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sose2020/la/uebungen/la6.tex

@@ -57,15 +57,14 @@
     im folgenden mit $\overline{\cdot }$ bezeichnet. Aus dem Argument ist immer klar, welche
     Äquivalenzrelation gemeint ist.
     \begin{enumerate}[(a)]
-        \item Beh.: $M / IM$ ist mit der natürlichen Addition und der angegebenen skalaren
-            Mult. $R / I$-Modul.
-            \begin{proof}
-                Die skalare Multiplikation sei mit $(*)$ bezeichnet.
-                \begin{align*}
+        \item Skalare Multiplikation ($*$):\begin{align*}
                     R / I \times  M / IM &\to  M / IM\\
                     (\overline{a}, \overline{m}) &\mapsto \overline{a} \cdot \overline{m} \coloneqq \overline{a \cdot m} \quad (*)
                 .\end{align*}
-                Zunächst zu zeigen, dass $(*)$ wohldefiniert ist. Dazu seien
+            Beh.: $M / IM$ ist mit der natürlichen Addition und der angegebenen skalaren
+            Mult. ($*$) $R / I$-Modul.
+            \begin{proof}
+                Zunächst ist zu zeigen, dass $(*)$ wohldefiniert ist. Dazu seien
                 $a, b \in R$ und $x, y \in M$ mit
                 $a + I = b + I$ und $x + IM = y + IM$.
                 \begin{itemize}
@@ -128,7 +127,7 @@
                             \item Z.z: $\overline{\varphi}$ wohldefiniert. Seien $m_1, m_2 \in M$
                                 mit $m_1 = m_2$. Dann folgt $m_1 - m_2 \in IM$. Also
                                 ex. ein $(a_i)_{i \in J} \in I^{(J)}$ und
-                                $(m_i)_{i \in J} \in M^{(J)}$ mit $m_1 - m 2 = \sum_{i \in J} a_i m_i$.
+                                $(m_i)_{i \in J} \in M^{(J)}$ mit $m_1 - m_2 = \sum_{i \in J} a_i m_i$.
                                 Damit folgt
                                 \[
                                     \varphi(m_1) - \varphi(m_2) = \varphi(m_1 - m_2)
@@ -186,6 +185,8 @@
                 $t+1$ bis auf Assoziiertheit eind. bestimmter Erzeuger von $(t+1)$. Da
                 $\text{deg}(t+1) = 1 > 0 = \text{deg}(1)$ und $\Q[t]$ nullteilerfrei, folgt
                 $1 \not\in (t+1)$, also $S_1$ kein ES.
+
+                Analog für $S_2 \coloneqq \{t^2 + 1\} $.
         \end{itemize}
     \end{proof}
     Beh.: $S$ ist keine Basis.
@@ -194,7 +195,7 @@
         \[
             \left( \frac{1}{2}(t+1) \right) (t^2+1) + \left( t - \frac{1}{2} (t+1)^2 \right) (t+1) = 0
         ,\] aber $\frac{1}{2}(t+1) \neq 0 \neq t - \frac{1}{2}(t+1)^2$, also
-        $t+1$ und $t^2+1$ l.a. in $Q[t]$ als $Q[t]$-Modul, also $S$ keine Basis.
+        $t+1$ und $t^2+1$ l.a. in $\Q[t]$ als $\Q[t]$-Modul, also $S$ keine Basis.
