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sose2020/ana/uebungen/ana6.tex

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+\documentclass[uebung]{../../../lecture}
+
+\title{Analysis II: Übungsblatt 6}
+\author{Leon Burgard, Christian Merten}
+
+\begin{document}
+
+\punkte
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Beh.: $M \coloneqq \partial(K_1(0) \setminus \{0\})$ ist nicht zusammenhängend.
+            \begin{proof}
+                $U \coloneqq \{0\} $ und $V \coloneqq \partial K_1(0)$ sind relativ
+                offen bezügl. $M$, $U \cup V = M$ und $U \cap V = \emptyset$.
+            \end{proof}
+        \item Beh.: $M \coloneqq \overline{K_1(0) \cap K_1((2,0)^{T})}$ ist zusammenhängend.
+            \begin{proof}
+                Es ist $K_1(0) \cap K_1((2,0)^{T}) = \emptyset$, also $M = \emptyset$. Also
+                existieren keine nicht-leeren Teilmengen $U$ und $V$ mit $U \cap V = \emptyset = M$.
+                Also ist $M$ zusammenhängend.
+            \end{proof}
+        \item Beh.: $\displaystyle M \coloneqq \bigcup_{a \in \Z^2} \overline{K_{\frac{1}{2}}(a)}$ ist
+            zusammenhängend.
+            \begin{proof}
+                Die abgeschlossenen Kugeln berühren sich gegenseitig und sind damit nicht
+                in disjunkte offene Teilmengen zerlegbar.
+            \end{proof}
+        \item Beh.: $M \coloneqq \left\{x \in \R^2  \mid x_1 \in \R_{+}, x_2 = \sin\left( \frac{1}{x_1} \right) 
+            \right\}
+            \cup \{(0,0)^{T}\} $ ist zusammenhängend.
+            \begin{proof}
+                Es ist $\R_{+}$ zusammenhängend und $\sin\left( \frac{1}{x} \right) $ auf
+                $\R_{+}$ stetig, also
+                $M_1 \coloneqq \{x \in \R^2  \mid x_1 \in \R_+, x_2 = \sin\left( \frac{1}{x_1} \right) \} $ zusammenhängend.
+
+                Ang.: $\exists U, V \subseteq \R^2$ mit $U \cup V = M$, $U \cap V = \emptyset$ und
+                $U, V$ relativ offen. Falls $(0,0)^{T} \not\in U$ und $(0,0)^{T} \not\in V$:
+                $\contr$ zum Zusammenhang von $M$.
+                Sei also O.E. $(0,0)^{T} \in U$.
+                $x_{1}^{(k)} = \frac{1}{2\pi k} \xrightarrow{k \to \infty} 0$ folgt
+                $\sin\left( \frac{1}{x_{1}^{(k)}} \right) = \sin(2\pi k) = 0$. Dann gilt
+                $\begin{pmatrix} x_1^{(k)} \\ \sin\left( \frac{1}{x_1^{(k)}} \right)  \end{pmatrix} \in V$,
+                sonst $U \cap V \neq \emptyset$. Da aber $U$ offen und $\forall \epsilon > 0$,
+                $\exists k_0 > 0$ und $m \in \R$, s.d. $\forall k \ge k_0$ gilt
+                \[
+                    \left\Vert \begin{pmatrix} x_{1}^{(k}) \\ \sin( 2 \pi k) \end{pmatrix} \right\Vert
+                    = \left\Vert \begin{pmatrix} x_1^{(k)} \\ 0 \end{pmatrix} \right\Vert
+                    \le m \left\Vert \begin{pmatrix} x_1^{(k)} \\ 0 \end{pmatrix} \right\Vert_{\infty}
+                    = m |x_{1}^{(k)}| < \epsilon
+                .\] Damit folgt $U \supseteq K_{\epsilon}(0) \cap V \neq \emptyset$ $\contr$.
+            \end{proof}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Es seien $f_k\colon \R^{3} \setminus M \to \R$ und
+            $M \coloneqq \{(x,y,z)^{T} \in \R^{3}  \mid x = y = 0, z \in \R\} $.
+            \begin{enumerate}[(i)]
+                \item Beh.: $f_1(x,y,z) := \frac{xz^2 + y^{3}}{x^2 + y^2}$ ist nicht stetig fortsetzbar
+                    in $(0,0,0)^{T}$.
+                    \begin{proof}
+                        Sei $c \in \R$ beliebig. Dann wähle
+                        \[
+                        a_n \coloneqq  \begin{pmatrix} \frac{1}{n^{3}} \\ 0 \\ \frac{1}{n} \end{pmatrix}
+                        \in \R^{3} \setminus M \text{ es gilt: } a_n \xrightarrow{n \to \infty} 0
+                        .\] Aber
+                        \begin{align*}
+                            f_1(a_n) = \frac{\frac{1}{n^{3} + \frac{1}{n^2}}}{\frac{1}{n^{6}}}
+                            = \frac{\frac{1}{n^{5}}}{\frac{1}{n^{6}}} = \frac{n^{6}}{n^{5}} = n
+                            \xrightarrow{n \to \infty} \infty > c
+                        .\end{align*}
+                    \end{proof}
+                    \item Beh.: $f_2(x,y,z) \coloneqq \frac{xyz + xy^2}{x^2 + y^2}$ ist mit
+                        $f_2(0, 0, 0) = 0$ stetig fortsetzbar.
