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ws2019/ana/lectures/analysis18.tex

@@ -0,0 +1,190 @@
+\documentclass{../../../lecture}
+
+\begin{document}
+
+\begin{definition}[$a^{x}$]
+    Für $a > 0$ wird die Funktion $\exp_{a}\colon \R \to \R$ mit
+    $x \mapsto a^{x}$ definiert durch
+    \[
+        \exp_{a}(x) := a^{x} := \exp(x \ln a) = e^{x \ln a}
+    .\] 
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}[Eigenschaften von $a^{x}$]
+    Sei $a > 0$ :
+    \begin{enumerate}
+        \item $\exp_a\colon \R \to \R$ ist stetig
+        \item $\exp_a(x+y) = \exp_a(x) \cdot \exp_a(y) \quad \forall x,y \in \R$
+        \item $\exp_a(n) = a^{n} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-\text{mal}} \quad n \in \N$ 
+        \item $\exp_a(n) = a^{n} \quad n \in \Z$
+        \item $\exp_a\left( \frac{p}{q} \right) = \sqrt[q]{a^{p}} \quad \forall p \in \Z, q \in \N$
+        \item $a^{x}\cdot a^{y} = a^{x + y}$ 
+        \item $(a^{x})^{y} = a^{x\cdot y}$
+        \item $a^{x}b^{x} = (ab)^{x} \quad b > 0, x \in \R$
+        \item $\frac{1}{a^{x}} = a^{-x} \quad \forall x \in \R$
+    \end{enumerate}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    trivial.
+\end{proof}
+
+\subsection{Gleichmäßige Stetigkeit}
+
+\begin{definition}[gleichmäßige Stetigkeit]
+    Eine Funktion $f\colon D \to \R$, $D \subset \R$ heißt
+    gleichmäßig stetig auf $D$, falls gilt:
+    \[
+        \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \text{ mit } |f(x) - f(y)| < \epsilon \quad \forall x, y \in D
+        \text{ mit } |x-y| < \delta
+    .\] 
+\end{definition}
+
+\begin{bem} \begin{enumerate}
+        \item Jede gleichmäßige stetige Funktion auf $D$ ist auch stetig
+        \item Unterschied zwischen stetig und gleichmäßig stetig:
+            \begin{itemize}
+                \item stetig: $\delta$ hängt von $\epsilon$ und $x$ ab
+                \item gleichmäßig stetig: $\delta$ hängt nur von $\epsilon$ ab
+            \end{itemize}
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\begin{bsp}
+    $f\colon ]0,1] \to \R$ mit $f(x) = \frac{1}{x}$
+
+    $f$ stetig, aber nicht gleichmäßig stetig.
+\end{bsp}
+
+\begin{proof}
+    Wähle $\epsilon = 1$. Angenommen: $\exists \delta > 0$ mit
+    $|f(x) - f(y)| < 1$ $\forall x, y \in ]0,1]$ 
+    mit $|x - y| < \delta$.
+
+    $\exists n \in \N$ mit $\frac{1}{n} < \delta$. Für $x := \frac{1}{n}$ und
+    $y := \frac{1}{2n}$ gilt $|x-y| = |\frac{1}{n} - \frac{1}{2n}| = |\frac{1}{2n}| < \delta$, aber
+    $|f(x) - f(y)| = |n-2n| = n \ge 1$. Widerspruch
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+    Auf kompakten Mengen (Intervallen) gilt: stetig $\iff$ gleichmäßig stetig
+
+    Sei $f\colon D \to \R$ und $D \subset \R$ kompakt. Dann ist
+    $f$ gleichmäßig stetig.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Ang. $f$ ist nicht gleichmäßig stetig. Dann $\exists \epsilon_0 > 0$ mit
+    $\forall n \in \N$ $\exists x_n, y_n \in D$, s.d. $|x_n - y_n| < \frac{1}{n}$ und
+    $|f(x_n) - f(y_n)| \ge \epsilon_0$.
+
+    Folgenkompakt $\implies$ $\exists$ konvergente Teilfolge
+    $(x_{n_k})_{k \in \N}$, $x_{n_k} \to p \in D$.
+
+    $k \to \infty$. Dann konvergiert auch $(y_{n_k})_{k\in\N}$ gegen $p$,
+    d.h. $y_{n_k} \to p, k \to \infty$ (weil $|x_{n_k} - y_{n_k}| < \frac{1}{n_k}$ \\
+    $\implies \epsilon_0 \le |f(x_{n_k} - f(y_{n_k})| \to |f(p) - f(p)| = 0$.
+    Widerspruch
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Lipschitzstetigkeit]
+    Eine Funktion $f\colon D \to \R$ heißt lipschitz stetig auf $D$, falls
+    $\exists $ Konstante $L > 0$ (sog. Lipschitzkonstante), s.d.
+    \[
+        |f(x) - f(y)| \le L |x - y| \quad \forall x, y \in D
+    .\] 
