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sose2021/seminar/skript.tex

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+\documentclass{../../lecture}
+
+\usepackage[]{tikz-cd}
+
+\begin{document}
+
+\stepcounter{section}
+\section{p-adische Zahlen}
+
+\subsection{Der Ring $\Z_p$ und sein Quotientenkörper $\Q_p$}
+
+Sei $p \in \N$ eine im Folgenden fest gewählte Primzahl.
+
+Genauso wie eine natürliche Zahl $m \in \N$ bezüglich der Basis $10$ dargestellt werden kann,
+ist das auch bezüglich der Basis $p$ möglich. Jede natürliche Zahl besitzt also eine
+$p$-adische Entwicklung der Form
+\[
+m = a_0 + a_1 p + \ldots + a_n p^{n}
+\] wobei die Koeffizienten $a_i$ in $\{0, 1, \ldots, p-1\} $ liegen. Die Darstellung ist damit eindeutig.
+
+\begin{bsp}[]
+    Diese Darstellung finden wir durch sukzessives Dividieren mit Rest. Für $n = 216$ erhalten
+    wir für $p = 5$
+    \begin{salign*}
+        216 &= 1 + 5 \cdot 43 \\
+         43 &= 3 + 5 \cdot 8 \\
+          8 &= 3 + 5 \cdot 1 \\
+          1 &= 1
+          \intertext{Also insgesamt}
+          216 &= 1 + 3 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 1 \cdot 5^3
+    .\end{salign*}
+\end{bsp}
+
+Um nun auch negative und sogar gebrochene Zahlen darstellen zu können, gehen wir zu unendlichen
+Reihen über:
+
+\begin{definition}[Ganze $p$-adische Zahlen]
+    Eine ganze $p$-adische Zahl ist eine formale unendliche Reihe
+    \[
+    \sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i} = a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots
+    \] mit $0 \le a_i < p$ für $i \in \N_0$. Die Menge dieser formalen Reihen
+    wird mit $\Z_p$ bezeichnet.
+\end{definition}
+\begin{bem}[]
+    $\sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i}$ ist rein formal gemeint, d.h. bezeichnet einfach
+    die Folge der Partialsummen
+    \[
+    s_n = \sum_{i=0}^{n-1} a_i p^{i} \in \Z, \quad n \in \N
+    .\]
+\end{bem}
+
+Womit können wir jetzt die ganzen Zahlen $\Z$ in den $p$-adischen Zahlen $\Z_p$ identifizieren?
+Wie kann
+also beispielsweise $-1$ in $\Z_p$ dargestellt werden?
+Dazu stellen wir folgendes fest
+
+\begin{lemma}
+    Sei $a \in \Z$.
+    Die Restklasse $a \; \text{mod } p^{n} \in \Z / p^{n} \Z$ wird in eindeutiger
+    Darstellung durch
+    \[
+    a \equiv a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots + a_{n-1} p^{n-1} \; (\text{mod } p^{n}) 
+    \] gegeben, wobei $0 \le a_i < p$ für $i \in \{0, \ldots, n-1\} $.
+    \label{le-eind-rest}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof} 
+    Per Induktion. Für $n = 1$ ist offenbar $a \equiv a_0 \; (\text{mod } p) $ mit $0 \le a_0 < p$.
+    Sei nun die Behauptung für $n-1$ gezeigt. Dann ex. eine eindeutige Darstellung
+    \begin{salign*}
+        a &\equiv a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots + a_{n-2} p^{n-2} \; (\text{mod } p^{n-1}) 
+        \intertext{Also}
+        a &= a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots + a_{n-2} p^{n-2} + g p^{n-1}
+        \intertext{
+    für ein $g \in \Z$. Sei $0 \le a_{n-1} < p$, s.d. $g \equiv a_{n-1} \; (\text{mod } p) $, also
+    $g = a_{n-1} + h p$ für $h \in \Z$. $a_{n-1}$ ist also eindeutig durch $a$ bestimmt und es
+    folgt
+        }
+        a &= a_0 + \ldots + a_{n-2} p^{n-2} + a_{n-1} p^{n-1} + h p^{n}
+    \end{salign*}
+\end{proof}
+
+Jede ganze Zahl $a$ definiert nun eine Folge von Restklassen $\overline{s_n} = \overline{a} \in \Z / p^{n} \Z$
+für $n \in \N$, die nach \ref{le-eind-rest} von der Gestalt
+\begin{salign*}
+    s_1 &\equiv a_0 \; (\text{mod } p)  \\
+s_2 &\equiv a_0 + a_1p \; (\text{mod } p^2) \\
+&\;\;\vdots
+\end{salign*}
+sind mit eindeutig bestimmten Koeffizienten $a_0, a_1, \ldots \in \{0, \ldots, p-1\} $. Die Zahlenfolge
+\[
+s_n = a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots + a_{n-1} p^{n-1}
+\] definiert nun eine ganze $p$-adische Zahl $\sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i} \in \Z_p$, die
+wir die $p$-adische Entwicklung von $a$ nennen.
+
+\begin{bsp}
+    Was ist jetzt die $p$-adische Entwicklung von $-1$? Es ist
+    \begin{salign*}
+        -1 &= (p-1) + (p-1)p + \ldots + (p-1)p^{n-1} - p^{n} \\
+        \text{also }-1 &\equiv (p-1) + (p-1)p + \ldots + (p-1)p^{n-1} \; (\text{mod } p^{n}) 
+    .\end{salign*}
+    Es ist also $-1 = (p-1) + (p-1)p + (p-1)p^2 + \ldots \in \Z_p$ die $p$-adische Entwicklung von $-1$.
+    \label{bsp-minus1}
+\end{bsp}
+
+Um $\Z_p$ eine algebraische Struktur zu geben, könnten wir mit diesen Reihen mit Überträgen
+rechnen, so wie wir es von der Basis $10$ gewohnt sind. Einfacher wird es jedoch, wenn wir
+eine ganze $p$-adische Zahl $x = \sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i}$ mit
+der Folge der Restklassen $\overline{s_n} \in \Z / p^{n} \Z$ der Partialsummen identifizieren.
+
+Dazu benötigen wir noch eine Vorüberlegung und einige Begriffe.
