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\documentclass{../../../lecture}

\begin{document}

\section{Folgen und Reihen von Funktionen}

\subsection{Funktionenfolgen und gleichmäßige Konvergenz}

\begin{definition}
Sei für $n \in \N$, $f_n \colon D \to \R$, $D \subset \R$ eine Funktion.
Die Folge $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert punktweise gegen
eine Funktion $f\colon D \to \R$ falls $\forall x \in D$
die Folge $(f_n(x))_{n\in\N}$ gegen $f(x)$ konvergiert, d.h.
\[
\forall \epsilon > 0 \quad \exists N = N(\epsilon, x) > 0 \text{ s.d. }
|f_n(x) - f(x)| < \epsilon \quad \forall n \ge N
.\]
\end{definition}

\begin{bsp}
\begin{enumerate}[(a)]
\item \begin{align*}
&f_n(x)\colon [0,2] \to \R \\
&f_n(x) = \begin{cases}
n^2x & 0 \le x \le \frac{1}{n} \\
2n - n^2x & \frac{1}{n} \le x \le \frac{2}{n} \\
0 & \frac{2}{n} \le x \le 2
\end{cases}
.\end{align*}
$(f_n(x))_{n\in\N}$ konvergiert punktweise gegen $f(x) \equiv 0$ $\forall x \in [0,2]$.

$x=0$: $f_n(0) = 0 = f(0)$\\
$0 < x \le 2$: $\forall n \ge \frac{2}{x}$, $f_n(x) = 0 = f(x)$
\item $f_n(x) = x^{n}$, $f_n\colon [0,1] \to \R$.
\begin{figure}[h!]
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}%
[grid=both,
minor tick num=4,
grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
axis lines=middle,
enlargelimits={abs=0.2},
ymax=1,
ymin=0
]
\addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^1};
\addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^2};
\addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^3};
\addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^4};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}%
[grid=both,
minor tick num=4,
grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
axis lines=middle,
enlargelimits={abs=0.2},
ymax=1,
ymin=0
]
\addplot[domain=0:1.1,samples=1000,smooth,red] {(and(x>=0 , x<1) * 0 + (and(x>=1, x< 10) * 1};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{$f_n(x) = x^{n}$ und ihre Grenzfunktion}
\end{figure}
\begin{align*}
(f_n(x))_{n\in\N} \xrightarrow[\text{punktweise}]{n \to \infty} f(x)
= \begin{cases}
1 & \text{ falls } x = 1 \\
0 & \text{ falls } 0 \le x < 1
\end{cases}
.\end{align*}
\end{enumerate}
\label{bsp:punktweisekonvergenz}
\end{bsp}

\begin{bem}
Punktweiser Limes stetiger Funktionen muss nicht stetig sein.
\end{bem}

\begin{definition}
Die Folge $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig gegen $f\colon D \to \R$ falls gilt
\[
\forall \epsilon > 0 \quad \exists N = N(\epsilon) \text{ s.d. }
|f_n(x) - f(x)| < \epsilon \quad \forall x \in D \text{ und } n \ge N
.\]
\end{definition}

\begin{bem}
$\forall \epsilon > 0$, $\exists N = N(\epsilon)$, $\forall n \ge N$ gilt
\[
\text{graph}(f_n) \subset \epsilon\text{-Umgebung von Graphen von } f
:= \{ (x, y) \in D \times \R \mid | y - f(x)| < \epsilon\}
.\]
\begin{figure}[h!]
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}%
[grid=both,
minor tick num=4,
grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
axis lines=middle,
enlargelimits={abs=0.2},
ymax=1,
ymin=0
]
\addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.7};
\addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.5};
\addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,blue] {0.1 * sin(deg(40*x)) + 0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.5};
\addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.3};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}%
[grid=both,
minor tick num=4,
grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
axis lines=middle,
enlargelimits={abs=0.2},
ymax=1,
ymin=-0.4,
]
\addplot[domain=0:1.1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3};
\addplot[domain=0:1.001,samples=1000,smooth,red] {(and(x>=0 , x<1) * 0 + (and(x>=1, x< 10) * 1};
\addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,blue] {x^8};
\addplot[domain=0:1.1,samples=50,smooth,dashed, blue] {-0.3};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Links: ,,$\epsilon$-Schlauch'', Rechts: \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (b) nicht gleichmäßig konvergent}
\end{figure}
Beispiele \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (a) und (b) nicht gleichmäßig konvergent, zu (a):
Für $\epsilon = \frac{1}{2}$ gilt
$\left|f_n\left(\frac{1}{n}\right)- f\left(\frac{1}{n}\right)\right| = n > \frac{1}{2}$
\end{bem}

