remove ana lecture
This commit is contained in:
Binary file not shown.
@@ -1,358 +0,0 @@
|
||||
\documentclass{../../../lecture}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\section{Folgen und Reihen von Funktionen}
|
||||
|
||||
\subsection{Funktionenfolgen und gleichmäßige Konvergenz}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Sei für $n \in \N$, $f_n \colon D \to \R$, $D \subset \R$ eine Funktion.
|
||||
Die Folge $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert punktweise gegen
|
||||
eine Funktion $f\colon D \to \R$ falls $\forall x \in D$
|
||||
die Folge $(f_n(x))_{n\in\N}$ gegen $f(x)$ konvergiert, d.h.
|
||||
\[
|
||||
\forall \epsilon > 0 \quad \exists N = N(\epsilon, x) > 0 \text{ s.d. }
|
||||
|f_n(x) - f(x)| < \epsilon \quad \forall n \ge N
|
||||
.\]
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
\begin{enumerate}[(a)]
|
||||
\item \begin{align*}
|
||||
&f_n(x)\colon [0,2] \to \R \\
|
||||
&f_n(x) = \begin{cases}
|
||||
n^2x & 0 \le x \le \frac{1}{n} \\
|
||||
2n - n^2x & \frac{1}{n} \le x \le \frac{2}{n} \\
|
||||
0 & \frac{2}{n} \le x \le 2
|
||||
\end{cases}
|
||||
.\end{align*}
|
||||
$(f_n(x))_{n\in\N}$ konvergiert punktweise gegen $f(x) \equiv 0$ $\forall x \in [0,2]$.
|
||||
|
||||
$x=0$: $f_n(0) = 0 = f(0)$\\
|
||||
$0 < x \le 2$: $\forall n \ge \frac{2}{x}$, $f_n(x) = 0 = f(x)$
|
||||
\item $f_n(x) = x^{n}$, $f_n\colon [0,1] \to \R$.
|
||||
\begin{figure}[h!]
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}%
|
||||
[grid=both,
|
||||
minor tick num=4,
|
||||
grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
|
||||
major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
|
||||
axis lines=middle,
|
||||
enlargelimits={abs=0.2},
|
||||
ymax=1,
|
||||
ymin=0
|
||||
]
|
||||
\addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^1};
|
||||
\addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^2};
|
||||
\addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^3};
|
||||
\addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^4};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}%
|
||||
[grid=both,
|
||||
minor tick num=4,
|
||||
grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
|
||||
major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
|
||||
axis lines=middle,
|
||||
enlargelimits={abs=0.2},
|
||||
ymax=1,
|
||||
ymin=0
|
||||
]
|
||||
\addplot[domain=0:1.1,samples=1000,smooth,red] {(and(x>=0 , x<1) * 0 + (and(x>=1, x< 10) * 1};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\caption{$f_n(x) = x^{n}$ und ihre Grenzfunktion}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
(f_n(x))_{n\in\N} \xrightarrow[\text{punktweise}]{n \to \infty} f(x)
|
||||
= \begin{cases}
|
||||
1 & \text{ falls } x = 1 \\
|
||||
0 & \text{ falls } 0 \le x < 1
|
||||
\end{cases}
|
||||
.\end{align*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\label{bsp:punktweisekonvergenz}
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bem}
|
||||
Punktweiser Limes stetiger Funktionen muss nicht stetig sein.
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Die Folge $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig gegen $f\colon D \to \R$ falls gilt
|
||||
\[
|
||||
\forall \epsilon > 0 \quad \exists N = N(\epsilon) \text{ s.d. }
|
||||
|f_n(x) - f(x)| < \epsilon \quad \forall x \in D \text{ und } n \ge N
|
||||
.\]
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bem}
|
||||
$\forall \epsilon > 0$, $\exists N = N(\epsilon)$, $\forall n \ge N$ gilt
|
||||
\[
|
||||
\text{graph}(f_n) \subset \epsilon\text{-Umgebung von Graphen von } f
|
||||
:= \{ (x, y) \in D \times \R \mid | y - f(x)| < \epsilon\}
|
||||
.\]
|
||||
\begin{figure}[h!]
