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@@ -246,6 +246,20 @@
     Außerdem ist $f \mid fg$ und damit $x = 0$.
 \end{proof}
 
+\begin{lemma}
+    Sei $f\colon A \to B$ Ringhomomorphismus und $\varphi \colon \spec B \to \spec A$ die induzierte
+    Abbildung. Dann ist für $a \in A$:
+    \[
+        \varphi^{-1}(D(a)) = D(f(a))
+    .\]
+    \label{lemma:preimage-of-d}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    $\mathfrak{p} \in \varphi^{-1}(D(a)) \iff \varphi(\mathfrak{p})\in D(a) \iff a \not\in \varphi(\mathfrak{p})
+    = f^{-1}(\mathfrak{p}) \iff \mathfrak{p} \not\in D(f(a))$.
+\end{proof}
+
 \section{Endlich étale Morphismen}
 
 \begin{definition}
@@ -267,65 +281,107 @@
 
 \begin{bem}[Zariskiüberdeckung]
     Eine Überdeckung von $A$ wie in \ref{def:finite-locally-free} nennen wir im Folgenden Zariskiüberdeckung.
+    Elemente $\{f_i\}_{i \in I}$ sind genau dann eine Zariskiüberdeckung von $A$, wenn
+    $\spec A = \bigcup_{i \in I} D(f_i)$.
 \end{bem}
 
+\begin{proof}
+    $\spec A = \bigcup_{i \in I} D(f_i)$ $\iff$ für alle $\mathfrak{p} \in \spec A$
+    existiert ein $f_i$, sodass $f_i \not\in \mathfrak{p}$
+    $\iff$ für alle $\mathfrak{p} \in \spec A$ ist das Ideal $(f_i)$ nicht in $\mathfrak{p}$ enthalten
+    $\iff A = (f_i)$
+\end{proof}
+
+Geometrisch denke man bei $\varphi\colon A \to B$ an $\psi\colon \spec B \to \spec A$. 
+Wegen $\psi^{-1}(D(f)) = D(\varphi(f))$ für $f \in A$, entspricht
+$A_f \to B_f = B_{\varphi(f)}$ also geometrisch einfach der Einschränkung von $\psi$ auf
+$\psi^{-1}(D(f)) \to D(f)$.
+
 Aus Vorträgen 7 und 8 kennen wir den folgenden Zusammenhang:
 
 \begin{satz}[Äquivalente Charakterisierungen von endlich étale]
-    Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus. Dann sind äquivalent
+    Sei $A \to B$ ein Ringhomomorphismus. Dann sind äquivalent
     \begin{enumerate}[(i)]
-        \item $f$ endlich étale, das heißt $f$ ist endlich, flach und unverzweigt.
+        \item $A \to B$ endlich étale, das heißt endlich, flach und unverzweigt.
+        %\item $B$ ist endlich präsentiert und flach als $A$-Modul und $\Omega_{B / A} = 0$.
+        %\item $B$ ist endliche, projektive und separable $A$-Algebra.
+        \item $A \to B$ endlich, projektiv und separabel.
+        \item $A \to B$ endlich, projektiv und $\Omega_{B / A} = 0$.
+        \item Es existiert eine Zariskiüberdeckung $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$, sodass
+            $A_{f_i} \to B_{f_i}$ endlich étale ist.
         \item Es existiert eine Zariskiüberdeckung $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$, sodass
-            $B_{f_i}$ endliche, freie, separable $A_{f_i}$-Algebra ist.
-        \item $B$ ist endlich präsentiert und flach als $A$-Modul und $\Omega_{B / A} = 0$.
-        \item $B$ endliche projektive $A$-Algebra und $\Omega_{B / A} = 0$.
+            $A_{f_i} \to B_{f_i}$ endlich frei und separabel ist.
     \end{enumerate}
 \end{satz}
 
