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\documentclass{../../lecture}
\begin{document}
\setcounter{section}{2}
\section{Prime Restklassen und der Satz von Euler-Fermat}
\textit{Einleitung: - Besondere Eigenschaften von Restklassenringen bei Primzahlen
- Satz von Euler-Fermat}
\begin{definition}[Nullteiler]
Es sei $R$ ein Ring. Ein Element $x \in R$ heißt ein Nullteiler, wenn es ein $y \in R, y\neq 0$
mit $xy = 0$ gibt. Der Ring $R$ heißt nullteilerfrei, wenn $R \neq 0$ ist und
0 der einzige Nullteiler in $R$ ist.
\end{definition}
\textit{Anmerkung: Der Nullring ist nicht nullteilerfrei und die 0 ist kein Nullteiler, da kein
$y \in R, y \neq 0$ existiert.}
\begin{bsp}
\begin{itemize}
\item Nullring hat keinen Nullteiler, da kein $y \in R$, $y \neq 0$ existiert.
\item Nullteiler in $\Z / 3\Z: \overline{0}$, also ist $\Z / 3 \Z$ nullteilerfrei.
\item Nullteiler in $\Z / 4 \Z: \overline{0}$, $\overline{2}$ ($\overline{2}\cdot \overline{2} = \overline{4} = \overline{0}$), also nicht nullteilerfrei.
\end{itemize}
\end{bsp}
\begin{definition}[Einheit]
Es sei $R$ ein Ring. Ein Element $x \in R$ heißt eine Einheit, wenn es ein $y \in R$ mit $xy = 1$ gibt.
\textit{also: wenn ein Inverses bezüglich Multiplikation existiert}
\end{definition}
\begin{bsp}
\begin{itemize}
\item Einheiten in $\Z / 3\Z: \overline{1}$, $\overline{2}$
($\overline{2} \cdot \overline{2} = \overline{4} = \overline{1}$).
\item Einheiten in $\Z / 4\Z: \overline{1}, \overline{3}$:
($\overline{3} \cdot \overline{3} = \overline{9} = \overline{1}$)
\end{itemize}
\end{bsp}
\begin{lemma}
\label{lemma:einheitengruppe}
Es sei $R$ ein Ring. Dann gilt
\begin{enumerate}[(a)]
\item $R^{\times } := \{ x \in R \mid x \text{ ist eine Einheit}\} $ ist eine abelsche
Gruppe bezüglich der Multiplikation, die sogenannte Einheitengruppe von $R$.
Insbesondere gibt es für jedes $x \in R^{\times }$ genau ein $y \in R^{\times }$ mit
$xy = 1$. Dieses Element bezeichnen wir mit $x^{-1}$ und nennen es das
(multiplikativ) Inverse zu $x$.
\item Ist $x \in R^{\times }$, dann ist $x$ kein Nullteiler.
\label{lemma:einheitengruppe:nullteiler}
\item Falls $R$ endlich ist, dann gilt auch die Umkehrung von (b): Ist $x \in R$ kein Nullteiler,
dann ist $x$ eine Einheit.
\end{enumerate}
\textit{Insbesondere gilt im Fall $R = \Z / n \Z$ , $n \in \N$, für $\overline{x} \in R$, dass $\overline{x}$
genau dann eine Einheit ist, wenn $\overline{x}$ kein Nullteiler ist.} Die Einheiten im
Ring $\Z / n \Z$ nennt man prime Restklassen modulo n, die Gruppe $(\Z / n \Z)^{\times }$
dementsprechend die Gruppe der primen Restklassen modulo n.
\end{lemma}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(a)]
\item Sind $a, b \in R^{\times }$, dann ist auch $ab \in R^{\times }$, denn dann existieren
$c, d \in R$ mit $ac = 1$, $bd = 1$, damit folgt
$(ab)(cd) = (ac)(bd) = 1$.
Assoziativität und Kommutativität folgen aus der Multiplikation in $R$.
Neutrales Element: $1 \in R^{\times}$ wegen $1 \cdot 1 = 1$.
