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2022-06-23 19:30:20 +02:00
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@@ -246,6 +246,20 @@
Außerdem ist $f \mid fg$ und damit $x = 0$. Außerdem ist $f \mid fg$ und damit $x = 0$.
\end{proof} \end{proof}
\begin{lemma}
Sei $f\colon A \to B$ Ringhomomorphismus und $\varphi \colon \spec B \to \spec A$ die induzierte
Abbildung. Dann ist für $a \in A$:
\[
\varphi^{-1}(D(a)) = D(f(a))
.\]
\label{lemma:preimage-of-d}
\end{lemma}
\begin{proof}
$\mathfrak{p} \in \varphi^{-1}(D(a)) \iff \varphi(\mathfrak{p})\in D(a) \iff a \not\in \varphi(\mathfrak{p})
= f^{-1}(\mathfrak{p}) \iff \mathfrak{p} \not\in D(f(a))$.
\end{proof}
\section{Endlich étale Morphismen} \section{Endlich étale Morphismen}
\begin{definition} \begin{definition}
@@ -267,65 +281,107 @@
\begin{bem}[Zariskiüberdeckung] \begin{bem}[Zariskiüberdeckung]
Eine Überdeckung von $A$ wie in \ref{def:finite-locally-free} nennen wir im Folgenden Zariskiüberdeckung. Eine Überdeckung von $A$ wie in \ref{def:finite-locally-free} nennen wir im Folgenden Zariskiüberdeckung.
Elemente $\{f_i\}_{i \in I}$ sind genau dann eine Zariskiüberdeckung von $A$, wenn
$\spec A = \bigcup_{i \in I} D(f_i)$.
\end{bem} \end{bem}
\begin{proof}
$\spec A = \bigcup_{i \in I} D(f_i)$ $\iff$ für alle $\mathfrak{p} \in \spec A$
existiert ein $f_i$, sodass $f_i \not\in \mathfrak{p}$
$\iff$ für alle $\mathfrak{p} \in \spec A$ ist das Ideal $(f_i)$ nicht in $\mathfrak{p}$ enthalten
$\iff A = (f_i)$
\end{proof}
Geometrisch denke man bei $\varphi\colon A \to B$ an $\psi\colon \spec B \to \spec A$.
Wegen $\psi^{-1}(D(f)) = D(\varphi(f))$ für $f \in A$, entspricht
$A_f \to B_f = B_{\varphi(f)}$ also geometrisch einfach der Einschränkung von $\psi$ auf
$\psi^{-1}(D(f)) \to D(f)$.
Aus Vorträgen 7 und 8 kennen wir den folgenden Zusammenhang: Aus Vorträgen 7 und 8 kennen wir den folgenden Zusammenhang:
\begin{satz}[Äquivalente Charakterisierungen von endlich étale] \begin{satz}[Äquivalente Charakterisierungen von endlich étale]
Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus. Dann sind äquivalent Sei $A \to B$ ein Ringhomomorphismus. Dann sind äquivalent
\begin{enumerate}[(i)] \begin{enumerate}[(i)]
\item $f$ endlich étale, das heißt $f$ ist endlich, flach und unverzweigt. \item $A \to B$ endlich étale, das heißt endlich, flach und unverzweigt.
%\item $B$ ist endlich präsentiert und flach als $A$-Modul und $\Omega_{B / A} = 0$.
%\item $B$ ist endliche, projektive und separable $A$-Algebra.
\item $A \to B$ endlich, projektiv und separabel.
\item $A \to B$ endlich, projektiv und $\Omega_{B / A} = 0$.
\item Es existiert eine Zariskiüberdeckung $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$, sodass \item Es existiert eine Zariskiüberdeckung $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$, sodass
$B_{f_i}$ endliche, freie, separable $A_{f_i}$-Algebra ist. $A_{f_i} \to B_{f_i}$ endlich étale ist.
\item $B$ ist endlich präsentiert und flach als $A$-Modul und $\Omega_{B / A} = 0$. \item Es existiert eine Zariskiüberdeckung $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$, sodass
\item $B$ endliche projektive $A$-Algebra und $\Omega_{B / A} = 0$. $A_{f_i} \to B_{f_i}$ endlich frei und separabel ist.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{satz} \end{satz}
\begin{proof}
(iv)$\Rightarrow$(v): Sei $\{f_i\}_{i \in I}$ eine Zariskiüberdeckung von $A$, sodass
$A_{f_i} \to B_{f_i}$ endlich étale ist. Nach \ref{satz:projectiveislocallyfree} existiert also für
alle $i \in I$ eine
Zariskiüberdeckung $\left\{\frac{f_{ij}}{1}\right\}$ von $A_{f_i}$, sodass $(A_{f_{i}f_{ij}}) = (A_{f_i})_{f_{ij}}
\to B_{f_i f_{ij}} = (B_{f_i})_{f_{ij}}$ endlich, frei und separabel (da Lokalisieren Separabilität erhält) ist.