\begin{bsp}
$f_n\colon [0,2] \to \R$, $f_n(x) := \frac{1}{n} \sin \left( 2\pi n \cdot x \right) $ konvergiert
gleichmäßig gegen $f(x) = 0$.
\[
| \sin(2 \pi n \cdot x) | \le 1 \quad \forall x \in R \implies
f_n(x) \xrightarrow{n \to \infty} 0 \quad \forall x \in [0,2] \implies \text{punktweise Konvergenz}
.\] Sei nun $\epsilon > 0$, dann $\exists N \in \N$ mit $\frac{1}{N} < \epsilon$. Damit folgt
\[
\forall n \ge N \quad |f_n(x)| \le \frac{1}{N} < \epsilon \quad \forall x
\implies \text{gleichmäßige Konvergenz}
.\]
\end{bsp}
\begin{bem}
Konvergiert $f_n \colon D \to \R$ gleichmäßig gegen $f \colon D \to \R$, dann konvergiert $f_n$ punktweise
gegen $f$. Die Umkehrung gilt nicht, siehe \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (a) und (b).
\end{bem}

\begin{satz}[Gleichmäßiger Limes stetiger Funktionen ist stetig]
Es sei $D \subset \R$ und $f_n\colon D \to \R$ $\forall n \in \N$ stetig in $D$.
Sei $(f_n)_{n\in\N}$ gleichmäßig konvergent gegen $f\colon D \to \R$. Dann gilt:
$f$ ist stetig in $D$.
\end{satz}

\begin{proof}
Seien $x_0 \in D$ und $\epsilon > 0$.
Zu zeigen:
$\exists \delta > 0$ $\forall x \in D\colon |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - f(x_0)| < \epsilon$.
\[
(f_n)_{n\in\N} \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f
\implies \exists N \in \N \text{ s.d. } \forall n \ge N \quad \forall x \in D
\text{ gilt } | f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{3}
.\]
\[
f_n \text{ stetig in } x_0 \implies \exists \delta \text{ s.d. } \forall x \in D \text{ gilt }
|x - x_0| < \delta \implies |f_n(x) - f_n(x_0)| < \frac{\epsilon}{3}
.\]
Zusammen: $\forall x$ mit $|x - x_0| < \delta $ gilt:
\begin{align*}
|f(x) - f(x_0)| &= |f(x) - f_n(x) + f_n(x) - f_n(x_0) + f_n(x_0) - f(x_0)| \\
&\le |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(x_0)| + |f_n(x_0) - f(x_0)| \\
&\le \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} \\
&= \epsilon
.\end{align*}
\end{proof}

\subsection{Der Funktionenraum $C[a,b]$}

\begin{definition}[Maximumnorm $\Vert\cdot \Vert_\infty$]
Es sei $D$ ein beschränktes, abgeschlossenes Intervall $I = [a,b]$ und
$f\colon [a,b] \to \R$ (oder $\mathbb{C}$) stetig. Dann
\[
\Vert f \Vert_\infty := \max \{ |f(x)| \mid x \in [a,b]\}
.\] Das Maximum existiert wegen der Stetigkeit des Absolutbetrags und weil $[a,b]$ beschränkt und
abgeschlossen ist.
\end{definition}