     \end{proof}
 \end{aufgabe}
 

sose2020/num/uebungen/num6.tex

@@ -0,0 +1,270 @@
+\documentclass[uebung]{../../../lecture}
+
+\author{Leon Burgard, Christian Merten}
+\title{Einführung in die Numerik: Übungsblatt 6}
+
+\usepackage[]{gauss}
+\usepackage{blkarray, bigstrut}
+
+\begin{document}
+
+\punkte
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{itemize}
+        \item 
+    Berechnung der LU-Zerlegung. Es ist
+    \begin{align*}
+        PA = \begin{gmatrix}[p] -2 & 6 & 3 & 10 \\
+            0 & -4 & 10 & \frac{15}{2} \\
+            2 & -6 & 7 & -\frac{11}{2} \\
+            -2 & 10 & -12 & 0
+            \rowops
+            \add{0}{2}
+            \add[-1]{0}{3}
+        \end{gmatrix}
+        \sim
+        \begin{gmatrix}[p] 
+            -2 & 6 & 3 & 10 \\
+            0 & -4 & 10 & \frac{15}{2} \\
+            0 & 0 & 10 & \frac{9}{2} \\
+            0 & 4 & -15 & -10
+            \rowops
+            \add{1}{3}
+        \end{gmatrix} 
+        \\\sim
+        \begin{gmatrix}[p] 
+            -2 & 6 & 3 & 10 \\
+            0 & -4 & 10 & \frac{15}{2} \\
+            0 & 0 & 10 & \frac{9}{2} \\
+            0 & 0 & -5 & -\frac{5}{2}
+            \rowops
+            \add[\frac{1}{2}]{2}{3}
+        \end{gmatrix}
+        \sim 
+        \begin{gmatrix}[p] 
+            -2 & 6 & 3 & 10 \\
+            0 & -4 & 10 & \frac{15}{2} \\
+            0 & 0 & 10 & \frac{9}{2} \\
+            0 & 0 & 0 & -\frac{1}{4}
+        \end{gmatrix} 
+        =: U
+    .\end{align*}
+    $L$ ergibt sich durch die Faktoren der Zeilenoperationen, also
+    \begin{align*}
+        L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\
+        0 & 1 & 0 & 0 \\
+        -1 & 0 & 1 & 0 \\
+    1 & -1 & -\frac{1}{2} & 1\end{pmatrix} 
+    .\end{align*}
+    Damit folgt
+    \begin{align*}
+    PA = LU = 
+        \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\
+        0 & 1 & 0 & 0 \\
+        -1 & 0 & 1 & 0 \\
+    1 & -1 & -\frac{1}{2} & 1\end{pmatrix} 
+        \begin{gmatrix}[p] 
+            -2 & 6 & 3 & 10 \\
+            0 & -4 & 10 & \frac{15}{2} \\
+            0 & 0 & 10 & \frac{9}{2} \\
+            0 & 0 & 0 & -\frac{1}{4}
+        \end{gmatrix} 
+    .\end{align*}
+\item Es ist
+    \[
+        \text{det}(PA) = \text{det}(LU) = \text{det}(L) \text{det}(U) = -20
+        \implies \text{det}(A) = - \frac{20}{\text{det}(P) } = 20
+    .\] 
+    Es ist zunächst $\tilde{e}_1 = P e_1 = e_2$, $\tilde{e}_2 = P e_2 = e_1, \tilde{e}_3 = P e_3 = e_3$ und
+    $\tilde{e}_4 = P e_4 = e_4$. Damit folgt durch Vorwärtseinsetzen in $Ly_i = \tilde{e}_i$:
+    \begin{align*}
+    y_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},
+    y_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix},
+    y_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix},
+    y_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} 
+    .\end{align*}
+    Und durch Rückwärtseinsetzen in $R x_i = y_i$ folgt
+    \begin{align*}
+    x_1 = \begin{pmatrix} - \frac{541}{20} \\ -\frac{13}{4} \\ \frac{9}{5} \\ -4 \end{pmatrix},
+    x_2 = \begin{pmatrix} \frac{271}{20} \\ \frac{7}{4} \\ -\frac{4}{5} \\ 2 \end{pmatrix},
+    x_3 = \begin{pmatrix} -\frac{49}{4} \\ -\frac{5}{4} \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix},
+    x_4 = \begin{pmatrix} -\frac{263}{10} \\ -3 \\ \frac{9}{5} \\ -4\end{pmatrix} 
+    .\end{align*}
+    Die $x_i$ sind die Spalten von $A^{-1}$, also folgt direkt
+    \begin{align*}
+    A^{-1}
+    =
+    \begin{pmatrix} 
+        -\frac{541}{20} & \frac{271}{20} & -\frac{49}{4} & -\frac{263}{10} \\
+        -\frac{13}{4} & \frac{7}{4} & -\frac{5}{4} & -3 \\
+        \frac{9}{5} & - \frac{4}{5} & 1 & \frac{9}{5} \\
+        -4 & 2 & -2 & -4
+    \end{pmatrix}
+    .\end{align*}
+    Damit folgt direkt
+    \begin{align*}
+    Ax = b \implies x = A^{-1}b = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} 
+    .\end{align*}
+\item Für die Kondition gilt nach VL
+    \begin{align*}
+        \text{cond}_{\infty}(A) = \Vert A \Vert_{\infty} \Vert A^{-1} \Vert_\infty
+        = 24 \cdot 79 \frac{3}{20} = 1899 \frac{3}{5}
+    .\end{align*}
+    \end{itemize}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    Sei $T$ wie in der Aufgabe gegeben mit $bc > 0$.
