add num3
This commit is contained in:
Binary file not shown.
@@ -0,0 +1,150 @@
|
|||||||
|
\documentclass[uebung]{../../../lecture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\usepackage{gauss}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
\author{Leon Burgard, Christian Merten}
|
||||||
|
\title{Einführung in die Numerik: Übungsblatt 3}
|
||||||
|
|
||||||
|
\punkte
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{aufgabe}
|
||||||
|
\begin{enumerate}[a)]
|
||||||
|
\item Einheitssphäre
|
||||||
|
\begin{figure}[h!]
|
||||||
|
\centering
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[scale=2]
|
||||||
|
\draw (-1.5,0) edge[-latex] (1.5,0) (0,-1.5) edge[-latex] (0,1.5);
|
||||||
|
\draw (1, 0.1) -- (1, -0.1);
|
||||||
|
\node at (1, -0.2) {$1$};
|
||||||
|
\draw (0.1, 1) -- (-0.1, 1);
|
||||||
|
\node at (-0.2, 1) {$1$};
|
||||||
|
\draw[red] (0,0) circle (1);
|
||||||
|
\draw[blue, rotate around={45:(0,0)}] (-1/1.41,-1/1.41) rectangle (1/1.41, 1/1.41);
|
||||||
|
\draw[green, fill] (1,0) circle (0.02);
|
||||||
|
\draw[green, fill] (0,1) circle (0.02);
|
||||||
|
\draw[green, fill] (-1,0) circle (0.02);
|
||||||
|
\draw[green, fill] (0,-1) circle (0.02);
|
||||||
|
\node at (1.5, -0.2) {$x_1$};
|
||||||
|
\node at (-0.2, 1.5) {$x_2$};
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\caption{Blau: $\Vert \cdot \Vert_1$, Rot: $\Vert \cdot \Vert_2$, Grün:
|
||||||
|
$\Vert \cdot \Vert_{\infty}$}
|
||||||
|
\end{figure}
|
||||||
|
\item Sei $x \in \R^{n}$ beliebig. Dann ist
|
||||||
|
\begin{align*}
|
||||||
|
\Vert x \Vert_1 = \sum_{k=1}^{n} |x_k \cdot 1|
|
||||||
|
\quad &\stackrel{\text{C.S.U.}}{\le } \quad
|
||||||
|
\Vert x \Vert_2 \cdot \Vert 1 \Vert_2 = \sqrt{n} \Vert x \Vert_2 \\
|
||||||
|
\Vert x \Vert_2 = \sqrt{\sum_{k=1}^{n} |x_k|^2}
|
||||||
|
&\le \sqrt{\sum_{k=1}^{n} \Vert x_{\infty}\Vert^2}
|
||||||
|
= \sqrt{n \Vert x\Vert_\infty^2} = \sqrt{n} \Vert x \Vert_{\infty}
|
||||||
|
.\end{align*}
|
||||||
|
Außerdem ist
|
||||||
|
\begin{align*}
|
||||||
|
&\Vert x \Vert_1 = \sum_{k=1}^{n} |x_k|
|
||||||
|
= \Vert x \Vert_2 \left( \sum_{k=1}^{n} \underbrace{\frac{|x_k|}{\Vert x \Vert_2}}_{\le 1} \right)
|
||||||
|
\ge \Vert x \Vert_2 \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{|x_k|^{2}}{\Vert x \Vert_2^2} \right)
|
||||||
|
= \Vert x \Vert_2 \frac{\Vert x \Vert_2^2}{\Vert_x \Vert_2^2} = \Vert x \Vert_2 \\
|
||||||
|
&\Vert x \Vert_2 = \sqrt{\sum_{k=1}^{n} |x_k|^2} \ge \sqrt{\Vert x \Vert_{\infty}^2}
|
||||||
|
= \Vert x \Vert_{\infty}
|
||||||
|
.\end{align*}
|
||||||
|
Damit folgt
|
||||||
|
\begin{align*}
|
||||||
|
&\Vert x \Vert_2 \le \Vert x \Vert_1 \le \sqrt{n} \Vert x \Vert_2 \\
|
||||||
|
&\Vert x \Vert_\infty \le \Vert x \Vert_2 \le \sqrt{n} \Vert x \Vert_\infty
|
||||||
|
.\end{align*}
|
||||||
|
Die anderen Kombinationen folgen durch Multiplikation mit $\frac{1}{\sqrt{n}}$.
