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@@ -37,43 +37,65 @@
             \end{proof}
         \item Sei $\alpha > 0$. Beh.: $\alpha A \in \mathscr{B}(\R)$ und $\lambda(\alpha A) = \alpha \lambda(A)$.
             \begin{proof}
-                Zunächst ist $f_{\alpha}\colon \mathscr{P}(\R) \to \mathscr{P}(\R)$, $A \mapsto \alpha A$
+                Betrachte
-                eine inklusionserhaltende Bijektion.
-
-                Sei $A \in \mathscr{B}(\R)$.
-                Es sei $\mathscr{J} \subseteq \mathscr{P(\R)}$ die Menge der linksgeschlossenen Intervalle.
-                Da $\sigma(\mathscr{J}) = \mathscr{B}(\R)$ und für
-                $I \in \mathscr{J} \implies I^{c} \in \mathscr{J}$, existieren $I_k \in \mathscr{J}$, s.d.
                 \[
-                A = \bigcup_{k \in \N} I_k \text{ oder } A = \bigcap_{k \in \N} I_k
+                    \mathscr{D} = \{ A \in \mathscr{B}(\R)  \mid \alpha A \in \mathscr{B}(\R) \}
-                .\] Sei o.E. $A = \bigcup_{k \in \N} I_k$. Für $I \in \mathscr{J}$ ex. $a, b \in \R$
-                mit $a \le b$, s.d. $I = [a, b)$. Dann ist $\alpha I = [\alpha a, \alpha b) \in \mathscr{J}$
-                und damit
-                \[
-                \lambda(\alpha I) = \lambda([\alpha a, \alpha b)) = |\alpha a - \alpha b| = \alpha |a-b| = \alpha \lambda(I)
                 .\] 
-                Damit folgt
+                Dann ist $\mathscr{D}$ Dynkinsystem, denn
+                \begin{enumerate}[(i)]
+                    \item $\R \in \mathscr{D}$, denn $\alpha \R = \R$.
+                    \item Sei $A \in \mathscr{D}$. Dann ist $\alpha A \in \mathscr{B}(\R)$, also
+                        \[
+                            \alpha A^{c} = (\alpha A)^{c} \in \mathscr{B}(\R)
+                        .\] Also $A^{c} \in \mathscr{D}$.
+                    \item Sei $A_i \in \mathscr{D}$ $\forall i \in \N$ mit $A_i \cap A_j = \emptyset$. Dann
+                        ist
+                        \[
+                            \alpha \bigcupdot_{i \in \N} A_i = \bigcup_{i \in \N} \underbrace{\alpha A_i}_{\in \mathscr{B}(\R)} \in \mathscr{B}(\R)
+                        .\] Also $\bigcupdot_{i \in  \N} A_i \in \mathscr{D} $.
+                \end{enumerate}
+                Sei $\mathscr{J} \subseteq \mathscr{P}(\R)$ die Menge der linksgeschlossenen Intervalle.
+                Es ist offensichtlich $\mathscr{J} \subseteq \mathscr{D}$ und $\mathscr{J}$
+                $\pi$-System. Da auch
+                $\sigma(\mathscr{J}) = \mathscr{B}(\R)$ folgt mit ÜB 1, dass
                 \[
-                    \alpha A = \alpha \bigcup_{k \in \N} I_k = \bigcup_{k \in \N} \alpha I_k \in \mathscr{B}(\R)
+                    \mathscr{B}(\R) = \sigma(\mathscr{J}) \subseteq \mathscr{D}
-                .\] 
-                Betrachte nun $\tilde{I}_k \coloneqq I_k \setminus \bigcup_{j=1}^{k-1} I_j$.
-                Dann sind die $\tilde{I}_k$ disjunkte Vereinigung von endlich vielen linksgeschlossenen
-                Intervallen. Durch
-                Umnummerierung und Aufteilung der Vereinigung auf mehrere Folgenelemente, sei o.E.
-                $\tilde{I}_k \in \mathscr{J}$ $\forall k \in \N$ und
-                \[
-                    A = \bigcupdot_{k \in \N} \tilde{I}_k
                 .\]
-                Damit folgt
+
-                \begin{salign*}
+                Es ist $f_{\alpha}\colon \mathscr{P}(\R) \to \mathscr{P}(\R)$, $A \mapsto \alpha A$
-                    \lambda(\alpha A) &= \lambda \left( \alpha \bigcupdot_{k \in  \N} \tilde{I}_k  \right) \\
+                eine inklusionserhaltende Bijektion. Das heißt, die Disjunktheit von Mengen bleibt erhalten
-                    &\stackrel{f_\alpha \text{ inklusionserhaltend}}{=}
+                $(*)$. Damit ist
-                    \lambda \left( \bigcupdot_{k \in \N} \alpha \tilde{I}_k \right) \\
+                \[
-                    &\stackrel{\lambda \; \sigma \text{-additiv}}{=}
+                    \mathscr{H} = \{ A \in \mathscr{B}(\R)  \mid \lambda(\alpha A) = \alpha \lambda(A)\} 
-                    \sum_{k \in \N} \lambda(\alpha \tilde{I}_k) \\
+                \] ein Dynkinsystem, denn
-                    &= \sum_{k \in \N} \alpha \lambda(\tilde{I}_k) \\
+                \begin{enumerate}[(i)]
-                    &= \alpha \lambda(A)
+                    \item $\R \in \mathscr{H}$, denn $\lambda(\R) = \lambda(\alpha \R) = \alpha \lambda(\R)$.