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Es gilt
+            \[
+                (v_{k})_i = \nu^{i} \sin\left( i \frac{k \pi}{n+1} \right) 
+            .\] Es sei außerdem $(v_{k})_{0} = (v_{k})_{n+1} = 0$. Damit folgt
+            \[
+                (Tv_k)_i = c (v_{k})_{i-1} + a (v_k)_{i} + b (v_{k})_{i+1}
+            .\] 
+            Es gilt außerdem
+            \begin{align}
+            b \nu^{i+1} = b \frac{c^{\frac{i}{2} + \frac{1}{2}}}{b^{\frac{i}{2} + \frac{1}{2}}}
+            = \frac{c^{\frac{i}{2} + \frac{1}{2}}}{b^{\frac{i}{2} - \frac{1}{2}}}
+            = c \frac{c^{\frac{i}{2} - \frac{1}{2}}}{b^{\frac{i}{2} - \frac{1}{2}}} = c \nu^{i-1}
+            .\end{align}
+            Weiter ist
+            \begin{salign*}
+                (\lambda_k v_k)_{i}
+                &= \left[a + 2b \nu \cos \left( \frac{k\pi}{n+1} \right) \right]
+                \nu^{i} \sin\left( i \frac{k\pi}{n+1} \right) \\
+                &= a \nu^{i} \sin\left( i \frac{k\pi}{n+1} \right)
+                + 2b\nu^{i+1} \cos\left( \frac{k\pi}{n+1} \right) \sin\left( i \frac{k\pi}{n+1} \right) \\
+                &\stackrel{\text{nützl. Formel}}{=} 
+                a (v_{k})_i + b \nu^{i+1} \sin\left( (i+1) \frac{k\pi}{n+1} \right)
+                + b \nu^{i+1} \sin\left( (i-1) \frac{k\pi}{n+1} \right) \\
+                &\stackrel{\text{(1)}}{=} a (v_{k})_i + b (v_{k})_{i+1} + c (v_k)_{i-1}
+            .\end{salign*}
+            Damit folgt
+            \[
+                (T v_k)_i = (\lambda_k v_k)_i \implies T v_k = \lambda_k v_k
+            .\] Also $v_k$ Eigenvektoren zu EW $\lambda_k$. Da $T \in \R^{n \times n}$, sind
+            die $n$ Eigenwerte $\lambda_k$ alle Eigenwerte von $T$.
+        \item Beh.: $\text{cond}_2(T) = \mathcal{O}(n^2)$.
+            \begin{proof}
+            Für $a = 2$ und $b = c = -1$ ist $T$ symmetrisch. Außerdem gilt für die Eigenwerte
+            von $T$:
+            \[
+                \lambda_k = 2 -2 \cos\left( \frac{k \pi}{n+1} \right) 
+            .\] Es gilt für $k = 1,\ldots, n$:
+            \[
+                0 < \frac{k \pi}{n+1} < \pi \implies \left| \cos\left( \frac{k\pi}{n+1} \right) \right|
+                < 1 \implies \lambda_k > 0
+            .\] Also ist $T$ positiv definit. Es gilt weiter
+            \begin{align*}
+                \min_{1 \le k \le n} \cos\left( \frac{k\pi}{n+1} \right)
+                &= \cos\left( \frac{n \pi}{n+1}\right) \\
+                \max_{1 \le k \le n} \cos\left( \frac{k \pi}{n+1} \right) &=
+                \cos\left( \frac{\pi}{n+1} \right) 
+            .\end{align*}
+            Damit folgt
+            $\lambda_{\text{min}}(T) = \lambda_{1} = 2 - 2 \cos\left( \frac{\pi}{ n+1} \right) $
+            und $\lambda_{\text{max}}(T) = \lambda_{n} = 2 - 2 \cos\left( \frac{n \pi}{ n+1} \right) $.
