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\documentclass{../../../lecture}
\begin{document}
\begin{definition}[$a^{x}$]
Für $a > 0$ wird die Funktion $\exp_{a}\colon \R \to \R$ mit
$x \mapsto a^{x}$ definiert durch
\[
\exp_{a}(x) := a^{x} := \exp(x \ln a) = e^{x \ln a}
.\]
\end{definition}
\begin{lemma}[Eigenschaften von $a^{x}$]
Sei $a > 0$ :
\begin{enumerate}
\item $\exp_a\colon \R \to \R$ ist stetig
\item $\exp_a(x+y) = \exp_a(x) \cdot \exp_a(y) \quad \forall x,y \in \R$
\item $\exp_a(n) = a^{n} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-\text{mal}} \quad n \in \N$
\item $\exp_a(n) = a^{n} \quad n \in \Z$
\item $\exp_a\left( \frac{p}{q} \right) = \sqrt[q]{a^{p}} \quad \forall p \in \Z, q \in \N$
\item $a^{x}\cdot a^{y} = a^{x + y}$
\item $(a^{x})^{y} = a^{x\cdot y}$
\item $a^{x}b^{x} = (ab)^{x} \quad b > 0, x \in \R$
\item $\frac{1}{a^{x}} = a^{-x} \quad \forall x \in \R$
\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}
trivial.
\end{proof}
\subsection{Gleichmäßige Stetigkeit}
\begin{definition}[gleichmäßige Stetigkeit]
Eine Funktion $f\colon D \to \R$, $D \subset \R$ heißt
gleichmäßig stetig auf $D$, falls gilt:
\[
\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \text{ mit } |f(x) - f(y)| < \epsilon \quad \forall x, y \in D
\text{ mit } |x-y| < \delta
.\]
\end{definition}
\begin{bem} \begin{enumerate}
\item Jede gleichmäßige stetige Funktion auf $D$ ist auch stetig
\item Unterschied zwischen stetig und gleichmäßig stetig:
\begin{itemize}
\item stetig: $\delta$ hängt von $\epsilon$ und $x$ ab
\item gleichmäßig stetig: $\delta$ hängt nur von $\epsilon$ ab
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{bem}
\begin{bsp}
$f\colon ]0,1] \to \R$ mit $f(x) = \frac{1}{x}$
$f$ stetig, aber nicht gleichmäßig stetig.
\end{bsp}
\begin{proof}
Wähle $\epsilon = 1$. Angenommen: $\exists \delta > 0$ mit
$|f(x) - f(y)| < 1$ $\forall x, y \in ]0,1]$
mit $|x - y| < \delta$.
$\exists n \in \N$ mit $\frac{1}{n} < \delta$. Für $x := \frac{1}{n}$ und
$y := \frac{1}{2n}$ gilt $|x-y| = |\frac{1}{n} - \frac{1}{2n}| = |\frac{1}{2n}| < \delta$, aber
$|f(x) - f(y)| = |n-2n| = n \ge 1$. Widerspruch
\end{proof}
\begin{satz}
Auf kompakten Mengen (Intervallen) gilt: stetig $\iff$ gleichmäßig stetig
Sei $f\colon D \to \R$ und $D \subset \R$ kompakt. Dann ist
$f$ gleichmäßig stetig.
\end{satz}
\begin{proof}
Ang. $f$ ist nicht gleichmäßig stetig. Dann $\exists \epsilon_0 > 0$ mit
$\forall n \in \N$ $\exists x_n, y_n \in D$, s.d. $|x_n - y_n| < \frac{1}{n}$ und
$|f(x_n) - f(y_n)| \ge \epsilon_0$.
Folgenkompakt $\implies$ $\exists$ konvergente Teilfolge
$(x_{n_k})_{k \in \N}$, $x_{n_k} \to p \in D$.
$k \to \infty$. Dann konvergiert auch $(y_{n_k})_{k\in\N}$ gegen $p$,
d.h. $y_{n_k} \to p, k \to \infty$ (weil $|x_{n_k} - y_{n_k}| < \frac{1}{n_k}$ \\
$\implies \epsilon_0 \le |f(x_{n_k} - f(y_{n_k})| \to |f(p) - f(p)| = 0$.
Widerspruch
\end{proof}
\begin{definition}[Lipschitzstetigkeit]
Eine Funktion $f\colon D \to \R$ heißt lipschitz stetig auf $D$, falls
$\exists $ Konstante $L > 0$ (sog. Lipschitzkonstante), s.d.
\[
|f(x) - f(y)| \le L |x - y| \quad \forall x, y \in D
.\]
\end{definition}
\begin{bsp}[]
für $x = 3$ nicht lipschitzstetig.
\end{bsp}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}
\addplot[samples=100, domain=0:6]{-abs(1/(5*(x - 3)))+6};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\begin{bem}
Lipschitzstetige Funktionen sind gleichmäßig stetig (stärker
als gleichmäßige Stetigkeit)
\end{bem}
\subsection{Trigonometrische Funktionen}
\begin{satz}
Für $x \in \R$ definiere $\cos(x) := \text{Re}(e^{-x})$ und
$\sin(x) := \text{Im}(e^{ix})$. Dann gilt
$\forall x \in \R$.
\begin{enumerate}
\item $e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$ (Eulersche Formel)
\item $\cos(x) = \frac{1}{2}\left( e^{ix} + e^{-ix} \right) $ \\
$\sin(x) = \frac{1}{2i}\left( e^{ix} - e^{-ix} \right) $
\item $\cos(-x) = \cos(x)$ \\
$\sin(-x) = - \sin(x)$
\item $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$
\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
trivial.