\begin{satz}[$\Vert \cdot \Vert_\infty$ und gleichmäßige Konvergenz]
Es sei $D = [a,b]$ und $f\colon [a,b] \to \R$ stetig. Dann gilt
\begin{enumerate}[(i)]
\item $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig gegen $f \colon [a,b] \to \R
\iff \Vert f_n - f \Vert_\infty \to 0$, $n \to \infty$
\item Cauchy-Kriterium: $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b]
\iff \forall \epsilon > 0$ $\exists N_0 \in \N$, s.d. $\forall n, m \ge N_0$ gilt
$\Vert f_n - f_m \Vert_{\infty} < \epsilon$
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
\begin{enumerate}[(i)]
\item ,,$\implies$'': Sei $\epsilon > 0$. Dann $\exists N \in \N$ s.d.
$|f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{2}$ $\forall x \in [a,b]$ und $\forall n \ge N$. Damit folgt:
\[
\max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| = \Vert f_n - f \Vert_{\infty} < \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \implies \Vert f_n - f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0
.\]
,,$\impliedby$'': Sei $\epsilon > 0$. Wegen
$\Vert f_n -f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0$ $\exists N \in \N$ s.d.
$\Vert f_n - f \Vert_\infty < \epsilon$ $\forall n \ge N$. Damit folgt
$\forall n \ge N$ und $\forall x \in [a,b]$
\[
|f_n(x) - f(x)| \le \max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| =
\Vert f_n - f \Vert_{\infty} < \epsilon \implies \text{gleichmäßige Konvergenz}
.\]
\item ,,$\implies$'' $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h.
$\exists f: [a,b] \to \R$ s.d. $f_n \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f$.

Sei $\epsilon > 0$, dann $\exists N_0 \in \N$ s.d. $|f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{4}$
$\forall n \ge N_0$ und $\forall x \in [a,b]$.

Damit gilt $\forall n, m \ge N_0$ und $\forall x \in [a,b]$:
\begin{align*}
&|f_n(x) - f_m(x)| \le |f_n(x) - f(x)| + |f(x) - f_m(x)|
\le \frac{\epsilon}{4} + \frac{\epsilon}{4} = \frac{\epsilon}{2} \\
\implies &\max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f_m(x)| = \Vert f_n - f_m \Vert_\infty
\le \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \quad \forall n, m \ge N_0
.\end{align*}

,,$\impliedby$'': Sei $\epsilon > 0$, dann $\exists N_0 \in \N$, s.d.
\[
|f_n(x) - f_m(x)| \le \Vert f_n - f_m \Vert_\infty < \frac{\epsilon}{2} \quad
\forall n,m \ge N_0 \quad \forall x \in [a,b]
.\] $\implies (f_n(x))_{n\in\N}$ ist eine Cauchy-Folge in $\R$.\\
$\implies (f_n(x))_{n\in\N}$ konvergiert \\
$\implies$ Definiere $f(x) := \lim_{n \to \infty} f_n(x)$, $x \in [a,b]$.

Dann gilt $\forall n \ge N_0$, $\forall x \in [a,b]$:
\[
|f_n(x) - f(x)| = \lim_{m \to \infty} |f_n(x) - f_m(x)| < \frac{\epsilon}{2}
\implies (f_n)_{n\in\N} \text{ konvergiert gleichmäßig gegen } f
.\]
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{bem}
$\Vert \cdot \Vert_{\infty}$ erfüllt s.g. Normeigenschaften:
\begin{enumerate}[(N1)]
\item $\Vert f \Vert_\infty = 0 \implies f(x) = 0, x \in [a,b]$ (Definitheit)
\item $\Vert \alpha f \Vert_{\infty} = |\alpha| \cdot \Vert f \Vert_\infty$, $\alpha \in \R$ (Homogenität)
\item $\Vert f + g \Vert_{\infty} \le \Vert f \Vert_\infty + \Vert g \Vert_\infty$ (Dreiecksungleichung)
\end{enumerate} folgen direkt aus den Eigenschaften des Absolutbetrags.
\end{bem}

\begin{definition}
Der Funktionenraum $C[a,b]$ definiert durch
\[
C[a,b] := \{ f \colon [a,b] \to \R \mid f \text{ stetig }\}
.\] mit $\Vert f \Vert_\infty$ einen normierten Vektorraum.
\end{definition}

\begin{satz}[Vollständigkeit]
Der Raum $C[a,b]$ ist vollständig bezüglich gleichmäßiger Konvergenz, d.h. jede
Cauchy-Folge von Funktionen aus $C[a,b]$ besitzt einen Limes in $C[a,b]$
\end{satz}

\begin{proof}
Rannacher
\end{proof}

\subsection{Integration und Grenzübergänge}

Wichtige Frage: Wenn $f_n \to f$, gilt dann auch $\int_{a}^{b} f_n \to \int_{a}^{b} f$?

\begin{satz}
Seien $f_n \colon [a,b] \to R$ stetige Riemann-integrierbare Funktionen und $f\colon [a,b] \to \R$
mit $\Vert f_n - f \Vert_\infty \xrightarrow{n \to \infty} 0$ (gleichmäßige Konvergenz). Dann gilt
$f$ stetig und Riemann-integrierbar und
\[
\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx
= \int_{a}^{b} \lim_{n \to \infty} f_n(x) dx
.\]
\end{satz}

\begin{proof}
$f_n \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f \implies f$ stetig $\implies f$ Riemann-integrierbar.

