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@@ -0,0 +1,834 @@ |
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\documentclass[a4paper]{../bachelorarbeit/arbeit} |
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\usepackage[utf8]{inputenc} |
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\usepackage[T1]{fontenc} |
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\usepackage{textcomp} |
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\usepackage[german]{babel} |
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\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm} |
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\usepackage{tikz-cd} |
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\makeatletter |
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\newcommand{\colim@}[2]{% |
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\vtop{\m@th\ialign{##\cr |
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\hfil$#1\operator@font colim$\hfil\cr |
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\noalign{\nointerlineskip\kern1.5\ex@}#2\cr |
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\noalign{\nointerlineskip\kern-\ex@}\cr}}% |
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} |
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\newcommand{\colim}{% |
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\mathop{\mathpalette\colim@{\rightarrowfill@\textstyle}}\nmlimits@ |
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} |
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\makeatother |
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\newcommand{\spec}{\operatorname{Spec }} |
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\begin{document} |
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\section{Projektive Moduln und Algebren} |
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\begin{satz}[Projektiv ist lokal frei] |
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Sei $A$ ein Ring und $M$ ein $A$-Modul. Die folgenden Eigenschaften sind äquivalent: |
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\begin{enumerate}[(i)] |
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\item $M$ ist endlich erzeugter projektiver $A$-Modul. |
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\item $M$ ist endlich präsentiert und $M_{\mathfrak{p}}$ ist freier |
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$M_{\mathfrak{p}}$-Modul für alle $\mathfrak{p} \in \spec A$. |
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\item Es existieren Elemente $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$ mit $\sum_{i \in I} (f_i) = A$, sodass |
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$M_{f_i}$ freier, endlich erzeugter $A_{f_i}$ Modul ist. |
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\end{enumerate} |
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\label{satz:projectiveislocallyfree} |
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\end{satz} |
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\begin{proof} |
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Siehe Theorem 4.6 in \cite{lenstra}. |
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\end{proof} |
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\begin{satz} |
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Sei $B$ eine $A$-Algebra und $C$ eine treuflache $A$-Algebra, sodass |
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$B \otimes_A C$ projektive, separable $C$-Algebra ist. Dann ist $B$ projektive, separable $A$-Algebra. |
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\label{satz:4.14} |
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\end{satz} |
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\begin{proof} |
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Vortrag 8. Theorem 4.14 in \cite{lenstra}. |
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\end{proof} |
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\begin{satz} |
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Sei $A$ ein Ring und $B$ projektive separable $A$-Algebra. Dann |
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existiert eine $B$-Algebra $C$ und ein $B$-Algebraisomorphismus |
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$B \otimes_A B \to B \times C$. |
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\label{satz:4.16} |
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\end{satz} |
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\begin{proof} |
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Vortrag 8. Proposition 4.16 in \cite{lenstra}. |
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\end{proof} |
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\section{Endlich étale Morphismen} |
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\begin{definition} |
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Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus. |
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|
$f$ ist \emph{endlich und lokal frei}, wenn eine Familie $(f_i)_{i \in I}$ existiert, sodass |
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|
$A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und $B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_{i}}$ Algebra ist für alle $i \in I$. |
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%Sei $f\colon Y \to X$ ein affiner Morphismus von Schemata. $f$ ist \emph{endlich und lokal frei}, wenn |
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%eine offene affine Überdeckung $\{U_i\}_{i \in I}$ existiert mit $U_i = \text{Spec }A_i$, sodass |
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|
|
%$f^{-1}(U_i) = \text{Spec }B_i$, wobei $B_i$ eine endliche und freie $A_i$-Algebra ist. |
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\end{definition} |
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\begin{lemma}[] |