+
+\begin{definition}
+    Ein projektives System ist
+    eine Folge von Mengen $(D_n)_{n \in \N}$ und eine Folge
+    von Abbildungen $(p_n)_{n \in \N}$ mit $p_{n}\colon D_{n+1} \to D_n$
+    \[
+        D_1 \xleftarrow{p_1} D_2 \leftarrow \ldots \leftarrow D_{n} \xleftarrow{p_{n}} D_{n+1} \leftarrow \ldots
+    .\] 
+    Die Teilmenge
+    \[
+        D = \varprojlim \; (D_n, p_n) =
+        \left\{ (a_n)_{n \in \N} \in \prod_{n=1}^{\infty} D_n  \mid p_n(a_{n+1}) = a_n \forall n \in \N \right\}
+    \] heißt projektiver Limes des Systems.
+\end{definition}
+
+\begin{bem}[]
+    Falls die $D_n$ Ringe und die $p_n$ Ringhomomorphismen sind, wird
+    $\varprojlim \; (D_n, p_n)$ zum Teilring des Produktrings $\prod_{n=1}^{\infty} D_n $
+    (leicht nachzurechnen).
+\end{bem}
+
+Setze im Folgenden $A_n \coloneqq \Z / p^{n} \Z$. Dann erhalten wir für $n \in \N$ einen
+kanonischen Homomorphismus
+\begin{salign*}
+    \phi_{n}\colon A_{n+1} &\to A_n \\
+    \overline{a} &\mapsto \overline{a}
+.\end{salign*}
+
+
+\begin{satz}
+    Ordnet man jeder ganzen $p$-adischen Zahl
+    \[
+    x = \sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i}
+    \] die Folge $(\overline{s}_n)_{n \in \N}$ der Restklassen
+    \[
+    \overline{s}_n = \sum_{i=0}^{n-1} a_i p^{i} \; (\text{mod } p^{n}) \in A_n
+    \] zu, so erhält man eine Bijektion
+    \[
+        \Z_p \xrightarrow{\sim} \varprojlim \; (A_n, \phi_n)
+    .\] 
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Die Zuordnung ist wohldefiniert, da
+    \[
+     s_{n+1} = a_0 + a_1 p + \ldots + a_{n} p^{n}
+     \equiv a_0 + a_1 p + \ldots + a_{n-1} p^{n-1} \; (\text{mod } p^{n})
+     = s_n
+ .\] Die Bijektivität folgt direkt aus \ref{le-eind-rest}
+\end{proof}
+
+\begin{bem}[]
+    Die Koeffizienten der $p$-adischen Entwicklung von $a \in \Z$ ergeben sich durch die Kongruenzen
+    \[
+    a \equiv a_0 + a_1 p + \ldots + a_{n-1} p^{n-1} \; (\text{mod } p^{n}) 
+    \] mit $0 \le a_i < p$. Bei der Identifizierung $\Z_p = \varprojlim \; (A_n, \phi_n)$ geht
+    $a \in \Z$ daher über in
+    \[
+        (a \; \text{mod } p, a \; \text{mod } p^2, a \; \text{mod } p^{3} , \ldots ) \in
+        \prod_{n=1}^{\infty} A_n 
+    .\] 
+    $\Z$ wird so zum Teilring von $\varprojlim \; (A_n, \phi_n)$.
+    \label{bem-z-ident}
+\end{bem}
+
+\begin{bsp}[$\ref{bsp-minus1}$ fortgesetzt]
+    Mit \ref{bem-z-ident} folgt also
+    \[
+        -1 = (p-1, p^2-1, p^{3}-1, \ldots) \in \varprojlim \; (A_n, \phi_n)
+    .\] 
+\end{bsp}
+
+Wir identifizieren nun im Folgenden stets $\Z_p = \varprojlim \; (A_n, \phi_n)$. $\pi_n$ bezeichne
+den kanonischen Projektionshomomorphismus $\pi_n\colon  \Z_p \to A_n$.
+
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}
+        \item Per Definition ist $x \in \Z_p$ also ein Element $x \in \prod_{n=1}^{\infty} \Z / p^{n}\Z $
+            mit der ,,Kompatibilitätsbedingung'':
+            \[
+                x_{n+1} \equiv x_n \text{ (mod } p^{n})
+            .\] 
+        \item $\Z_p$ erbt als Teilring nun also die komponentenweise Addition
+            und Multiplikation des Produktrings
+            $\prod_{n=1}^{\infty} A_n $, d.h. für $(a_n)_{n \in \N}, (b_n)_{n \in \N} \in \Z_p$ gilt
+            \[
+                (a_n)_{n \in \N} + (b_n)_{n \in \N} = (a_n + b_n)_{n \in \N}
+                \quad
+                (a_n)_{n \in \N} \cdot (b_n)_{n \in \N} = (a_n \cdot b_n)_{n \in \N}
+            .\] 
+        \item Versieht man $A_n$ mit der diskreten Topologie (d.h. alle Teilmengen sind offen)
+            und $\prod_{n=1}^{\infty} A_n $ mit der Produkttopologie (die von den Urbildern der
+            kanonischen Projektionen $\pi_n$ erzeugt wird), wird $\Z_p$ zu einem
+            topologischen Ring.
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\begin{satz}[von Tychonoff]
+    Ist $(X_i)_{i \in I}$ eine Familie kompakter topologischer Räume, dann ist
+    auch das kartesische Produkt $\prod_{i \in I}^{} X_i $ kompakt bezüglich der
+    Produkttopologie.
+    \label{satz-tycho}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Der Satz ist äquivalent zum Auswahlaxiom. Ein Beweis findet sich beispielsweise
+    in Klaus Jänich: \textit{Topologie}.
+\end{proof}
+
+\begin{korollar}[]
+    $\Z_p$ ist kompakt. \label{kor-compact}
+\end{korollar}
+
+\begin{proof}
+    Nach \ref{satz-tycho} ist $\prod_{n=1}^{\infty} A_n $ kompakt. Außerdem ist
+    \[
+        \Z_p = \bigcap_{n \in \N}
+        \left\{ x \in \prod_{n=1}^{\infty} A_n  \mid \phi_{n}(\pi_{n+1}(x)) = \pi_n(x)\right\}
+        = \bigcap_{n \in \N} f_n^{-1}(\{0\})
+    \] mit $f_n \colon \prod_{n=1}^{\infty} A_n \to A_n, x \mapsto \phi_{n}(\pi_{n+1}(x)) - \pi_n(x)$.
