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ws2019/la/uebungen/la4.tex

@@ -1,8 +1,86 @@
 \documentclass{../../../lecture}
 
+\usepackage[]{enumerate}
+
 \begin{document}
+\begin{aufgabe}[Homomorphismen]
+
+\begin{enumerate}[(a)]
+    \item Körperhomomorphismen von $\Z / 3\Z \to \Z / 5 \Z$
+
+        Es existieren keine Körperhomomorphismen, da $char(\Z / 3 \Z) = 3 \neq 5 = char(\Z / 5 \Z)$.
+
+    \item Gruppenhomomorphismen von $\left( \Z / 3\Z \right)^{\times } \to \left( \Z / 5 \Z \right)^{\times } $ 
+
+        Die Gruppe $\left(\left( \Z / 3 \Z\right)^{\times }, \cdot , \overline{1}_3 \right) $
+        hat genau zwei Elemente,
+        nämlich $\left\{\overline{1}_3, \overline{2}_3\right\} $ und die
+        Gruppe $\left(\left( \Z / 5 \Z\right)^{\times }, \cdot , \overline{1}_5 \right) $ hat
+        genau 4 Elemente, nämlich $\left\{ \overline{1}_5, \overline{2}_5, \overline{3}_5, \overline{4}_5 \right\} $. Damit
+        $\varphi: \left( \Z / 3 \Z \right)^{\times } \to \left( \Z / 5 \Z \right)^{\times }  $
+        Gruppenhomomorphismus, muss gelten:
+        \begin{align*}
+            &\varphi\left(\overline{1}_3\right) = \overline{1}_5 \\
+            &\varphi\left(\overline{2}_3^{-1}\right) = \varphi\left(\overline{2}_3\right)^{-1}
+        .\end{align*}
+
+        Da $\overline{2}_3^{-1} = \overline{2}_3$ folgt:
+        \[
+            \varphi\left(\overline{2}_3\right) = \varphi\left( \overline{2}_3 \right)^{-1}
+        .\] 
+        Wegen $\overline{2}_5^{-1} = \overline{3}_5$ und $\overline{1}_5^{-1} = \overline{1}_5$ und
+        $\overline{4}_5^{-1} = \overline{4}_5$ bleiben für $\varphi\left( \overline{2}_3 \right) $ nur
+        zwei Möglichkeiten: $\varphi\left( \overline{2}_3 \right) = \overline{1}_5 $ und
+        $\varphi \left( \overline{2}_3 \right) = \overline{4}_5$.
+
+        Das heißt es existieren zwei Gruppenhomomorphismen von
+        $\left( \Z / 3\Z \right)^{\times } \to \left( \Z / 5 \Z \right)^{\times } $:
+
+        Der triviale Homomorphismus mit:
+        \[
+            \varphi_1(A) = \overline{1}_5 \text{ für alle } A \in \left( \Z / 3 \Z \right)^{\times }
+        .\] und
+        \begin{align*}
+            \varphi_2(A) = \begin{cases}
+                \overline{1}_5 & \text{ für } A = \overline{1}_3 \\
+                \overline{4}_5 & \text{ für } A = \overline{2}_3 \\
+            \end{cases}
+        .\end{align*}
+
+        Der triviale Homomorphismus ist immer Gruppenhomomorphismus, bleibt zu zeigen, dass
+         $\varphi_2$ auch Gruppenhomomorphismus ist.
+        \begin{proof}[Beweis: $\varphi_2$ ist Gruppenhomomorphismus]
+            Seien $A, B \in \left( \Z / 3 \Z \right)^{\times }$.
 
