christian/uni
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Releases Wiki Activity

rework ana, update wtheo

Browse Source
This commit is contained in:
christian
2020-11-18 20:32:07 +01:00
parent 0fbddc15c8
commit 997f2545ec
3 changed files with 70 additions and 49 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files
ws2020/ana/uebungen/ana2.pdf
BIN
View File
Binary file not shown.
ws2020/ana/uebungen/ana2.tex
+69 -48
View File
@@ -37,43 +37,65 @@
\end{proof}
\item Sei $\alpha > 0$. Beh.: $\alpha A \in \mathscr{B}(\R)$ und $\lambda(\alpha A) = \alpha \lambda(A)$.
\begin{proof}
Zunächst ist $f_{\alpha}\colon \mathscr{P}(\R) \to \mathscr{P}(\R)$, $A \mapsto \alpha A$
eine inklusionserhaltende Bijektion.
Betrachte
\[
\mathscr{D} = \{ A \in \mathscr{B}(\R) \mid \alpha A \in \mathscr{B}(\R) \}
.\]
Dann ist $\mathscr{D}$ Dynkinsystem, denn
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\R \in \mathscr{D}$, denn $\alpha \R = \R$.
\item Sei $A \in \mathscr{D}$. Dann ist $\alpha A \in \mathscr{B}(\R)$, also
\[
\alpha A^{c} = (\alpha A)^{c} \in \mathscr{B}(\R)
.\] Also $A^{c} \in \mathscr{D}$.
\item Sei $A_i \in \mathscr{D}$ $\forall i \in \N$ mit $A_i \cap A_j = \emptyset$. Dann
ist
\[
\alpha \bigcupdot_{i \in \N} A_i = \bigcup_{i \in \N} \underbrace{\alpha A_i}_{\in \mathscr{B}(\R)} \in \mathscr{B}(\R)
.\] Also $\bigcupdot_{i \in \N} A_i \in \mathscr{D} $.
\end{enumerate}
Sei $\mathscr{J} \subseteq \mathscr{P}(\R)$ die Menge der linksgeschlossenen Intervalle.
Es ist offensichtlich $\mathscr{J} \subseteq \mathscr{D}$ und $\mathscr{J}$
$\pi$-System. Da auch
$\sigma(\mathscr{J}) = \mathscr{B}(\R)$ folgt mit ÜB 1, dass
\[
\mathscr{B}(\R) = \sigma(\mathscr{J}) \subseteq \mathscr{D}
.\]
Sei $A \in \mathscr{B}(\R)$.
Es sei $\mathscr{J} \subseteq \mathscr{P(\R)}$ die Menge der linksgeschlossenen Intervalle.
Da $\sigma(\mathscr{J}) = \mathscr{B}(\R)$ und für
$I \in \mathscr{J} \implies I^{c} \in \mathscr{J}$, existieren $I_k \in \mathscr{J}$, s.d.
Es ist $f_{\alpha}\colon \mathscr{P}(\R) \to \mathscr{P}(\R)$, $A \mapsto \alpha A$
eine inklusionserhaltende Bijektion. Das heißt, die Disjunktheit von Mengen bleibt erhalten
$(*)$. Damit ist
\[
A = \bigcup_{k \in \N} I_k \text{ oder } A = \bigcap_{k \in \N} I_k
.\] Sei o.E. $A = \bigcup_{k \in \N} I_k$. Für $I \in \mathscr{J}$ ex. $a, b \in \R$
mit $a \le b$, s.d. $I = [a, b)$. Dann ist $\alpha I = [\alpha a, \alpha b) \in \mathscr{J}$
und damit
\[
\lambda(\alpha I) = \lambda([\alpha a, \alpha b)) = |\alpha a - \alpha b| = \alpha |a-b| = \alpha \lambda(I)
.\]
Damit folgt
\[
\alpha A = \alpha \bigcup_{k \in \N} I_k = \bigcup_{k \in \N} \alpha I_k \in \mathscr{B}(\R)
.\]
Betrachte nun $\tilde{I}_k \coloneqq I_k \setminus \bigcup_{j=1}^{k-1} I_j$.
Dann sind die $\tilde{I}_k$ disjunkte Vereinigung von endlich vielen linksgeschlossenen
Intervallen. Durch
Umnummerierung und Aufteilung der Vereinigung auf mehrere Folgenelemente, sei o.E.
$\tilde{I}_k \in \mathscr{J}$ $\forall k \in \N$ und
\[
A = \bigcupdot_{k \in \N} \tilde{I}_k
.\]
Damit folgt
\mathscr{H} = \{ A \in \mathscr{B}(\R) \mid \lambda(\alpha A) = \alpha \lambda(A)\}
\] ein Dynkinsystem, denn
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\R \in \mathscr{H}$, denn $\lambda(\R) = \lambda(\alpha \R) = \alpha \lambda(\R)$.