+    Es ist $f_n$ stetig, da $\pi_n$ per Definition der Produkttopologie und $\phi_n$ als
+    Abbildung zwischen diskreten Räumen stetig sind. Da $\{0\} \subseteq A_n$ abgeschlossen, folgt
+    die Behauptung.
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+    Es ist $\pi_n$ surjektiv und $\text{ker } \pi_n = p^{n} \Z_p$ $\forall n \in \N$.
+    Insbesondere gilt
+    \[
+    \Z_p / p^{n} \Z_p \stackrel{\sim }{=} \Z / p^{n} \Z = A_n
+    .\] 
+    \label{le-kanproj}
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    Die Surjektivität ist klar. Z.z.: $\text{ker } \pi_n = p^{n} \Z_p$. Sei dazu $x \in \Z_p$.
+    Dann ist $p^{n} x_n \equiv 0 \; (\text{mod } p^n)$. Also $\pi_n(p^n x) = 0$. Damit
+    $p^{n} \Z_p \subseteq \text{ker } \pi_n$.
+
+    Sei nun $x = (x_m)_{m \in \N} \in \text{ker } \pi_n$
+    und $m \ge n$.
+    Wegen Kompatibilität folgt
+    \[
+    x_m \equiv x_n \; (\text{mod } p^{n}) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n}) 
+    .\] Also folgt $x_m \in p^{n} A_m$. Betrachte nun
+    \begin{salign*}
+        \Psi_m\colon \Z &\to p^{n} \Z / p^{m} \Z = p^{n}A_m\\
+        a &\mapsto \overline{p^{n} a}
+    .\end{salign*}
+    Es ist $\Psi_m$ Gruppenhomomorphismus, denn für $a, b \in \Z$ ist
+    \[
+    \Psi_m(a + b) = \overline{p^{n}(a+b)} = \overline{p^{n}a + p^{n}b} = \Psi_m(a) + \Psi_m(b)
+    .\]
+    Außerdem ist $\Psi_m$ offensichtlich surjektiv. Weiter gilt für $a \in \Z$:
+    \[
+    a \in \text{ker } \Psi_m \iff p^{n} a \equiv 0 \; (\text{mod } p^{m}) \iff p^{m}  \mid p^{n} a
+    \iff a = p^{m-n}b \text{ für ein } b \in \Z
+    .\] Damit folgt $\text{ker } \Psi_m = p^{m-n} \Z$.
+    Also liefert der Homomorphiesatz einen Gruppenisomorphismus
+    \begin{salign*}
+        \psi_m \colon A_{m-n} &\to p^{n}A_m \\
+        \overline{a} &\mapsto \overline{p^{n}a}
+    .\end{salign*}
+    Für $m > n$ setze nun $y_{m-n} \coloneqq \psi_m^{-1}(x_m)$ und $y \coloneqq (y_{i})_{i \in \N}
+    \in \prod_{k=1}^{\infty} A_k $. Es
+    gilt also
+    \[
+        x_m = \psi_m(y_{m-n}) \equiv p^{n} y_{m-n} \; (\text{mod } p^{m}) 
+    .\] 
+
+    Es bleibt zu zeigen, dass $p^{n}y = x$ und $y \in \Z_p$.
+
+
+    \begin{itemize}
+        \item Z.z.: $x = p^{n} y$. Für $m \le n$ ist $x_m = 0 = p^{n} y_m$. Für $m > n$ ist wegen Kompatibilität
+            \[
+            p^{n} y_m = p^{n} y_{m+n-n} \equiv x_{m+n} \; (\text{mod } p^{m+1})  \equiv x_m \; (\text{mod } p^{m}) 
+            .\]
+            Insgesamt folgt also $x = p^{n}y$.
+    \item Z.z.: $y \in \Z_p$. Dazu betrachte
+
+        \[\begin{tikzcd}
+        A_{m+1-n}\arrow{r}{\psi_{m+1}} \arrow[swap]{d}{\phi_{m-n}} & p^{n}A_{m+1} \arrow{d}{\phi_{m}} \\
+        A_{m-n} \arrow{r}{\psi_{m}} & p^{n}A_m
+        \end{tikzcd}
+        \]
+        Dieses Diagramm kommutiert, denn für $\overline{a} \in A_{m+1-n}$ gilt
+        \[
+            \psi_m(\phi_{m-n}(\overline{a})) = \psi_m(\overline{a}) = \overline{p^{n}a}
+            = \phi_{m}(\overline{p^{n}a}) = \phi_{m}(\psi_{m+1}(\overline{a}))
+        .\] Also ist $\psi_m \circ \phi_{m-n} = \phi_{m} \circ \psi_{m+1}$. Und damit auch
+        $\phi_{m-n} \circ \psi_{m+1}^{-1} = \psi_{m}^{-1} \circ \phi_{m}$ $(*)$. Also
+        folgt damit
+        \begin{salign*}
+            \phi_{m-n}(y_{m+1-n}) &= \phi_{m-n}(\psi^{-1}_{m+1}(x_{m+1})) \\
+            &\stackrel{(*)}{=} \psi_{m}^{-1}(\phi_{m}(x_{m+1})) \\
+            &\stackrel{\text{Komp.}}{=} \psi_{m}^{-1}(x_m) \\
+            &= y_{m-n}
+        .\end{salign*}
+        Und damit $y \in \Z_p$.
+    \end{itemize}
+    Insgesamt folgt also $\text{ker } \pi_n = p^{n}\Z_p$. Die Isomorphie folgt jetzt direkt aus
+    dem Homomorphiesatz.
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}[]
+    Für $u \in \Z_p$ sind äquivalent
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item $u \in \Z_p^{\times }$
+        \item $p \nmid u$
+        \item $0 \neq u_1 \in \Z / p \Z$
+    \end{enumerate}
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    (ii)$\iff$(iii) ist klar wegen Kompatibilität. b.z.z. (i) $\iff$ (ii). Sei dazu
+    $u = (\overline{u_n})_{n\in \N} \in \Z_p^{\times }$.