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Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus und $S \subseteq A$ ein multiplikatives System. Dann |
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ist $f(S)$ ein multiplikatives System von $B$ und |
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\[ |
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S^{-1}B \simeq f(S)^{-1}B |
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\] als $S^{-1}A$-Algebren. |
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\label{lemma:localisation} |
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\end{lemma} |
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\begin{proof} |
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Die Formel $\frac{b}{s} \mapsto \frac{b}{f(s)}$ induziert den Isomorphismus. |
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\end{proof} |
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%\begin{lemma} |
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% Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus und $\varphi\colon \text{Spec }B \to \text{Spec }A$ der induzierte |
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|
% Morphismus affiner Schemata. Sei $g \in A$. Dann ist |
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% \[ |
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% \varphi^{-1}(D(g)) = D(f(g)) |
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|
% .\] Insbesondere gilt |
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% \[ |
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% \varphi^{-1}(\text{Spec }A_g) = \text{Spec }B_g |
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% .\] |
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% \label{lemma:d(f)} |
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%\end{lemma} |
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% |
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%\begin{proof} |
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% Die erste Gleichung ist aus Algebra 2 bekannt und gilt allgemeiner für Morphismen lokal geringter Räume. Die |
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% zweite Gleichung folgt aus der Ersten, wenn der Isomorphismus $D(g) = \text{Spec }A_g$ eingesetzt wird, unter |
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% Verwendung des Ringisomorphismus |
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% \[ |
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% B_g = B \otimes_A A_g \simeq B_{f(g)} |
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% .\] |
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%\end{proof} |
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\begin{bem} |
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|
Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus. Dann ist $f$ genau dann endlich und lokal frei, |
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wenn $B$ endliche, projektive $A$-Algebra ist. |
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\label{satz:morph-local-free-char} |
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\end{bem} |
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\begin{proof} |
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\ref{satz:projectiveislocallyfree} |
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|
\end{proof} |
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\begin{satz}[Komposition] |
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Sei $A$ ein Ring, $B$ endliche, projektive $A$-Algebra und $C$ endliche, projektive $B$-Algebra. Dann |
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ist $C$ endliche, projektive $A$-Algebra. |
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\label{satz:composition-projective} |
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\end{satz} |
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\begin{proof} |
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Sei $A^{n} = B \oplus Q$ und $B^{m} = C \oplus P$. Dann haben wir Isomorphismen von $A$-Moduln |
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|
\[ |
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|
|
A^{mn} = (A^{n})^{m} = (B \oplus Q)^{m} = B^{m} \oplus Q^{m} = C \oplus P \oplus Q^{m} |
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|
|
.\] |
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\end{proof} |
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\begin{bem} |
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Sei $B$ endliche projektive $A$-Algebra und $\mathfrak{p} \in \spec A$. Nach \ref{satz:projectiveislocallyfree} |
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existiert eine Familie $\{f_i\}_{i \in I}$, sodass $A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und |
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$B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_i}$-Algebra. Da $\mathfrak{p} \subsetneq A$ existiert ein $i \in I$, sodass |
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|
$f_i \not\in \mathfrak{p}$. Also ist $A_{\mathfrak{p}} = (A_{f_i})_{\mathfrak{p}}$ und |
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|
$B_{\mathfrak{p}} = (B_{f_i})_{\mathfrak{p}}$, also insbesondere $B_{\mathfrak{p}}$ endliche freie |
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|
$A_{\mathfrak{p}}$-Algebra. |
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\end{bem} |
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\begin{definition}[Grad] |
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Sei $B$ endliche projektive $A$-Algebra. Dann ist |
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\[ |
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|
[ B : A ] \colon \spec A \to \Z, \mathfrak{p} \mapsto \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}}B_{\mathfrak{p}} |
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|
\] die \emph{Gradabbildung}. |
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\end{definition} |
