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2020-05-24 11:18:38 +02:00
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lecture.cls
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@@ -213,7 +213,7 @@
} }
% replace all relations with align characters (&) and add the needed padding % replace all relations with align characters (&) and add the needed padding
\regex_replace_all:nnN \regex_replace_all:nnN
{ (\c{implies}&|&\c{implies}|\c{approx}&|&\c{approx}|\c{equiv}&|&\c{equiv}|=&|&=|\c{le}&|&\c{le}|\c{ge}&|&\c{ge}|&\c{stackrel}{.*?}{.*?}|\c{stackrel}{.*?}{.*?}&|&\c{neq}|\c{neq}&) } { (\c{impliedby}&|&\c{impliedby}|\c{implies}&|&\c{implies}|\c{approx}&|&\c{approx}|\c{equiv}&|&\c{equiv}|=&|&=|\c{le}&|&\c{le}|\c{ge}&|&\c{ge}|&\c{stackrel}{.*?}{.*?}|\c{stackrel}{.*?}{.*?}&|&\c{neq}|\c{neq}&) }
{ \c{kern} \u{l_tmp_dim_needed} \1 \c{kern} \u{l_tmp_dim_needed} } { \c{kern} \u{l_tmp_dim_needed} \1 \c{kern} \u{l_tmp_dim_needed} }
\l__lec_text_tl \l__lec_text_tl
\l__lec_text_tl \l__lec_text_tl
sose2020/ana/lectures
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Submodule sose2020/ana/lectures updated: f4c36cb129...0368910241
sose2020/num/uebungen/num4.pdf
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sose2020/num/uebungen/num4.tex
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@@ -98,7 +98,7 @@
\quad \text{also insbes.} \quad m \Vert u_{k} \Vert_{\infty} \le \Vert u_k \Vert_1 \quad \text{also insbes.} \quad m \Vert u_{k} \Vert_{\infty} \le \Vert u_k \Vert_1
\quad \forall k \in \N \quad \forall k \in \N
.\] .\]
Wegen $\Vert u_k \Vert = 1$ $\forall k \in \N$, folgt also Wegen $\Vert u_k \Vert_{\infty} = 1$ $\forall k \in \N$, folgt also
\[ \[
m \le \Vert u_k\Vert_1 \quad \forall k \in \N \quad \contr \text{ zu } \Vert u_k \Vert m \le \Vert u_k\Vert_1 \quad \forall k \in \N \quad \contr \text{ zu } \Vert u_k \Vert
\xrightarrow{k \to \infty} 0 \xrightarrow{k \to \infty} 0
sose2020/theo/uebungen/theo5.pdf
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sose2020/theo/uebungen/theo5.tex
+21 -18
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@@ -33,8 +33,10 @@
\frac{\partial L}{\partial \dot{\vartheta}} \frac{\partial L}{\partial \dot{\vartheta}}
&= M R^2 \dot{\vartheta} =: p_{\vartheta} \\ &= M R^2 \dot{\vartheta} =: p_{\vartheta} \\
\intertext{Damit folgt die Hamilton Funktion} \intertext{Damit folgt die Hamilton Funktion}
H &= \frac{p_{\vartheta}^2}{mR^2} - L = \frac{p_{\vartheta}^2}{mR^2} H &= \frac{p_{\vartheta}^2}{mR^2} - L \\
- \frac{1}{2} mR^2 (\dot{\vartheta}^2 + \omega^2\sin^2\vartheta) + mg R \cos\vartheta &= \frac{p_{\vartheta}^2}{mR^2}
- \frac{1}{2} mR^2 (\dot{\vartheta}^2 + \omega^2\sin^2\vartheta) + mg R \cos\vartheta \\
&= \frac{p_{\vartheta}^2}{2mR^2} - \frac{1}{2} \omega^2 \sin^2\vartheta + mgR\cos\vartheta
.\end{align*} .\end{align*}
\item Es liegt hier zwar ein Potential vor, allerdings ist \item Es liegt hier zwar ein Potential vor, allerdings ist
die kinetische Energie des Systems gegeben als die kinetische Energie des Systems gegeben als
@@ -51,23 +53,23 @@
\begin{align*} \begin{align*}
\frac{\partial H}{\partial p_{\vartheta}} &= \frac{2 p_{\vartheta}}{mR^2} - \frac{p_{\vartheta}}{mR^2} \frac{\partial H}{\partial p_{\vartheta}} &= \frac{2 p_{\vartheta}}{mR^2} - \frac{p_{\vartheta}}{mR^2}
= \frac{p_{\vartheta}}{mR^2} = \dot{\vartheta} \\ = \frac{p_{\vartheta}}{mR^2} = \dot{\vartheta} \\
\frac{\partial H}{\partial \vartheta} &= mR^2 \omega^2 \sin\vartheta \cos \vartheta - mg R \sin\vartheta \frac{\partial H}{\partial \vartheta} &= mR^2 \omega^2 \sin\vartheta \cos \vartheta + mg R \sin\vartheta
= mR\sin\vartheta(R\omega^2 \cos\vartheta - g) = - \dot{p}_{\vartheta} = mR\sin\vartheta(R\omega^2 \cos\vartheta + g) = \dot{p}_{\vartheta}
.\end{align*} .\end{align*}
\item \item
Für stationäre Lösungen gilt $\dot{\vartheta} = 0$, also $p_{\vartheta} = 0$, damit folgt Für stationäre Lösungen gilt $\dot{\vartheta} = 0$, also $p_{\vartheta} = 0$, damit folgt
\begin{align*} \begin{align*}
mR \sin\vartheta (R \omega^2 \cos \vartheta -g ) &= 0 mR \sin\vartheta (R \omega^2 \cos \vartheta +g ) &= 0
.\end{align*} .\end{align*}
Als stationäre Lösungen folgen damit $\vartheta_1 = 0$ und $\vartheta_2 = \pi$, denn dann ist Als stationäre Lösungen folgen damit $\vartheta_1 = 0$ und $\vartheta_2 = \pi$, denn dann ist
$\sin\vartheta = 0$. Für $\vartheta_3 = \frac{\pi}{2}$, folgt $- mRg = 0$, dies ist also $\sin\vartheta = 0$. Für $\vartheta_3 = \frac{\pi}{2}$, folgt $mRg = 0$, dies ist also
nur möglich, falls Masse oder Radius 0 sind. nur möglich, falls Masse oder Radius 0 sind.
