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sose2020/ana/lectures/ana1.tex

@@ -226,10 +226,11 @@
             $\forall n \ge N_0$ und $\forall x \in [a,b]$.
 
             Damit gilt $\forall n, m \ge N_0$ und $\forall x \in [a,b]$:
+
             \begin{align*}
                 &|f_n(x) - f_m(x)| \le |f_n(x) - f(x)| + |f(x) - f_m(x)|
                 \le \frac{\epsilon}{4} + \frac{\epsilon}{4} = \frac{\epsilon}{2} \\
-                \implies &\max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f_m(x)| = \Vert f_n - f_m \Vert_\infty
+                \implies &\max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f_m(x)| = \Vert f_n - f_m \Vert_{\infty}
                 \le \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \quad \forall n, m \ge N_0
             .\end{align*}
 
@@ -262,7 +263,7 @@
     Der Funktionenraum $C[a,b]$ definiert durch
     \[
         C[a,b] := \{ f \colon [a,b] \to \R  \mid f \text{ stetig }\}
-    .\] mit $\Vert f \Vert_\infty$ einen normierten Vektorraum.
+    ,\] ist mit $\Vert f \Vert_\infty$ ein normierter Vektorraum.
 \end{definition}
 
 \begin{satz}[Vollständigkeit]

sose2020/ana/uebungen/ana1.tex

@@ -0,0 +1,165 @@
+\documentclass[uebung]{../../../lecture}
+
+\begin{document}
+
+% punkte tabelle
+\begin{tabular}{|c|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|@{}m{0cm}@{}}
+    \hline
+    Aufgabe & \centering A1 & \centering A2 & \centering A3 & \centering A4 & \centering A5 & \centering $\sum$ & \\[5mm] \hline
+    Punkte & & & & & & & \\[5mm] \hline
+\end{tabular}
+
+\title{Analysis II: Übungsblatt 1}
+\author{Leon Burgard, Christian Merten}
+
+\begin{aufgabe}
+    Integralberechnung
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Integration von Monom
+            \[
+            \int_{0}^{1} \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x} } }  \d x = \int_{0}^{1} \sqrt{\sqrt{\sqrt{x^{7}} } }  \d x  
+            = \int_{0}^{1} x^{\frac{7}{8}} \d x = \frac{8}{15} x^{\frac{15}{8}} \Big|_{0}^{1} = \frac{8}{15}
+            .\] 
+        \item Produktintegration
+            \begin{align*}
+                \int_{0}^{1} e^{x}(1 - x + x^2) \d x
+                &= e^{x}(1 - x + x^2) \Big|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x}(2x-1) \d x \\
+                &= e^{x}(1 - x + x^2) \Big|_{0}^{1} - \left( e^{x}(2x-1) - \int_{0}^{1} 2e^{x} \d x  \right)  \\
+                &= e^{x}(1 - x + x^2) \Big|_{0}^{1} - e^{x}(2x-1) \Big|_{0}^{1}  + 2e^{x} \Big|_{0}^{1} \\
+                &= e^{x}(x^2 - 3x+4) \Big|_{0}^{1} \\
+                &= 2e - 4
+            .\end{align*}
+        \item Mit Substitution $t = x^2$ folgt
+            \begin{align*}
+                \int_{0}^{1} e^{x^2} x^{3} \d x
+                = \int_{0}^{1} e^{t} tx  \frac{\d t}{2x}
+                = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{t}\cdot t \d t
+                = \frac{1}{2} \left( e^{t}\cdot t \Big|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{t} \d t\right) 
+                = \frac{1}{2}
+            .\end{align*}
+        \item Mit $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2(x)}$ folgt
+            \begin{align*}
+                \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2(x)} \d x 
+                &= \tan(x) \cdot x \Big|_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \d x 
+                \intertext{Mit Substitution $t = \cos x$ folgt}
+                \int \tan x \d x
+                &= \int \frac{\sin x}{\cos x} \d x
+                = - \int \frac{\sin x}{t} \frac{\d x}{\sin x}
+                = - \int \frac{1}{t} \d t
+                = - \ln t
+                = - \ln(\cos x)
+                \intertext{Damit folgt}
+                \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2(x)} \d x
+                &= \frac{\pi}{4} + \ln(\cos x) \Big|_{0}^{\frac{\pi}{4}}
+                = \frac{\pi}{4} + \ln\frac{\sqrt{2} }{2}
+                = \frac{1}{4} (\pi - \ln 4)
+            .\end{align*}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    Weitere Eigenschaften von Integralen
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Sei $f\colon [a,b] \to \R$ stetig und $\varphi, \psi\colon [c,d] \to [a,b]$ differenziebar.
+            
+            Beh.:
+            \[
+                \frac{d}{\d x} \int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(t) \d t =
+                f(\psi(x)) \psi'(x) - f(\varphi(x)) \varphi'(x), \quad x \in [c, d]