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\begin{satz} |
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Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra. Dann gilt |
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\begin{enumerate}[(a)] |
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|
\item $A \to B$ ist genau dann injektiv, wenn $[B : A] \ge 1$. |
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|
\item $A \to B$ ist genau dann surjektiv, wenn $[B : A ] \le 1$. |
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|
|
\item $A \to B$ ist genau dann ein Isomorphismus, wenn $[ B : A ] = 1$. |
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|
\end{enumerate} |
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\label{satz:rings-degree} |
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\end{satz} |
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\begin{proof} |
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Vortrag 8. |
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\end{proof} |
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\begin{lemma} |
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Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra. Dann ist |
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$[B : A]$ lokalkonstant, das heißt eine stetige Abbildung $\spec A \to \Z$, wobei $\Z$ die diskrete |
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Topologie trägt. Insbesondere ist die Menge |
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\[ |
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\{\mathfrak{p} \in \spec A \mid [B : A](\mathfrak{p}) = n\} |
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\] offen und abgeschlossen in $\spec A$ und $[B : A]$ ist konstant, falls $\spec A$ zusammenhängend ist. |
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\end{lemma} |
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\begin{proof} |
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Erneut nach \ref{satz:projectiveislocallyfree} seien $\{f_i\}_{i \in I}$ in $A$, sodass |
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$A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und $B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_i}$-Algebra für alle $i \in I$. Dann |
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ist $\spec A = \bigcup_{i \in I} D(f_i)$, wobei $D(f_i) = \{ \mathfrak{p} \in \spec A \mid f_i \not\in p\}$. |
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Per Definition der Zariskitopologie auf $\spec A$ sind die Mengen $D(f_i)$ offen und |
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$[B : A]|_{D(f_i)}$ ist konstant. |
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\end{proof} |
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\begin{bem}[Offene und abgeschlossene Mengen in $\spec A$] |
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Sei $A$ ein Ring. Dann sind die offenen und abgeschlossenen Mengen in $\spec A$ |
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von der Form $D(e)$, wobei $e$ idempotent und eindeutig bestimmt ist. Insbesondere |
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existiert für alle $n \ge 0$ genau ein Idempotent $e$, sodass |
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$\{\mathfrak{p} \in \spec A \mid [ B : A](\mathfrak{p}) = n\} = D(e)$. |
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\label{bem:clopen-sets} |
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\end{bem} |
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\begin{definition}[Treuprojektive Algebren] |
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Sei $B$ endliche projektive $A$-Algebra. Dann ist $B$ \emph{treuprojektiv}, wenn $[B : A] \ge 1$. |
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\end{definition} |
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%\begin{definition}[Surjektive Algebren] |
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% Eine $A$-Algebra $B$ heißt $\emph{surjektiv}$, falls die induzierte Abbildung |
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% $\spec B \to \spec A$ surjektiv ist. |
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%\end{definition} |
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\begin{satz} |
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Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra. Dann ist |
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\begin{enumerate}[(a)] |
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|
\item $B = 0 \iff [B : A] = 0$. |
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|
\item $A \to B$ Isomorphismus $\iff [B : A] = 1$. |
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\item $\spec B \to \spec A$ surjektiv $\iff$ $B$ treuprojektive $A$-Algebra. |
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\end{enumerate} |
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\label{satz:degree} |
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\end{satz} |
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\begin{proof} |
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\begin{enumerate}[(a)] |
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\item $B = 0 \iff B_{\mathfrak{p}} = 0$ |
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|
$\forall \mathfrak{p} \in \spec A \iff \text{rang}_{A_{\mathfrak{p}}} B_{\mathfrak{p}} = 0$ |
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|
$\forall \mathfrak{p} \in \spec A$ |
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|
$\iff [B : A] = 0$. |
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\item Das ist \ref{satz:rings-degree}(c). |
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\item |
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Sei $\spec B \to \spec A$ surjektiv und sei $\mathfrak{p} \in \spec A$ mit Urbild |
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$\mathfrak{q} \in \spec{B}$. Also ist $B \neq 0$ und damit $B_{\mathfrak{q}} \neq 0$. |