+    Dann $\exists v = (\overline{v_n})_{n \in \N} \in \Z_p$
+    mit $uv = 1$ insb. $\overline{u_1 v_1} \equiv 1 \; (\text{mod } p) $ also
+    insbesondere $p \nmid u_1 \implies \overline{u_1} \neq 0$.
+
+    Sei umgekehrt $\overline{u_1} \neq 0$. Wegen Kompatibilität folgt damit $p \nmid u_n$ $\forall n \in \N$, denn
+    ang. $p  \mid  u_n$ für ein $n \in \N$. Dann folgt
+    \[
+    0 \equiv u_n \; (\text{mod } p) \equiv u_1 \; (\text{mod } p) \quad \contr
+    .\] 
+    Da $p$ prim folgt insbesondere $(p^{n}, u_n) = 1$. Also ex. nach euklid. Alg. $a, b \in \Z$, s.d.
+    $1 = a p^{n} + b u_n$, also $1 = \overline{bu_n}$ mit $\overline{b} \in A_n$. Also
+    $\overline{u_n} \in A_n^{\times }$ und damit
+    $v \coloneqq (\ldots \overline{u_n}^{-1}, \overline{u_{n-1}}^{-1}, \ldots, \overline{u_1}^{-1}) = u^{-1}
+    \in \Z_p$.
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}[]
+    Für $x \in \Z_p \setminus \{0\} $ ex. $n \in \N_0$ und $u \in \Z_p^{\times }$, s.d.
+    \[
+    x = p^{n} u
+    .\] Diese Darstellung ist eindeutig.
+    \label{le-decomp}
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item Existenz: 
+            Sei $x \in \Z_p \setminus \{0\} $. Da $x \neq 0$ ex. wegen Kompatibilität ein
+            $n \in \N_0$ maximal, s.d.
+            $x_n = \pi_n(x) = 0$. Also ist $x \in \text{ker } \pi_n$, insbesondere ex. nach
+            \ref{le-kanproj} ein $u \in \Z_p$ mit $x = p^{n}u$. Ang.: $p \mid u$, dann
+            ist $\pi_1(u) = 0$ also ex. wieder nach \ref{le-kanproj} ein $v \in \Z_p$ mit $u = pv$. Dann
+            ist aber
+            \[
+            \pi_{n+1}(x) = \pi_{n+1}(p^{n}u) = \pi_{n+1}(p^{n+1}v) = 0
+            .\] Widerspruch zur Maximalität von $n$.
+        \item Eindeutigkeit: Sei $x = p^{n} u = p^{m} v$ mit $u, v \in \Z_p^{\times }$ und $n, m \in \N_0$.
+            Sei o.E. $n \ge m$. Es ist $\pi_n(x) = \pi_n(p^{n}) \pi_n(u) = 0$ also
+            auch $0 = \pi_n(x) = \pi_n(p^{m}) \pi_{n}(v)$. Da $v \in \Z_p^{\times }$ ist
+            $\pi_n(v) \in A_n^{\times}$, also kein Nullteiler. Also folgt
+            $\pi_n(p^{m}) = 0$ und damit $p^{m} \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n}) $, also
+            $m \ge n$. Insgesamt also $m = n$.
+
+            Nun gilt weiter $x = p^{n} u = p^{n} v$, also $p^{n}(u-v) = 0$. Ang. $u-v \neq 0$. Dann
+            ist nach (i) $u - v = p^{k} w$ mit $k \in \N_0$ und $w \in \Z_p^{\times }$. Also
+            $0 = p^{n}(u-v) = p^{n+k} w$. Da $w \in \Z_p^{\times }$ also kein Nullteiler, folgt
+            $0 = p^{n+k} \in \Z$ $\contr$.
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[$p$-Bewertung]
+    Für $x \in \Z_p \setminus \{0\} $ sei $x = p^{n} u$ mit $u \in \Z_p^{\times }$. Dann setze
+    \[
+        v_p(x) \coloneqq n
+    \] und setze $v_p(0) \coloneqq \infty$. $v_p(x)$ heißt die $p$-Bewertung von $x$.
+\end{definition}
+
+\begin{bem}[]
+    Wegen \ref{le-decomp} ist die $p$-Bewertung wohldefiniert.
+
+    Per Konvention setze $n + \infty = \infty$ und $\infty > n$ für $n \in \N_0$.
+\end{bem}
+
+\begin{lemma}[Eigenschaften der $p$-Bewertung]
+    Für $x, y \in \Z_p$ gilt
+    \[
+        v_p(xy) = v_p(x) + v_p(y), \quad v_p(x+y) \ge \min (v_p(x), v_p(y))
+    .\] 
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Falls $x = 0$ oder $y = 0$, dann trivial. Seien also $x, y \neq 0$ und
+    sei $x = p^{n}u$, $y = p^{m}v$ mit $u, v \in \Z_p^{\times }$ und $n, m \in \N_0$. Dann folgt
+    \[
+        xy = p^{n} u p^{n} v = p^{n+m} \underbrace{uv}_{\Z_p^{\times}}
+    .\] Also $v_p(xy) = n + m = v_p(x) + v_p(y)$. Sei nun o.E. $n \ge m$. Dann folgt
+    \[
+        x + y = p^{n} u + p^{m} v = p^{m} (p^{n-m} u + v)
+    .\] Also folgt $v_p(x+y) \ge m = \min(v_p(x), v_p(y))$.
+\end{proof}
+
+\begin{korollar}[]
+    $\Z_p$ ist nullteilerfrei.
+\end{korollar}
+
+\begin{proof}
+    Seien $x, y \in \Z_p$ mit $xy = 0$. Dann folgt
+    \[
+    \infty = v_p(0) = v_p(xy) = v_p(x) + v_p(y)
+    .\] Also $v_p(x) = \infty$ oder $v_p(y) = \infty$, also $x = 0$ oder $y = 0$. 