-\begin{aufgabe}[]
+            Falls $A = B = \overline{1}_3$:
+            \[
+                \varphi_2\left(\overline{1}_3 \cdot \overline{1}_3  \right)
+                = \varphi_2\left( \overline{1}_3 \right)
+                = \overline{1}_5
+                = \overline{1}_5 \cdot \overline{1}_5
+                = \varphi_2\left( \overline{1}_3 \right) \cdot \varphi_2\left( \overline{1}_3 \right) 
+            .\] 
+
+            Falls $A = B = \overline{2}_3$:
+            \[
+                \varphi_2\left(\overline{2}_3 \cdot \overline{2}_3  \right)
+                = \varphi_2\left( \overline{1}_3 \right)
+                = \overline{1}_5
+                = \overline{4}_5 \cdot \overline{4}_5
+                = \varphi_2\left( \overline{2}_3 \right) \cdot \varphi_2\left( \overline{2}_3 \right) 
+            .\] 
+
+            Falls $A = \overline{1}_3$ und $B = \overline{2}_3$:
+            \[
+                \varphi_2\left(\overline{1}_3 \cdot \overline{2}_3  \right)
+                = \varphi_2\left( \overline{2}_3 \right)
+                = \overline{4}_5
+                = \overline{1}_5 \cdot \overline{4}_5
+                = \varphi_2\left( \overline{1}_3 \right) \cdot \varphi_2\left( \overline{2}_3 \right) 
+            .\] Analog folgt dies für $A = \overline{2}_3$ und $B = \overline{1}_3$.
+        \end{proof}
+    
+\end{enumerate}
     
