus $\spec A = \coprod_{i \in I} \spec A_i$ und durch Berechnung in der Überdeckung aus dem
+    ersten Absatz.
+\end{proof}
+
+
 \end{document}