\item Sei $A \in \mathscr{H}$. Dann ist
\begin{salign*}
\lambda(\alpha A) &= \lambda \left( \alpha \bigcupdot_{k \in \N} \tilde{I}_k \right) \\
&\stackrel{f_\alpha \text{ inklusionserhaltend}}{=}
\lambda \left( \bigcupdot_{k \in \N} \alpha \tilde{I}_k \right) \\
&\stackrel{\lambda \; \sigma \text{-additiv}}{=}
\sum_{k \in \N} \lambda(\alpha \tilde{I}_k) \\
&= \sum_{k \in \N} \alpha \lambda(\tilde{I}_k) \\
&= \alpha \lambda(A)
\alpha \lambda(A^{c}) &= \alpha \left[ \lambda(\R) - \lambda(A) \right] \\
&= \lambda(\alpha \R) - \lambda (\alpha A) \\
&= \lambda((\alpha A)^{c} \\
&= \lambda(\alpha A^{c})
.\end{salign*}
Also $A^{c} \in \mathscr{H}$.
\item Seien $A_i \in \mathscr{H}$ $\forall i \in \N$, $A_i \cap A_j = \emptyset$ für
$i \neq j$. Dann ist
\begin{salign*}
\lambda\left(\alpha\bigcupdot_{i \in \N} A_i\right) &\stackrel{(*)}{=}
\lambda\left( \bigcupdot_{i \in \N} \alpha A_i \right) \\
&\stackrel{\lambda \text{ Maß}}{=}
\sum_{i \in \N} \lambda(\alpha A_i) \\
&\stackrel{A_i \in \mathscr{H}}{=}
\alpha \sum_{i \in \N} \lambda(A_i) \\
&= \alpha \bigcupdot_{i \in \N} A_i
.\end{salign*}
\end{enumerate}
Für $I \in \mathscr{J}$ gilt offensichtlich für $a, b \in \R$ mit $b \ge a$:
\[
\lambda(\alpha I) = \lambda(\alpha [a, b)) = \lambda([\alpha a, \alpha b))
= |\alpha a - \alpha b| = \alpha |a - b| = \alpha \lambda([a, b)) = \alpha \lambda(I)
.\] Also $\mathscr{J} \subseteq \mathscr{H}$. Dann folgt analog zu oben
$\mathscr{B}(\R) \subseteq \mathscr{H}$.
\end{proof}
\item Beh.: Für alle $\alpha > 0$ existiert eine Menge $A \in \mathscr{B}(\R)$, s.d.
$A$ dicht in $\R$ und $\lambda(A) = \alpha$.
@@ -145,7 +167,7 @@
\item Beh.: $\mathscr{H}^{s}(\alpha A) = \alpha ^{s} \mathscr{H}^{s}(A)$.
\begin{proof}
Sei $A \subseteq \R$ und $\alpha > 0$.
Wie bereits in A1 ist $f_{\alpha}$ eine inklusionserhaltende Bijektion. Damit ist
$f_{\alpha}$ ist eine inklusionserhaltende Bijektion. Damit ist
für $B_j \subseteq \R$:
\[
A \subseteq \bigcup_{j \in \N} B_j \iff \alpha A \subseteq \bigcup_{j \in \N} \alpha B_j
@@ -250,21 +272,20 @@
\end{aufgabe}
\begin{aufgabe}
Beh.: $\mu$ ist ein Maß.
Beh.: $\mu$ ist weder Maß noch äußeres Maß.
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\mu(\emptyset) = 0$, denn $\#(\emptyset \cap \{1, \ldots, n\}) = 0$ $\forall n \in \N$.
\item Sei $A_i \in \mathscr{P}(\N)$ für $i \in \N$ und $A_i \cap A_j = \emptyset$ für $i\neq j$.
Dann gilt
\begin{salign*}
\mu\left( \bigcupdot_{i \in \N} A_i \right)
&= \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{n} \# \left( \bigcupdot_{i \in \N} A_i \cap \{1, \ldots, n\} \right) \\
&= \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{n} \# \left( \bigcupdot_{i \in \N} (A_i \cap \{1, \ldots, n\} ) \right) \\
&\stackrel{\text{disj. Ver.}}{=} \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i \in \N} \#(A_i \cap \{1, \ldots, n\}) \\
&= \sum_{i \in \N} \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{n} \#(A_i \cap \{1, \ldots, n\}) \\
&= \sum_{i \in \N} \mu(A_i)
.\end{salign*}
\end{enumerate}
Betrachte $A_n \coloneqq \{n\}$ für $n \in \N$. Dann ist
\[
\bigcup_{n \in \N} A_n = \bigcup_{n \in \N} \{n\} = \N
.\]
Dann ist für $k \in \N$:
\[
\mu(A_k) = \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{n} \# ( \{k\} \cap \{1, \ldots, n\}) = 0
,\] aber
\[
\mu(\N) = \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{n} \# (\N \cap \{1, \ldots, n\}) = \limsup_{n \to \infty} \frac{n}{n} = 1
> \sum_{n \in \N} A_n
.\] Also ist $\mu$ nicht subadditiv, also weder Maß noch äußeres Maß.
\end{proof}
\end{aufgabe}
ws2020/wtheo/uebungen
+1 -1
Submodule ws2020/wtheo/uebungen updated: 5c0c1a5904...9915d40c31