+                        \begin{proof}
+                            Sei $\epsilon > 0$ beliebig dann wähle $\delta \coloneqq \frac{\epsilon}{2}$.
+                            Dann folgt $\forall (x,y, z)^{T} \in \mathbb{K}^{n}$ mit
+                            $\left\Vert (x,y,z)^{T} - 0\right\Vert_\infty = \Vert (x,y,z) \Vert_{\infty} < \delta $:
+                            Falls $x \ge z$:
+                            \[
+                                \left| \frac{xyz + xy^2}{x^2 + y^2} \right| \le \frac{|xyz| + |xy^2|}{x^2 + y^2}
+                                = \frac{|z| + |y|}{\frac{|x|}{|y|} + \frac{|y|}{|x|}}
+                                \le \frac{|z|+ |y|}{\frac{|x| + |y|}{\delta}}
+                                = \frac{\delta (|z| + |y|)}{|x| + |y|}
+                                \le \frac{\delta (|x| + |y|)}{|x| + |y|} = \delta < \epsilon
+                            .\] Falls $y > x$:
+
+                            \[
+                            \left| \frac{xyz + xy^2}{x^2 + y^2} \right| \le \frac{|xyz| + |xy^2|}{x^2 + y^2}
+                            = \frac{|z| + |y|}{\frac{|x|}{|y|} + \frac{|y|}{|x|}}
+                            \le \frac{|z| + |y|}{\underbrace{\frac{|x|}{|y|}}_{\le 1} + 1}
+                            \le |z| + |y| \le 2 \delta = \epsilon
+                            .\] 
+                            Falls $z > x$ und $y \le x$:
+                            \[
+                            \left| \frac{xyz + xy^2}{x^2 + y^2} \right|
+                            \le \frac{|xyz|}{x^2 + y^2} + \frac{|xy^2|}{x^2 + y^2}
+                            \le |z| \frac{x^2}{x^2 + y^2} + |z| \frac{y^2}{x^2 + y^2}
+                            = |z| \le \delta < \epsilon
+                            .\]
+                            Also $f_2$ stetig fortsetzbar in $(0,0,0)^{T}$.
+                        \end{proof}
+            \end{enumerate}
+        \item Beh.: Auf dem Produktraum $P \coloneqq \mathbb{K}^{n} \times \mathbb{K}^{n}$ ist
+            $f\colon P \to \R$ mit
+            $f(x,y) \coloneqq (x,y)_K$ stetig. Hier ist $(\cdot , \cdot )_K$ Skalarprodukt auf $\mathbb{K}^{n}$
+            mit $(x,x)_{K} = \Vert x \Vert_K^2$.
+            \begin{proof}
+                Sei $\{x,y\} \in P$ und
+                $\{x_n, y_n\} \in P$ beliebig mit $\{x_n, y_n\} \xrightarrow{n \to \infty} \{x, y\}$. Damit
+                folgt:
+                \[
+                    \Vert \{x_n, y_n\} - \{x, y\} \Vert_P
+                    = ( \underbrace{\Vert x_n - x \Vert_K^2}_{\ge 0}
+                    + \underbrace{\Vert y_n - y \Vert_K^2}_{\ge 0})^{\frac{1}{2}}
+                    \xrightarrow{n \to \infty} 0
+                .\] Damit folgt $\Vert x_n - x \Vert \xrightarrow{ n \to \infty} 0$ und
+                $\Vert y_n - y \Vert \xrightarrow{ n \to \infty} 0$. Wegen
+                $(x,x)_K = \Vert x \Vert_K^2$ $\forall x \in \mathbb{K}^{n}$
+                gilt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung. Damit folgt
+                \begin{salign*}
+                    | f(x_n, y_n) - f(x,y) | &= | (x_n, y_n)_K - (x,y)_K | \\
+                                             &= | (x_n, y_n)_K - (x_n, y)_K + (x_n, y)_K - (x,y)_K | \\
+                                             &= | (x_n, y_n - y) + (x_n - x, y) | \\
+                                             &\stackrel{\text{C.S.U.}}{\le }
+                                             \underbrace{\Vert x_n \Vert_K}_{\xrightarrow{n \to \infty} \Vert x \Vert_K}
+                                             \underbrace{\Vert y_n - y \Vert_K}_{\xrightarrow{n \to \infty} 0}
+                                             + \Vert y \Vert_K
+                                             \underbrace{\Vert x_n - x \Vert_K}_{\xrightarrow{n \to \infty} 0} \\
+                                             &\xrightarrow{n \to \infty} 0
+                .\end{salign*}
+                Damit folgt, dass $f$ stetig ist in $\{x,y\} $.
+            \end{proof}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Beh.: Sei $T \colon \partial K_R(0) \to \R$ stetig. Dann ex. ein $x \in \partial K_R(0)$
+            mit $T(x) = T(-x)$.