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}[]
+    für $x = 3$ nicht lipschitzstetig.
+\end{bsp}
+
+\begin{tikzpicture}
+    \begin{axis}
+        \addplot[samples=100, domain=0:6]{-abs(1/(5*(x - 3)))+6};
+    \end{axis}
+\end{tikzpicture}
+
+\begin{bem}
+    Lipschitzstetige Funktionen sind gleichmäßig stetig (stärker
+    als gleichmäßige Stetigkeit)
+\end{bem}
+
+\subsection{Trigonometrische Funktionen}
+
+\begin{satz}
+    Für $x \in \R$ definiere $\cos(x) := \text{Re}(e^{-x})$ und
+    $\sin(x) := \text{Im}(e^{ix})$. Dann gilt
+    $\forall x \in \R$.
+    \begin{enumerate}
+        \item $e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$ (Eulersche Formel)
+        \item $\cos(x) = \frac{1}{2}\left( e^{ix} + e^{-ix} \right) $ \\
+            $\sin(x) = \frac{1}{2i}\left( e^{ix} - e^{-ix} \right) $ 
+        \item $\cos(-x) = \cos(x)$ \\
+            $\sin(-x) = - \sin(x)$
+        \item $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    trivial.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[$\cos$ und $\sin$ sind stetig]
+    Restgliedabschätzung von $\exp(x)$ gilt auch für komplexe $z \in \mathbb{C}$
+    \[
+        (|R_{n+1}(z)| \le 2 \frac{|z|^{N+1}}{(N+1)!}
+    .\] Damit folgt für eine Nullfolge in $\mathbb{C}$
+    ($z_n \to 0, n \to \infty, z_n \in \mathbb{C}$ ) \\
+    $\implies \exp(z_n) \to \exp(0) = 1, n \to \infty$
+
+    Mit Funktionalgleichung $\exp(x\cdot y) = \exp(x) + \exp(y)$ gilt
+    für eine Folge $(z_n)_{n\in\N}, z_n \to a, n \to \infty$ in $\mathbb{C}$ 
+    $\implies \exp(z_n) \to \exp(a)$.
+    ($z_n - a \to 0, \exp(z_n - a) \to 1 \implies
+    \lim_{n \to \infty} \exp(z_n) = \lim_{n \to \infty}
+    \left(\exp(a) \cdot \exp(z_n - a)  \right) = \exp(a)) $
+
+    Sei $a \in \R$ und $x_n \to a, x_n \in \R$. Dann
+    $\exp(ix_n) \to \exp(ia)$ mit Re / Im
+    ($\text{Re}(z_n) \to \text{Re}(a)$, $\text{Im}(z_n) \to \text{Im}(a)$
+    , $z_n \to a$ in $\mathbb{C}$.
+
+    $\implies \cos(x_n) \to \cos(a)$ und $\sin(x_n) \to \sin(a)$ \\
+    $\implies$ Stetigkeit
+\end{satz}
+
+\begin{satz}[Additionstheoreme]
+    $\forall x, y \in \R$ gilt:
+    \begin{enumerate}
+        \item $\cos(x+y) = \cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot  \sin y$ \\
+            $\sin(x+y) = \sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y$
+        \item $\sin x - \sin y = 2 \cos\left( \frac{x+y}{2} \right)
+            \cdot \sin\left( \frac{x - y}{2} \right) $ \\
+            $\cos x - \cos y = - 2 \cdot \sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cdot 
+            \sin \left( \frac{x - \frac{y}{2}}{} \right)$
+    \end{enumerate} 
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}
+        \item \begin{align*}
+                \cos (x+y) + i \sin (x+y) &= e^{i(x+y)} = e^{ix} \cdot e^{iy} \\
+                &= (\cos x + i \sin x)(\cos y + i \sin y) \\
+                &= \underbrace{\cos x \cos y - \sin x \sin y}_{\text{Re}} + i \underbrace{(\sin x \cos y + \cos x \sin y)}_{\text{Im}}
+            .\end{align*}
+        \item Setze $u := \frac{x+y}{2}, v := \frac{x - y}{2}$.
+
+            $x = u + v, y = u-v$.\\
+            \begin{align*}
+                \sin x - \sin y &= \sin (u+v) - \sin (u - v) \\
+                                &= \sin u \cdot \cos v + \cos u \cdot \sin v
+                                - (\sin u \underbrace{\cos(-v)}_{= \cos v}
+                                + \cos u \cdot \underbrace{\sin(-v)}_{- \sin v}) \\
+                                &= 2 \cos u \sin v
+                                = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cdot \sin \frac{x - y}{2}
+            .\end{align*}
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\end{document}