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}[Topologie auf $\Z_p$]
+    Die Topologie auf $\Z_p$ wird induziert durch die Metrik
+    \[
+        d(x, y) = \exp(-v_p(x-y))
+    .\] $\Z_p$ ist vollständig und $\Z$ ist dicht in $\Z_p$.
+\end{lemma}
+
+\begin{bem}[Bälle]
+    Es sei im Folgenden stets
+    \[
+        B(x, r) = \{ y \in \Z_p  \mid d(x,y) < r \} \text{ und }
+        \overline{B(x,r)} = \{y \in \Z_p  \mid d(x,y) \le r\} 
+    .\] Da $d(x,y) \in \{ \exp(n)  \mid n \in \Z\}$ gilt
+    \[
+    \overline{B(x, e^{-n})} = \{ y \in \Z_p  \mid v_p(x-y) \ge n\}
+    = \{ y \in \Z_p  \mid v_p(x-y) > n-1\} = B(x, e^{-(n-1)})
+    .\] 
+\end{bem}
+
+\begin{proof}[Beweis des Lemmas (Skizze)]
+    $d(\cdot , \cdot )$ ist eine Metrik (nachrechnen).
+        Sei nun
+        \[
+            S \coloneqq \{ \pi_n^{-1}(B)  \mid B \subseteq A_n, n \in \N\} 
+        .\] 
+        Die offenen Mengen von $\Z_p$ bezüglich der Produkttopologie sind dann per Definition
+        gegeben als $\langle S \rangle$, wobei mit $\langle \ldots \rangle$ die durch
+        endliche Schnitte und beliebige Vereinigungen erzeugten Mengen gemeint sind.
+
+        Für $D \in S$ ist $D = \pi_n^{-1}(B) = (A_1, \ldots, A_{n-1}, B, A_{n+1}, \ldots) \subseteq \Z_p$
+        wobei $B \subseteq A_n$ für ein $n \in \N$. Für $U \in \langle S \rangle$ ist dann
+        $U = (B_1, \ldots, B_n, A_{n+1}, \ldots)$ mit $B_n \subsetneq A_n$ für $n \in \N_0$.
+        Sei nun $0 \in U$. Dann ist $p^{n} \Z_p \subseteq U$.
+
+        Für beliebiges $V \subseteq \Z_p$ offen
+        ex. nun für $v \in V$ ein $n_v \in \N_0$, s.d. $v + p^{n_v} \Z_p \subseteq V$. Also folgt
+        \[
+            V = \bigcup_{v \in V} (v + p^{n_v} \Z_p)
+        .\]
+        Nun ist aber 
+        \begin{salign*}
+            v + p^{n} \Z_p &= \{ v + a  \mid a \in p^{n} \Z_p\} \\
+                           &= \{ x \in \Z_p  \mid v_p(v - x) \ge n \} \\
+                           &= \{ x \in \Z_p  \mid \exp(-v_p(v-x)) \le \exp(-n) \} \\
+                           &= \{ x \in \Z_p  \mid d(v, x) < e^{-(n-1)}\} \\
+                           &= B(v; e^{-(n-1)})
+        .\end{salign*}
+        Also folgt
+        \[
+            V = \bigcup_{v \in V} B(v; e^{-(n-1)})
+        \] also $V$ auch offen bezüglich $d(\cdot, \cdot )$. Umgekehrt
+        sei $U$ offen bezüglich $d(\cdot , \cdot )$. Dann ist
+        $U$ Vereinigung von offenen (bezüglich $d(\cdot , \cdot )$) Bällen.
+        Da $p^{n} \Z_p = \pi_n^{-1}(\{0\})$, sind diese auch offen bezüglich der Produkttopologie.
+
+        Z.z.: $\Z_p$ vollständig. Da $\Z_p$ nach \ref{kor-compact}
+        kompakt ist, hat jede Folge in $\Z_p$ eine konvergente Teilfolge. Insbesondere hat
+        also jede Cauchy-Folge eine konvergente Teilfolge und damit konvergiert jede Cauchy-Folge
+        in $\Z_p$.
+
+        Z.z.: $\Z$ dicht in $\Z_p$. Sei $x = (x_n)_{n \in \N} \in \Z_p$. Setze $y_n \in \Z$, s.d.
+        $y_n \equiv x_n \; (\text{mod } p^{n}) $. Dann ist für $n \in \N$ fest,
+        $y_n \equiv x_m \; (\text{mod } p^{m}) $ $\forall m \le n$, also
+        $v_p(y_n - x) \ge n$. Also
+        \[
+            d(y_n, x) = \exp(-v_p(y_n - x)) \le \exp(-n) \xrightarrow{n \to \infty} 0
+        .\] 
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+    Der Quotientenkörper der ganzen $p$-adischen Zahlen $\Z_p$
+    heißt Körper der $p$-adischen Zahlen
+    \[
+        \Q_p \coloneqq Q(\Z_p)
+    .\]
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}[]
+        \item Ein Element $x = \frac{a}{b} \in \Q_p^{\times}$ mit $a, b \in \Z_p$, $b \neq 0$
+            kann eindeutig als $x = p^{r}w$ mit $r \in \Z$ und $w \in \Z_p^{\times }$ dargestellt werden,
+            denn nach \ref{le-decomp} ist
+            \[
+                x = \frac{a}{b} = \frac{p^{n}u}{p^{m}v} = p^{n-m} \underbrace{u v^{-1}}_{\in \Z_p^{\times }}
+            .\]
+            Damit setzt sich die Definition von $v_p$ auf $\Q_p$ fort. Es gilt
+            $v_p(x) \ge 0 \iff x \in \Z_p$.
+        \item Nach (1) ist also $\Q_p = \Z_p[p^{-1}]$.
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\begin{lemma}[Topologie auf $\Q_p$]
+    $\Q_p$ mit der von $\Z_p$ geerbten Metrik $d(x,y) = \exp(-v_p(x-y))$ ist
+    lokal kompakt und enthält $\Z_p$ als offenen Teilring. $\Q$ ist dicht in $\Q_p$.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Da $x \in \Z_p \iff v_p(x) \ge 0 \iff v_p(x) > -1$ folgt $\Z_p = \overline{B(0, 1)} = B(0, e)$,
+    also $\Z_p$ offen.
