add theo4

sose2020/theo/uebungen/theo4.tex

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+\documentclass[uebung]{../../../lecture}
+
+\begin{document}
+
+\title{Theo II: Übungsblatt 4}
+\author{Christian Merten}
+
+\punkte[2]
+
+\begin{aufgabe}
+    In Zylinderkoordinaten ist
+    \begin{align*}
+        \vec{x} = \rho \vec{e}_{\rho} + z \vec{e}_{z}
+        \implies \dot{\vec{x}} = \dot{\rho} \vec{e}_{\varphi} + \rho \dot{\varphi} \vec{e}_{\varphi}
+        + \dot{z} \vec{e}_{z}
+        \implies \dot{\vec{x}}^2 = \dot{\rho}^2 + \rho^2 \dot{\varphi}^2 + \dot{z}^2
+    .\end{align*} Damit folgt
+    \begin{align*}
+        L &= \frac{m}{2} \left(\dot{\rho}^2 + \rho^2 \dot{\varphi}^2 + \dot{z}^2\right) - V(\rho)
+        \intertext{Damit folgt für die verallgemeinerten Impulse}
+        \frac{\partial L}{\partial \dot{\rho}} &= m \dot{\rho} =: p_{\rho} \\
+        \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}} &= m \rho^2 \dot{\varphi} := p_{\varphi} \\
+        \frac{\partial L}{\partial \dot{z}} &= m \dot{z} =: p_z
+        \intertext{Damit folgt die Hamiltonfunktion}
+        H(\vec{p}, \vec{q}) &= \frac{p_{\rho}^2}{m} + \frac{p_{\varphi}^2}{m \rho^2} + \frac{p_z^2}{m}
+        - \frac{m}{2} \left( \frac{p_{\rho}^2}{m^2} + \rho^2 \frac{p_{\varphi}^2}{m^2 \rho^{4}}
+        + \frac{p_{z}^2}{m^2}\right) + V(\rho)\\
+        &= \frac{2}{m} \left( p_{\rho}^2 + \frac{p_{\varphi}^2}{\rho^2} + p_{z}^2 \right) + V(\rho)
+        \intertext{Als Erhaltungsgrößen folgen damit sofort}
+        \frac{\partial L}{\partial \varphi} &= 0 \implies \frac{\d}{\d t} p_{\varphi} = 0 \\
+        \frac{\partial L}{\partial z} &= 0 \implies \frac{\d}{\d t} p_{z} = 0 \\
+        \frac{\partial H}{\partial t} &= 0 \implies \frac{\d}{\d t} H = 0 \implies E = \text{konst}
+    .\end{align*}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}[Brachistochrone]
+    \begin{align*}
+        T[f] = \frac{1}{\sqrt{2g} } \int_{x_0}^{x_E} \sqrt{\frac{1 + [f'(x)]^2}{f(x)}}  \d x 
+    .\end{align*}
+    \begin{enumerate}[a)]
+        \item Die Lagrange Funktion und der verallgemeinerte Impuls sind damit gegeben als
+            \begin{align*}
+                L &= \frac{\sqrt{1 + f'^2} }{\sqrt{2gf} } \\
+                p &= \frac{\partial L}{\partial f'} = \frac{f'}{\sqrt{2 g f( 1+f'^2)}}
+                \intertext{Damit folgt für die Hamilton-Funktion, ausgedrückt durch $f'$ statt $p$}
+                H(f, f') &= \frac{f'^2}{\sqrt{2 g f(1+f'^2)} } - \frac{\sqrt{1 + f'^2} }{\sqrt{2gf} } \\
+                &= - \frac{1}{\sqrt{2 g f (1 + f'^2)}}
+                \intertext{Wegen $\frac{\partial H}{\partial t}$, folgt für die Konstante $E > 0$}
+                E &:= - H = \frac{1}{\sqrt{2 g f(1+f'^2)} }
+            .\end{align*}
+            Damit folgt als DGL
+            \[
+                E \sqrt{2 g f (1+ f'^2)}  = 1
+            .\] 
+        \item Mit $f(\varphi) = \frac{1 - \cos\varphi}{4 g E^2}$ und
+            $ x(\varphi) = \frac{\varphi - \sin\varphi}{4 g E^2}$ folgt
+            \begin{align*}
+                \frac{\d f}{\d x} = \frac{\d f}{\d \varphi} \frac{\d \varphi}{\d x}
+                = \frac{\sin \varphi}{1 - \cos \varphi}
+            .\end{align*}
+            Damit folgt
+            \[
+                E \sqrt{2g \frac{1 - \cos \varphi}{4gE^2} \left( 1 + \frac{\sin^2\varphi}{(1 - \cos\varphi)^2}
+                \right) }
+                = \sqrt{\frac{1 - \cos\varphi}{2} + \frac{1 + \cos\varphi}{2}} = 1
+            .\] 
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}[Verständnisfragen]
+    \begin{enumerate}[a)]
+        \item Koordinaten von denen die Lagrange Funktion nicht explizit abhängt,
+            heißen zyklisch. Dann ist der kanonisch konjugierte Impuls zeitlich konstant.
+            Ihr Nullpunkt kann beliebig verschoben werden, ohne die Bewegungsgleichungen
+            zu ändern:
+            \[
+            q_i \to q_i + c
+            .\] 
+        \item Das Hamilton'sche Prinzip besagt, dass die Wirkung entlang der wirklichen
+            Bahn eines Massenpunkts zwischen zwei Punkten extremal wird. Die Wirkung
+            ist das Zeitintegral über die Lagrange Funktion:
+            \[
+                \delta S[q(t)] = \delta \left[\int_{t_0}^{t_1} L(q, \dot{q}, t) \d t \right] = 0
+            .\] 
+        \item Nein. Die Lagrange-Funktion kann um die Zeitableitung einer beliebigen Funktion $f(q, t)$
+            ergänzt werden
+            \[
+                L \to L + \frac{\d f(q, t)}{\d t}
+            ,\] denn dadurch ändert sich die Wirkung nur um einen konstanten Term, der
+            bei der Variation verschwindet. Deshalb bleiben die Bewegungsgleichungen unverändert.
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\end{document}