+            .\] 
+            \begin{proof}
+                $f$ stetig auf $[a,b]$, d.h. es ex. eine Stammfunktion $F$ von $f$ mit $F'(x) = f(x)$. Nach
+                dem HDI gilt dann
+                \[
+                    \int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(t) \d t = F(\psi(x)) - F(\varphi(x))
+                .\] Damit folgt mit Kettenregel
+                \begin{align*}
+                    \frac{d}{\d x} \left( F(\psi(x)) - F(\varphi(x)) \right)
+                    = \frac{d}{\d x} F(\psi(x)) - \frac{d}{\d x} F(\varphi(x))
+                    = f(\psi(x)) \psi'(x) - f(\varphi(x)) \varphi'(x)
+                .\end{align*}
+            \end{proof}
+        \item
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}[Funktionenfolgen und Integration]
+    Für $n \in \N$ sei $f_n\colon [0, \infty) \to \R$ definiert durch
+    \[
+        f_n(x) := \frac{n^2 x}{(1+n^2x^2)^2}
+    .\] Beh.:
+    \[
+        \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f_n(x) \d x \neq \int_{0}^{1} \lim_{n \to \infty} f_n(x) \d x 
+    .\] 
+    \begin{proof}
+        Zunächst linke Seite mit Substitution $t = 1+n^2x^2$:
+        \[
+            \int_{0}^{1} \frac{n^2x}{(1+n^2x^2)^2} \d x 
+            = \frac{1}{2} \int_{1}^{1+n^2} \frac{\d t}{t^2}
+            = - \frac{1}{2} \frac{1}{t} \Big|_{1}^{1+n^2}
+            = - \frac{1}{2 + 2n^2} + \frac{1}{2}
+            \xrightarrow{n \to \infty} \frac{1}{2}
+        .\] Zu zeigen: $f_n \xrightarrow[\text{punktweise}]{n \to \infty} f(x) := 0$. Sei $x \in \R$ beliebig.
+        \[
+            |f_n(x) - f(x)|
+            = \left| \frac{x}{\frac{1}{n^2} + 2x^2 + n^2x^{4}} \right| \xrightarrow{n \to \infty} 0
+        .\] Damit folgt
+        \[
+            \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f_n(x) \d x = \frac{1}{2} \neq 0 = \int_{0}^{1} 0 \d x
+            = \int_{0}^{1} \lim_{n \to \infty} f_n(x) \d x 
+        .\] 
+    \end{proof}
+    Da $f_n$ nicht gleichmäßig konvergent ist, ist Satz 1.3.1 nicht anwendbar.
+    \begin{proof}
+        Zu zeigen: $f_n$ nicht gleichmäßig konvergent.
+
+        Sei $\epsilon > 0$ und $n \in \N$ mit $n > \frac{\epsilon \cdot 16}{\sqrt{27} }$. Dann wähle
+        $x_0 = \frac{1}{\sqrt{3} n}$. Damit folgt
+        \[
+            |f_n(x_0) - f(x_0)| = |f_n(x_0)|
+            = \left| \frac{\sqrt{27} n}{16} \right|
+            > \left| \frac{\sqrt{27} \epsilon 16}{16\sqrt{27}} \right|
+            = \epsilon
+        .\] 
+    \end{proof}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}[Uneigentliche Integrale und Funktionenfolgen]
+    Für $n \in \N$ sei $f_n \colon [0, \infty) \to \R$ definiert durch
+    \[
+        f_n(x) := \frac{1}{n} e^{-\frac{x}{n}}, \quad x \ge 0
+    .\] Beh.: $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig, aber
+    \[
+        \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\infty} f_n(x) \d x \neq \int_{0}^{\infty} \lim_{n \to \infty} f_n(x) \d x 
+    .\] 
+    \begin{proof}
+        Zu zeigen: $f_n \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f(x) := 0$.
+
+        Sei $\epsilon > 0$ und $x \in [0, \infty)$ beliebig. Wähle $n_0 > \frac{1}{\epsilon}$. Wegen
+        $x \ge 0$ und $n \ge 1$, folgt $\frac{x}{n} \ge 0 \implies e^{-\frac{x}{n}} \le 1$.
+        Damit folgt direkt $\forall n \in \N$, $n \ge n_0$:
+        \[
+        \left| \frac{1}{n} e^{-\frac{x}{n}} - 0 \right| \le \frac{1}{n} \cdot 1 \le \frac{1}{n_0}
+        < \frac{1}{\frac{1}{\epsilon}} = \epsilon
+        .\] $\implies f_n \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f(x)$.
+
+        Damit folgt
+        \[
+        \int_{0}^{1} \frac{1}{n} e^{-\frac{x}{n}} \d x
+        = - e^{-\frac{x}{n}} \Big|_{0}^{\infty} = - \left( \lim_{x \to \infty} e^{-\frac{x}{n}} - 1 \right) 
+        = 1 \neq 0 = \int_{0}^{\infty} f(x) \d x = \int_{0}^{\infty} \lim_{n \to \infty} f_n(x) \d x 
+        .\] 
+    \end{proof}
+    $[0, \infty)$ ist kein kompaktes Intervall, weshalb Satz 1.3.1 nicht anwendbar ist.
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}[Stammfunktionen]
+    Mit Produktintegration folgt sofort
+    \begin{align*}
+        &\int \cos(x) \sin(x) \d x = - \cos^2(x) - \int \cos(x) \sin(x) \d x  \\
+        \implies & 2 \int \cos(x) \sin(x) \d x = - \cos^2(x) \\
+        \implies & \int \cos(x) \sin(x) \d x = - \frac{1}{2} \cos^2(x)
+    .\end{align*}
+\end{aufgabe}
+
+\end{document}