+    Da $\Z_p$ kompakt, folgt, dass
+    $B(x, e)$ kompakt $\forall x \in \Q_p$, also $\Q_p$ lokal kompakt. Außerdem ist
+    $\Z$ dicht in $\Z_p$, d.h. für $x \in \Q_p$ mit $x = p^{k} u$ und $k \in \Z$, $u \in \Z_p^{\times }$ ex.
+    eine Folge $(y_n)_{n \in \N} \subseteq \Z$ mit $y_n \xrightarrow{n \to \infty} u$. Dann
+    setze $z_n \coloneqq p^{k} y_n \in \Q$. Dann folgt direkt
+    $z_n = p^{k} y_n \xrightarrow{n \to \infty} p^{k} u = x$.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}[]
+    \begin{enumerate}[]
+        \item $\Q_p$ kann auch als Vervollständigung von $\Q$ bezüglich der $p$-adischen
+            Metrik $d(\cdot , \cdot )$ definiert werden (analog zu $\R$ als
+            Vervollständigung von $\Q$ bezüglich $|\cdot |$).
+        \item Es ist leicht nachzurechnen, dass $d(\cdot , \cdot )$ die ultrametrische Ungleichung
+            (auch starke Dreiecksungleichung) erfüllt, d.h.
+            \[
+                d(x, z) \le \max(d(x,y), d(y,z))
+            \] für $x, y, z \in \Q_p$. Damit folgt das eine Folge
+            $(a_n)_{n \in \N} \subseteq \Q_p$ genau dann konvergiert, wenn
+            $\lim_{n \to \infty} (u_{n+1} - u_n) = 0$ (was in $\R$ bezüglich $|\cdot |$ falsch ist).
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\subsection{$p$-adische Gleichungen}
+
+\begin{lemma}[]
+    Sei $D_1 \leftarrow D_2 \leftarrow \ldots$ ein projektives System und
+    $D = \varprojlim \; (D_n, p_n)$ sein inverser Limes. Falls $D_n \neq \emptyset$ und endlich
+    folgt $D \neq \emptyset$.
+    \label{le-projlim}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Sei zunächst $p_{n}\colon D_{n+1} \to D_n$ surjektiv. Dann ex. für alle $x_{n} \in D_{n}$
+    ein $x_{n+1} \in D_{n+1}$, s.d. $p_{n}(x_{n+1}) = x_n$. Da $D_1 \neq \emptyset$ folgt
+    $D \neq \emptyset$ induktiv.
+
+    Im Allgemeinen bezeichne für $m,n \in \N$:
+    \[
+        D_{n,m} \coloneqq (p_{n} \circ \ldots \circ p_{n+m-1})(D_{n+m})
+    .\] Da $D_{n+m} \neq \emptyset$ folgt $D_{n,m} \neq \emptyset$ und da
+    $D_k$ endlich folgt $\# p_k(D_{k+1}) \le \# D_{k+1}$ $\forall k \in \N$. D.h. $\#D_{n,m}$
+    ist monoton fallend in $m$ bei festem $n$.
+    Da $D_{n,m} \neq \emptyset$ wird die Folge stationär, d.h.
+    es ex. ein $m_0 \in \N$, s.d. $D_{n, m_0} = D_{n, m}$ $\forall m \ge m_0$.
+    Sei $E_n$ dieser Grenzwert.
+
+    Beh.: $p_{n}(E_{n+1}) = E_n$ $\forall n \in \N$. Sei dazu $n \in \N$. Nun ex. ein
+    $m_0 \in \N$, s.d. $E_{n+1} = D_{n+1, m_0}$ und
+    $E_n = D_{n, m_0} = D_{n, m_0+1}$. Damit folgt
+    \begin{salign*}
+        p_{n}(E_{n+1})
+        &= p_{n}(D_{n+1, m_0}) \\
+        &= p_{n}((p_{n+1} \circ \ldots \circ p_{n+m_0})(D_{n+1+m_0})) \\
+        &= (p_{n} \circ p_{n+1} \circ \ldots \circ p_{n+m_0})(D_{n+m_0+1}) \\
+        &= D_{n, m_0+1} \\
+        &= E_n
+    .\end{salign*}
+
+    Also sind die Einschränkungen $p_{n}|_{E_{n+1}}\colon E_{n+1} \to E_n$ surjektiv,
+    $E_n \neq \emptyset$ und endlich, also
+    folgt nach der Vorüberlegung $\varprojlim \; (E_n, p_n|_{E_n}) \neq \emptyset$, also
+    insbesondere $D \neq \emptyset$.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[]
+    Seien $f^{(i)} \in \Z_p[X_1, \ldots, X_m]$ Polynome in den ganzen $p$-adischen Zahlen. Dann
+    sind äquivalent:
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item Die $f^{(i)}$ haben eine gemeinsame Nullstelle in $(\Z_p)^{m}$.
+        \item Für $n \in \N$ haben die Polynome $f^{(i)} \; (\text{mod } p^{n}) $ eine
+            gemeinsame Nullstelle in $(A_n)^{m}$.
+    \end{enumerate}
+    \label{satz-nsequiv}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Sei $D = \{ \text{gemeinsame NS von } f^{(i)} \text{ in } (\Z_p)^{m} \} \subseteq (\Z_p)^{m}$
+    und\\
+    $D_n \coloneqq \{ \text{ gemeinsame NS von } f^{(i)} \text{ in } (A_n)^{m} \; (\text{mod } p^{n})  \} $.
+    Es bezeichne $(\phi_{n})^m\colon (A_{n+1})^{m} \to (A_n)^{m}$ die Abbildung, die $\phi_{n}$
+    komponentenweise anwendet. Dann ist $(D_n, (\phi_n)^m)$ ein projektives System
+    mit $D = \varprojlim \; (D_n, (\phi_n)^m)$.