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|
Sei $\varphi\colon A \to B$ der induzierte Ringhomomorphismus, |
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|
$S = \varphi(A \setminus \mathfrak{p})$ und $T = B \setminus \mathfrak{q}$. Wegen |
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$\mathfrak{p} = f(\mathfrak{q}) = \varphi^{-1}(\mathfrak{q})$, folgt |
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$S \subseteq T$. Und damit |
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\[ |
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|
B_{\mathfrak{q}} = T^{-1}B \simeq (S^{-1}T)^{-1}(S^{-1}B) = (S^{-1}T)^{-1} B_{\mathfrak{p}}, |
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|
|
\] also ist $B_{\mathfrak{q}}$ eine Lokalisierung von $B_{\mathfrak{p}}$. Also folgt |
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|
|
auch $B_{\mathfrak{p}} \neq 0$, also |
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$[ B : A ](\mathfrak{p}) > 0$. Rückrichtung: Mit \ref{satz:rings-degree}(a) ist $A \to B$ injektiv |
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und weil $B$ endliche $A$-Algebra, ist $B$ ganze Ringerweiterung von $A$, also folgt |
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die Aussage aus \cite{macdonald} Theorem 5.10. |
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|
\end{enumerate} |
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\end{proof} |
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\begin{definition}[Endlich étale Algebren] |
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Eine $A$-Algebra $B$ ist \emph{endlich étale}, wenn Elemente $\{f_i\}_{i \in I}$ existieren, sodass |
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|
|
$A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und $B_{f_i}$ freie, separable $A_{f_i}$-Algebra ist für alle $i \in I$. |
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|
|
\end{definition} |
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|
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|
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\begin{bem} |
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|
Jede endlich étale Algebra ist auch endlich und lokal frei, denn separable Algebren sind per Definition endlich. |
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\label{bem:finite-etale-is-locally-free} |
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|
|
\end{bem} |
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|
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%\begin{lemma} |
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% Seien $M, N$ $A$-Moduln und $M$ endlich präsentiert, d.h. es existiert eine exakte Folge |
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% \[ |
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|
|
% A^{m} \to A^{n} \to M \to 0 |
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|
|
% .\] Sei weiter $S \subset A$ ein multiplikatives System. Dann ist der natürliche $A$-Modul Homomorphismus |
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|
|
% \[ |
|
|
|
% S^{-1}\operatorname{Hom}_A(M, N) \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N) |
|
|
|
% \] ein Isomorphismus. |
|
|
|
% \label{lemma:localisation-finitely-pres} |
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|
|
%\end{lemma} |
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|
|
% |
|
|
|
%\begin{proof} |
|
|
|
% $S^{-1}A$ ist ein flacher $A$-Modul und $\operatorname{Hom}_A(-, N)$ bzw. $\operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(-, S^{-1}N)$ |
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|
|
% sind linksexakt. So erhalten wir exakte Folgen |
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|
|
% \[ |
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|
|
% 0 \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N) |
|
|
|
% \to (S^{-1}N)^{n} \to (S^{-1}N)^{m} |
|
|
|
% \] und |
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|
% \[ |
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|
|
% 0 \to S^{-1}\operatorname{Hom}_{A}(M, N) \to (S^{-1}N)^{n} \to (S^{-1}N)^{m} |
|
|
|
% .\] Das 5-er Lemma liefert das Ergebnis. |
|
|
|
%\end{proof} |
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\begin{lemma}[] |
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|
Sei $M$ endlich präsentierter $A$-Modul, das heißt es existiere eine exakte Folge |
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\[ |
|
|
|
A^{m} \to A^{n} \to M \to 0 |
|
|
|
.\] Sei weiter $C$ eine $A$-Algebra und $N$ ein $A$-Modul. |
|
|
|
Falls $N$ oder $C$ flach sind, ist der natürliche $C$-Modulhomomorphismus |
|
|
|
\[ |
|
|
|
\operatorname{Hom}_A(M, N) \otimes_A C \to \operatorname{Hom}_{C}(M \otimes_A C, N \otimes_A C) |
|
|
|
\] ein Isomorphismus. |
|
|
|
\label{lemma:tensor-and-hom} |
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|
|
\end{lemma} |
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|
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\begin{proof} |
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Da Tensorieren rechtsexakt ist und $\operatorname{Hom}_{C}(-, N \otimes_A C)$ linksexakt, erhalten wir durch anwenden |
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|
in dieser Reihenfolge auf die exakte Folge $A^{m} \to A^{n} \to M \to 0$, die exakte Folge |
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\[ |
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|
|
0 \to \operatorname{Hom}_{C}(M \otimes_A C, N \otimes_A C) \to (N \otimes_A C)^{n} \to (N \otimes_A C)^{m} |
|
|
|
.\] Andererseits liefert zunächst anwenden von $\operatorname{Hom}_{A}(-, N)$ die exakte Folge |
|
|
|
\[ |
|
|
|
0 \to \operatorname{Hom}_{A}(M, N) \to N^{n} \to N^{m} |
|
|
|
.\] Tensorieren mit $C$ liefert die exakte Folge |
|
|
|
\[ |
|
|
|
\underbrace{\operatorname{Tor}_{1}^{A}(N^{m}, C)}_{= 0} \to \operatorname{Hom}_{A}(M, N) \otimes_A C |
|
|
|
