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@@ -1,8 +1,86 @@
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\documentclass{../../../lecture}
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\begin{document}
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\usepackage[]{enumerate}
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\begin{aufgabe}[]
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\begin{document}
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\begin{aufgabe}[Homomorphismen]
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\begin{enumerate}[(a)]
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\item Körperhomomorphismen von $\Z / 3\Z \to \Z / 5 \Z$
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Es existieren keine Körperhomomorphismen, da $char(\Z / 3 \Z) = 3 \neq 5 = char(\Z / 5 \Z)$.
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\item Gruppenhomomorphismen von $\left( \Z / 3\Z \right)^{\times } \to \left( \Z / 5 \Z \right)^{\times } $
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Die Gruppe $\left(\left( \Z / 3 \Z\right)^{\times }, \cdot , \overline{1}_3 \right) $
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hat genau zwei Elemente,
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nämlich $\left\{\overline{1}_3, \overline{2}_3\right\} $ und die
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Gruppe $\left(\left( \Z / 5 \Z\right)^{\times }, \cdot , \overline{1}_5 \right) $ hat
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genau 4 Elemente, nämlich $\left\{ \overline{1}_5, \overline{2}_5, \overline{3}_5, \overline{4}_5 \right\} $. Damit
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$\varphi: \left( \Z / 3 \Z \right)^{\times } \to \left( \Z / 5 \Z \right)^{\times } $
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Gruppenhomomorphismus, muss gelten:
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\begin{align*}
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&\varphi\left(\overline{1}_3\right) = \overline{1}_5 \\
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&\varphi\left(\overline{2}_3^{-1}\right) = \varphi\left(\overline{2}_3\right)^{-1}
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.\end{align*}
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Da $\overline{2}_3^{-1} = \overline{2}_3$ folgt:
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\[
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\varphi\left(\overline{2}_3\right) = \varphi\left( \overline{2}_3 \right)^{-1}
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.\]
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Wegen $\overline{2}_5^{-1} = \overline{3}_5$ und $\overline{1}_5^{-1} = \overline{1}_5$ und
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$\overline{4}_5^{-1} = \overline{4}_5$ bleiben für $\varphi\left( \overline{2}_3 \right) $ nur
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zwei Möglichkeiten: $\varphi\left( \overline{2}_3 \right) = \overline{1}_5 $ und
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$\varphi \left( \overline{2}_3 \right) = \overline{4}_5$.
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Das heißt es existieren zwei Gruppenhomomorphismen von
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$\left( \Z / 3\Z \right)^{\times } \to \left( \Z / 5 \Z \right)^{\times } $:
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Der triviale Homomorphismus mit:
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\[
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\varphi_1(A) = \overline{1}_5 \text{ für alle } A \in \left( \Z / 3 \Z \right)^{\times }
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.\] und
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\begin{align*}
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\varphi_2(A) = \begin{cases}
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\overline{1}_5 & \text{ für } A = \overline{1}_3 \\
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\overline{4}_5 & \text{ für } A = \overline{2}_3 \\
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\end{cases}
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.\end{align*}
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Der triviale Homomorphismus ist immer Gruppenhomomorphismus, bleibt zu zeigen, dass
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$\varphi_2$ auch Gruppenhomomorphismus ist.
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\begin{proof}[Beweis: $\varphi_2$ ist Gruppenhomomorphismus]
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Seien $A, B \in \left( \Z / 3 \Z \right)^{\times }$.
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Falls $A = B = \overline{1}_3$:
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\[
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\varphi_2\left(\overline{1}_3 \cdot \overline{1}_3 \right)
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= \varphi_2\left( \overline{1}_3 \right)
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= \overline{1}_5
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= \overline{1}_5 \cdot \overline{1}_5
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= \varphi_2\left( \overline{1}_3 \right) \cdot \varphi_2\left( \overline{1}_3 \right)
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.\]
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Falls $A = B = \overline{2}_3$:
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\[
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\varphi_2\left(\overline{2}_3 \cdot \overline{2}_3 \right)
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||||
= \varphi_2\left( \overline{1}_3 \right)
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||||
= \overline{1}_5
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= \overline{4}_5 \cdot \overline{4}_5
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= \varphi_2\left( \overline{2}_3 \right) \cdot \varphi_2\left( \overline{2}_3 \right)
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.\]
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Falls $A = \overline{1}_3$ und $B = \overline{2}_3$:
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\[
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\varphi_2\left(\overline{1}_3 \cdot \overline{2}_3 \right)
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||||
= \varphi_2\left( \overline{2}_3 \right)
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||||
= \overline{4}_5
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= \overline{1}_5 \cdot \overline{4}_5
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= \varphi_2\left( \overline{1}_3 \right) \cdot \varphi_2\left( \overline{2}_3 \right)
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.\] Analog folgt dies für $A = \overline{2}_3$ und $B = \overline{1}_3$.
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\end{proof}
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\end{enumerate}
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\end{aufgabe}
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@@ -153,4 +231,118 @@ Identität des $\R^{2}$.
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.\end{align*}
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\end{proof}
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\begin{aufgabe}
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Sei $G = \left( G, \cdot , e) \right) $ eine Gruppe. Für $g \in \N$ sei $c_g: G \to G$ Abbildung mit
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$c_g(x) = g \cdot x\cdot g^{-1}$.
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\begin{enumerate}[(a)]
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\item $c_{g^{-1}} \circ c_g = c_g \circ c_{g^{-1}} = id_G$
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\begin{proof}
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Sei $x \in G$ beliebig. Dann gilt: $c_g(x) = g \cdot x \cdot g^{-1}$ und
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$c_{g^{-1}}(x) = g^{-1} \cdot x \cdot g$.