Inverse: Ist $a \in R^{\times}$, dann existiert nach Definition ein $b \in R$ mit
$ab = 1 \implies ba = 1$. Damit folgt $b \in R^{\times }$.
Damit ist $R^{\times }$ eine abelsche Gruppe bezüglich der Multiplikation.
\item Falls $R = 0$, dann ist $0 = 1$ also eine Einheit, aber kein Nullteiler. Falls
$R \neq 0$: Sei $x \in R^{\times }$ und $y \in R$ mit $xy = 0$. Damit folgt
$y = x^{-1}xy = x^{-1} \cdot 0 = 0$, also ist $x$ kein Nullteiler.
\item Sei $R$ endlich und $x \in R$ kein Nullteiler. Wir betrachten die Abbildung
$\tau: R \to R, a \mapsto xa$. $\tau$ ist injektiv, denn aus $\tau(a) = \tau(b)$
folgt $xa = xb \implies x(a-b) = 0$. Da $x$ kein Nullteiler ist, folgt damit
$a - b = 0 \implies a = b$. Als injektive Selbstabbildung der endlichen Menge $R$ ist
$\tau$ auch surjektiv, damit existiert ein $y \in R$ mit $\tau(y) = 1$, was
$xy = 1$ und deshalb $x \in R^{\times}$ impliziert.
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{definition}[Körper]
Ein Ring $R$ heißt ein Körper, wenn $R^{\times } = R \setminus \{0\}$ ist.
\end{definition}
\textit{Anmerkung: Nullring $R = 0$ ist nach Definition kein Körper}
\begin{bsp}
$\Z / 3\Z$ ist ein Körper, $\Z / 4 \Z$ ist kein Körper.
\end{bsp}
\begin{satz}
Es sei $n \in \N$. Dann sind äquivalent
\begin{enumerate}[(i)]
\item $n$ ist eine Primzahl
\item $\Z / n \Z$ ist ein Körper
\item $\Z / n \Z$ ist nullteilerfrei.
\end{enumerate}
Für Primzahlen $p$ schreiben wir auch $\mathbb{F}_p := \Z / p \Z$.
\end{satz}
\begin{proof}
(i) $\implies$ (ii): Sei $n$ eine Primzahl, $\overline{a} \in \Z / n \Z$, $\overline{a} \neq 0$.
Zz.: $a \in (\Z / n \Z)^{\times}$. Wegen $\overline{a} \neq 0$ folgt $n \nmid a$. Da
$n$ eine Primzahl ist, erhalten wir $\text{ggT}(n,a) = 1$. Aufgrund des erweiterten
Euklidischen Algorithmus gibt es $u, v \in \Z$ mit
$un + va = 1 \implies \overline{un} + \overline{va} = \overline{1} \implies \overline{v} \cdot \overline{a} = \overline{1}$.
Mit $\overline{a}^{-1} := \overline{v}$ folgt $a \in R^{\times}$.
(ii) $\implies$ (iii): Sei $\Z / n \Z$ ein Körper. Damit ist $\Z / n \Z \neq 0$ und
$(\Z / n \Z)^{\times} = \Z / n \Z \setminus \{0\}$. Wegen \ref{lemma:einheitengruppe}
\ref{lemma:einheitengruppe:nullteiler} ist dann $\overline{0}$ der einzige
Nullteiler in $\Z / n \Z$, d.h. $\Z / n \Z$ ist nullteilerfrei.
(iii) $\implies$ (i): Kontraposition: Sei $n$ keine Primzahl. Falls $n = 1$, dann ist
$\Z / n \Z = 0$, also nicht nullteilerfrei. Falls $n > 1$ ist, dann gibt es $a, b \in \N$
mit $1 < a,b < n$, so dass $n = ab$ gilt. Damit folgt
$\overline{0} = \overline{n} = \overline{ab} = \overline{a} \overline{b}$ mit
$\overline{a}, \overline{b} \neq 0$, also sind $\overline{a}$, $\overline{b}$ Nullteiler,
insbesondere ist $\Z / n \Z$ nicht nullteilerfrei.