\to (N \otimes_A C)^{n} \to (N \otimes_A C)^{m} |
|
|
|
.\] Der linke Term verschwindet, weil $N^{m}$ oder $C$ flach ist. Untereinanderschreiben der beiden Folgen mit |
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|
den natürlichen Homomorphismen und Auffüllen mit $0$ nach links liefert ein kommutatives Diagramm und mit dem 5-er Lemma |
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die Behauptung. |
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\end{proof} |
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\begin{bem} |
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|
\ref{lemma:tensor-and-hom} wendet sich insbesondere dann an, wenn $M$ endlich erzeugter projektiver Modul ist. |
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|
|
\end{bem} |
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\begin{korollar} |
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|
Seien $M$, $N$ $A$-Moduln und $M$ endlich präsentiert. Sei weiter $S \subset A$ ein multiplikatives System. Dann |
|
|
|
ist der natürliche $S^{-1}A$-Modulhomomorphismus |
|
|
|
\[ |
|
|
|
S^{-1}\operatorname{Hom}_{A}(M, N) \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N) |
|
|
|
\] ein Isomorphismus. |
|
|
|
\label{lemma:localisation-finitely-pres} |
|
|
|
\end{korollar} |
|
|
|
|
|
|
|
%\begin{korollar} |
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|
% Ein Morphismus von Schemata $f\colon Y \to X$ ist genau dann endlich étale, wenn |
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|
% eine Basis von offenen affinen Mengen $\{U_i\}_{i \in I}$ von $X$ existiert, sodass |
|
|
|
% $U_i = \spec A_i$ und $f^{-1}(U_i) = \spec B_i$, wobei $B_i$ freie, separable $A_i$-Algebra ist. |
|
|
|
% |
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|
|
% \label{bem:finite-etale-basis} |
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|
|
%\end{korollar} |
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|
|
% |
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|
|
%\begin{proof} |
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|
|
% Die Rückrichtung ist klar. Für die Hinrichtung beachte, dass eine endliche, projektive $A$-Algebra $B$ genau dann |
|
|
|
% separabel ist, wenn der von der Spur induzierte $A$-Modulhomomorphismus $B \to \operatorname{Hom}_A(B, A)$ |
|
|
|
% ein Isomorphismus ist. Diese Eigenschaft bleibt nach \ref{lemma:localisation-finitely-pres} |
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|
|
% durch Lokalisieren erhalten. |
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|
%\end{proof} |
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|
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|
|
|
|
\begin{lemma} |
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|
|
Sei $B$ eine endliche, projektive $A$-Algebra. Dann ist $A \to B$ genau dann separabel, wenn |
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|
$A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ separabel ist für alle $\mathfrak{p} \in \spec A$. |
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\label{lemma:separable-is-local} |
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\end{lemma} |
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\begin{proof} |
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$A \to B$ ist genau dann separabel, wenn die von der Spur induzierte Abbildung |
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$B \to \operatorname{Hom}_{A}(B, A)$ ein Isomorphismus ist. Das |
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|
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ist eine lokale Eigenschaft. Da außerdem $B$ endlich erzeugter, projektiver $A$-Modul ist, das |
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|
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heißt insbesondere endlich präsentiert ist, folgt mit \ref{lemma:localisation-finitely-pres} |
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\[ |
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\operatorname{Hom}_{A}(B, A)_{\mathfrak{p}} = |
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|
|
\operatorname{Hom}_{A_{\mathfrak{p}}}(B_{\mathfrak{p}}, A_{\mathfrak{p}}) |
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|
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\] und damit die Behauptung. |
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\end{proof} |
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\begin{satz} |
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Sei $B$ eine $A$-Algebra. Dann ist $B$ genau dann endlich étale über $A$, wenn |
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$B$ projektive, separable $A$-Algebra ist. |
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\label{satz:equiv-finite-etale} |
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\end{satz} |
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\begin{proof} |
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($\Rightarrow$) |
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Nach \ref{bem:finite-etale-is-locally-free} ist $B$ endliche projektive $A$-Algebra. Weiter sei |
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$\{f_i\}_{i \in I}$ in $A$, sodass $A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und |
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|
$B_{f_i}$ endliche separable $A_{f_i}$ Algebra für alle $i \in I$. Nun sei $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann |
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existiert ein $i \in I$, sodass $f_i \not\in \mathfrak{p}$. Also |
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|
folgt $B_{\mathfrak{p}} = (B_{f_i})_{\mathfrak{p}}$ und $A_{\mathfrak{p}} = (A_{f_i})_{\mathfrak{p}}$. |
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|
Nach \ref{lemma:separable-is-local} ist also |
|
|
|
$A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ separabel. |
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|