+
+    Sei nun $D \neq \emptyset$ und $x \in D$. Dann ist $\pi_n(x) \in D_n$ $\forall n \in \N$. Seien umgekehrt
+    $D_n \neq \emptyset$ $\forall n \in \N$. Da $D_n \subseteq A_n$ endlich folgt mit
+    \ref{le-projlim} $D \neq \emptyset$.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[]
+    Ein Element $x = (x_1, \ldots, x_m) \in (\Z_p)^{m}$ (bzw. $(A_n)^{m}$) heißt primitiv, falls ein
+    $x_i \in \Z_p^{\times}$ (bzw. $\in A_n^{\times}$) ist.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[]
+    Sei $R$ ein Ring. Ein Polynom $f \in R[X_1, \ldots, X_m]$ heißt
+    homogen vom Grad $2$, falls in $R[X_1, \ldots, X_m][T]$ gilt
+    \[
+        f(TX_1, \ldots, TX_m) = T^{k} f(X_1, \ldots, X_m)
+    .\] Ein homogenes Polynom vom Grad $2$ heißt quadratische Form.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}[]
+    Das Polynom $f = X^5 + X^3Y^2 + XY^4 \in \Z[X,Y]$ ist homogen, aber $g = X^2 + X + Y^2 \in \Z[X,Y]$ ist nicht
+    homogen.
+\end{bsp}
+
+\begin{korollar}[]
+    Seien $f^{(i)} \in \Z_p[X_1, \ldots, X_m]$ homogene Polynome. Dann sind äquivalent
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item Die $f^{(i)}$ haben eine nichttriviale gemeinsame Nullstelle in $(\Q_p)^{m}$.
+        \item Die $f^{(i)}$ haben eine gemeinsame primitive Nullstelle in $(\Z_p)^{m}$.
+        \item Für $n \in \N$ haben die Polynome $f^{(i)} \; (\text{mod } p^{n}) $ eine gemeinsame
+            primitive Nullstelle.
+    \end{enumerate}
+\end{korollar}
+
+\begin{proof}
+    (i)$\implies$(ii): Sei $x = (x_1, \ldots, x_m)$ eine nichttriviale gemeinsame Nullstelle
+    der $f^{(i)}$. Dann setze
+    \[
+        k \coloneqq \min(v_p(x_1), \ldots, v_p(x_m)) \text{ und } y = p^{-k} x
+    .\] Sei $i \in \{1, \ldots, m\} $, s.d. $k = v_p(x_i)$. Dann ist
+    $v_p(y_i) = v_p(p^{-k}) + v_p(x_i) = -k + k = 0$. Also $y_i \in \Z_p^{\times }$ und damit $y$ primitiv.
+    Außerdem gilt für ein $n \in \N$
+    \[
+        f^{(i)}(y) = f^{(i)}(p^{-k} x) \quad \stackrel{\text{Homog.}}{=} \quad p^{-nk} f^{(i)}(x) = 0
+    .\] 
+    (ii)$\implies$(i) ist trivial und (ii) $\iff$ (iii) folgt aus \ref{satz-nsequiv}.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}[]
+    Die Voraussetzung homogenes Polynom ist notwendig, wie am Beispiel:
+    \[
+        f = pX - 1 \in  \Z_p[X]
+    \] deutlich wird, denn $f(p^{-1}) = 0$, aber im Körper $\Q_p$ hat das lineare Polynom $f$ maximal
+    eine Nullstelle und $p^{-1} \not\in \Z_p$.
+\end{bem}
+
+Wir möchten nun betrachten, unter welchen Umständen eine Lösung $\; (\text{mod } p^{n}) $ zu einer
+echten Lösung in $\Z_p$ entwickelt werden kann. Dazu verwenden wir die $p$-adische Version
+des Newton Verfahrens.
+
+\begin{lemma}[Henselsches Lemma]
+    Sei $f = a_mX^{m} + \ldots + a_0 \in \Z_p[X]$ und $f' = a_m m X^{m-1} + \ldots + a_1 \in \Z_p[X]$ seine
+    Ableitung. Weiter sei $x \in \Z_p$, s.d. $f(x) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n}) $ für ein $n \in \N$
+    und $v_p(f'(x)) = k$ mit $0 \le 2k < n$. Dann existiert ein $y \in \Z_p$, s.d.
+    \[
+        f(y) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n+1}), v_p(f'(y)) = k \text{ und } y \equiv x \; (\text{mod } p^{n-k}) 
+    .\] 
+    \label{le-hensel}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Nach Voraussetzung ist $f(x) = p^{n}b$ und $f'(x) = p^{k}c$ mit $b \in \Z_p$ und $c \in \Z_p^{\times }$.
+    Dann setze $z \coloneqq -b c^{-1}$ und $y \coloneqq x + p^{n-k}z$. Damit erfüllt
+    $y \equiv x \; (\text{mod } p^{n-k}) $. Der binomische Lehrsatz
+    liefert
+    \begin{salign*}
+        a_i y^{i} = a_i \sum_{j=0}^{i} \binom{i}{j} x^{i-j} (p^{n-k} z)^{j}
+        = a_i x^{i} + a_i i x^{i-1} p^{n-k} z + p^{2n-2k} z^2 R_i
+    \end{salign*} für $R_i \in \Z_p$. Aufsummieren und addieren von $a_0$ liefert mit $R \in \Z_p$
+    eine ,,Taylorentwicklung'':
+    \begin{salign*}
+        f(y) &= f(x) + p^{n-k} z f'(x) + p^{2n-2k} z^2 R
+        \intertext{Einsetzen liefert}
+        f(y) &= p^{n}b - p^{n-k} b c^{-1} p^{k} c + p^{2n-2k} z^2 R \\
+             &= p^{2n-2k} z^2 R \\
+             &\equiv 0 \; (\text{mod } p^{n+1}) 
+    ,\end{salign*} da $2k < n \implies 2n - 2k \ge n+1$.
+    Anwenden der ,,Taylorentwicklung'' auf $f'$ liefert
+    \begin{salign*}
+        f'(y) &= f'(x) + p^{n-k} z f''(x) + p^{2n-2k} z^2 R \\
+              &= p^{k} c + p^{n-k} z f''(x) + p^{2n-2k}z^2R \\
+              &= p^{k}(\underbrace{c + p^{n-2k} z f''(x) + p^{2n-3k} z^2 R}_{=: s})
+    .\end{salign*}
+    Es ist $n-2k > 0$ und $2n - 3k > 0$, aber $c \in \Z_p^{\times }$, also $p \nmid s$ und damit
+    $s \in \Z_p^{\times }$ und $v_p(f'(y)) = k$.