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}%
|
||||
[grid=both,
|
||||
minor tick num=4,
|
||||
grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
|
||||
major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
|
||||
axis lines=middle,
|
||||
enlargelimits={abs=0.2},
|
||||
ymax=1,
|
||||
ymin=0
|
||||
]
|
||||
\addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.7};
|
||||
\addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.5};
|
||||
\addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,blue] {0.1 * sin(deg(40*x)) + 0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.5};
|
||||
\addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.3};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}%
|
||||
[grid=both,
|
||||
minor tick num=4,
|
||||
grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
|
||||
major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
|
||||
axis lines=middle,
|
||||
enlargelimits={abs=0.2},
|
||||
ymax=1,
|
||||
ymin=-0.4,
|
||||
]
|
||||
\addplot[domain=0:1.1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3};
|
||||
\addplot[domain=0:1.001,samples=1000,smooth,red] {(and(x>=0 , x<1) * 0 + (and(x>=1, x< 10) * 1};
|
||||
\addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,blue] {x^8};
|
||||
\addplot[domain=0:1.1,samples=50,smooth,dashed, blue] {-0.3};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\caption{Links: ,,$\epsilon$-Schlauch'', Rechts: \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (b) nicht gleichmäßig konvergent}
|
||||
\end{figure}
|
||||
Beispiele \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (a) und (b) nicht gleichmäßig konvergent, zu (a):
|
||||
Für $\epsilon = \frac{1}{2}$ gilt
|
||||
$\left|f_n\left(\frac{1}{n}\right)- f\left(\frac{1}{n}\right)\right| = n > \frac{1}{2}$
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
$f_n\colon [0,2] \to \R$, $f_n(x) := \frac{1}{n} \sin \left( 2\pi n \cdot x \right) $ konvergiert
|
||||
gleichmäßig gegen $f(x) = 0$.
|
||||
\[
|
||||
| \sin(2 \pi n \cdot x) | \le 1 \quad \forall x \in R \implies
|
||||
f_n(x) \xrightarrow{n \to \infty} 0 \quad \forall x \in [0,2] \implies \text{punktweise Konvergenz}
|
||||
.\] Sei nun $\epsilon > 0$, dann $\exists N \in \N$ mit $\frac{1}{N} < \epsilon$. Damit folgt
|
||||
\[
|
||||
\forall n \ge N \quad |f_n(x)| \le \frac{1}{N} < \epsilon \quad \forall x
|
||||
\implies \text{gleichmäßige Konvergenz}
|
||||
.\]
|
||||
\end{bsp}
|
||||
\begin{bem}
|
||||
Konvergiert $f_n \colon D \to \R$ gleichmäßig gegen $f \colon D \to \R$, dann konvergiert $f_n$ punktweise
|
||||
gegen $f$. Die Umkehrung gilt nicht, siehe \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (a) und (b).
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Gleichmäßiger Limes stetiger Funktionen ist stetig]
|
||||
Es sei $D \subset \R$ und $f_n\colon D \to \R$ $\forall n \in \N$ stetig in $D$.
|
||||
Sei $(f_n)_{n\in\N}$ gleichmäßig konvergent gegen $f\colon D \to \R$. Dann gilt:
|
||||
$f$ ist stetig in $D$.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Seien $x_0 \in D$ und $\epsilon > 0$.
|
||||
Zu zeigen:
|
||||
$\exists \delta > 0$ $\forall x \in D\colon |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - f(x_0)| < \epsilon$.