Da $\mathfrak{p}$ beliebig war, folgt erneut mit \ref{lemma:separable-is-local} die Behauptung. |
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($\Leftarrow$) Sei $B$ projektive, separable $A$-Algebra. Nach \ref{satz:projectiveislocallyfree} |
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existieren $\{f_i\}_{i \in I}$, sodass $\sum_{i \in I} (f_i) = A$ und |
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$B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_i}$-Algebra. Da Lokalisieren Separabilität erhält, ist $B_{f_i}$ auch separabel |
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über $A_{f_i}$ und es folgt die Behauptung. |
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\end{proof} |
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\begin{satz}[Basiswechsel endlich projektive] |
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Sei $B$ endlich projektive $A$-Algebra und $C$ eine weitere $A$-Algebra. Dann |
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ist $B \otimes_A C$ endlich projektive $C$-Algebra. |
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Insbesondere kommutiert das folgende Diagramm |
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\[ |
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\begin{tikzcd} |
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\spec C \arrow[swap]{dr}{[B \otimes_A C : C]} \arrow[from=1-1,to=1-3] & & \spec A \arrow{dl}{[B : A]} \\ |
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|
|
& \Z &. |
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|
|
\end{tikzcd} |
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|
\] |
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\label{satz:basischange-projective} |
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\end{satz} |
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\begin{proof} |
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Da $B$ endlich erzeugter, projektiver $A$-Modul ist, |
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existiert ein $A$-Modul $Q$, sodass |
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|
$A^{n} \simeq B \oplus Q$ als $A$-Moduln für ein $n \ge 0$. Da der natürliche Isomorphismus |
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|
$A^{n} \otimes_A C \to C^{n}$ auch $C$-linear ist, folgt durch |
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Tensorieren mit $C$ |
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\[ |
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|
|
C^{n} \simeq A^{n} \otimes_A C \simeq (B \oplus Q) \otimes_A C = (B \otimes_A C) \oplus (Q \otimes_A C) |
|
|
|
.\] Also ist $B \otimes_A C$ (endlich erzeugter) projektiver $C$-Modul. |
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|
Für die Grade: Sei $\mathfrak{p} \in \spec C$ und $\mathfrak{q} \coloneqq \mathfrak{p}^{c}$. Sei |
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weiter $\text{rank}_{A_{\mathfrak{q}}} B_{\mathfrak{q}} = n$. Also |
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|
|
folgt |
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\[ |
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|
(B \otimes_A C)_{\mathfrak{q}} = B \otimes_A C \otimes_A A_{\mathfrak{q}} = B_{\mathfrak{q}} |
|
|
|
\otimes_A C = A_{\mathfrak{q}}^{n} \otimes_A C = (A^{n} \otimes_A C)_{\mathfrak{q}} = (C^{n})_{\mathfrak{q}} |
|
|
|
.\] Die natürlichen Isomorphismen sind auch $C_{\mathfrak{q}}$ linear, also folgt |
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|
$\text{rank}_{C_{\mathfrak{q}}} (B \otimes_A C)_{\mathfrak{q}} = n$. Da |
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|
|
$(B \otimes_A C)_{\mathfrak{p}}$ bzw. $C_{\mathfrak{p}}$ eine Lokalisierung von |
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|
$(B \otimes_A C)_{\mathfrak{q}}$ bzw. $C_{\mathfrak{q}}$ ist und Lokalisieren den Grad erhält, folgt die |
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|
Behauptung. |
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\end{proof} |
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\begin{satz}[Basiswechsel endlich étale] |
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|
Sei $B$ endlich étale $A$-Algebra und $C$ eine weitere $A$-Algebra. Dann ist |
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|
$B \otimes_{A} C$ endlich étale $C$-Algebra. |
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\label{satz:basischange} |
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|
\end{satz} |
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\begin{proof} |
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Mit \ref{satz:equiv-finite-etale} genügt es zu zeigen: |
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|
Sei $B$ projektive, separable $A$-Algebra und $C$ eine $A$-Algebra. Dann |
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|
ist $B \otimes_A C$ projektive, separable $C$-Algebra. Mit |
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|
\ref{satz:basischange-projective} genügt es die Separabilität zu zeigen. |
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Es ist also zu zeigen, dass der von der Spurabbildung induzierte Homomorphismus |
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$B \otimes_A C \to \operatorname{Hom}_{C}(B \otimes_A C, C)$ ein Isomorphismus ist. Das folgt aus |
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|
\ref{lemma:tensor-and-hom} und dem kommutativen Diagramm: |
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\[ |
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|
\begin{tikzcd} |
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|
B \otimes_A C \arrow{r} & \operatorname{Hom}_C(B\otimes_A C, C) \\ |
|
|
|
B \otimes_A C \arrow{u}{\operatorname{id}} \arrow[swap]{r}{\sim} |
|
|
|
& \operatorname{Hom}_A(B, A) \otimes_A C \arrow[swap]{u}{\sim} |
|
|
|
\end{tikzcd} |
|
|
|
.\] |
|
|
|
\end{proof} |
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|
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|