Zudem ist $\spec A = \bigcup_{i \in I} D(f_i) = \bigcup_{i \in I} \bigcup_{j} D(f_i f_{ij})$, also
ist $\{f_i f_{ij}\}_{i,j}$ eine Zariskiüberdeckung von $A$.
(v)$\Rightarrow$(i): Sei $\{f_i\}_{i \in I}$ eine Zariskiüberdeckung von $A$, sodass $A_{f_i} \to B_{f_i}$
endlich frei und separabel ist. Nach \ref{satz:projectiveislocallyfree}
ist also $A \to B$ endlich und projektiv.
Es genügt also $\Omega_{B / A} = 0$ zu zeigen. Dazu sei $\mathfrak{p} \in \spec A$ beliebig.
Dann ist
\[
(\Omega_{B / A})_{\mathfrak{p}} = \Omega_{B / A} \otimes_A A_{\mathfrak{p}}
= \Omega_{B \otimes_A A_{\mathfrak{p}} / A_{\mathfrak{p}}}
= \Omega_{B_{\mathfrak{p}} / A_{\mathfrak{p}}}
.\] Da $\spec A = \bigcup_{i \in I} D(f_i)$ existiert nun ein $i \in I$, sodass $f_i \not\in \mathfrak{p}$.
Also $A_{\mathfrak{p}} = (A_{f_i})_{\mathfrak{p}} \to (B_{f_i})_{\mathfrak{p}} = B_{\mathfrak{p}}$ formal
unverzweigt, da $A_{f_i} \to B_{f_i}$ formal unverzweigt. Also
ist $\Omega_{B_{\mathfrak{p}} / A_{\mathfrak{p}}} = 0$ und damit $A \to B$ endlich étale.
\end{proof}
\begin{bem} \begin{bem}
Jede endlich étale Algebra ist auch endlich und lokal frei, denn separable Algebren sind per Definition endlich. Jede endlich étale Algebra ist also insbesondere endlich und lokal frei.
\label{bem:finite-etale-is-locally-free} \label{bem:finite-etale-is-locally-free}
\end{bem} \end{bem}
\begin{lemma} %\begin{lemma}
Sei $B$ eine endliche, projektive $A$-Algebra. Dann ist $A \to B$ genau dann separabel, wenn % Sei $B$ eine endliche, projektive $A$-Algebra. Dann ist $A \to B$ genau dann separabel, wenn
$A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ separabel ist für alle $\mathfrak{p} \in \spec A$. % $A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ separabel ist für alle $\mathfrak{p} \in \spec A$.
\label{lemma:separable-is-local} % \label{lemma:separable-is-local}
\end{lemma} %\end{lemma}
%
%\begin{proof}
% $A \to B$ ist genau dann separabel, wenn die von der Spur induzierte Abbildung
% $B \to \operatorname{Hom}_{A}(B, A)$ ein Isomorphismus ist. Das
% ist eine lokale Eigenschaft. Da außerdem $B$ endlich erzeugter, projektiver $A$-Modul ist, das
% heißt insbesondere endlich präsentiert ist, folgt mit \ref{lemma:localisation-finitely-pres}
% \[
% \operatorname{Hom}_{A}(B, A)_{\mathfrak{p}} =
% \operatorname{Hom}_{A_{\mathfrak{p}}}(B_{\mathfrak{p}}, A_{\mathfrak{p}})
% \] und damit die Behauptung.
%\end{proof}
\begin{proof} %\begin{satz}
$A \to B$ ist genau dann separabel, wenn die von der Spur induzierte Abbildung % Sei $B$ eine $A$-Algebra. Dann ist $B$ genau dann endlich étale über $A$, wenn
$B \to \operatorname{Hom}_{A}(B, A)$ ein Isomorphismus ist. Das % $B$ projektive, separable $A$-Algebra ist.
ist eine lokale Eigenschaft. Da außerdem $B$ endlich erzeugter, projektiver $A$-Modul ist, das % \label{satz:equiv-finite-etale}
heißt insbesondere endlich präsentiert ist, folgt mit \ref{lemma:localisation-finitely-pres} %\end{satz}
\[ %
\operatorname{Hom}_{A}(B, A)_{\mathfrak{p}} = %\begin{proof}
\operatorname{Hom}_{A_{\mathfrak{p}}}(B_{\mathfrak{p}}, A_{\mathfrak{p}}) % ($\Rightarrow$)
\] und damit die Behauptung. % Nach \ref{bem:finite-etale-is-locally-free} ist $B$ endliche projektive $A$-Algebra. Weiter sei
\end{proof} % $\{f_i\}_{i \in I}$ in $A$, sodass $A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und
% $B_{f_i}$ endliche separable $A_{f_i}$ Algebra für alle $i \in I$. Nun sei $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann
\begin{satz} % existiert ein $i \in I$, sodass $f_i \not\in \mathfrak{p}$. Also
Sei $B$ eine $A$-Algebra. Dann ist $B$ genau dann endlich étale über $A$, wenn % folgt $B_{\mathfrak{p}} = (B_{f_i})_{\mathfrak{p}}$ und $A_{\mathfrak{p}} = (A_{f_i})_{\mathfrak{p}}$.