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Zu zeigen: $c_{g^{-1}}\left( c_g(x) \right) = c_g(c_{g^{-1}}(x)) = x$.
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\begin{align*}
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c_{g^{-1}}(c_g(x)) &= g^{-1} \cdot (g \cdot x \cdot g^{-1}) \cdot g \\
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&= (g^{-1} \cdot g) \cdot x\cdot (g^{-1} \cdot g) \\
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&= x \\
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||||
&= (g \cdot g^{-1}) \cdot x \cdot (g \cdot g^{-1}) \\
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||||
&= g \cdot (g^{-1} \cdot x\cdot g) \cdot g^{-1} \\
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&= c_{g}(c_{g^{-1}}(x))
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.\end{align*}
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\end{proof}
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\item $c_g$ ist ein Gruppenisomorphismus
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\begin{proof}
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Seien $x$, $y \in G$ beliebig.
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item
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Zu zeigen: $c_g(x) \cdot c_g(y) = c_g(x \cdot y)$
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\begin{align*}
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c_g(x) \cdot c_g(y) &= (g \cdot x\cdot g^{-1}) \cdot (g\cdot y\cdot g^{-1}) \\
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&= g \cdot x \cdot (g^{-1} \cdot g) \cdot y \cdot g^{-1} \\
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&= g \cdot (x \cdot y) \cdot g^{-1} \\
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&= c_g(x \cdot y)
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.\end{align*}
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$\implies$ $c_g$ ist Gruppenhomomorphismus
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\item Zu zeigen: $c_g$ ist bijektiv
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Injektivität: Seien $x, y \in G$ mit $c_g(x) = c_g(y)$
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\begin{align*}
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c_g(x) = g \cdot x \cdot g^{-1} &= g \cdot y \cdot g^{-1} = c_g(y) \\
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\stackrel{\text{Kürzung}}{\implies} x &= y
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.\end{align*}
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Surjektivität : Sei $c \in G$. Dann wähle $x := g^{-1} \cdot c \cdot g$.
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\[
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\implies c_g(x) = g \cdot (g^{-1} \cdot c \cdot g) \cdot g^{-1} = c
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.\]
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$\implies c_g$ ist bijektiv
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\end{enumerate}
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$\implies$ $c_g$ ist Gruppenisomorphismus
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\end{proof}
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\item Ist $\varphi: G \to H$ ein Gruppenhomomorphismus, so gilt $c_g(ker \varphi) = ker \varphi$.
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\begin{proof} Zu zeigen: $c_g(ker \varphi) = ker \varphi$.
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item ($\implies$) Sei $x \in c_g(ker \varphi)$. Zu zeigen: $\varphi(x) = e_H$.
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$\exists r \in ker \varphi: c_g(r) = x$. Fixiere r.
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$\implies$
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\begin{align*}
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\varphi(x) =& \varphi(g \cdot r\cdot g^{-1}) \\
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\stackrel{\text{$\varphi$ Grp.hom.}}{=}& \varphi(g) \cdot \varphi(r) \cdot \varphi(g^{-1}) \\
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&= \varphi(g) \cdot e_H \cdot \varphi(g^{-1}) \\
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&= \varphi(g) \cdot \varphi(g)^{-1} \\
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&= e_H
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.\end{align*}
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\item ($\impliedby $) Sei $r \in ker \varphi$. Zu zeigen: $r \in c_g(ker \varphi)$, also
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$\exists x \in ker \varphi: c_g(x) = r$
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Wähle $x := g^{-1} \cdot r \cdot g \in G$.
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Analog zu (i):
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\[
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\varphi(x) = \varphi(g^{-1}) \cdot \varphi(r) \cdot \varphi(g)
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= \varphi(g)^{-1} \cdot \varphi(g) = e_x
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.\] $\implies$ $x \in ker \varphi$.
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\[
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c_g(x) = g \cdot (g^{-1} \cdot r \cdot g) \cdot g^{-1} = r
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.\] $\implies$ $c_g(x) = r$
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\end{enumerate}
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\end{proof}
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\item Die Abbildung $c: G \to Aut(G)$ mit $g \mapsto c_g$ ist ein Gruppenhomomorphismus.
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\begin{proof} Seien $g, h \in G$. $c_g$ ist ein Gruppenautomorphismus, wegen
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(b) und $c_g: G \to G$. $Aut(G)$ ist Gruppe bezüglich $\circ$.
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Zu zeigen: $c(g) \circ c(h) = c(g \cdot h)$, also $\forall r \in G: c_g(c_h(r)) = c_{g\cdot h}(r)$.
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Sei $r \in G$ beliebig.
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\begin{align*}
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c_g(c_h(r)) &= g \cdot (h \cdot r \cdot h^{-1}) \cdot g^{-1} \\
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&= (g \cdot h) \cdot r \cdot (h^{-1} \cdot g^{-1}) \\
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&= (g \cdot h) \cdot r \cdot (g \cdot h)^{-1} \\
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&= c_{g\cdot h}(r)
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.\end{align*}
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\end{proof}
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\item $c$ ist nicht notwendig injektiv.
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\begin{proof} Sei $G$ abelsche Gruppe. Dann gilt für alle $x \in G$:
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\[
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c_g(x) = g \cdot x \cdot g^{-1} = g^{-1} \cdot x \cdot g = c_{g^{-1}}(x)
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.\]
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Aber im Allgemeinen sind $g$ und $g^{-1}$ nicht immer gleich, das heißt
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$c$ i.A. nicht injektiv.
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\end{proof}
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\end{enumerate}
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\end{aufgabe}
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\end{document}
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