+            Da $T$ symmetrisch und positiv definit gilt also
+            \begin{align*}
+                \text{cond}_2(T) = \frac{\lambda_{\text{max}}(T)}{\lambda_{\text{min}}(T)}
+                = \frac{ 1 - \cos\left( \frac{n\pi}{n+1} \right) }{1 - \cos\left( \frac{\pi}{n+1} \right) }
+                \le 
+                \frac{2}{1 - \cos\left( \frac{\pi}{n+1} \right) }
+            .\end{align*}
+            Für $\frac{\pi}{n+1} \xrightarrow{n \to \infty} 0$. Also folgt mit Taylorentwicklung 2.
+            Ordnung
+            \[
+                \frac{2}{1 - \cos\left( \frac{\pi}{n+1} \right) }
+                = \frac{2}{1 - \left( 1 - \frac{\pi^2}{2 (n+1)^2} + \mathcal{O}\left(\frac{\pi^{3}}{(n+1)^{3}}\right)\right) }
+                \quad \stackrel{\frac{\pi}{n+1} \ll 1}{\approx} \quad \frac{2}{\frac{\pi^2}{2 (n+1)^2}}
+                = \frac{4 (n+1)^2}{\pi^2}
+            .\] Damit folgt
+            \begin{align*}
+                \lim_{n \to \infty} \frac{2}{1 - \cos\left( \frac{\pi}{n+1} \right) } \cdot \frac{1}{n^2}
+                \approx
+                \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2 + 8n + 4}{\pi^2 n^2}
+                = \frac{4}{\pi^2} < \infty
+            .\end{align*}
+            Damit folgt $\text{cond}_2(T) = \mathcal{O}(n^2)$.
+            \end{proof}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[a)]
+        \item Es sei
+            \begin{align}
+                A^{(k)} &= \begin{gmatrix}[b] R_{11}^{(k)} & R_{12}^{(k)} \\
+                0 & B^{(k)}\end{gmatrix}
+                \intertext{mit}
+                B^{(k)} &= \begin{gmatrix}[b] \alpha ^{(k)} & (w^{(k)})^{T} \\
+                \sigma ^{(k)} & C^{(k)}
+                    \end{gmatrix}
+            .\end{align}
+            wobei $C^{(k)} \in \R^{(n-k-1)\times (n-k-1)}$ und
+            $\sigma ^{(k)}, w^{(k)} \in \R^{n-k-1}, \alpha ^{(k)} \neq 0$.
+            Da $\alpha ^{(k)} \neq 0$, ist die Pivotisierung bereits
+            durchgeführt oder nicht notwendig. Es gilt damit nach VL
+            \begin{align}
+                A^{(k+1)} = A^{(k)} - l^{(k+1)}(u^{(k+1)})^{T}
+            .\end{align}
+            mit
+            \[
+                l^{(k+1)}_i = \begin{cases}
+                    0 & 1 \le i \le k \\
+                    \frac{a_{i,k}^{(k)}}{a_{k,k}^{(k)}} & k+1 \le i \le n
+                \end{cases} \text{ und }
+                u_j^{(k+1)} = \begin{cases}
+                    0 & 1 \le j \le k \\
+                    a_{k,j}^{(k)} & k \le j \le n
+                \end{cases}
+            .\]
+            Mit (2) folgt damit
+            \begin{align*}
+                l^{(k+1)} = \begin{gmatrix}[b] 0 \\ \frac{1}{a_{k,k}^{(k)}} \sigma ^{(k)}
+                \end{gmatrix}
+                \text{ und }
+                u^{(k+1)} = \begin{gmatrix}[b] 0 & (w^{(k)})^{T} \end{gmatrix}
+            .\end{align*}
+            Mit (1) und (3) folgt somit
+            \begin{align*}
+                A^{(k+1)} &= A^{(k)} - \begin{gmatrix}[b] 0 & 0 & 0\\
+                0 & 0 & 0 \\
+                0 & 0 & \frac{1}{\alpha ^{(k)}} \sigma ^{(k)} (w^{(k)})^{T} \end{gmatrix}
+                \intertext{Für $B^{(k+1)}$ gilt damit}
+                B^{(k+1)} &= C^{(k)} - \frac{1}{\alpha ^{(k)}} \sigma ^{(k)} (w^{(k)})^{T}
+            .\end{align*}
+        \item Der Algorithmus führt die Gauß-Elimination zeilenweise durch. Dabei wird für Zeile $i$
+            folgendermaßen verfahren:
+
+            \begin{enumerate}[1)]
+                \item Für jede Spalte, die nicht rechts der Diagonale ist, wird
+                    zunächst das $i$-te Element des $l^{(j)}$-Vektors berechnet.