Es gilt
\[
\left| \int_{a}^{b} f_n(x) dx - \int_{a}^{b} f(x) dx\right| = \left| \int_{a}^{b} (f_n(x) - f(x))dx\right|
\le \int_{a}^{b} |f_n(x) - f(x)| dx \le \underbrace{\max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)|}_{= \underbrace{\Vert f_n - f \Vert_\infty}_{\xrightarrow{n \to \infty} 0}\underbrace{(b-a)}_{\text{beschränkt}}}
.\]
\end{proof}

\begin{satz}
Seien $f_n \colon [a,b] \to \R$ stetige Funktionen $(n \in \N)$ und die Reihe
$\sum_{n=0}^{\infty} f_n$ konvergiere gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h. die Folge der Partialsummen
$(\sum_{n=0}^{N} f_n)_{n\in\N}$ sei gleichmäßig konvergent. Dann gilt:
\[
f(x) := \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \quad \forall x \in [a,b]
.\] ist stetig und Riemann-integrierbar und
\begin{align*}
\int_{a}^{b} f(x) dx &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx \\
\int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx
,\end{align*} d.h. die Reihe wird gliedweise integriert.
\end{satz}

\begin{proof}
$f_n$ sind stetig $\implies \sum_{n=0}^{N} f_n(x)$ stetig und Riemann-integrierbar.

Die Folge der Partialsummen $(\sum_{n=0}^{N} f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig, d.h.
\[
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \text{ stetig } = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{n=0}^{N} f_n(x) \right) \text{ gleichmäßiger Limes}
.\] Es gilt
\[
\int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx =
\sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) dx + \int_{a}^{b} \sum_{n=N+1}^{\infty} f_n(x) dx
.\] Die Reihe konvergiert gleichmäßig, d.h. $\forall \epsilon > 0$ $\exists N_{\epsilon} \in \N$, s.d.
$\forall N \ge N_{\epsilon}$ gilt
\begin{align*}
&\left| \int_{a}^{b} \sum_{n=N+1}^{\infty} f_n(x) dx \right| \le \epsilon \cdot (b-a) \\
\implies &\left| \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx - \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) dx \right| \le \epsilon \\
\implies& \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx
.\end{align*}
\end{proof}

\begin{korrolar}[Integration von Potenzreihen]
Es sei $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n}$ eine reelle Potenzreihe mit Konvergenzradius $\rho > 0$.
Dann konvergiert $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^{n}$ in jedem Intervall
$[x_0 - r, x_0 + r]$ für $0 < r < \rho$ gleichmäßig und für $[a,b] \subset \;]x_0 - \rho, x_0 + \rho[$ gilt
\[
\int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n} dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}
\Big|_{a}^{b}
.\]
\end{korrolar}

\begin{proof}
Nur die gleichmäßige Konvergenz für $| x - x_0| \le r$ ist zu beweisen: Für $|x - x_0| \le r$, $r < \rho$ gilt:
\begin{align*}
\left\Vert \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^{n} - \sum_{n=0}^{N} a_n(x-x_0)^{n} \right\Vert_{\infty}
&= \left\Vert \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n}\right\Vert_\infty \\
&\stackrel{|x - x_0| < r}{\le} \quad \sum_{n=N+1}^{\infty} |a_n| \cdot r^{n} \\
&\stackrel{(*)}{\le} \sum_{n=N+1}^{\infty} \left(\frac{1}{\rho - \epsilon}\right)^{n} \cdot r^{n} \\
&= \sum_{n=N+1}^{\infty} \underbrace{\left( \frac{r}{\rho-\epsilon} \right)^{n}}_{< 1}
\xrightarrow[\text{geometrische Reihe}]{N \to \infty} 0
.\end{align*}
$(*)$: $\rho = \frac{1}{\limsup \sqrt[n]{|a_n|} }$, $r < \rho - \epsilon$ für ein $\epsilon > 0 \implies
\exists N_0 \in \N$, s.d. $\sqrt[n]{|a_n|} < \frac{1}{\rho - \epsilon} $ $\forall n \ge N_0$
\end{proof}

