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update ana11

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2020-01-18 14:18:45 +01:00
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@@ -16,7 +16,7 @@
Für $k \in \N$ ist Für $k \in \N$ ist
\[ \[
f_k(x) := \begin{cases} f_k(x) := \begin{cases}
x^{k} \sin\left(\frac{1}{x)}\right) & x \neq 0 \\ x^{k} \sin\left(\frac{1}{x}\right) & x \neq 0 \\
0 & x = 0 0 & x = 0
\end{cases} \end{cases}
\] definiert. \] definiert.
@@ -73,7 +73,7 @@
\xrightarrow{h \to 0} 0 \xrightarrow{h \to 0} 0
.\] Für $x \neq 0$ gilt mit Ableitungsregeln direkt: .\] Für $x \neq 0$ gilt mit Ableitungsregeln direkt:
\[ \[
f_3'(x) = 3x^2 \cdot \sin(1 / x) - x \cdot \cos(1 / h) f_3'(x) = 3x^2 \cdot \sin(1 / x) - x \cdot \cos(1 / x)
.\] Damit folgt .\] Damit folgt
\[ \[
\lim_{x \to 0} f_3'(x) = 0 = f'(0) \lim_{x \to 0} f_3'(x) = 0 = f'(0)
@@ -140,9 +140,9 @@
(-1)^{k-1} \frac{\pi}{\Gamma\left( \frac{3}{2} -k \right) \sqrt{\pi} } \\ (-1)^{k-1} \frac{\pi}{\Gamma\left( \frac{3}{2} -k \right) \sqrt{\pi} } \\
\implies \left( \frac{1}{2} \right)^{k-1} \; \implies \left( \frac{1}{2} \right)^{k-1} \;
\prod_{n=0}^{k-1} (2n-1) &= (-1)^{k} \frac{\sqrt{\pi} } \prod_{n=0}^{k-1} (2n-1) &= (-1)^{k} \frac{\sqrt{\pi} }
{2 \Gamma\left( \frac{3}{2} -k \right) } \\ {\Gamma\left( \frac{3}{2} -k \right) } \\
\implies \left( - \frac{1}{2} \right)^{k} \; \implies \left( - \frac{1}{2} \right)^{k} \;
\prod_{n=0}^{k-1} (2n-1) &= (-1)^{k} \frac{\sqrt{\pi} }{\Gamma\left( \frac{3}{2} -k \right) } \prod_{n=0}^{k-1} (2n-1) &= \frac{\sqrt{\pi} }{2 \Gamma\left( \frac{3}{2} -k \right) }
.\end{align*} .\end{align*}
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{aufgabe} \end{aufgabe}
@@ -229,7 +229,7 @@
\begin{proof} \begin{proof}
Der $\sin(\tau)$ hat auf $\tau \in [-\pi, \pi]$ genau zwei Extrema bei $\tau_1 = \frac{\pi}{2}$ Der $\sin(\tau)$ hat auf $\tau \in [-\pi, \pi]$ genau zwei Extrema bei $\tau_1 = \frac{\pi}{2}$
und $\tau_2 = -\frac{\pi}{2}$. und $\tau_2 = -\frac{\pi}{2}$.
Für $n > 2$ gilt: $\left| \frac{1}{n} \cdot \pi \right| < \frac{\pi}{2}$. Damit Für $n > 2$ gilt: $\frac{\pi}{n} < \frac{\pi}{2}$. Damit
folgt $\forall x \in [-\pi, \pi]$: $\sin\left( \frac{1}{n} x \right) folgt $\forall x \in [-\pi, \pi]$: $\sin\left( \frac{1}{n} x \right)
\le \sin\left( \frac{1}{n} \pi \right) $. \le \sin\left( \frac{1}{n} \pi \right) $.
@@ -253,7 +253,7 @@
\begin{align*} \begin{align*}
\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)} &= \frac{(n+1)(1-x)}{n} = \frac{n+1-x(n+1)}{n} \frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)} &= \frac{(n+1)(1-x)}{n} = \frac{n+1-x(n+1)}{n}
.\end{align*} .\end{align*}
Wähle nun $n_{0} = \left\lceil \frac{1 - x}{x}\right\rceil $. Dann gilt $\forall n > n_0$: Wähle nun $n_{0} := \left\lceil \frac{1 - x}{x}\right\rceil $. Dann gilt $\forall n > n_0$:
\[ \[
x (n+1) > x \left( \frac{1-x}{x} + 1 \right) = 1 x (n+1) > x \left( \frac{1-x}{x} + 1 \right) = 1
\implies \frac{\overbrace{n+1 - x(n+1)}^{<\; n}}{n} < 1 \implies \frac{\overbrace{n+1 - x(n+1)}^{<\; n}}{n} < 1