+                    \[
+                        l_i^{(j)} = a_{i,j-1} = \frac{a_{i,j-1}}{a_{j-1,j-1}}
+                    .\] Das Element $a_{j-1, j-1}$ ist das Pivotelement des $j$-ten Schritts
+                    der LU Zerlegung aus der VL.
+
+                    In der Schleife für $k$, werden dann für $a_{i,j}$ sukzessiv alle Rang-1-Updates
+                    ausgeführt, der bis dahin berechneten $l^{(k)}_i$.
+                \item Die Elemente in den Spalten rechts der Diagonale sind keine Pivotelemente. Deshalb
+                    werden hier direkt die Rang-1-Updates $l_i^{(1)}$ bis $l_i^{(i-1)}$, die
+                    links der Diagonale stehen, ausgeführt.
+            \end{enumerate}
+            Damit ist die Zeile $i$ auf die finale Form gebracht und es wird mit $i+1$ weitergemacht.
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    Implementierung siehe \textit{prog\_sparse\_matrix.cc}. Plot in \textit{sparse\_plot.png}.
+
+    Die Komplexität in der \lstinline{DenseMatrix} Variante ist wie zu erwarten $\mathcal{O}(N^2)$ und
+    die Komplexität der \lstinline{SparseMatrix} Variante $\mathcal{O}(N)$, da
+    die Anzahl der Nicht-Null Elemente der verwendeten Flussmatrix aus dem Rohrleitungsnetzwerk
+    linear ansteigt.
+\end{aufgabe}
+
+\end{document}

sose2020/num/uebungen/prog_sparse_matrix.cc

@@ -0,0 +1,152 @@
+#include <iostream>    // notwendig zur Ausgabe
+#include <vector>
+#include "hdnum.hh"    // hdnum header
+
+
+namespace hdnum {
+
+    template<typename REAL>
+    class SparseMatrix {
+        struct MatrixEntry {
+            int i;
+            int j;
+            REAL value;
+        };
+
+        public:
+            void AddEntry (int i, int j, REAL value) {
+                if (i < 0 || j < 0)
+                    HDNUM_ERROR("Zeilen und Spalten dürfen nicht negativ sein!");
+                // create new matrix entry
+                MatrixEntry entry;
+                entry.i = i;
+                entry.j = j;
+                entry.value = value;
+                // add entry to entries vector
+                entries.insert(entries.begin(), entry);
+            }
+
+            template<typename V>
+            void mv (Vector<V>& y, const Vector<V>& x) {
+                // iterate through all entries
+                for(typename std::vector<MatrixEntry>::iterator it = entries.begin(); it != entries.end(); ++it) {
+                    if ((*it).i > y.size() || (*it).j > x.size())
+                        HDNUM_ERROR("Vektor(en) hat/haben falsche Dimension!");
+                    // modify corresponding vector entry
+                    y[(*it).i] += x[(*it).j] * (*it).value;
+                }
+            }
+
+        private:
+            // vector storing non-zero elements
+            std::vector<MatrixEntry> entries;
+    };
+}
+
+// zum Test, fluss matrizen aus rohrleitungsnetzwerk
+hdnum::SparseMatrix<double> flussMatrixSparse(int N) {
+    hdnum::SparseMatrix<double> A;
+
+    // berechnung der kantenlaenge
+    int n = floor(sqrt(N+1));
+
+    for(int i = 0; i < N; i++) {