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\begin{satz}[Treuprojektiv ist treuflach] |
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Sei $B$ treuprojektive $A$-Algebra. Dann ist $B$ treuflach. |
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\label{satz:faithfully-projective-faithfully-flat} |
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\end{satz} |
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\begin{proof} |
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|
Wir zeigen die Kontraposition: Sei $B$ nicht treuflach, dann existiert |
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nach Algebra 2 ein Maximalideal $\mathfrak{m}$ von $A$, sodass $B = \mathfrak{m}B$. |
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|
|
Dann folgt insbesondere $B_{\mathfrak{m}} = \mathfrak{m}B_{\mathfrak{m}}$. |
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|
|
Da $B_{\mathfrak{m}}$ endlich erzeugter $A_{\mathfrak{m}}$-Modul folgt mit Nakayama $B_{\mathfrak{m}} = 0$, also |
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|
|
$[ B : A ](\mathfrak{m}) = 0 < 1$. |
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|
\end{proof} |
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\begin{korollar} |
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|
Sei $B$ eine $A$-Algebra und $C$ treuprojektive $A$-Algebra. |
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Dann ist $B$ genau dann endlich étale $A$-Algebra, wenn |
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|
|
$B \otimes_A C$ endlich étale $C$-Algebra ist. |
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\label{kor:finite-etale} |
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\end{korollar} |
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\begin{proof} |
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Die Hinrichtung gilt für beliebige Basiswechsel nach \ref{satz:basischange}. |
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Zur Rückrichtung: Nach \ref{satz:faithfully-projective-faithfully-flat} ist $C$ treuflach. Damit folgt |
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die Behauptung aus \ref{satz:4.14}. |
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|
\end{proof} |
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\begin{definition}[Total zerlegbare Algebren] |
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Eine $A$-Algebra $B$ ist \emph{total zerlegbar}, wenn |
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|
$A$ ein Produkt von Ringen $A_n$ ist mit $n \ge 0$ und |
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|
|
$B$ isomorph ist zu $\prod_{n \ge 0} A_n^{n}$, sodass |
|
|
|
\[ |
|
|
|
\begin{tikzcd} |
|
|
|
B \arrow{r}{\sim} & \prod_{n \ge 0}^{} A_n^{n} \\ |
|
|
|
A \arrow{u} \arrow{r}{\sim} & \prod_{n \ge 0} A_n \arrow{u} |
|
|
|
\end{tikzcd} |
|
|
|
\] kommutiert. |
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|
|
\end{definition} |
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|
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|
\begin{satz}[Aufgabe 5.3] |
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Sei $A$ ein Ring und $B_i$ $A$-Algebren für $1 \le i \le n$. Sei weiter |
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|
|
$B = \prod_{i=1}^{n} B_i$. Dann ist $B$ genau dann endlich étale, wenn |
|
|
|
jedes $B_i$ endlich étale ist. In diesem Fall gilt |
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|
|
$[B : A] = \sum_{i=1}^{n} [B_i : A]$. |
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|
|
\label{ex:5.3} |
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\end{satz} |
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|
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|
\begin{proof} |
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Als $A$-Modul ist $B \simeq \bigoplus_{i = 1}^{n} B_i$. Also ist $B$ genau dann endlich erzeugt bzw. projektiv, wenn |
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|
$B_i$ endlich erzeugt bzw. projektiv ist für $1 \le i \le n$. Ebenso |
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|
|
existiert ein natürlicher $A$-Modulisomorphismus |
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\[ |
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|
|
\text{Hom}_A(B, A) = \text{Hom}_A\left( \bigoplus_{i=1}^{n} B_i, A \right) |
|
|
|
= \prod_{i=1}^{n} \text{Hom}_A(B_i, A) |
|
|
|
.\] Das heißt |
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$B \to \text{Hom}_A(B, A)$ ist genau dann ein Isomorphismus, wenn $B_i \to \text{Hom}_A(B_i, A)$ ein Isomorphismus |
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|
|
ist für $1 \le i \le n$. |
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|
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|
|
|
|
Gradformel: Sei $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann ist |
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\[ |
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[B : A](\mathfrak{p})% = \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} B_{\mathfrak{p}} |
|
|
|
= \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} \left(\bigoplus_{i = 1}^{n} B_i\right)_{\mathfrak{p}} |
|
|
|
= \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} \left( \bigoplus_{i = 1}^{n} (B_{i})_{\mathfrak{p}} \right) |
|
|
|
= \sum_{i=1}^{n} \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} (B_{i})_{\mathfrak{p}} |
|
|
|
= \sum_{i=1}^{n} [B_i : A ](\mathfrak{p}) |
|
|
|
.\] |
|
|
|
\end{proof} |
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|
|
|
|
|
|
\begin{lemma} |
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|
Seien $A_1, \ldots, A_n$ Ringe und $f \in \prod_{i=1}^{n} A_i$. Dann ist der natürliche Homomorphismus |
|
|
|
\[ |
|
|
|
\left(\prod_{i=1}^{n} A_i\right)_f \longrightarrow \prod_{i=1}^{n} (A_i)_{f_i} |
|
|
|
\] ein Isomorphismus. |
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|
|
\label{lemma:localised-product-ring} |
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|