ws2019/la/uebungen/la9.tex

@@ -40,7 +40,10 @@
                     \implies &v \neq a(b(v)) \quad \forall v \in V \setminus \{0\} \quad (*)
                     \intertext{Sei nun $w \in K^{m}$ mit $id_{K^{m}} - b(a(w)) = 0$.}
                     \implies & w = b(a(w)) \\
-                    \stackrel{\text{(a) und } * }{\implies} &w = 0
+                    \stackrel{\text{(a) und } * }{\implies} & \forall w \in
+                    K^{m} \setminus \{0\} \colon w \neq (b(a(w)) \\
+                    \implies &w = 0 \\
+                    \implies & \text{ker}(id_{K^{m}} - b \circ a) = \{0\}  
                 .\end{align*}
                 Damit ist $id_{K^{m}} - b \circ a$ ein injektiver Endomorphismus, also
                 auch bijektiv, also Automorphismus.\\
@@ -188,7 +191,7 @@
         \to
         \begin{gmatrix}[p] 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0
         \end{gmatrix}
-        \intertext{$\implies$ Rang 0 \vspace{2mm} \newline
+        \intertext{$\implies$ Rang 1 \vspace{2mm} \newline
         Für $a \neq 1 \land a \neq -1 \implies 1 - a^2 \neq 0$, damit:}
         &\begin{gmatrix}[p]
             a & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & a
@@ -254,7 +257,7 @@
             Beh.:
             \[
                 T = M_{\underline{e}}^{\underline{v}}(\text{id}_V) =
-                \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} 
+                \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} 
             .\] 
             \begin{proof}
                 Zu Überprüfen für die zwei Basisvektoren aus $\underline{v}$.
@@ -262,14 +265,14 @@
                     \item $v_1 = (1,2)^{t}$. $\phi(v_1) = (1,0)^{t}$.
                         
                         \begin{align*}
-                            \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
+                            \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}
                             \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
                             = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}
                         .\end{align*}
                     \item $v_2 = (0,-1)^{t}$. $\phi(v_2) = (0,1)^{t}$.
                         
                         \begin{align*}
-                            \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
+                            \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}
                             \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
                             = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}
                         .\end{align*}