update ana1

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@@ -79,7 +79,27 @@
                     = f(\psi(x)) \psi'(x) - f(\varphi(x)) \varphi'(x)
                 .\end{align*}
             \end{proof}
-        \item
+        \item Sei $f\colon [a,b] \to \R$ stetig differenzierbar mit $f(a) = 0$.
+
+            Beh.:
+            \[
+                \int_{a}^{b} |f(x)f'(x)| \d x \le \frac{b-a}{2} \int_{a}^{b} f'(x)^2 \d x 
+            .\] 
+            \begin{proof}
+                Definiere $G(x) := \int_{a}^{x} |f'(t)| \d t $. Es folgt $G(a) = f(a) = 0$. Dann gilt
+                $\forall x \in [a,b]$: $G(x) \ge 0$ und $G(x) \ge f(x)$.
+                Außerdem ist $G'(x) = |f'(x)|$.
+                Damit folgt:
+                \begin{align*}
+                    \int_{a}^{b} |f(x)f'(x)| \d x \qquad
+                    &\le \qquad \int_{a}^{b} G(x)G'(x) \d x  \\
+                    &= \qquad \frac{1}{2} \int_{a}^{b} (G^2(x))' \d x  \\
+                    &\stackrel{G(a) = 0}{=} \qquad \frac{1}{2} G(b)^2 \\
+                    &\stackrel{G(a) = 0}{=} \qquad \frac{1}{2} \left| \int_{a}^{b} G'(x) \d x \right|^2 \\
+                    &\stackrel{\text{CSU}}{\le} \qquad \frac{1}{2} \int_{a}^{b} 1 \d x \cdot \int_{a}^{b} G'(x)^2 \d x  \\
+                    &\stackrel{G'(x) = |f'(x)|}{=} \qquad \frac{b-a}{2} \cdot \int_{a}^{b} f'(x)^2 \d x 
+                .\end{align*}
+            \end{proof}
     \end{enumerate}
 \end{aufgabe}
 
@@ -114,7 +134,7 @@
         Zu zeigen: $f_n$ nicht gleichmäßig konvergent.
 
         Sei $\epsilon > 0$ und $n \in \N$ mit $n > \frac{\epsilon \cdot 16}{\sqrt{27} }$. Dann wähle
-        $x_0 = \frac{1}{\sqrt{3} n}$. Damit folgt
+        $x_0 = \frac{1}{\sqrt{3} n}$. Mit $f_n(x_0) = \frac{\sqrt{27} n}{16}$ folgt
         \[
             |f_n(x_0) - f(x_0)| = |f_n(x_0)|
             = \left| \frac{\sqrt{27} n}{16} \right|