\end{document}

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\documentclass[titlepage]{../../../lecture}

\usepackage{standalone}
\usepackage{tikz}
\usepackage{subcaption}

\title{Analysis II}
\author{Prof. Dr. Ekaterina Kostina}
\date{SoSe 2020}

\begin{document}

\newgeometry{right=15mm, left=15mm}
\maketitle
\restoregeometry

\tableofcontents
\newpage

\input{ana1.tex}

\end{document}

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\documentclass{../../lecture}

\begin{document}

\setcounter{section}{2}

\section{Prime Restklassen und der Satz von Euler-Fermat}

\textit{Einleitung: - Besondere Eigenschaften von Restklassenringen bei Primzahlen
- Satz von Euler-Fermat}

\begin{definition}[Nullteiler]
Es sei $R$ ein Ring. Ein Element $x \in R$ heißt ein Nullteiler, wenn es ein $y \in R, y\neq 0$
mit $xy = 0$ gibt. Der Ring $R$ heißt nullteilerfrei, wenn $R \neq 0$ ist und
0 der einzige Nullteiler in $R$ ist.
\end{definition}

\textit{Anmerkung: Der Nullring ist nicht nullteilerfrei und die 0 ist kein Nullteiler, da kein
$y \in R, y \neq 0$ existiert.}

\begin{bsp}
\begin{itemize}
\item Nullring hat keinen Nullteiler, da kein $y \in R$, $y \neq 0$ existiert.
\item Nullteiler in $\Z / 3\Z: \overline{0}$, also ist $\Z / 3 \Z$ nullteilerfrei.
\item Nullteiler in $\Z / 4 \Z: \overline{0}$, $\overline{2}$ ($\overline{2}\cdot \overline{2} = \overline{4} = \overline{0}$), also nicht nullteilerfrei.
\end{itemize}
\end{bsp}

\begin{definition}[Einheit]
Es sei $R$ ein Ring. Ein Element $x \in R$ heißt eine Einheit, wenn es ein $y \in R$ mit $xy = 1$ gibt.
\textit{also: wenn ein Inverses bezüglich Multiplikation existiert}
\end{definition}

\begin{bsp}
\begin{itemize}
\item Einheiten in $\Z / 3\Z: \overline{1}$, $\overline{2}$
($\overline{2} \cdot \overline{2} = \overline{4} = \overline{1}$).
\item Einheiten in $\Z / 4\Z: \overline{1}, \overline{3}$:
($\overline{3} \cdot \overline{3} = \overline{9} = \overline{1}$)
\end{itemize}
\end{bsp}

\begin{lemma}
\label{lemma:einheitengruppe}
Es sei $R$ ein Ring. Dann gilt
\begin{enumerate}[(a)]
\item $R^{\times } := \{ x \in R \mid x \text{ ist eine Einheit}\} $ ist eine abelsche
Gruppe bezüglich der Multiplikation, die sogenannte Einheitengruppe von $R$.
Insbesondere gibt es für jedes $x \in R^{\times }$ genau ein $y \in R^{\times }$ mit
$xy = 1$. Dieses Element bezeichnen wir mit $x^{-1}$ und nennen es das
(multiplikativ) Inverse zu $x$.
\item Ist $x \in R^{\times }$, dann ist $x$ kein Nullteiler.
\label{lemma:einheitengruppe:nullteiler}
\item Falls $R$ endlich ist, dann gilt auch die Umkehrung von (b): Ist $x \in R$ kein Nullteiler,
dann ist $x$ eine Einheit.
\end{enumerate}
\textit{Insbesondere gilt im Fall $R = \Z / n \Z$ , $n \in \N$, für $\overline{x} \in R$, dass $\overline{x}$
genau dann eine Einheit ist, wenn $\overline{x}$ kein Nullteiler ist.} Die Einheiten im
Ring $\Z / n \Z$ nennt man prime Restklassen modulo n, die Gruppe $(\Z / n \Z)^{\times }$
dementsprechend die Gruppe der primen Restklassen modulo n.
\end{lemma}

\begin{proof}
\begin{enumerate}[(a)]
\item Sind $a, b \in R^{\times }$, dann ist auch $ab \in R^{\times }$, denn dann existieren
$c, d \in R$ mit $ac = 1$, $bd = 1$, damit folgt
$(ab)(cd) = (ac)(bd) = 1$.