-\begin{bem}
-    Jede endlich étale Algebra ist auch endlich und lokal frei, denn separable Algebren sind per Definition endlich.
-    \label{bem:finite-etale-is-locally-free}
-\end{bem}
-
-\begin{lemma}
-    Sei $B$ eine endliche, projektive $A$-Algebra. Dann ist $A \to B$ genau dann separabel, wenn
-    $A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ separabel ist für alle $\mathfrak{p} \in \spec A$.
-    \label{lemma:separable-is-local}
-\end{lemma}
-
 \begin{proof}
-    $A \to B$ ist genau dann separabel, wenn die von der Spur induzierte Abbildung
-    $B \to \operatorname{Hom}_{A}(B, A)$ ein Isomorphismus ist. Das
-    ist eine lokale Eigenschaft. Da außerdem $B$ endlich erzeugter, projektiver $A$-Modul ist, das 
-    heißt insbesondere endlich präsentiert ist, folgt mit \ref{lemma:localisation-finitely-pres}
+    (iv)$\Rightarrow$(v): Sei $\{f_i\}_{i \in I}$ eine Zariskiüberdeckung von $A$, sodass
+    $A_{f_i} \to B_{f_i}$ endlich étale ist. Nach \ref{satz:projectiveislocallyfree} existiert also für
+    alle $i \in I$ eine
+    Zariskiüberdeckung $\left\{\frac{f_{ij}}{1}\right\}$ von $A_{f_i}$, sodass $(A_{f_{i}f_{ij}}) = (A_{f_i})_{f_{ij}}
+    \to  B_{f_i f_{ij}} = (B_{f_i})_{f_{ij}}$ endlich, frei und separabel (da Lokalisieren Separabilität erhält) ist.
+    Zudem ist $\spec A = \bigcup_{i \in I} D(f_i) = \bigcup_{i \in I} \bigcup_{j} D(f_i f_{ij})$, also
+    ist $\{f_i f_{ij}\}_{i,j}$ eine Zariskiüberdeckung von $A$.
+
+    (v)$\Rightarrow$(i): Sei $\{f_i\}_{i \in I}$ eine Zariskiüberdeckung von $A$, sodass $A_{f_i} \to B_{f_i}$
+    endlich frei und separabel ist. Nach \ref{satz:projectiveislocallyfree}
+    ist also $A \to B$ endlich und projektiv.
+    Es genügt also $\Omega_{B / A} = 0$ zu zeigen. Dazu sei $\mathfrak{p} \in \spec A$ beliebig.
+    Dann ist
     \[
-        \operatorname{Hom}_{A}(B, A)_{\mathfrak{p}} =
-        \operatorname{Hom}_{A_{\mathfrak{p}}}(B_{\mathfrak{p}}, A_{\mathfrak{p}})
-    \] und damit die Behauptung.
+        (\Omega_{B / A})_{\mathfrak{p}} = \Omega_{B / A} \otimes_A A_{\mathfrak{p}}
+        = \Omega_{B \otimes_A A_{\mathfrak{p}} / A_{\mathfrak{p}}}
+        = \Omega_{B_{\mathfrak{p}} / A_{\mathfrak{p}}}
+    .\] Da $\spec A = \bigcup_{i \in I} D(f_i)$ existiert nun ein $i \in I$, sodass $f_i \not\in \mathfrak{p}$.
+    Also $A_{\mathfrak{p}} = (A_{f_i})_{\mathfrak{p}} \to (B_{f_i})_{\mathfrak{p}} = B_{\mathfrak{p}}$ formal
+    unverzweigt, da $A_{f_i} \to B_{f_i}$ formal unverzweigt. Also
+    ist $\Omega_{B_{\mathfrak{p}} / A_{\mathfrak{p}}} = 0$ und damit $A \to B$ endlich étale.
 \end{proof}
 
-\begin{satz}
-    Sei $B$ eine $A$-Algebra. Dann ist $B$ genau dann endlich étale über $A$, wenn
-    $B$ projektive, separable $A$-Algebra ist.
-    \label{satz:equiv-finite-etale}
-\end{satz}
+\begin{bem}
+    Jede endlich étale Algebra ist also insbesondere endlich und lokal frei.
+    \label{bem:finite-etale-is-locally-free}
+\end{bem}
 
