update ana11

ws2019/ana/uebungen/ana11.tex

@@ -16,7 +16,7 @@
     Für $k \in \N$ ist
     \[
         f_k(x) := \begin{cases}
-            x^{k} \sin\left(\frac{1}{x)}\right) & x \neq 0 \\
+            x^{k} \sin\left(\frac{1}{x}\right) & x \neq 0 \\
             0 & x = 0
         \end{cases}
     \] definiert.
@@ -73,7 +73,7 @@
                     \xrightarrow{h \to 0} 0
                 .\] Für $x \neq 0$ gilt mit Ableitungsregeln direkt:
                 \[
-                    f_3'(x) = 3x^2 \cdot \sin(1 / x) - x \cdot \cos(1  / h)
+                    f_3'(x) = 3x^2 \cdot \sin(1 / x) - x \cdot \cos(1  / x)
                 .\] Damit folgt
                 \[
                     \lim_{x \to 0} f_3'(x) = 0 = f'(0)
@@ -140,9 +140,9 @@
                 (-1)^{k-1} \frac{\pi}{\Gamma\left( \frac{3}{2} -k \right) \sqrt{\pi} } \\
                 \implies \left( \frac{1}{2} \right)^{k-1} \;
                 \prod_{n=0}^{k-1} (2n-1) &= (-1)^{k} \frac{\sqrt{\pi} }
-                {2 \Gamma\left( \frac{3}{2} -k \right) } \\
+                {\Gamma\left( \frac{3}{2} -k \right) } \\
                 \implies \left( - \frac{1}{2} \right)^{k}  \;
-                \prod_{n=0}^{k-1} (2n-1) &= (-1)^{k} \frac{\sqrt{\pi} }{\Gamma\left( \frac{3}{2} -k \right) }
+                \prod_{n=0}^{k-1} (2n-1) &= \frac{\sqrt{\pi} }{2 \Gamma\left( \frac{3}{2} -k \right) }
             .\end{align*}
     \end{enumerate}
 \end{aufgabe}
@@ -229,7 +229,7 @@
             \begin{proof}
                 Der $\sin(\tau)$ hat auf $\tau \in [-\pi, \pi]$ genau zwei Extrema bei $\tau_1 = \frac{\pi}{2}$
                 und $\tau_2 = -\frac{\pi}{2}$.
-                Für $n > 2$ gilt: $\left| \frac{1}{n} \cdot \pi  \right| < \frac{\pi}{2}$. Damit
+                Für $n > 2$ gilt: $\frac{\pi}{n} < \frac{\pi}{2}$. Damit
                 folgt $\forall x \in [-\pi, \pi]$: $\sin\left( \frac{1}{n} x \right)
                 \le \sin\left( \frac{1}{n} \pi \right) $.
 
@@ -253,7 +253,7 @@
                 \begin{align*}
                     \frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)} &= \frac{(n+1)(1-x)}{n} = \frac{n+1-x(n+1)}{n}
                 .\end{align*}
-                Wähle nun $n_{0} = \left\lceil  \frac{1 - x}{x}\right\rceil $. Dann gilt $\forall n > n_0$:
+                Wähle nun $n_{0} := \left\lceil  \frac{1 - x}{x}\right\rceil $. Dann gilt $\forall n > n_0$:
                 \[
                     x (n+1) > x \left( \frac{1-x}{x} + 1 \right) = 1
                     \implies \frac{\overbrace{n+1 - x(n+1)}^{<\; n}}{n} < 1