Assoziativität und Kommutativität folgen aus der Multiplikation in $R$.

Neutrales Element: $1 \in R^{\times}$ wegen $1 \cdot 1 = 1$.

Inverse: Ist $a \in R^{\times}$, dann existiert nach Definition ein $b \in R$ mit
$ab = 1 \implies ba = 1$. Damit folgt $b \in R^{\times }$.

Damit ist $R^{\times }$ eine abelsche Gruppe bezüglich der Multiplikation.
\item Falls $R = 0$, dann ist $0 = 1$ also eine Einheit, aber kein Nullteiler. Falls
$R \neq 0$: Sei $x \in R^{\times }$ und $y \in R$ mit $xy = 0$. Damit folgt
$y = x^{-1}xy = x^{-1} \cdot 0 = 0$, also ist $x$ kein Nullteiler.
\item Sei $R$ endlich und $x \in R$ kein Nullteiler. Wir betrachten die Abbildung
$\tau: R \to R, a \mapsto xa$. $\tau$ ist injektiv, denn aus $\tau(a) = \tau(b)$
folgt $xa = xb \implies x(a-b) = 0$. Da $x$ kein Nullteiler ist, folgt damit
$a - b = 0 \implies a = b$. Als injektive Selbstabbildung der endlichen Menge $R$ ist
$\tau$ auch surjektiv, damit existiert ein $y \in R$ mit $\tau(y) = 1$, was
$xy = 1$ und deshalb $x \in R^{\times}$ impliziert.
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{definition}[Körper]
Ein Ring $R$ heißt ein Körper, wenn $R^{\times } = R \setminus \{0\}$ ist.
\end{definition}

\textit{Anmerkung: Nullring $R = 0$ ist nach Definition kein Körper}

\begin{bsp}
$\Z / 3\Z$ ist ein Körper, $\Z / 4 \Z$ ist kein Körper.
\end{bsp}

\begin{satz}
Es sei $n \in \N$. Dann sind äquivalent
\begin{enumerate}[(i)]
\item $n$ ist eine Primzahl
\item $\Z / n \Z$ ist ein Körper
\item $\Z / n \Z$ ist nullteilerfrei.
\end{enumerate}
Für Primzahlen $p$ schreiben wir auch $\mathbb{F}_p := \Z / p \Z$.
\end{satz}

\begin{proof}
(i) $\implies$ (ii): Sei $n$ eine Primzahl, $\overline{a} \in \Z / n \Z$, $\overline{a} \neq 0$.
Zz.: $a \in (\Z / n \Z)^{\times}$. Wegen $\overline{a} \neq 0$ folgt $n \nmid a$. Da
$n$ eine Primzahl ist, erhalten wir $\text{ggT}(n,a) = 1$. Aufgrund des erweiterten
Euklidischen Algorithmus gibt es $u, v \in \Z$ mit
$un + va = 1 \implies \overline{un} + \overline{va} = \overline{1} \implies \overline{v} \cdot \overline{a} = \overline{1}$.
Mit $\overline{a}^{-1} := \overline{v}$ folgt $a \in R^{\times}$.

(ii) $\implies$ (iii): Sei $\Z / n \Z$ ein Körper. Damit ist $\Z / n \Z \neq 0$ und
$(\Z / n \Z)^{\times} = \Z / n \Z \setminus \{0\}$. Wegen \ref{lemma:einheitengruppe}
\ref{lemma:einheitengruppe:nullteiler} ist dann $\overline{0}$ der einzige
Nullteiler in $\Z / n \Z$, d.h. $\Z / n \Z$ ist nullteilerfrei.

