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+\documentclass[uebung]{../../../lecture}
+
+\title{Analysis II: Übungsblatt 3}
+\author{Leon Burgard, Christian Merten}
+
+\begin{document}
+
+\punkte
+
+\begin{aufgabe}
+    Für $x, y \in \R$ seien Abbildungen $d_i\colon \R \times \R \to \R$, $i = 1,\ldots,5$ definiert:
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item $d_1(x,y) = (x-y)^2$ ist keine Metrik, denn
+            \[
+                d(1,3) = 4 > 2 = 1 + 1 = d(1, 2) + d(2, 3)
+            .\] 
+        \item $d_2(x, y) = \sqrt{|x-y|} $ ist eine Metrik denn $\forall x, y, z \in \R$ gilt:
+            \begin{enumerate}[(M1)]
+                \item $d_2(x,y) = \sqrt{|x-y|} \ge 0$ und
+                    \[
+                    d_2(x, y) = 0 \iff \sqrt{|x - y|} = 0 \iff |x-y| = 0 \iff x - y = 0 \iff x = y
+                    .\] 
+                \item $d_2(x,y) = \sqrt{|x - y|} = \sqrt{|y - x|} = d_2(y,x)$
+                \item Es gilt
+                    \[
+                    |x-z| = |x - y + y - z| \le |x - y| + |y - z| \le |x-y| + 2\sqrt{|x-y| |y-z|} + |y-z|
+                    .\] Damit folgt
+                    \begin{align*}
+                        &|x-z| \le |x - y| + 2\sqrt{|x-y| |y-z|} + |y-z| \\
+                        \stackrel{\sqrt{\cdot} \ge 0 }{\iff} &
+                        d_2(x, z) = \sqrt{|x-z|} \le \sqrt{|x-y|}  + \sqrt{|y-z|}
+                        = d_2(x, y) + d_2(y, z)
+                    .\end{align*}
+            \end{enumerate}
+        \item $d_3(x,y) = |x^2 - y^2|$ ist keine Metrik, denn
+            \[
+                d(-1, 1) = |(-1)^2 - 1^2| = 0
+            .\] aber $-1 \neq 1$ in $\R$.
+        \item $d_4(x,y) = |x - 2y|$ ist keine Metrik, denn
+            \[
+                d_4(3, 2) = |3 - 2\cdot 2| = 1 \neq 4 = |2 - 2\cdot 3| = d_4(2,3)
+            .\] 
+        \item
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    Sei $(X, d)$ ein metrischer Vektorraum über $K \in \{\R, \mathbb{C}\} $. Die
+    Metrik $d\colon X \times X \to \R$ erfülle die gegeben Eigenschaften.
+
+    Beh.: $\Vert x \Vert_d := d(x, 0)$ $\forall x \in X$ ist eine Norm auf $X$.
+    \begin{proof}
+        Seien $x, y \in X$ und $\alpha \in K$.
+        \begin{enumerate}[(N1)]
+            \item $\Vert x \Vert_d = d(x, 0) \quad \stackrel{d \text{ Metrik}}{\ge} \quad 0$ \\
+                $x = 0 \; \stackrel{d \text{ Metrik}}{\iff} \; d(x,0) = 0 \iff \Vert x \Vert_d = 0$
+            \item $\Vert \alpha x \Vert_d = d(\alpha x, 0) \stackrel{\text{E2}}{=} |\alpha| d(x, 0)
+                = |\alpha| \Vert x \Vert_d$
+            \item Dreicksungleichung:
+                \begin{align*}
+                    \Vert x + y \Vert \quad &= \quad d(x + y, 0) \\
+                                            &\stackrel{\text{E1}}{=} \quad d(y, -x) \\
+                                            &\stackrel{d \text{ Metrik}}= \quad  d(-x, y) \\
+                                            &\stackrel{d \text{ Metrik}}\le \quad d(-x, 0) + d(0, y) \\
+                                            &\stackrel{\text{E2}}{=} \quad d(x, 0) + d(y, 0) \\
+                                            &= \quad \Vert x \Vert_d + \Vert y \Vert_d
+                .\end{align*}
+        \end{enumerate}
+    \end{proof}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    Seien $p, q \in \R$ mit $p, q > 1$, $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Definiere
+            \begin{align*}
+                f(t) &:= (a^{p})^{t} \cdot (b^{q})^{1 - t}
+            \intertext{Es folgt}
+                f''(t) &= \underbrace{(p \ln a - q \ln b)^2}_{\ge 0} \cdot \underbrace{f(t)}_{\ge 0}
+            .\end{align*}
+            Also ist $f(t)$ konvex.
+            Es ist mit $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \implies \frac{1}{q} = 1 - \frac{1}{p}$.
+            Mit $\lambda = \frac{1}{p}, x = 1$ und $y = 0$ folgt damit
+            \[
+                ab =
+                a^{\frac{1}{p} \cdot p}b^{q \cdot \left( 1-\frac{1}{p}\right) }
+                = f\left(\frac{1}{p}\right)
+                \le \frac{1}{p} f(1) + \left( 1 - \frac{1}{p} \right)f(0)
+                = \frac{a^{p}}{p} + \frac{b^{q}}{q}
+            .\] 
+        \item
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    Sei
+    \[
+        B_1 := \{ f \in \mathcal{C}([0,1])  \mid \Vert f \Vert_{\infty} \le 1\} 
+    \] die abgeschlossene Einheitskugel.
