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\documentclass[uebung]{../../../lecture} |
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\begin{document} |
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% punkte tabelle |
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\begin{tabular}{|c|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|@{}m{0cm}@{}} |
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\hline |
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Aufgabe & \centering A1 & \centering A2 & \centering A3 & \centering A4 & \centering A5 & \centering $\sum$ & \\[5mm] \hline |
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Punkte & & & & & & & \\[5mm] \hline |
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\end{tabular} |
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\title{Analysis II: Übungsblatt 1} |
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\author{Leon Burgard, Christian Merten} |
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\begin{aufgabe} |
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Integralberechnung |
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\begin{enumerate}[(a)] |
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\item Integration von Monom |
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\[ |
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\int_{0}^{1} \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x} } } \d x = \int_{0}^{1} \sqrt{\sqrt{\sqrt{x^{7}} } } \d x |
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= \int_{0}^{1} x^{\frac{7}{8}} \d x = \frac{8}{15} x^{\frac{15}{8}} \Big|_{0}^{1} = \frac{8}{15} |
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.\] |
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\item Produktintegration |
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\begin{align*} |
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\int_{0}^{1} e^{x}(1 - x + x^2) \d x |
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&= e^{x}(1 - x + x^2) \Big|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x}(2x-1) \d x \\ |
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&= e^{x}(1 - x + x^2) \Big|_{0}^{1} - \left( e^{x}(2x-1) - \int_{0}^{1} 2e^{x} \d x \right) \\ |
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&= e^{x}(1 - x + x^2) \Big|_{0}^{1} - e^{x}(2x-1) \Big|_{0}^{1} + 2e^{x} \Big|_{0}^{1} \\ |
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&= e^{x}(x^2 - 3x+4) \Big|_{0}^{1} \\ |
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&= 2e - 4 |
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.\end{align*} |
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\item Mit Substitution $t = x^2$ folgt |
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\begin{align*} |
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\int_{0}^{1} e^{x^2} x^{3} \d x |
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= \int_{0}^{1} e^{t} tx \frac{\d t}{2x} |
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= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{t}\cdot t \d t |
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= \frac{1}{2} \left( e^{t}\cdot t \Big|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{t} \d t\right) |
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= \frac{1}{2} |
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.\end{align*} |
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\item Mit $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2(x)}$ folgt |
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\begin{align*} |
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\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2(x)} \d x |
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&= \tan(x) \cdot x \Big|_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \d x |
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\intertext{Mit Substitution $t = \cos x$ folgt} |
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\int \tan x \d x |
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&= \int \frac{\sin x}{\cos x} \d x |
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= - \int \frac{\sin x}{t} \frac{\d x}{\sin x} |
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= - \int \frac{1}{t} \d t |
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= - \ln t |
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= - \ln(\cos x) |
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\intertext{Damit folgt} |
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\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2(x)} \d x |
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&= \frac{\pi}{4} + \ln(\cos x) \Big|_{0}^{\frac{\pi}{4}} |
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= \frac{\pi}{4} + \ln\frac{\sqrt{2} }{2} |
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= \frac{1}{4} (\pi - \ln 4) |
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.\end{align*} |
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\end{enumerate} |
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\end{aufgabe} |
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\begin{aufgabe} |
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Weitere Eigenschaften von Integralen |
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\begin{enumerate}[(a)] |
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\item Sei $f\colon [a,b] \to \R$ stetig und $\varphi, \psi\colon [c,d] \to [a,b]$ differenziebar. |
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|
Beh.: |
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\[ |
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\frac{d}{\d x} \int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(t) \d t = |
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f(\psi(x)) \psi'(x) - f(\varphi(x)) \varphi'(x), \quad x \in [c, d] |
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.\] |
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\begin{proof} |
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$f$ stetig auf $[a,b]$, d.h. es ex. eine Stammfunktion $F$ von $f$ mit $F'(x) = f(x)$. Nach |
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dem HDI gilt dann |
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\[ |
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\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(t) \d t = F(\psi(x)) - F(\varphi(x)) |
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.\] Damit folgt mit Kettenregel |
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\begin{align*} |
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\frac{d}{\d x} \left( F(\psi(x)) - F(\varphi(x)) \right) |
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= \frac{d}{\d x} F(\psi(x)) - \frac{d}{\d x} F(\varphi(x)) |
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= f(\psi(x)) \psi'(x) - f(\varphi(x)) \varphi'(x) |
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.\end{align*} |
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\end{proof} |
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|
\item |
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\end{enumerate} |