+\end{proof}
+
+Zum Studium der quadratischen Formen benötigen wir noch die auf $m$ Variablen verallgemeinerte Version
+des Henselschen Lemmas.
+
+\begin{satz}
+    Sei $f \in \Z_p[X_1, \ldots, X_m]$ und $x = (x_i) \in (\Z_p)^{m}$, s.d.
+    $f(x) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n}) $. Weiter existiere ein
+    $1 \le j \le m$, s.d. $v_p\left( \frac{\partial f}{\partial X_j}(x) \right) = k$ mit
+    $0 \le 2k < n$. Dann existiert eine Nullstelle $y \in (\Z_p)^{m}$ von $f$ mit
+    $y \equiv x \; (\text{mod } p^{n-k}) $.
+    \label{satz-hensel}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Sei zunächst $m = 1$. Mit \ref{le-hensel} angewendet auf $x^{(0)} \coloneqq x$, erhält man
+    $x^{(1)} \in \Z_p$ mit
+    \[
+        f(x^{(1)}) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n+1})\text{, }
+        v_p(f'(x^{(1)})) = k \text{ und }
+        x^{(1)} \equiv x^{(0)} \; (\text{mod } p^{n-k}) 
+    .\] Wende \ref{le-hensel} nun auf $x^{(1)}$ und $n+1$ an. Induktiv erhält man eine Folge
+    $(x^{(q)})_{q \in \N}$ mit den Eigenschaften
+    \[
+        x^{(q+1)} \equiv x^{(q)} \; (\text{mod } p^{n+q-k}) \text{ und } f(x^{(q)}) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n+q}) 
+    .\] Es gilt nun $v_p(x^{(q+1)} - x^{(q)}) \ge n+q-k$, also
+    $d(x^{(q+1)}, x^{(q)}) \xrightarrow{q\to \infty} 0$. Also ist $x^{(q)}$ eine Cauchy Folge
+    und konvergiert gegen ein $y \in \Z_p$. Dann gilt
+    \[
+        0 = \lim_{q \to \infty} f(x^{(q)}) = f(\lim_{q \to \infty} x^{(q)}) = f(y)
+    \] und $y \equiv x \; (\text{mod } p^{n-k}) $.
+
+    Sei nun $m > 1$. Ersetze in $f$ die Variablen $X_i$ durch $x_i$ für $i \neq j$.
+    Dann sei $g \in \Z_p[X_j]$ das entstandene Polynom in einer Variablen. Wende nun den Fall für $m = 1$
+    auf $g$ an. Dann erhalten wir ein $y_j \in \Z_p$ mit $y_j \equiv x_j \; (\text{mod } p^{n-k}) $
+    und $g(y_j) = 0$. Setze nun $y_i \coloneqq x_i$ für $i \neq j$. Dann ist
+    $y \equiv x \; (\text{mod } p^{n-k}) $ und
+    \[
+        f(y) = f(y_1, \ldots, y_m) = f(x_1, \ldots, x_{j-1}, y_j, x_{j+1}, \ldots, x_m) = g(y_j) = 0
+    .\] 
+\end{proof}
+
+Aus dem letzten Satz können wir einfache Schlussfolgerungen für quadratische Formen ziehen.
+
+\begin{korollar}[]
+    Sei $f \in \Z_p[X_1, \ldots, X_m]$ und $x \in \Z_p$ mit
+    \[
+        f(x) \equiv 0 \; (\text{mod } p)
+    \] und es sei mind. eine partielle Ableitung
+    $\frac{\partial f}{\partial X_j}(x) \not\equiv 0 \; (\text{mod } p) $, dann hebt sich $x$
+    zu einer echten Nullstelle.
+    \label{kor-1}
+\end{korollar}
+
+\begin{proof}
+    Das ist der Fall $n = 1$ und $k = 0$ in \ref{satz-hensel}.
+\end{proof}
+
+\begin{korollar}[]
+    Sei $p\neq 2$ und $f = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m} a_{ij} X_i X_j \in \Z_p[X_1, \ldots, X_m]$ eine
+    quadratische Form mit $a_{ij} = a_{ji}$ und sei $ p \nmid \text{det}(a_{ij})$. Sei weiter $a \in \Z_p$. Dann
+    hebt sich jede primitive Lösung der Gleichung $f(x) \equiv a \; (\text{mod } p) $ zu einer
+    echten Lösung.
+\end{korollar}
+\begin{proof}
+    Mit \ref{kor-1} g.z.z., dass mind. eine partielle Ableitung $\; (\text{mod } p) $ nicht verschwindet.
+    Sei $A = (a_{ij}) \in \Z_p^{m \times m}$. Da $\text{det}(a_{ij}) \not\equiv 0 \; (\text{mod } p) $
+    folgt $\text{det}(a_{ij}) \in \mathbb{F}_p^{\times }$ und damit $\text{ker } A = \{0\} $. Es gilt weiter
+    \[
+    \frac{\partial f}{\partial X_i} = 2 \sum_{j=1}^{m} a_{ij}X_j \text{ also }
+    \begin{pmatrix} \partial_{X_i} f(x) \\ \vdots \\ \partial_{X_m} f(x) \end{pmatrix}
+    = 2 A x
+    .\] Da $x$ primitiv ist $x \neq 0 \in \mathbb{F}_p^{m}$ und damit mind. eine partielle Ableitung
+    $\not\equiv 0 \; (\text{mod } p) $.
+\end{proof}
+
+%\begin{korollar}[]
+%    Sei $p=2$ und $f = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m} a_{ij} X_i X_j \in \Z_2[X_1, \ldots, X_m]$
+%    eine quadratische Form mit $a_{ij} = a_{ji}$. Weiter sei $a \in \Z_2$ und $x$ eine primitive Lösung
+%    der Gleichung $f(x) \equiv a \; (\text{mod } 8) $. Dann hebt sich $x$ zu einer echten Lösung, falls
+%    nicht alle partiellen Ableitungen $\; (\text{mod } 4) $ verschwinden. Dies ist erfüllt, wenn
+%    $\text{det}(a_{ij})$.
+%\end{korollar}
+
+% ????
+
+\end{document}