-                .\end{salign*}
+                    \item Sei $A \in \mathscr{H}$. Dann ist
+                        \begin{salign*}
+                            \alpha \lambda(A^{c}) &= \alpha \left[ \lambda(\R) - \lambda(A) \right] \\
+                                                  &= \lambda(\alpha \R) - \lambda (\alpha A) \\
+                                                  &= \lambda((\alpha A)^{c} \\
+                                                  &= \lambda(\alpha A^{c})
+                        .\end{salign*}
+                        Also $A^{c} \in \mathscr{H}$.
+                    \item Seien $A_i \in \mathscr{H}$ $\forall i \in \N$, $A_i \cap A_j = \emptyset$ für
+                        $i \neq j$. Dann ist
+                        \begin{salign*}
+                            \lambda\left(\alpha\bigcupdot_{i \in  \N} A_i\right) &\stackrel{(*)}{=}
+                            \lambda\left( \bigcupdot_{i \in  \N} \alpha A_i  \right) \\
+                            &\stackrel{\lambda \text{ Maß}}{=}
+                            \sum_{i \in \N} \lambda(\alpha A_i) \\
+                            &\stackrel{A_i \in \mathscr{H}}{=}
+                            \alpha \sum_{i \in \N} \lambda(A_i) \\
+                            &= \alpha \bigcupdot_{i \in  \N} A_i
+                        .\end{salign*}
+                \end{enumerate}
+                Für $I \in \mathscr{J}$ gilt offensichtlich für $a, b \in \R$ mit $b \ge a$:
+                \[
+                    \lambda(\alpha I) = \lambda(\alpha [a, b)) = \lambda([\alpha a, \alpha b))
+                    = |\alpha a - \alpha b| = \alpha |a - b| = \alpha \lambda([a, b)) = \alpha \lambda(I)
+                .\] Also $\mathscr{J} \subseteq \mathscr{H}$. Dann folgt analog zu oben
+                $\mathscr{B}(\R) \subseteq \mathscr{H}$.
             \end{proof}
         \item Beh.: Für alle $\alpha > 0$ existiert eine Menge $A \in \mathscr{B}(\R)$, s.d.
             $A$ dicht in $\R$ und $\lambda(A) = \alpha$.
@@ -145,7 +167,7 @@
         \item Beh.: $\mathscr{H}^{s}(\alpha A) = \alpha ^{s} \mathscr{H}^{s}(A)$.
             \begin{proof}
                 Sei $A \subseteq \R$ und $\alpha > 0$.
-                Wie bereits in A1 ist $f_{\alpha}$ eine inklusionserhaltende Bijektion. Damit ist
+                $f_{\alpha}$ ist eine inklusionserhaltende Bijektion. Damit ist
                 für $B_j \subseteq \R$:
                 \[
                 A \subseteq \bigcup_{j \in \N} B_j \iff \alpha A \subseteq \bigcup_{j \in \N} \alpha B_j
@@ -250,21 +272,20 @@
 \end{aufgabe}
 
 \begin{aufgabe}
-    Beh.: $\mu$ ist ein Maß.
+    Beh.: $\mu$ ist weder Maß noch äußeres Maß.
     \begin{proof}
-        \begin{enumerate}[(i)]
+        Betrachte $A_n \coloneqq \{n\}$ für $n \in \N$. Dann ist
-            \item $\mu(\emptyset) = 0$, denn $\#(\emptyset \cap \{1, \ldots, n\}) = 0$ $\forall n \in \N$.
+        \[
-            \item Sei $A_i \in \mathscr{P}(\N)$ für $i \in \N$ und $A_i \cap A_j = \emptyset$ für $i\neq j$.
+        \bigcup_{n \in \N} A_n = \bigcup_{n \in \N} \{n\} = \N
-                Dann gilt
+        .\] 
-                \begin{salign*}
+        Dann ist für $k \in \N$:
-                    \mu\left( \bigcupdot_{i \in  \N} A_i  \right)
+        \[
-                    &= \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{n} \# \left( \bigcupdot_{i \in \N} A_i \cap \{1, \ldots, n\}  \right)  \\
+            \mu(A_k) = \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{n} \# ( \{k\} \cap \{1, \ldots, n\}) = 0
-                    &= \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{n} \# \left( \bigcupdot_{i \in \N} (A_i \cap \{1, \ldots, n\} ) \right)  \\
+        ,\] aber
-                    &\stackrel{\text{disj. Ver.}}{=} \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i \in \N} \#(A_i \cap \{1, \ldots, n\}) \\
+        \[
-                    &= \sum_{i \in \N} \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{n} \#(A_i \cap \{1, \ldots, n\}) \\
+            \mu(\N) = \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{n} \# (\N \cap \{1, \ldots, n\}) = \limsup_{n \to \infty} \frac{n}{n} = 1
-                    &= \sum_{i \in \N} \mu(A_i)
+            > \sum_{n \in \N} A_n
-                .\end{salign*}
+        .\] Also ist $\mu$ nicht subadditiv, also weder Maß noch äußeres Maß.
-        \end{enumerate}
     \end{proof}
 \end{aufgabe}