|
||||||
|
Für $n \to \infty$ ist $\sqrt{n} \to \infty$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{aufgabe}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{aufgabe}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \frac{1 - \cos x}{x}
|
||||||
|
.\]
|
||||||
|
\begin{enumerate}[a)]
|
||||||
|
\item Es ist
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\frac{\d f}{\d x} = \frac{x \sin x - 1 + \cos x}{x^2}
|
||||||
|
.\] Damit folgt
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
k = \frac{x \sin x - 1 + \cos x}{1 - \cos x}
|
||||||
|
.\] Für $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ ist
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
k = \frac{x - 1}{1} = x - 1 \xrightarrow{k \to \infty} \infty
|
||||||
|
,\] also $f$ schlecht konditioniert.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{aufgabe}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{aufgabe}
|
||||||
|
\begin{enumerate}[a)]
|
||||||
|
\item Die Matrix ist eine $N-1\times N-1$ Matrix, da eine Gleichung für jeden Knoten
|
||||||
|
bis auf den Referenzknoten existiert.
|
||||||
|
\item Jeder Knoten hat entweder 2 (Ecken), 3 (Außenkanten) oder 4 (im Inneren) ein oder
|
||||||
|
ausgehende Kanten. Die mit der Pumpe verbundenen Knoten, haben jeweils eine Kante mehr.
|
||||||
|
Die zugehörigen Zeilen haben damit immer $1$ $+$ Anzahl der verbundenen Kanten Einträge ungleich
|
||||||
|
$0$.
|
||||||
|
\item Die Matrix ist quadratisch und hat vollen Rang und hat damit eine eindeutige Lösung, wenn
|
||||||
|
$q_p \neq 0$.
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{align*}
|
||||||
|
\begin{pmatrix}
|
||||||
|
3 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
|
||||||
|
-1 & 2 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
|
||||||
|
0 & 0 & 3 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\
|
||||||
|
-1 & 0 & -1 & 4 & -1 & 0 & -1 & 0 \\
|
||||||
|
0 & -1 & 0 & -1 & 3 & 0 & 0 & -1 \\
|
||||||
|
0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 2 & -1 & 0 \\
|
||||||
|
0 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 3 & -1 \\
|
||||||
|
0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 2
|
||||||
|
\end{pmatrix}
|
||||||
|
\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \\ p_4 \\ p_5 \\ p_6 \\ p_7 \\ p_8 \end{pmatrix}
|
||||||
|
=
|
||||||
|
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ q_p \end{pmatrix}
|
||||||
|
.\end{align*}
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{aufgabe}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{aufgabe}
|
||||||
|
\begin{enumerate}[a)]
|
||||||
|
\item Sei $x \in \R^{n} \setminus \{0\}$. Dann ist
|
||||||
|
\begin{align*}
|
||||||
|
(A_s x, x)_2 &= \left( \frac{1}{2}Ax + \frac{1}{2}A^{T}x, x \right)_2
|
||||||
|
= \frac{1}{2} (Ax, x) + \frac{1}{2} (A^{T}x, x)
|
||||||
|
= \frac{1}{2} x^{T}A^{T}x + \frac{1}{2} x^{T}Ax \\
|
||||||
|
&= \frac{1}{2} x^{T} A^{T} x + \frac{1}{2} \left( x^{T} (Ax) \right)^{T}
|
||||||
|
= \frac{1}{2} x^{T}A^{T}x + \frac{1}{2} x^{T}A^{T}x
|
||||||
|
= x^{T}A^{T}x
|
||||||
|
= (Ax, x)_2
|
||||||
|
.\end{align*}
|
||||||
|
Damit folgt die Behauptung.
|
||||||
|
\item Sei $X \subseteq \{1, 2, \ldots, n\} $ beliebig und $A_X$ nicht positiv definit. Dann
|
||||||
|
ex. ein $\widetilde{x} \in \R^{|x|} \setminus \{0\} $ mit $A_X x \le 0$. Dann
|
||||||
|
ergänze $\widetilde{x}$ zu $x \in \R^{n}$ mit
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_i := \begin{cases}
|
||||||
|
x_i & i \in X \\
|
||||||
|
0 & \text{sonst}
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
.\] Dann ist $x^{T}Ax = \widetilde{x}^{T}A_X\widetilde{x} \le 0$, also ist $A$ nicht positiv
|
||||||
|
definit.
|
||||||
|
\item Mit (a) folgt: $A$ g.d. positiv definit, wenn
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
A_S = \begin{pmatrix} 2 & - \frac{\alpha}{2} \\ - \frac{\alpha}{2} & 2 \end{pmatrix}
|
||||||
|
.\] positiv definit ist. Dies ist mit dem Hauptminorenkriterium für symmetrische
|
||||||
|
Matrizen g.d der Fall, wenn
|
||||||
|
\begin{align*}
|
||||||
|
&\begin{gmatrix}[v]
|
||||||
|
2 & - \frac{\alpha}{2} \\ - \frac{\alpha}{2} & 2
|
||||||
|
\end{gmatrix}
|
||||||
|
= 4 - \frac{\alpha^2}{4} > 0
|
||||||
|
\\
|
||||||
|
\iff &16 - \alpha^2 > 0 \\
|
||||||
|
\iff &|\alpha| < 4
|
||||||
|
.\end{align*}
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{aufgabe}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
Reference in New Issue
Block a user