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Beh.: Die Folge $(f_n)_{n \in \N}$ mit
+            \[
+                f_n(x) := \begin{cases}
+                    - 2^{2n+4} \left( x - \frac{3}{2^{n+2}} \right)^2 + 1
+                    & x \in \left[ \frac{1}{2^{n+1}}, \frac{1}{2^{n}} \right] \\
+                    0 & \text{sonst}
+                \end{cases}
+            .\] erfüllt die Eigenschaften.
+            \begin{proof}
+                Sei $n \in \N$ beliebig.
+                Zunächst ist $f_n$ stetig, denn:
+                $\forall x \in \left( \frac{1}{2^{n+1}}, \frac{1}{2^{n}} \right) $
+                ist $f_n$ als Polynom stetig.
+                Für $x \in [0,1] \setminus \left[ \frac{1}{2^{n+1}}, \frac{1}{2n} \right] $ ist
+                $f_n$ als konstante Funktion stetig. Außerdem gilt
+                \[
+                    \lim_{x \nearrow \frac{1}{2^{n+1}}} f_n(x) = 0
+                    = - \frac{2^{2n+4}}{2^{2n+4}} + 1
+                    = - 2^{2n+4}\left( \frac{1}{2^{n+1}} - \frac{3}{2^{n+2}} \right)^2 + 1
+                    = f_n\left(\frac{1}{2^{n+1}}\right)
+                    = \lim_{x \searrow \frac{1}{2^{n+1}}} f_n(x)
+                .\] Analog für $x = \frac{1}{2^{n}}$.
+
+                Weiter ist $\Vert f_n \Vert_{\infty} = 1$, denn für
+                $x \in [0, 1] \setminus \left( \frac{1}{2^{n+1}}, \frac{1}{2^{n}} \right) $ ist
+                $f_n(x) = 0$ und für $x \in \left[ \frac{1}{2^{n+1}}, \frac{1}{2^{n}} \right] $
+                ist der Scheitelpunkt der Parabel mit $x_{max} = \frac{3}{2^{n+2}}$ als
+                Maximum mit $f(x_{max}) = 1$ gegeben.
+
+                Sei nun $m \in \N$ mit $m \neq n$ und $x \in [0,1]$. O.E. sei $m > n$.
+                Falls $ x \in \left( \frac{1}{2^{n+1}}, \frac{1}{2^{n}} \right) $, dann ist
+                $f_m(x) = 0$, denn $ m > n \implies m \ge n+1 \implies \frac{1}{2^{m}} \le \frac{1}{2^{n+1}}$.\\
+                Falls $x \in \left( \frac{1}{2^{m+1}}, \frac{1}{2^{m}} \right) $, ist analog
+                $f_n(x) = 0$.\\
+                Sonst gilt $f_n(x) = f_m(x) = 0$.
+
+                Damit folgt $f_n(x) f_m(x) = 0$.
+            \end{proof}
+        \item Beh.: Eine Folge $(f_n)_{n\in\N}$ mit den in (a) gegebenen Eigenschaften, hat keine
+            konvergente Teilfolge.
+            \begin{proof}
+                Sei $(f_n)_{n\in\N} \subseteq B_1$ mit $\Vert f_n \Vert_{\infty} = 1$ $\forall n \in \N$
+                und $f_n(x) f_m(x) = 0$ $\forall x \in [0,1], n, m \in \N, n \neq m$.
+
+                Sei weiter $f \in \mathcal{C}([0,1])$ beliebige Funktion
+                und $(f_{n_k})_{k\in\N} \subseteq (f_n)_{n\in\N}$ Teilfolge.
+
+                Ang.: $\Vert f_{n_k} - f \Vert_{\infty} \xrightarrow{k \to \infty} 0$
+
+                Ang.: $\Vert f \Vert_{\infty} \neq 1$. Dann sei
+                $\epsilon = \frac{|1 - \Vert f \Vert_{\infty}|}{2}$. Dann gilt
+                $\forall k \in \N$ $\Vert f_{n_k} \Vert_{\infty} = 1$, also folgt
+                \[
+                \Vert f_{n_k} - f \Vert \ge | 1 - \Vert f \Vert_{\infty} | > \epsilon \quad \contr
+                .\] 
+                Damit ist $\Vert f \Vert_{\infty} = 1$. Sei nun $x_{max} \in [0,1]$ beliebig
+                mit $f(x_{max}) = 1$.
+
+                Falls $\forall k \in \N$ gilt $f_{n_k}(x_{max}) = 0 \implies \Vert f_{n_k} - f \Vert \ge 1$
+                $\forall k \in \N$.\\
+                Falls $\exists k \in \N$ mit $f_{n_k}(x_{max}) = 1$: Dann gilt $\forall m > k$:
+                \[
+                    f_{n_k}(x_{max}) \cdot f_{n_m}(x_{max}) = 0
+                    \qquad
+                    \stackrel{\R \text{ nullteilerfrei}}{\implies}
+                    \qquad
+                    f_{n_m}(x_{max}) = 0 \implies \Vert f - f_{n_m} \Vert_{\infty} \ge 1 \quad
+                .\] Also konvergiert $f_{n_k}$ nicht gegen $f$.
+            \end{proof}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\end{document}