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\end{aufgabe} |
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\begin{aufgabe}[Funktionenfolgen und Integration] |
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Für $n \in \N$ sei $f_n\colon [0, \infty) \to \R$ definiert durch |
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\[ |
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f_n(x) := \frac{n^2 x}{(1+n^2x^2)^2} |
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.\] Beh.: |
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\[ |
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\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f_n(x) \d x \neq \int_{0}^{1} \lim_{n \to \infty} f_n(x) \d x |
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.\] |
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\begin{proof} |
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Zunächst linke Seite mit Substitution $t = 1+n^2x^2$: |
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\[ |
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\int_{0}^{1} \frac{n^2x}{(1+n^2x^2)^2} \d x |
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= \frac{1}{2} \int_{1}^{1+n^2} \frac{\d t}{t^2} |
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= - \frac{1}{2} \frac{1}{t} \Big|_{1}^{1+n^2} |
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= - \frac{1}{2 + 2n^2} + \frac{1}{2} |
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\xrightarrow{n \to \infty} \frac{1}{2} |
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.\] Zu zeigen: $f_n \xrightarrow[\text{punktweise}]{n \to \infty} f(x) := 0$. Sei $x \in \R$ beliebig. |
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\[ |
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|f_n(x) - f(x)| |
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= \left| \frac{x}{\frac{1}{n^2} + 2x^2 + n^2x^{4}} \right| \xrightarrow{n \to \infty} 0 |
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.\] Damit folgt |
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\[ |
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\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f_n(x) \d x = \frac{1}{2} \neq 0 = \int_{0}^{1} 0 \d x |
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= \int_{0}^{1} \lim_{n \to \infty} f_n(x) \d x |
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.\] |
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\end{proof} |
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Da $f_n$ nicht gleichmäßig konvergent ist, ist Satz 1.3.1 nicht anwendbar. |
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\begin{proof} |
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Zu zeigen: $f_n$ nicht gleichmäßig konvergent. |
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Sei $\epsilon > 0$ und $n \in \N$ mit $n > \frac{\epsilon \cdot 16}{\sqrt{27} }$. Dann wähle |
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$x_0 = \frac{1}{\sqrt{3} n}$. Damit folgt |
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\[ |
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|f_n(x_0) - f(x_0)| = |f_n(x_0)| |
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= \left| \frac{\sqrt{27} n}{16} \right| |
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> \left| \frac{\sqrt{27} \epsilon 16}{16\sqrt{27}} \right| |
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= \epsilon |
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.\] |
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\end{proof} |
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\end{aufgabe} |
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\begin{aufgabe}[Uneigentliche Integrale und Funktionenfolgen] |
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Für $n \in \N$ sei $f_n \colon [0, \infty) \to \R$ definiert durch |
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\[ |
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f_n(x) := \frac{1}{n} e^{-\frac{x}{n}}, \quad x \ge 0 |
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.\] Beh.: $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig, aber |
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\[ |
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\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\infty} f_n(x) \d x \neq \int_{0}^{\infty} \lim_{n \to \infty} f_n(x) \d x |
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.\] |
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\begin{proof} |
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Zu zeigen: $f_n \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f(x) := 0$. |
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Sei $\epsilon > 0$ und $x \in [0, \infty)$ beliebig. Wähle $n_0 > \frac{1}{\epsilon}$. Wegen |
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$x \ge 0$ und $n \ge 1$, folgt $\frac{x}{n} \ge 0 \implies e^{-\frac{x}{n}} \le 1$. |
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Damit folgt direkt $\forall n \in \N$, $n \ge n_0$: |
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\[ |
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\left| \frac{1}{n} e^{-\frac{x}{n}} - 0 \right| \le \frac{1}{n} \cdot 1 \le \frac{1}{n_0} |
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< \frac{1}{\frac{1}{\epsilon}} = \epsilon |
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.\] $\implies f_n \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f(x)$. |
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Damit folgt |
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\[ |
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\int_{0}^{1} \frac{1}{n} e^{-\frac{x}{n}} \d x |
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= - e^{-\frac{x}{n}} \Big|_{0}^{\infty} = - \left( \lim_{x \to \infty} e^{-\frac{x}{n}} - 1 \right) |
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= 1 \neq 0 = \int_{0}^{\infty} f(x) \d x = \int_{0}^{\infty} \lim_{n \to \infty} f_n(x) \d x |
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.\] |
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\end{proof} |
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$[0, \infty)$ ist kein kompaktes Intervall, weshalb Satz 1.3.1 nicht anwendbar ist. |
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\end{aufgabe} |
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\begin{aufgabe}[Stammfunktionen] |
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Mit Produktintegration folgt sofort |
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\begin{align*} |
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&\int \cos(x) \sin(x) \d x = - \cos^2(x) - \int \cos(x) \sin(x) \d x \\ |
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\implies & 2 \int \cos(x) \sin(x) \d x = - \cos^2(x) \\ |
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\implies & \int \cos(x) \sin(x) \d x = - \frac{1}{2} \cos^2(x) |
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.\end{align*} |
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\end{aufgabe} |
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\end{document} |