+        int edges = 0;
+        if ((i+1)%n != 0) { // nicht linker rand
+            edges++;
+            if (i-1 >= 0) A.AddEntry(i, i-1, -1);
+        }
+        if ((i+2)%n != 0) { // nicht rechter rand
+            edges++;
+            A.AddEntry(i, i+1, -1);
+        }
+        if (i+n < N) { // nicht unterer rand
+            edges++;
+            A.AddEntry(i, i+n, -1);
+        }
+        if (i-n >= -1) { // nicht oberer rand
+            edges++;
+            if (i-n >= 0) A.AddEntry(i, i-n, -1);
+        }
+        A.AddEntry(i, i, edges);
+    }
+    return A;
+}
+
+// Funktion zum Aufstellen der Matrix (aus rohrleitungsnetzwerk)
+hdnum::DenseMatrix<double> flussMatrix(int N) {
+    hdnum::DenseMatrix<double> A(N,N);
+
+    // berechnung der kantenlaenge
+    int n = floor(sqrt(N+1));
+
+    for(int i = 0; i < N; i++) {
+        int edges = 0;
+        if ((i+1)%n != 0) { // nicht linker rand
+            edges++;
+            if (i-1 >= 0) A(i, i-1) = -1; // falls nicht der referenzknoten
+        }
+        if ((i+2)%n != 0) { // nicht rechter rand
+            edges++;
+            A(i, i+1) = -1;
+        }
+        if (i+n < N) { // nicht unterer rand
+            edges++;
+            A(i, i+n) = -1;
+        }
+        if (i-n >= -1) { // nicht oberer rand
+            edges++;
+            if (i-n >= 0) A(i, i-n) = -1; // falls nicht der referenzknoten
+        }
+        A(i, i) = edges;
+    }
+    return A;
+}
+
+// funktion zum testen
+void testMatrixVectorProduct(int N) {
+    hdnum::SparseMatrix<double> A = flussMatrixSparse(N);
+    hdnum::DenseMatrix<double> B = flussMatrix(N);
+
+    // test vektor
+    hdnum::Vector<double> x(N);
+    for(int i=0; i<N; i++) {
+        x[i] = i+1;
+    }
+    hdnum::Vector<double> y1(N);
+    hdnum::Vector<double> y2(N);
+
+    // Pretty-printing fuer Vektoren
+    x.scientific(false);
+    x.width(15);
+
+    // test ob Ax = Bx
+    A.mv(y1, x);
+    B.mv(y2, x);
+    std::cout << "Mit Sparse Matrix: " << y1 << std::endl;
+    std::cout << "Mit Dense Matrix: " << y2;
+}
+
+int main () {
+    // testMatrixVectorProduct(15);
+
+    // messe zeiten fuer n=4,...,14 und N = 2^n
+    for(int n=4; n<=14; n++) {
+        int N = pow(2, n);
+
+        // test vektor
+        hdnum::Vector<double> x(N);
+        for(int i=0; i<N; i++) {
+            x[i] = i+1;
+        }
+        hdnum::Vector<double> y(N);
+
+        hdnum::SparseMatrix<double> A = flussMatrixSparse(N);
+        hdnum::DenseMatrix<double> B = flussMatrix(N);
+
+        // timer hier fuer die SparseMatrix implementierung
+        hdnum::Timer myTimer;
+        A.mv(y, x);
+        std::cout << N << " " << myTimer.elapsed() << std::endl;
+    }
+}

sose2020/num/uebungen/sparse_plot.plt

@@ -0,0 +1,14 @@
+set terminal png size 1000,1000
+set output 'sparse_plot.png'
+
+set logscale xy
+
+set ylabel "Laufzeit in Sekunden"
+set xlabel "Matrixgröße"
+
+set format y "%g"
+
+plot 'sparse.dat' title "SparseMatrix", \
+     'dense.dat' title "DenseMatrix",\
+     0.000000015*x**2 title "c x^2", \
+     0.0000001*x title "b x"