Für $R \neq 0$, $m \neq 0$, $\sin\vartheta \neq 0$ und $\omega \neq 0$ folgt Für $R \neq 0$, $m \neq 0$, $\sin\vartheta \neq 0$ und $\omega \neq 0$ folgt
\begin{align*} \begin{align*}
\underbrace{\sin\vartheta}_{\neq 0}(R \omega^2 \cos\vartheta - g) &= 0 \\ \underbrace{\sin\vartheta}_{\neq 0}(R \omega^2 \cos\vartheta + g) &= 0 \\
\implies R \omega^2 \cos\vartheta - g &= 0 \\ \implies R \omega^2 \cos\vartheta + g &= 0 \\
\implies \vartheta &= \arccos \left( \frac{g}{R\omega^2} \right) \implies \vartheta &= \arccos \left( -\frac{g}{R\omega^2} \right)
.\end{align*} .\end{align*}
Wie zu erwarten ist $\vartheta \xrightarrow{\omega \to \infty} \frac{\pi}{2}$. Wie zu erwarten ist $\vartheta \xrightarrow{\omega \to \infty} \frac{\pi}{2}$.
\end{enumerate} \end{enumerate}
@@ -134,20 +136,21 @@
\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial R}{\partial r} \right) \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial R}{\partial r} \right)
+ \frac{c}{v^2}R = 0 + \frac{c}{v^2}R = 0
.\end{align*} .\end{align*}
\item Sei $c > 0$. Ansatz: $R(r) = \frac{\tilde{R}(r)}{r}$. \item Sei $c > 0$ und $\omega^2 = c$. Ansatz: $R(r) = \frac{\tilde{R}(r)}{r}$.
Aus der DGL für $R$ folgt Aus der DGL für $R$ folgt
\begin{align*} \begin{align*}
&\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\tilde{R} - r \frac{\partial \tilde R}{\partial r^2}}{r^2} \right) + \frac{c}{v^2} \frac{\tilde R }{r} = 0 \\ &\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{r \frac{\partial \tilde R}{\partial r} - \tilde{R}}{r^2} \right) + \frac{\omega^2}{v^2} \frac{\tilde R }{r} = 0 \\
\implies &\frac{1}{r} \left( - \frac{\partial^2 \tilde R}{\partial r} \implies &\frac{1}{r} \left( \frac{\partial^2 \tilde R}{\partial r}
+ \frac{c}{v^2} \tilde R \right) = 0 \\ + \frac{\omega^2}{v^2} \tilde R \right) = 0 \\
\implies & - \frac{\partial^2 \tilde R}{\partial r^2} + \frac{c}{v^2} \tilde R = 0 \\ \implies & \frac{\partial^2 \tilde R}{\partial r^2} + \frac{\omega^2}{v^2} \tilde R = 0 \\
\implies & \tilde{R} = A\exp\left(\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right) + B\exp\left(-\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right) \\ \implies & \tilde{R} = A \sin\left( \frac{\omega}{v}r \right) + B \cos\left( \frac{\omega}{v}r \right) \\
\implies & R = \frac{A\exp\left(\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right) + B\exp\left(-\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right)}{r} \implies & R = \frac{A \sin\left( \frac{\omega}{v}r \right) + B \cos\left( \frac{\omega}{v}r \right)}{r}
\intertext{Mit der Vorraussetzung $R$ bei $r=0$ stetig folgt $B=0$:}
&R = \frac{A}{r} \sin \left( \frac{\omega}{v}r \right)
.\end{align*} .\end{align*}
Damit folgt Damit folgt
\[ \[
q = T \cdot R = \frac{A_0}{r} \cos(\sqrt{c} t - \delta) q = T \cdot R = \frac{A_0}{r} \cos(\omega t - \delta) \sin\left(\frac{\omega}{v} r\right)
\left( A\exp\left(\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right) + B\exp\left(-\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right)\right)
.\] .\]
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{aufgabe} \end{aufgabe}