|
||||
\[
|
||||
(f_n)_{n\in\N} \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f
|
||||
\implies \exists N \in \N \text{ s.d. } \forall n \ge N \quad \forall x \in D
|
||||
\text{ gilt } | f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{3}
|
||||
.\]
|
||||
\[
|
||||
f_n \text{ stetig in } x_0 \implies \exists \delta \text{ s.d. } \forall x \in D \text{ gilt }
|
||||
|x - x_0| < \delta \implies |f_n(x) - f_n(x_0)| < \frac{\epsilon}{3}
|
||||
.\]
|
||||
Zusammen: $\forall x$ mit $|x - x_0| < \delta $ gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
|f(x) - f(x_0)| &= |f(x) - f_n(x) + f_n(x) - f_n(x_0) + f_n(x_0) - f(x_0)| \\
|
||||
&\le |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(x_0)| + |f_n(x_0) - f(x_0)| \\
|
||||
&\le \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} \\
|
||||
&= \epsilon
|
||||
.\end{align*}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\subsection{Der Funktionenraum $C[a,b]$}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Maximumnorm $\Vert\cdot \Vert_\infty$]
|
||||
Es sei $D$ ein beschränktes, abgeschlossenes Intervall $I = [a,b]$ und
|
||||
$f\colon [a,b] \to \R$ (oder $\mathbb{C}$) stetig. Dann
|
||||
\[
|
||||
\Vert f \Vert_\infty := \max \{ |f(x)| \mid x \in [a,b]\}
|
||||
.\] Das Maximum existiert wegen der Stetigkeit des Absolutbetrags und weil $[a,b]$ beschränkt und
|
||||
abgeschlossen ist.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[$\Vert \cdot \Vert_\infty$ und gleichmäßige Konvergenz]
|
||||
Es sei $D = [a,b]$ und $f\colon [a,b] \to \R$ stetig. Dann gilt
|
||||
\begin{enumerate}[(i)]
|
||||
\item $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig gegen $f \colon [a,b] \to \R
|
||||
\iff \Vert f_n - f \Vert_\infty \to 0$, $n \to \infty$
|
||||
\item Cauchy-Kriterium: $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b]
|
||||
\iff \forall \epsilon > 0$ $\exists N_0 \in \N$, s.d. $\forall n, m \ge N_0$ gilt
|
||||
$\Vert f_n - f_m \Vert_{\infty} < \epsilon$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{enumerate}[(i)]
|
||||
\item ,,$\implies$'': Sei $\epsilon > 0$. Dann $\exists N \in \N$ s.d.
|
||||
$|f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{2}$ $\forall x \in [a,b]$ und $\forall n \ge N$. Damit folgt:
|
||||
\[
|
||||
\max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| = \Vert f_n - f \Vert_{\infty} < \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \implies \Vert f_n - f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0
|
||||
.\]
|
||||
,,$\impliedby$'': Sei $\epsilon > 0$. Wegen
|
||||
$\Vert f_n -f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0$ $\exists N \in \N$ s.d.
|
||||
$\Vert f_n - f \Vert_\infty < \epsilon$ $\forall n \ge N$. Damit folgt
|
||||
$\forall n \ge N$ und $\forall x \in [a,b]$
|
||||
\[
|
||||
|f_n(x) - f(x)| \le \max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| =
|
||||
\Vert f_n - f \Vert_{\infty} < \epsilon \implies \text{gleichmäßige Konvergenz}
|
||||
.\]
|
||||
\item ,,$\implies$'' $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h.
|
||||
$\exists f: [a,b] \to \R$ s.d. $f_n \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f$.
|
||||
|
||||
Sei $\epsilon > 0$, dann $\exists N_0 \in \N$ s.d. $|f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{4}$
|
||||
$\forall n \ge N_0$ und $\forall x \in [a,b]$.
|
||||
|
||||
Damit gilt $\forall n, m \ge N_0$ und $\forall x \in [a,b]$:
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
&|f_n(x) - f_m(x)| \le |f_n(x) - f(x)| + |f(x) - f_m(x)|
|
||||
\le \frac{\epsilon}{4} + \frac{\epsilon}{4} = \frac{\epsilon}{2} \\
|
||||
\implies &\max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f_m(x)| = \Vert f_n - f_m \Vert_{\infty}
|
||||
\le \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \quad \forall n, m \ge N_0
|
||||
.\end{align*}
|
||||
|
||||
,,$\impliedby$'': Sei $\epsilon > 0$, dann $\exists N_0 \in \N$, s.d.