 \end{aufgabe}
 
@@ -153,4 +231,118 @@ Identität des $\R^{2}$.
     .\end{align*}
 \end{proof}
 
+\begin{aufgabe}
+
+Sei $G = \left( G, \cdot , e) \right) $ eine Gruppe. Für $g \in \N$ sei $c_g: G \to G$ Abbildung mit
+$c_g(x) = g \cdot x\cdot g^{-1}$.
+
+\begin{enumerate}[(a)]
+    \item $c_{g^{-1}} \circ c_g = c_g \circ c_{g^{-1}} = id_G$
+        \begin{proof}
+            Sei $x \in G$ beliebig. Dann gilt: $c_g(x) = g \cdot x \cdot g^{-1}$ und
+            $c_{g^{-1}}(x) = g^{-1} \cdot x \cdot g$.
+
+            Zu zeigen: $c_{g^{-1}}\left( c_g(x) \right) = c_g(c_{g^{-1}}(x)) = x$. 
+            \begin{align*}
+                c_{g^{-1}}(c_g(x)) &= g^{-1} \cdot (g \cdot x \cdot g^{-1}) \cdot g \\
+                                   &= (g^{-1} \cdot g) \cdot x\cdot (g^{-1} \cdot g) \\
+                                   &= x \\
+                                   &= (g \cdot g^{-1}) \cdot x \cdot (g \cdot g^{-1}) \\
+                                   &= g \cdot (g^{-1} \cdot x\cdot g) \cdot g^{-1} \\
+                                   &= c_{g}(c_{g^{-1}}(x))
+            .\end{align*}
+        \end{proof}
+    \item $c_g$ ist ein Gruppenisomorphismus
+
+        \begin{proof}
+            Seien $x$, $y \in G$ beliebig.
+
+            \begin{enumerate}[(i)]
+                \item 
+                    Zu zeigen: $c_g(x) \cdot c_g(y) = c_g(x \cdot y)$
+                    \begin{align*}
+                        c_g(x) \cdot c_g(y) &= (g \cdot x\cdot g^{-1}) \cdot (g\cdot y\cdot g^{-1}) \\
+                                            &= g \cdot x \cdot (g^{-1} \cdot g) \cdot y \cdot g^{-1} \\
+                                            &= g \cdot (x \cdot y) \cdot g^{-1} \\
+                                            &= c_g(x \cdot y)
+                    .\end{align*}
+                    $\implies$ $c_g$ ist Gruppenhomomorphismus
+                \item Zu zeigen: $c_g$ ist bijektiv
+
+                    Injektivität: Seien $x, y \in G$ mit $c_g(x) = c_g(y)$
+                    \begin{align*}
+                        c_g(x) = g \cdot x \cdot g^{-1} &= g \cdot y \cdot g^{-1} = c_g(y) \\
+                        \stackrel{\text{Kürzung}}{\implies} x &= y
+                    .\end{align*}
+
+                    Surjektivität : Sei $c \in G$. Dann wähle $x := g^{-1} \cdot c \cdot g$.
+                    \[
+                        \implies c_g(x) = g \cdot (g^{-1} \cdot c \cdot g) \cdot g^{-1} = c
+                    .\] 
+                    $\implies c_g$ ist bijektiv
+            \end{enumerate}
+            $\implies$ $c_g$ ist Gruppenisomorphismus
+        \end{proof}
+
+    \item Ist $\varphi: G \to H$ ein Gruppenhomomorphismus, so gilt $c_g(ker \varphi) = ker \varphi$.
+
+        \begin{proof} Zu zeigen: $c_g(ker \varphi) = ker \varphi$.
+
+            \begin{enumerate}[(i)]
+                \item ($\implies$) Sei $x \in c_g(ker \varphi)$. Zu zeigen: $\varphi(x) = e_H$.
+
+                    $\exists r \in ker \varphi: c_g(r) = x$. Fixiere r.
+                    $\implies$ 
+                    \begin{align*}
+                        \varphi(x) =& \varphi(g \cdot r\cdot g^{-1})    \\
+                        \stackrel{\text{$\varphi$ Grp.hom.}}{=}& \varphi(g) \cdot \varphi(r) \cdot \varphi(g^{-1}) \\
+                        &= \varphi(g) \cdot e_H \cdot \varphi(g^{-1}) \\
+                        &= \varphi(g) \cdot \varphi(g)^{-1} \\
+                        &= e_H
+                    .\end{align*}
+                \item ($\impliedby $) Sei $r \in ker \varphi$. Zu zeigen: $r \in c_g(ker \varphi)$, also
+                    $\exists x \in ker \varphi: c_g(x) = r$
+
+                    Wähle $x := g^{-1} \cdot r \cdot g \in G$.
+                    Analog zu (i):
+                    \[
+                        \varphi(x) = \varphi(g^{-1}) \cdot \varphi(r) \cdot \varphi(g)
+                        = \varphi(g)^{-1} \cdot \varphi(g) = e_x
+                    .\] $\implies$ $x \in ker \varphi$.
+
+                    \[
+                        c_g(x) = g \cdot (g^{-1} \cdot r \cdot g) \cdot g^{-1} = r
+                    .\] $\implies$ $c_g(x) = r$
+            \end{enumerate}
+        \end{proof}
+
+    \item Die Abbildung $c: G \to Aut(G)$ mit $g \mapsto c_g$ ist ein Gruppenhomomorphismus.
+
+        \begin{proof} Seien $g, h \in G$. $c_g$ ist ein Gruppenautomorphismus, wegen
+            (b) und $c_g: G \to G$. $Aut(G)$ ist Gruppe bezüglich $\circ$.
+            
+            Zu zeigen: $c(g) \circ c(h) = c(g \cdot h)$, also $\forall r \in G: c_g(c_h(r)) = c_{g\cdot h}(r)$.
+
+            Sei $r \in G$ beliebig.
+            \begin{align*}
+                c_g(c_h(r)) &= g \cdot (h \cdot r \cdot h^{-1}) \cdot g^{-1} \\
+                            &= (g \cdot h) \cdot r \cdot (h^{-1} \cdot g^{-1}) \\
+                            &= (g \cdot h) \cdot r \cdot (g \cdot h)^{-1} \\
+                            &= c_{g\cdot h}(r)
+            .\end{align*}
+        \end{proof}
+    
+    \item $c$ ist nicht notwendig injektiv.
+
+        \begin{proof} Sei $G$ abelsche Gruppe. Dann gilt für alle $x \in G$:
+            \[
+                c_g(x) = g \cdot x \cdot g^{-1} = g^{-1} \cdot x \cdot g = c_{g^{-1}}(x)
+            .\]
+            Aber im Allgemeinen sind $g$ und $g^{-1}$ nicht immer gleich, das heißt
+            $c$ i.A. nicht injektiv.
+        \end{proof}
+\end{enumerate}
+    
+\end{aufgabe}
+
 \end{document}