la7 final

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@@ -39,7 +39,7 @@
                 \begin{align*}
                     f(n-1) + f(n) + f(n+1) = 0 = g(n-1) + g(n) + g(n+1)
                 .\end{align*}
-                $\implies f(n+1) = g(n+1)$.
+                $\stackrel{I.V.}{\implies} f(n+1) = g(n+1)$.
             \end{proof} 
         \item Beh.: $W$ ist endlich erzeugt.
             \begin{proof}
@@ -69,7 +69,7 @@
                 Fälle $\exists k \in \N\colon n = 3k+2$ bzw. $n = 3k$ folgen analog.
 
                 Zz.: $\{w_1, w_2\} $ ist Erzeugendensystem. Sei $f \in W$ beliebig.
-                Wähle $a_1 := f(1)$ und $a_2 := f(2)$. Damit gilt wegen (b):
+                Wähle $a_1 := f(1)$ und $a_2 := f(2)$. Damit gilt:
                 \begin{align*}
                     a_1 w_1(1) + a_2 w_2(1) = a_1 = f(1)
                 \intertext{und}
@@ -111,7 +111,7 @@
                 \begin{align*}
                     &\frac{z_3}{2} \cdot (0,1,2) + \left(z_2 - \frac{z_3}{2}\right) \cdot (2, 1, 0) +
                     (z_1 - 2z_2 + z_3) \cdot (1, 0, 0) \\
-                    &= (2z_2 - z_3 + z_1 - 2z_2 + z_3, \frac{z_3}{2} + z_2 - \frac{z_3}{2}, z_3)\\
+                    &= \left(2z_2 - z_3 + z_1 - 2z_2 + z_3, \frac{z_3}{2} + z_2 - \frac{z_3}{2}, z_3\right)\\
                     &= (z_1, z_2, z_3)
                 .\end{align*}
                 $\implies (u, v, x)$ ist Erzeugendensystem.
@@ -128,13 +128,15 @@
             \end{proof}
         \item Beh.: $(u,v,w)$ ist weder linear unabhängig, noch Erzeugendensystem.
             \begin{proof}
-                Wähle $a := \frac{1}{2}$ und $b := \frac{1}{2}$. Damit folgt
+                Wähle $a := \frac{1}{2}$, $b := \frac{1}{2}$ und $c := -1$. Damit folgt
                 \[
-                    \frac{1}{2} u + \frac{1}{2} v = \frac{1}{2}(0,1,2) + \frac{1}{2} (2,1,0) = (1,1,1) = w
-                .\] $\implies (u,v,w)$ nicht linear unabhängig.
+                    a u + b v + c w = \frac{1}{2} u + \frac{1}{2} v - w =
+                    \frac{1}{2}(0,1,2) + \frac{1}{2} (2,1,0) - (1,1,1) = (0,0,0)
+                .\] Aber $a = \frac{1}{2} \neq 0 \implies (u,v,w)$ nicht linear unabhängig.
 
-                Da $w$ nicht zu $\text{Lin}((u,v,w))$ beiträgt, und $(u,v)$ wegen (a) kein Erzeugendensystem
-                sind, ist $(u,v,w)$ ebenfalls kein Erzeugendensystem und damit keine Basis.
+                Da $w = \frac{1}{2} u + \frac{1}{2} v$, trägt $w$ nicht zu $\text{Lin}((u,v,w))$ bei.
+                Weil $(u,v)$ wegen (a) kein Erzeugendensystem
+                ist, ist $(u,v,w)$ ebenfalls kein Erzeugendensystem und damit keine Basis.
             \end{proof}
     \end{enumerate}
     \begin{enumerate}[(d)]
@@ -149,14 +151,16 @@
     \end{enumerate}
 \end{aufgabe}
 
+\newpage
 \begin{aufgabe}
     \begin{enumerate}[(a)]
         \item Beh.: $\text{Rg}(g \circ f) \le \text{min}(\text{Rg}(f), \text{Rg}(g))$
             \begin{proof}
                 Zz.: $\text{Rg}(g \circ f) \le \text{Rg}(f)$.
 
-                Wegen $g \circ f$ folgt,
-                $\text{Rg}(g \circ f) = \text{dim}(\text{Bild}(g \circ f)) \le  \text{dim}(\text{Bild}(f)) = \text{Rg}(f)$.
+                Schränke $g$ ein durch $g': \text{Bild}(f) \to \text{Bild}(g \circ f)$, $v \mapsto g(v)$\\
+                $\implies g' \circ f(u) = g \circ f(u) \quad \forall u \in U$ \\
+                $\implies \text{Rg}(f) = \text{dim}(\text{Bild}(f)) \ge \text{dim}(\text{Bild}(g \circ f)) = \text{Rg}(g \circ f)$
 
                 Zz.: $\text{Rg}(g \circ f) \le \text{Rg}(g)$.
 
@@ -170,13 +174,14 @@
                 f\colon (x, y) \mapsto (x, 0), \qquad
                 g\colon (x, y) \mapsto (0, y)
             .\end{align*}
-            $\implies g \circ f\colon (x, y) \mapsto (0, 0)$.
+            $g$ und $f$ sind linear. $\implies g \circ f\colon (x, y) \mapsto (0, 0)$.
 
             Wegen $\text{Rg}(f) = 1 = \text{Rg}(g)$, aber $\text{Rg}(g \circ f) = 0$ folgt:
             \[
                 \text{Rg}(g \circ f) = 0 < 1 = \text{min}\left( \text{Rg}(f), \text{Rg}(g) \right)  
             .\] 
-        \item Für $U = V = W$ und  $f = g = id$ folgt $g \circ f = id \circ id = id$, also
+        \item Für $U = V = W$ und $f = g = id$ folgt $g \circ f = id \circ id = id$. $id$
+            auf Vektorräumen ist linear. Also
             $f = g = g \circ f$, also $\text{Rg}(g \circ f) = \text{Rg}(g) = \text{Rg}(f)$.
     \end{enumerate}
 \end{aufgabe}
@@ -187,13 +192,16 @@
             \begin{proof}
                 Kontraposition. Zz.: Ist $f$ nicht surjektiv, dann ist $f^{*}$ nicht injektiv.
 
-                Sei $(v_i)_{i \in I}$ Basis von $V$.
-                Wegen $f$ nicht surjektiv und linear, ex. ein $J \subset I, J\neq \emptyset$, s.d.
-                $\forall j \in J\colon v_j \not\in \text{Bild}(f)$.
+                Sei $(v_i)_{i \in I}$ Basis von $\text{Bild}(f)$.
+                Wegen Basisergänzungssatz und $f$ nicht surjektiv,
+                ex. eine Indexmenge $J \neq \emptyset$ mit $J \cap I = \emptyset $,
+                s.d. $(v_i)_{i \in I \cup J }$ Basis von V.
+
+                $\implies v_j \not\in \text{Bild}(f) \quad \forall j \in J$
 
                 Nun wähle $j_0 \in J$ und $\varphi_1, \varphi_2 \in V^{*}$ mit
                 $\varphi_1(v_{j_0}) \neq \varphi_2(v_{j_0})$ und
-                $\varphi_1(v_i) = \varphi_2(v_i) \quad \forall i \in I \setminus J$
+                $\varphi_1(v_i) = \varphi_2(v_i) \quad \forall i \in I$
 
                 $\implies \varphi_1(f(u)) = \varphi_2(f(u)) \quad \forall u \in U$. \\
                 Aber $\varphi_1(v_{j_0}) \neq \varphi_2(v_{j_{0}}) \implies \varphi_1 \neq \varphi_2$.