|
||||
\[
|
||||
|f_n(x) - f_m(x)| \le \Vert f_n - f_m \Vert_\infty < \frac{\epsilon}{2} \quad
|
||||
\forall n,m \ge N_0 \quad \forall x \in [a,b]
|
||||
.\] $\implies (f_n(x))_{n\in\N}$ ist eine Cauchy-Folge in $\R$.\\
|
||||
$\implies (f_n(x))_{n\in\N}$ konvergiert \\
|
||||
$\implies$ Definiere $f(x) := \lim_{n \to \infty} f_n(x)$, $x \in [a,b]$.
|
||||
|
||||
Dann gilt $\forall n \ge N_0$, $\forall x \in [a,b]$:
|
||||
\[
|
||||
|f_n(x) - f(x)| = \lim_{m \to \infty} |f_n(x) - f_m(x)| < \frac{\epsilon}{2}
|
||||
\implies (f_n)_{n\in\N} \text{ konvergiert gleichmäßig gegen } f
|
||||
.\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{bem}
|
||||
$\Vert \cdot \Vert_{\infty}$ erfüllt s.g. Normeigenschaften:
|
||||
\begin{enumerate}[(N1)]
|
||||
\item $\Vert f \Vert_\infty = 0 \implies f(x) = 0, x \in [a,b]$ (Definitheit)
|
||||
\item $\Vert \alpha f \Vert_{\infty} = |\alpha| \cdot \Vert f \Vert_\infty$, $\alpha \in \R$ (Homogenität)
|
||||
\item $\Vert f + g \Vert_{\infty} \le \Vert f \Vert_\infty + \Vert g \Vert_\infty$ (Dreiecksungleichung)
|
||||
\end{enumerate} folgen direkt aus den Eigenschaften des Absolutbetrags.
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Der Funktionenraum $C[a,b]$ definiert durch
|
||||
\[
|
||||
C[a,b] := \{ f \colon [a,b] \to \R \mid f \text{ stetig }\}
|
||||
,\] ist mit $\Vert f \Vert_\infty$ ein normierter Vektorraum.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Vollständigkeit]
|
||||
Der Raum $C[a,b]$ ist vollständig bezüglich gleichmäßiger Konvergenz, d.h. jede
|
||||
Cauchy-Folge von Funktionen aus $C[a,b]$ besitzt einen Limes in $C[a,b]$
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Rannacher
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\subsection{Integration und Grenzübergänge}
|
||||
|
||||
Wichtige Frage: Wenn $f_n \to f$, gilt dann auch $\int_{a}^{b} f_n \to \int_{a}^{b} f$?
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Seien $f_n \colon [a,b] \to R$ stetige Riemann-integrierbare Funktionen und $f\colon [a,b] \to \R$
|
||||
mit $\Vert f_n - f \Vert_\infty \xrightarrow{n \to \infty} 0$ (gleichmäßige Konvergenz). Dann gilt
|
||||
$f$ stetig und Riemann-integrierbar und
|
||||
\[
|
||||
\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx
|
||||
= \int_{a}^{b} \lim_{n \to \infty} f_n(x) dx
|
||||
.\]
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
$f_n \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f \implies f$ stetig $\implies f$ Riemann-integrierbar.
|
||||
|
||||
Es gilt
|
||||
\[
|
||||
\left| \int_{a}^{b} f_n(x) dx - \int_{a}^{b} f(x) dx\right| = \left| \int_{a}^{b} (f_n(x) - f(x))dx\right|
|
||||
\le \int_{a}^{b} |f_n(x) - f(x)| dx \le \underbrace{\max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)|}_{= \underbrace{\Vert f_n - f \Vert_\infty}_{\xrightarrow{n \to \infty} 0}\underbrace{(b-a)}_{\text{beschränkt}}}
|
||||
.\]
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Seien $f_n \colon [a,b] \to \R$ stetige Funktionen $(n \in \N)$ und die Reihe
|
||||
$\sum_{n=0}^{\infty} f_n$ konvergiere gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h. die Folge der Partialsummen
|
||||
$(\sum_{n=0}^{N} f_n)_{n\in\N}$ sei gleichmäßig konvergent. Dann gilt:
|
||||
\[
|
||||
f(x) := \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \quad \forall x \in [a,b]
|
||||
.\] ist stetig und Riemann-integrierbar und
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\int_{a}^{b} f(x) dx &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx \\
|
||||
\int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx
|
||||
,\end{align*} d.h. die Reihe wird gliedweise integriert.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
$f_n$ sind stetig $\implies \sum_{n=0}^{N} f_n(x)$ stetig und Riemann-integrierbar.