\end{proof}
\textit{Anmerkung: Den erweiterten euklidischen Algorithmus verwenden wir noch weiter um die Einheiten
im Ring $\Z / n \Z$ zu charakterisieren.}
\begin{lemma}
Es seien $a$, $b \in \Z$, $n \in \N$. Dann sind äquivalent:
\begin{enumerate}[(i)]
\item Die Kongruenz $ax \equiv b$ $(\text{mod } n)$ besitzt eine Lösung in $\Z$.
\item $\text{ggT}(a,n) \mid b$.
\end{enumerate}
\label{lemma:kongruenz}
\end{lemma}
\begin{proof}
(i) $\implies$ (ii): Sei $x \in \Z$ mit $ax \equiv b$ $(\text{mod }n)$. Dann existiert
ein $k \in \Z$ mit $ax = b + kn$, also mit $b = ax - kn$. Wegen
$\text{ggT}(a,n) \mid a$ und $\text{ggT}(a,n) \mid n$ folgt $\text{ggT}(a,n) \mid b$.
(ii) $\implies$ (i): Es gelte $\text{ggT}(a,n) \mid b$. Aus dem erweiterten Euklidischen Algorithmus
folgt die Existenz von $u$, $v \in \Z$ mit
\[
ua + vn = \text{ggT}(a,n)
.\] Durch Multiplikation mit der nach Voraussetzung ganzen Zahl $\frac{b}{\text{ggT}(a,n)}$ erhalten
wir
\[
ua \frac{b}{\text{ggT}(a,n)} + vn \frac{b}{\text{ggT}(a,n)} = b
,\] was die Kongruenz
\[
a \cdot \frac{bu}{\text{ggT}(a,n)} \equiv b \quad (\text{mod }n)
\] und damit die Behauptung zeigt.
\end{proof}
\begin{korrolar}
Es sei $a \in \Z, n \in \N$. Dann sind äquivalent
\begin{enumerate}[(i)]
\item Die Kongruenz $ax \equiv 1$ $(\text{mod } n)$ besitzt eine Lösung in $\Z$.
\item $\overline{a} \in (\Z / n\Z)^{\times }$
\item $\text{ggT}(a,n) = 1$
\end{enumerate}
\end{korrolar}
\begin{proof}
(i) $\iff$ (ii): Die Kongruenz $ax \equiv 1$ $(\text{mod }n)$ entspricht der Gleichung
$\overline{a} \cdot \overline{x} = \overline{1}$ in $\Z / n \Z$, welche
genau dann lösbar ist, wenn $\overline{x}$ eine Einheit in $\Z / n \Z$ ist.
(i) $\iff$ (iii): Folgt mit $b = 1$ aus \ref{lemma:kongruenz}.
\end{proof}
\begin{bsp}
%\begin{enumerate}[(a)]
%\item Die Kongruenz $15x \equiv 7$ $(\text{mod } 21)$ hat wegen $ggT(15,21) = 3 \nmid 7$ keine
% Lösung.
%\item
Die Kongruenz $15x \equiv 6$ $(\text{mod } 21)$ hat wegen $\text{ggT}(15,21) = 3 \mid 6$ eine Lösung.
Der erweiterte Euklidische Algorithmus ergibt
\[
\text{ggT}(15, 21) = 3 = 3 \cdot 15 + (-2) \cdot 21
.\] Damit folgt \textit{wie im Beweis durch Multiplikation mit 2}
\[
6 = 6 \cdot 15 + (-4) \cdot 21 \equiv 15 \cdot 6 \quad (\text{mod } 21)
\] d.h. $x = 6$ ist eine Lösung der Kongruenz.
%\end{enumerate}
\end{bsp}
\begin{definition}[Ordnung]
Es sei $G$ eine endliche Gruppe. Die Ordnung von $G$ (Notation: $|G|$) ist definiert als die Anzahl
der Elemente von $G$.