+            \begin{proof}
+                Es ist $\partial K_R(0)$ beschränkt und abgeschlossen, also kompakt. Da $T$ stetig,
+                existieren also $x_{\text{min}}, x_{\text{max}} \in \partial K_R(0)$ mit
+                $\displaystyle \max_{x \in \partial K_R(0)} T(x) = T(x_{\text{max}})$ und
+                $\displaystyle \min_{x \in \partial K_R(0)} T(x) = T(x_{\text{min}})$.
+
+                Definiere
+                $f\colon \partial K_R(0) \to \R$, $x \mapsto T(x) - T(-x)$. Falls
+                $f(x_{\text{max}}) = 0$ oder $f(x_{\text{min}}) = 0$, folgt die Behauptung. Sonst
+                gilt
+                \[
+                    f(x_{\text{max}}) \cdot f(x_{\text{min}}) = 0
+                .\] Denn falls $T(x_{\text{max}}) > 0$, dann ist
+                \begin{align*}
+                    f(x_{\text{max}}) &= T(x_{\text{max}}) - T(- x_{max}) > 0 \\
+                    f(x_{\text{min}}) &= T(x_{\text{min}}) - T(- x_{\text{min}}) < 0
+                .\end{align*}
+                Analog für $T(x_{\text{max}}) < 0$.
+                Da $\partial K_R(0)$ zusammenhängend und $T$ stetig, folgt mit Zwischenwertsatz, dass
+                $\exists \xi \in \partial K_R(0)$ mit $f(\xi) = 0 \implies T(\xi) = T(-\xi)$.
+            \end{proof}
+        \item Seien $f, g\colon \mathbb{K}^{n} \to \R$ stetig. Definiere für $x \in \mathbb{K}^{n}$:
+            \[
+                \varphi(x) \coloneqq \text{max}(f(x), g(x))
+            .\] Beh.: $\varphi\colon \mathbb{K}^{n} \to \R$ ist stetig.
+            \begin{proof}
+                Zunächst gilt $\forall a, b \in \R$:
+                \[
+                    \max(a,b) = \frac{a+b}{2} + \frac{|a-b|}{2}
+                ,\] denn: O.E.: $a \ge b$. Dann ist
+                \[
+                    \frac{a+b}{2} + \frac{|a-b|}{2} = \frac{a+b}{2} + \frac{a-b}{2} = a = \max(a,b)
+                .\] 
+                Damit folgt
+                \[
+                    \varphi(x) = \max(f(x), g(x)) = \frac{f(x) + g(x)}{2} + \frac{|f(x) - g(x)|}{2}
+                .\] Da $f, g$ stetig, ist auch $|f-g|$ stetig und da $2 \neq 0$ folgt
+                $\varphi$ als Summe bzw. Quotient stetiger Funktionen stetig.
+            \end{proof}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    Sei $f\colon \mathbb{K}^{n} \to D \subseteq \mathbb{K}^{n}$ beliebig
+    und $g\colon D \subseteq \mathbb{K}^{n} \to \mathbb{K}$ stetig und injektiv, wobei
+    $D$ kompakt ist.
+
+    Beh.: $g \circ f$ stetig $\implies$ $f$ stetig und $g \circ f$ gleichmäßig stetig
+    $\implies$ $f$ gleichmäßig stetig.
+    \begin{proof}
+        Definiere $B \coloneqq \text{im}(g)$ und $\tilde{g}\colon D \to B$, $x \mapsto g(x)$.
+        Da $g$ injektiv und stetig, ist auch $\tilde{g}$ injektiv und stetig.
+        Inbes. ex. $\tilde{g}^{-1}\colon B \to D$ mit $\tilde{g}^{-1}$ stetig.
+
+        Damit gilt $\forall x \in \mathbb{K}^{n}$: $\tilde{g}^{-1}(g(f(x))) = \tilde{g}^{-1}(\tilde{g}(f(x)))
+        = f(x)$. Also $f = \tilde{g}^{-1} \circ g \circ f$.
+
+        Sei nun $g \circ f$ stetig. Dann folgt
+        \[
+            f = \underbrace{\tilde{g}^{-1}}_{\text{stetig}} \circ \underbrace{g \circ f}_{\text{stetig}}
+        .\] Also $f$ als Komposition von zwei stetigen Funktionen stetig.
+
+        Sei nun $g \circ f$ gleichmäßig stetig. Da $D$ kompakt und $g$ stetig, ist
+        $B = \text{im}(g)$ auch kompakt. Also wegen $\tilde{g}^{-1}$ stetig,
+        $\tilde{g}^{-1}\colon B \to D$ gleichmäßig stetig. Damit folgt
+        \[
+            f = \underbrace{\tilde{g}^{-1}}_{\text{glm. stetig}} \circ \underbrace{g \circ f}_{\text{glm. stetig}}
+        .\] Also $f$ als Komposition zweier gleichmäßig stetiger Funktionen, gleichmäßig stetig.
+    \end{proof}
+\end{aufgabe}
+
+\end{document}