$B$ projektive, separable $A$-Algebra ist. % Nach \ref{lemma:separable-is-local} ist also
\label{satz:equiv-finite-etale} % $A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ separabel.
\end{satz} % Da $\mathfrak{p}$ beliebig war, folgt erneut mit \ref{lemma:separable-is-local} die Behauptung.
%
\begin{proof} % ($\Leftarrow$) Sei $B$ projektive, separable $A$-Algebra. Nach \ref{satz:projectiveislocallyfree}
($\Rightarrow$) % existieren $\{f_i\}_{i \in I}$, sodass $\sum_{i \in I} (f_i) = A$ und
Nach \ref{bem:finite-etale-is-locally-free} ist $B$ endliche projektive $A$-Algebra. Weiter sei % $B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_i}$-Algebra. Da Lokalisieren Separabilität erhält, ist $B_{f_i}$ auch separabel
$\{f_i\}_{i \in I}$ in $A$, sodass $A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und % über $A_{f_i}$ und es folgt die Behauptung.
$B_{f_i}$ endliche separable $A_{f_i}$ Algebra für alle $i \in I$. Nun sei $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann %\end{proof}
existiert ein $i \in I$, sodass $f_i \not\in \mathfrak{p}$. Also
folgt $B_{\mathfrak{p}} = (B_{f_i})_{\mathfrak{p}}$ und $A_{\mathfrak{p}} = (A_{f_i})_{\mathfrak{p}}$.
Nach \ref{lemma:separable-is-local} ist also
$A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ separabel.
Da $\mathfrak{p}$ beliebig war, folgt erneut mit \ref{lemma:separable-is-local} die Behauptung.
($\Leftarrow$) Sei $B$ projektive, separable $A$-Algebra. Nach \ref{satz:projectiveislocallyfree}
existieren $\{f_i\}_{i \in I}$, sodass $\sum_{i \in I} (f_i) = A$ und
$B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_i}$-Algebra. Da Lokalisieren Separabilität erhält, ist $B_{f_i}$ auch separabel
über $A_{f_i}$ und es folgt die Behauptung.
\end{proof}
\subsection{Stabilität von endlich étale} \subsection{Stabilität von endlich étale}
@@ -395,7 +451,7 @@ Aus Vorträgen 7 und 8 kennen wir den folgenden Zusammenhang:
auch $B_{\mathfrak{p}} \neq 0$, also auch $B_{\mathfrak{p}} \neq 0$, also
$[ B : A ](\mathfrak{p}) > 0$. Rückrichtung: Mit \ref{satz:rings-degree}(a) ist $A \to B$ injektiv $[ B : A ](\mathfrak{p}) > 0$. Rückrichtung: Mit \ref{satz:rings-degree}(a) ist $A \to B$ injektiv
und weil $B$ endliche $A$-Algebra, ist $B$ ganze Ringerweiterung von $A$, also folgt und weil $B$ endliche $A$-Algebra, ist $B$ ganze Ringerweiterung von $A$, also folgt
die Aussage aus Macdonald Theorem 5.10. die Aussage aus (einer Variante von) Going-Up (siehe Macdonald Theorem 5.10).
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{proof} \end{proof}
@@ -502,20 +558,6 @@ Aus Vorträgen 7 und 8 kennen wir den folgenden Zusammenhang:
Weil Isomorphismus eine lokale Eigenschaft ist, folgt die Behauptung. Weil Isomorphismus eine lokale Eigenschaft ist, folgt die Behauptung.
\end{proof} \end{proof}
\begin{lemma}
Sei $f\colon A \to B$ Ringhomomorphismus und $\varphi \colon \spec B \to \spec A$ die induzierte
Abbildung. Dann ist für $a \in A$:
\[
\varphi^{-1}(D(a)) = D(f(a))
.\]
\label{lemma:preimage-of-d}
\end{lemma}
\begin{proof}
$\mathfrak{p} \in \varphi^{-1}(D(a)) \iff \varphi(\mathfrak{p})\in D(a) \iff a \not\in \varphi(\mathfrak{p})
= f^{-1}(\mathfrak{p}) \iff \mathfrak{p} \not\in D(f(a))$.
\end{proof}
\begin{definition}[Total zerlegbare Algebren] \begin{definition}[Total zerlegbare Algebren]
Eine $A$-Algebra $B$ ist \emph{total zerlegbar}, wenn Eine $A$-Algebra $B$ ist \emph{total zerlegbar}, wenn
$A$ ein endliches Produkt von Ringen $A_n$ ist mit $n \ge 0$ und $A$ ein endliches Produkt von Ringen $A_n$ ist mit $n \ge 0$ und