(iii) $\implies$ (i): Kontraposition: Sei $n$ keine Primzahl. Falls $n = 1$, dann ist
$\Z / n \Z = 0$, also nicht nullteilerfrei. Falls $n > 1$ ist, dann gibt es $a, b \in \N$
mit $1 < a,b < n$, so dass $n = ab$ gilt. Damit folgt
$\overline{0} = \overline{n} = \overline{ab} = \overline{a} \overline{b}$ mit
$\overline{a}, \overline{b} \neq 0$, also sind $\overline{a}$, $\overline{b}$ Nullteiler,
insbesondere ist $\Z / n \Z$ nicht nullteilerfrei.
\end{proof}

\textit{Anmerkung: Den erweiterten euklidischen Algorithmus verwenden wir noch weiter um die Einheiten
im Ring $\Z / n \Z$ zu charakterisieren.}

\begin{lemma}
Es seien $a$, $b \in \Z$, $n \in \N$. Dann sind äquivalent:
\begin{enumerate}[(i)]
\item Die Kongruenz $ax \equiv b$ $(\text{mod } n)$ besitzt eine Lösung in $\Z$.
\item $\text{ggT}(a,n) \mid b$.
\end{enumerate}
\label{lemma:kongruenz}
\end{lemma}

\begin{proof}
(i) $\implies$ (ii): Sei $x \in \Z$ mit $ax \equiv b$ $(\text{mod }n)$. Dann existiert
ein $k \in \Z$ mit $ax = b + kn$, also mit $b = ax - kn$. Wegen
$\text{ggT}(a,n) \mid a$ und $\text{ggT}(a,n) \mid n$ folgt $\text{ggT}(a,n) \mid b$.

(ii) $\implies$ (i): Es gelte $\text{ggT}(a,n) \mid b$. Aus dem erweiterten Euklidischen Algorithmus
folgt die Existenz von $u$, $v \in \Z$ mit
\[
ua + vn = \text{ggT}(a,n)
.\] Durch Multiplikation mit der nach Voraussetzung ganzen Zahl $\frac{b}{\text{ggT}(a,n)}$ erhalten
wir
\[
ua \frac{b}{\text{ggT}(a,n)} + vn \frac{b}{\text{ggT}(a,n)} = b
,\] was die Kongruenz
\[
a \cdot \frac{bu}{\text{ggT}(a,n)} \equiv b \quad (\text{mod }n)
\] und damit die Behauptung zeigt.
\end{proof}

\begin{korrolar}
Es sei $a \in \Z, n \in \N$. Dann sind äquivalent
\begin{enumerate}[(i)]
\item Die Kongruenz $ax \equiv 1$ $(\text{mod } n)$ besitzt eine Lösung in $\Z$.
\item $\overline{a} \in (\Z / n\Z)^{\times }$
\item $\text{ggT}(a,n) = 1$
\end{enumerate}
\end{korrolar}

\begin{proof}
(i) $\iff$ (ii): Die Kongruenz $ax \equiv 1$ $(\text{mod }n)$ entspricht der Gleichung
$\overline{a} \cdot \overline{x} = \overline{1}$ in $\Z / n \Z$, welche
genau dann lösbar ist, wenn $\overline{x}$ eine Einheit in $\Z / n \Z$ ist.

(i) $\iff$ (iii): Folgt mit $b = 1$ aus \ref{lemma:kongruenz}.
\end{proof}

\begin{bsp}
%\begin{enumerate}[(a)]
%\item Die Kongruenz $15x \equiv 7$ $(\text{mod } 21)$ hat wegen $ggT(15,21) = 3 \nmid 7$ keine
% Lösung.
%\item
Die Kongruenz $15x \equiv 6$ $(\text{mod } 21)$ hat wegen $\text{ggT}(15,21) = 3 \mid 6$ eine Lösung.
Der erweiterte Euklidische Algorithmus ergibt
\[
\text{ggT}(15, 21) = 3 = 3 \cdot 15 + (-2) \cdot 21
.\] Damit folgt \textit{wie im Beweis durch Multiplikation mit 2}
\[
6 = 6 \cdot 15 + (-4) \cdot 21 \equiv 15 \cdot 6 \quad (\text{mod } 21)
\] d.h. $x = 6$ ist eine Lösung der Kongruenz.
%\end{enumerate}
\end{bsp}

\begin{definition}[Ordnung]
Es sei $G$ eine endliche Gruppe. Die Ordnung von $G$ (Notation: $|G|$) ist definiert als die Anzahl
der Elemente von $G$.
\end{definition}

\begin{definition}[Eulersche $\varphi$-Funktion]
Die Abbildung
\begin{align*}
\varphi \colon &\N \to \N \\
&n \mapsto |(\Z / n \Z)^{\times}| = \# \{ a \in \N_0 \mid 0 \le a < n \text{ und } \text{ggT}(a,n) = 1\}
.\end{align*}
\end{definition}