\end{definition}
\begin{definition}[Eulersche $\varphi$-Funktion]
Die Abbildung
\begin{align*}
\varphi \colon &\N \to \N \\
&n \mapsto |(\Z / n \Z)^{\times}| = \# \{ a \in \N_0 \mid 0 \le a < n \text{ und } \text{ggT}(a,n) = 1\}
.\end{align*}
\end{definition}
\textit{Anmerkung: also zählt die $\varphi$-Funktion die zu einer Zahl $n$ teilerfremden Zahlen zwischen
$0$ und $n$.}
\begin{bsp}
\begin{enumerate}[(a)]
\item Es ist wie $(\Z / 4 \Z)^{\times} = \{\overline{1}, \overline{3}\} $, also $\varphi(4) = 2$.
\item Sei $p$ eine Primzahl. Dann ist $\Z / p \Z$ ein Körper, d.h.
\[
\varphi(p) = |(\Z / p\Z)^{\times }| = \# \{\Z / p \Z\} - 1 = p - 1
.\]
\end{enumerate}
\end{bsp}
\begin{lemma}
\label{lemma:endlichegruppe}
Es sei $G$ eine endliche abelsche Gruppe und $g \in G$. Dann gilt
\[
g^{|G|} = 1
.\]
\end{lemma}
\begin{proof}
Betrachte die Abbildung $\tau_g\colon G \to G, x \mapsto gx$. Diese ist injektiv, denn
aus $\tau_g(x) = \tau_g(y)$ für $x, y \in G$ folgt $gx = gy$ und nach Linkskürzung $x = y$. Als injektive
Selbstabbildung auf der endlichen Gruppe $G$, ist $\tau_g$ auch surjektiv, also bijektiv.
Da $G$ endlich folgt damit
\[
\prod_{x \in G} x \qquad \qquad\stackrel{\tau \text{ bijektiv, } G \text{ abelsch}}{=} \qquad\qquad \prod_{x \in G} \tau_g(x) = \prod_{x \in G} gx = g^{|G|} \prod_{x \in G} x
.\] Mit Rechtskürzung folgt damit $g^{|G|} = 1$.
\end{proof}
\begin{satz}[Satz von Euler-Fermat]
Es sei $n \in \N$ und $\overline{a} \in (\Z / n \Z)^{\times }$. Dann gilt
\[
\overline{a}^{\varphi(n)} = \overline{1}
.\]
\end{satz}
\begin{proof}
Nach Definition ist $\varphi(n) = |(\Z / n \Z)^{\times }|$. Die Behauptung folgt damit direkt aus
\ref{lemma:endlichegruppe} mit $G = (\Z / n \Z)^{\times }$.
\end{proof}
\begin{bsp}
Es ist $3^{19} \equiv 10$ $(\text{mod } 17)$, denn $\overline{3} \in (\Z / 17 \Z)^{\times}$ und
\[
3^{16} = 3^{\varphi(17)} \qquad\qquad \stackrel{\text{Satz v. Euler-Fermat}}{\equiv} \qquad \qquad 1 \quad (\text{mod } 17)
.\] Damit folgt
\[
3^{19} = 3^{3} \cdot 3^{16} = 27 \cdot 1 \equiv 10 \quad (\text{mod } 17)
.\]
\end{bsp}
\begin{korrolar}[Kleiner Satz von Fermat]
Es sei $p$ eine Primzahl. Dann gilt
\begin{enumerate}[(a)]
\item Für jedes $\overline{a} \in \mathbb{F}_p^{\times }$ ist $\overline{a}^{p-1} = \overline{1}$.
\item Für jedes $\overline{a} \in \mathbb{F}_p$ ist $\overline{a}^{p} = \overline{a}$.
\end{enumerate}
\end{korrolar}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(a)]
\item Mit $\varphi(p) = p - 1$ folgt das direkt aus dem Satz von Euler-Fermat.
\item Falls $\overline{a} \in \mathbb{F}_p^{\times }$: Dann ist
$\overline{a}^{p} = \overline{a} \cdot \overline{a}^{p-1} = \overline{a} \cdot \overline{1} = \overline{a}$.
Falls $\overline{a} = \overline{0}$ ist $\overline{a}^{p} = \overline{0}^{p} = \overline{0} = \overline{a}$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{document}