|
||||
|
||||
Die Folge der Partialsummen $(\sum_{n=0}^{N} f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig, d.h.
|
||||
\[
|
||||
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \text{ stetig } = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{n=0}^{N} f_n(x) \right) \text{ gleichmäßiger Limes}
|
||||
.\] Es gilt
|
||||
\[
|
||||
\int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx =
|
||||
\sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) dx + \int_{a}^{b} \sum_{n=N+1}^{\infty} f_n(x) dx
|
||||
.\] Die Reihe konvergiert gleichmäßig, d.h. $\forall \epsilon > 0$ $\exists N_{\epsilon} \in \N$, s.d.
|
||||
$\forall N \ge N_{\epsilon}$ gilt
|
||||
\begin{align*}
|
||||
&\left| \int_{a}^{b} \sum_{n=N+1}^{\infty} f_n(x) dx \right| \le \epsilon \cdot (b-a) \\
|
||||
\implies &\left| \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx - \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) dx \right| \le \epsilon \\
|
||||
\implies& \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx
|
||||
.\end{align*}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{korrolar}[Integration von Potenzreihen]
|
||||
Es sei $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n}$ eine reelle Potenzreihe mit Konvergenzradius $\rho > 0$.
|
||||
Dann konvergiert $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^{n}$ in jedem Intervall
|
||||
$[x_0 - r, x_0 + r]$ für $0 < r < \rho$ gleichmäßig und für $[a,b] \subset \;]x_0 - \rho, x_0 + \rho[$ gilt
|
||||
\[
|
||||
\int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n} dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}
|
||||
\Big|_{a}^{b}
|
||||
.\]
|
||||
\end{korrolar}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Nur die gleichmäßige Konvergenz für $| x - x_0| \le r$ ist zu beweisen: Für $|x - x_0| \le r$, $r < \rho$ gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\left\Vert \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^{n} - \sum_{n=0}^{N} a_n(x-x_0)^{n} \right\Vert_{\infty}
|
||||
&= \left\Vert \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n}\right\Vert_\infty \\
|
||||
&\stackrel{|x - x_0| < r}{\le} \quad \sum_{n=N+1}^{\infty} |a_n| \cdot r^{n} \\
|
||||
&\stackrel{(*)}{\le} \sum_{n=N+1}^{\infty} \left(\frac{1}{\rho - \epsilon}\right)^{n} \cdot r^{n} \\
|
||||
&= \sum_{n=N+1}^{\infty} \underbrace{\left( \frac{r}{\rho-\epsilon} \right)^{n}}_{< 1}
|
||||
\xrightarrow[\text{geometrische Reihe}]{N \to \infty} 0
|
||||
.\end{align*}
|
||||
$(*)$: $\rho = \frac{1}{\limsup \sqrt[n]{|a_n|} }$, $r < \rho - \epsilon$ für ein $\epsilon > 0 \implies
|
||||
\exists N_0 \in \N$, s.d. $\sqrt[n]{|a_n|} < \frac{1}{\rho - \epsilon} $ $\forall n \ge N_0$
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
Binary file not shown.
@@ -1,22 +0,0 @@
|
||||
\documentclass[titlepage]{../../../lecture}
|
||||
|
||||
\usepackage{standalone}
|
||||
\usepackage{tikz}
|
||||
\usepackage{subcaption}
|
||||
|
||||
\title{Analysis II}
|
||||
\author{Prof. Dr. Ekaterina Kostina}
|
||||
\date{SoSe 2020}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\newgeometry{right=15mm, left=15mm}
|
||||
\maketitle
|
||||
\restoregeometry
|
||||
|
||||
\tableofcontents
|
||||
\newpage
|
||||
|
||||
\input{ana1.tex}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
Binary file not shown.
Reference in New Issue
Block a user