\end{proof}
\begin{satz}[$\cos$ und $\sin$ sind stetig]
Restgliedabschätzung von $\exp(x)$ gilt auch für komplexe $z \in \mathbb{C}$
\[
(|R_{n+1}(z)| \le 2 \frac{|z|^{N+1}}{(N+1)!}
.\] Damit folgt für eine Nullfolge in $\mathbb{C}$
($z_n \to 0, n \to \infty, z_n \in \mathbb{C}$ ) \\
$\implies \exp(z_n) \to \exp(0) = 1, n \to \infty$
Mit Funktionalgleichung $\exp(x\cdot y) = \exp(x) + \exp(y)$ gilt
für eine Folge $(z_n)_{n\in\N}, z_n \to a, n \to \infty$ in $\mathbb{C}$
$\implies \exp(z_n) \to \exp(a)$.
($z_n - a \to 0, \exp(z_n - a) \to 1 \implies
\lim_{n \to \infty} \exp(z_n) = \lim_{n \to \infty}
\left(\exp(a) \cdot \exp(z_n - a) \right) = \exp(a)) $
Sei $a \in \R$ und $x_n \to a, x_n \in \R$. Dann
$\exp(ix_n) \to \exp(ia)$ mit Re / Im
($\text{Re}(z_n) \to \text{Re}(a)$, $\text{Im}(z_n) \to \text{Im}(a)$
, $z_n \to a$ in $\mathbb{C}$.
$\implies \cos(x_n) \to \cos(a)$ und $\sin(x_n) \to \sin(a)$ \\
$\implies$ Stetigkeit
\end{satz}
\begin{satz}[Additionstheoreme]
$\forall x, y \in \R$ gilt:
\begin{enumerate}
\item $\cos(x+y) = \cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y$ \\
$\sin(x+y) = \sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y$
\item $\sin x - \sin y = 2 \cos\left( \frac{x+y}{2} \right)
\cdot \sin\left( \frac{x - y}{2} \right) $ \\
$\cos x - \cos y = - 2 \cdot \sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cdot
\sin \left( \frac{x - \frac{y}{2}}{} \right)$
\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item \begin{align*}
\cos (x+y) + i \sin (x+y) &= e^{i(x+y)} = e^{ix} \cdot e^{iy} \\
&= (\cos x + i \sin x)(\cos y + i \sin y) \\
&= \underbrace{\cos x \cos y - \sin x \sin y}_{\text{Re}} + i \underbrace{(\sin x \cos y + \cos x \sin y)}_{\text{Im}}
.\end{align*}
\item Setze $u := \frac{x+y}{2}, v := \frac{x - y}{2}$.
$x = u + v, y = u-v$.\\
\begin{align*}
\sin x - \sin y &= \sin (u+v) - \sin (u - v) \\
&= \sin u \cdot \cos v + \cos u \cdot \sin v
- (\sin u \underbrace{\cos(-v)}_{= \cos v}
+ \cos u \cdot \underbrace{\sin(-v)}_{- \sin v}) \\
&= 2 \cos u \sin v
= 2 \cos \frac{x+y}{2} \cdot \sin \frac{x - y}{2}
.\end{align*}
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{document}
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+8 -5
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@@ -40,7 +40,10 @@
\implies &v \neq a(b(v)) \quad \forall v \in V \setminus \{0\} \quad (*)
\intertext{Sei nun $w \in K^{m}$ mit $id_{K^{m}} - b(a(w)) = 0$.}
\implies & w = b(a(w)) \\
\stackrel{\text{(a) und } * }{\implies} &w = 0
\stackrel{\text{(a) und } * }{\implies} & \forall w \in
K^{m} \setminus \{0\} \colon w \neq (b(a(w)) \\
\implies &w = 0 \\
\implies & \text{ker}(id_{K^{m}} - b \circ a) = \{0\}
.\end{align*}
Damit ist $id_{K^{m}} - b \circ a$ ein injektiver Endomorphismus, also
auch bijektiv, also Automorphismus.\\
@@ -188,7 +191,7 @@
\to
\begin{gmatrix}[p] 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{gmatrix}
\intertext{$\implies$ Rang 0 \vspace{2mm} \newline
\intertext{$\implies$ Rang 1 \vspace{2mm} \newline
Für $a \neq 1 \land a \neq -1 \implies 1 - a^2 \neq 0$, damit:}
&\begin{gmatrix}[p]
a & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & a
@@ -254,7 +257,7 @@
Beh.:
\[
T = M_{\underline{e}}^{\underline{v}}(\text{id}_V) =
\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}
.\]
\begin{proof}
Zu Überprüfen für die zwei Basisvektoren aus $\underline{v}$.
@@ -262,14 +265,14 @@
\item $v_1 = (1,2)^{t}$. $\phi(v_1) = (1,0)^{t}$.
\begin{align*}
\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}
.\end{align*}
\item $v_2 = (0,-1)^{t}$. $\phi(v_2) = (0,1)^{t}$.
\begin{align*}
\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}
.\end{align*}