-\begin{proof}
-    ($\Rightarrow$) 
-    Nach \ref{bem:finite-etale-is-locally-free} ist $B$ endliche projektive $A$-Algebra. Weiter sei
-    $\{f_i\}_{i \in I}$ in $A$, sodass $A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und
-    $B_{f_i}$ endliche separable $A_{f_i}$ Algebra für alle $i \in I$. Nun sei $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann
-    existiert ein $i \in I$, sodass $f_i \not\in \mathfrak{p}$. Also
-    folgt $B_{\mathfrak{p}} = (B_{f_i})_{\mathfrak{p}}$ und $A_{\mathfrak{p}} = (A_{f_i})_{\mathfrak{p}}$.
-    Nach \ref{lemma:separable-is-local} ist also
-    $A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ separabel.
-    Da $\mathfrak{p}$ beliebig war, folgt erneut mit \ref{lemma:separable-is-local} die Behauptung.
-
-    ($\Leftarrow$) Sei $B$ projektive, separable $A$-Algebra. Nach \ref{satz:projectiveislocallyfree}
-    existieren $\{f_i\}_{i \in I}$, sodass $\sum_{i \in I} (f_i) = A$ und
-    $B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_i}$-Algebra. Da Lokalisieren Separabilität erhält, ist $B_{f_i}$ auch separabel
-    über $A_{f_i}$ und es folgt die Behauptung.
-\end{proof}
+%\begin{lemma}
+%    Sei $B$ eine endliche, projektive $A$-Algebra. Dann ist $A \to B$ genau dann separabel, wenn
+%    $A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ separabel ist für alle $\mathfrak{p} \in \spec A$.
+%    \label{lemma:separable-is-local}
+%\end{lemma}
+%
+%\begin{proof}
+%    $A \to B$ ist genau dann separabel, wenn die von der Spur induzierte Abbildung
+%    $B \to \operatorname{Hom}_{A}(B, A)$ ein Isomorphismus ist. Das
+%    ist eine lokale Eigenschaft. Da außerdem $B$ endlich erzeugter, projektiver $A$-Modul ist, das 
+%    heißt insbesondere endlich präsentiert ist, folgt mit \ref{lemma:localisation-finitely-pres}
+%    \[
+%        \operatorname{Hom}_{A}(B, A)_{\mathfrak{p}} =
+%        \operatorname{Hom}_{A_{\mathfrak{p}}}(B_{\mathfrak{p}}, A_{\mathfrak{p}})
+%    \] und damit die Behauptung.
+%\end{proof}
+
+%\begin{satz}
+%    Sei $B$ eine $A$-Algebra. Dann ist $B$ genau dann endlich étale über $A$, wenn
+%    $B$ projektive, separable $A$-Algebra ist.
+%    \label{satz:equiv-finite-etale}
+%\end{satz}
+%
+%\begin{proof}
+%    ($\Rightarrow$) 
+%    Nach \ref{bem:finite-etale-is-locally-free} ist $B$ endliche projektive $A$-Algebra. Weiter sei
+%    $\{f_i\}_{i \in I}$ in $A$, sodass $A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und
+%    $B_{f_i}$ endliche separable $A_{f_i}$ Algebra für alle $i \in I$. Nun sei $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann
+%    existiert ein $i \in I$, sodass $f_i \not\in \mathfrak{p}$. Also
+%    folgt $B_{\mathfrak{p}} = (B_{f_i})_{\mathfrak{p}}$ und $A_{\mathfrak{p}} = (A_{f_i})_{\mathfrak{p}}$.
+%    Nach \ref{lemma:separable-is-local} ist also
+%    $A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ separabel.
+%    Da $\mathfrak{p}$ beliebig war, folgt erneut mit \ref{lemma:separable-is-local} die Behauptung.
+%
+%    ($\Leftarrow$) Sei $B$ projektive, separable $A$-Algebra. Nach \ref{satz:projectiveislocallyfree}
+%    existieren $\{f_i\}_{i \in I}$, sodass $\sum_{i \in I} (f_i) = A$ und
+%    $B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_i}$-Algebra. Da Lokalisieren Separabilität erhält, ist $B_{f_i}$ auch separabel
+%    über $A_{f_i}$ und es folgt die Behauptung.
+%\end{proof}
 
 \subsection{Stabilität von endlich étale}
 
@@ -395,7 +451,7 @@ Aus Vorträgen 7 und 8 kennen wir den folgenden Zusammenhang:
             auch $B_{\mathfrak{p}} \neq 0$, also
             $[ B : A ](\mathfrak{p}) > 0$. Rückrichtung: Mit \ref{satz:rings-degree}(a) ist $A \to B$ injektiv
             und weil $B$ endliche $A$-Algebra, ist $B$ ganze Ringerweiterung von $A$, also folgt
-            die Aussage aus Macdonald Theorem 5.10.
+            die Aussage aus (einer Variante von) Going-Up (siehe Macdonald Theorem 5.10).
     \end{enumerate}
 \end{proof}
 
@@ -502,20 +558,6 @@ Aus Vorträgen 7 und 8 kennen wir den folgenden Zusammenhang:
     Weil Isomorphismus eine lokale Eigenschaft ist, folgt die Behauptung.
 \end{proof}
 
-\begin{lemma}
-    Sei $f\colon A \to B$ Ringhomomorphismus und $\varphi \colon \spec B \to \spec A$ die induzierte
-    Abbildung. Dann ist für $a \in A$:
-    \[
-        \varphi^{-1}(D(a)) = D(f(a))
-    .\]
-    \label{lemma:preimage-of-d}
-\end{lemma}
-
-\begin{proof}
-    $\mathfrak{p} \in \varphi^{-1}(D(a)) \iff \varphi(\mathfrak{p})\in D(a) \iff a \not\in \varphi(\mathfrak{p})
-    = f^{-1}(\mathfrak{p}) \iff \mathfrak{p} \not\in D(f(a))$.
-\end{proof}
-
 \begin{definition}[Total zerlegbare Algebren]
     Eine $A$-Algebra $B$ ist \emph{total zerlegbar}, wenn
     $A$ ein endliches Produkt von Ringen $A_n$ ist mit $n \ge 0$ und