\textit{Anmerkung: also zählt die $\varphi$-Funktion die zu einer Zahl $n$ teilerfremden Zahlen zwischen
$0$ und $n$.}

\begin{bsp}
\begin{enumerate}[(a)]
\item Es ist wie $(\Z / 4 \Z)^{\times} = \{\overline{1}, \overline{3}\} $, also $\varphi(4) = 2$.
\item Sei $p$ eine Primzahl. Dann ist $\Z / p \Z$ ein Körper, d.h.
\[
\varphi(p) = |(\Z / p\Z)^{\times }| = \# \{\Z / p \Z\} - 1 = p - 1
.\]
\end{enumerate}
\end{bsp}

\begin{lemma}
\label{lemma:endlichegruppe}
Es sei $G$ eine endliche abelsche Gruppe und $g \in G$. Dann gilt
\[
g^{|G|} = 1
.\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Betrachte die Abbildung $\tau_g\colon G \to G, x \mapsto gx$. Diese ist injektiv, denn
aus $\tau_g(x) = \tau_g(y)$ für $x, y \in G$ folgt $gx = gy$ und nach Linkskürzung $x = y$. Als injektive
Selbstabbildung auf der endlichen Gruppe $G$, ist $\tau_g$ auch surjektiv, also bijektiv.
Da $G$ endlich folgt damit
\[
\prod_{x \in G} x \qquad \qquad\stackrel{\tau \text{ bijektiv, } G \text{ abelsch}}{=} \qquad\qquad \prod_{x \in G} \tau_g(x) = \prod_{x \in G} gx = g^{|G|} \prod_{x \in G} x
.\] Mit Rechtskürzung folgt damit $g^{|G|} = 1$.
\end{proof}

\begin{satz}[Satz von Euler-Fermat]
Es sei $n \in \N$ und $\overline{a} \in (\Z / n \Z)^{\times }$. Dann gilt
\[
\overline{a}^{\varphi(n)} = \overline{1}
.\]
\end{satz}

\begin{proof}
Nach Definition ist $\varphi(n) = |(\Z / n \Z)^{\times }|$. Die Behauptung folgt damit direkt aus
\ref{lemma:endlichegruppe} mit $G = (\Z / n \Z)^{\times }$.
\end{proof}

\begin{bsp}
Es ist $3^{19} \equiv 10$ $(\text{mod } 17)$, denn $\overline{3} \in (\Z / 17 \Z)^{\times}$ und
\[
3^{16} = 3^{\varphi(17)} \qquad\qquad \stackrel{\text{Satz v. Euler-Fermat}}{\equiv} \qquad \qquad 1 \quad (\text{mod } 17)
.\] Damit folgt
\[
3^{19} = 3^{3} \cdot 3^{16} = 27 \cdot 1 \equiv 10 \quad (\text{mod } 17)
.\]
\end{bsp}

\begin{korrolar}[Kleiner Satz von Fermat]
Es sei $p$ eine Primzahl. Dann gilt
\begin{enumerate}[(a)]
\item Für jedes $\overline{a} \in \mathbb{F}_p^{\times }$ ist $\overline{a}^{p-1} = \overline{1}$.
\item Für jedes $\overline{a} \in \mathbb{F}_p$ ist $\overline{a}^{p} = \overline{a}$.
\end{enumerate}
\end{korrolar}

\begin{proof}
\begin{enumerate}[(a)]
\item Mit $\varphi(p) = p - 1$ folgt das direkt aus dem Satz von Euler-Fermat.
\item Falls $\overline{a} \in \mathbb{F}_p^{\times }$: Dann ist
$\overline{a}^{p} = \overline{a} \cdot \overline{a}^{p-1} = \overline{a} \cdot \overline{1} = \overline{a}$.
Falls $\overline{a} = \overline{0}$ ist $\overline{a}^{p} = \overline{0}^{p} = \overline{0} = \overline{a}$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{document}

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