|
\end{lemma} |
|
|
|
|
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\begin{proof} |
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|
Man bediene sich der Endlichkeit. |
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|
|
\end{proof} |
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|
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|
\begin{lemma} |
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|
Sei $A$ ein Ring und $\{f_i\}_{i \in I}$ Elemente von $A$, sodass |
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|
|
$\spec A = \coprod_{i \in I} D(f_i)$. Dann ist der natürliche Ringhomomorphismus |
|
|
|
\[ |
|
|
|
A \longrightarrow \prod_{i \in I} A_{f_i} |
|
|
|
\] ein Isomorphismus. |
|
|
|
\label{lemma:disjoint-union-of-spec} |
|
|
|
\end{lemma} |
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|
|
|
|
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\begin{proof} |
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|
Sei $\mathfrak{p} \in \spec A$ und $i \in I$. Falls $f_i \not\in \mathfrak{p}$ ist |
|
|
|
$(A_{f_i})_{\mathfrak{p}} = A_{\mathfrak{p}}$. Sei nun $f_i \in \mathfrak{p}$. Beh.: $(A_{f_i})_{\mathfrak{p}} = 0$. |
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|
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|
|
|
|
Wir zeigen $f_i$ nilpotent in $A_{\mathfrak{p}}$. |
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|
Sei $\mathfrak{q} \in \spec A$ mit $f_i \not\in \mathfrak{q}$. Dann ist |
|
|
|
$\{\mathfrak{q}\} \subseteq D(f_i)$ und $D(f_i)$ ist abgeschlossen. Also folgt |
|
|
|
$V(\mathfrak{q}) = \overline{\{\mathfrak{q}\}} \subseteq D(f_i)$. Da $\mathfrak{p} \not\in D(f_i)$, folgt |
|
|
|
a fortiori $\mathfrak{p} \not\in V(\mathfrak{q})$. M.a.W.: $\mathfrak{q} \not\in \spec A_{\mathfrak{p}}$. |
|
|
|
Kontraposition: Für $\mathfrak{q} \in \spec A_{\mathfrak{p}}$ folgt bereits $f_i \in \mathfrak{q}$. |
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|
|
Also ist $f_i$ nilpotent in $A_{\mathfrak{p}}$ und damit |
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|
|
$(A_{f_i})_{\mathfrak{p}} = (A_{\mathfrak{p}})_{f_i} = 0$. |
|
|
|
|
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|
Es existiert nun genau ein $i_{0} \in I$, sodass $\mathfrak{p} \in D(f_{i_0})$. Lokalisieren |
|
|
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von $A \to \prod_{i \in I} A_i$ ergibt also |
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|
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\[ |
|
|
|
A_{\mathfrak{p}} \to \left(\prod_{i \in I} A_{f_i}\right)_{\mathfrak{p}} |
|
|
|
= \prod_{i \in I} (A_{f_i})_{\mathfrak{p}} = A_{\mathfrak{p}} |
|
|
|
.\] Das erste Gleichheitszeichen gilt, da Spektren von Ringen quasikompakt sind, das heißt $I$ endlich ist. |
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|
|
Weil Isomorphismus eine lokale Eigenschaft ist, folgt die Behauptung. |
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|
|
\end{proof} |
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\begin{lemma} |
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|
Sei $f\colon A \to B$ Ringhomomorphismus und $\varphi \colon \spec B \to \spec A$ die induzierte |
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|
Abbildung. Dann ist für $a \in A$: |
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|
\[ |
|
|
|
\varphi^{-1}(D(a)) = D(f(a)) |
|
|
|
.\] |
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|
|
\label{lemma:preimage-of-d} |
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|
|
\end{lemma} |
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\begin{proof} |
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$\mathfrak{p} \in \varphi^{-1}(D(a)) \iff \varphi(\mathfrak{p})\in D(a) \iff a \not\in \varphi(\mathfrak{p}) |
|
|
|
= f^{-1}(\mathfrak{p}) \iff \mathfrak{p} \not\in D(f(a))$. |
|
|
|
\end{proof} |
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\begin{satz} |
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Seien $(A_i)_{i \in I}, (B_i)_{i \in I}$ Ringe mit $I$ endlich und sei $B_i$ endlich étale $A_i$-Algebra |
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für alle $i \in I$. Dann ist $\prod_{i \in I} B_i$ endlich étale $\prod_{i \in I} A_i$-Algebra. Außerdem |
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|
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ist jede endlich étale $\prod_{i \in I} A_i$ Algebra von dieser Form. |
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Weiter ist |
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\[ |
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\left[ \prod_{i \in I} B_i : \prod_{i \in I} A_i \right]\Big|_{\spec A_j} = [ B_j : A_j] |
|
|
|
.\] |
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\label{satz:projective-prod} |
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|
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\end{satz} |
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|
\begin{proof} |
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|
Die Folge abelscher Gruppen |
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\[ |
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\begin{tikzcd} |
|
|
|
\left( \prod_{i \in I} A_i \right)^{n} \arrow{r}\arrow{d}{\simeq} |
|
|
|
& \left( \prod_{i \in I} A_i \right)^{m} \arrow{r}\arrow{d}{\simeq} |
|
|
|
& \prod_{i \in I} B_i \arrow{r} \arrow{d}{=} & 0 \\ |
|
|
|
\prod_{i \in I} A_i^{n} \arrow{r} & \prod_{i \in I} A_i^{m} \arrow{r} & \prod_{i \in I} B_i \arrow{r} & 0 |
|
|
|
\end{tikzcd} |
|
|
|
\] ist genau dann exakt, wenn |
|
|
|
\[ |
|
|
|
\begin{tikzcd} |
|
|
|
A_i^{n} \arrow{r} & A_i^{m} \arrow{r} & B_i \arrow{r} & 0 |
|
|
|
\end{tikzcd} |
|
|
|
\] exakt ist für alle $i \in I$. Also ist $\prod_{i \in I} B_i$ genau dann endlich präsentierter |
|
|
|
$\prod_{i \in I} A_i$-Modul, wenn $B_i$ endlich präsentierter $A_i$-Modul ist für alle $i \in I$. |
|
|
|
|
|
|
|
Außerdem ist $\spec A = \coprod_{i \in I} \spec A_i$. Also für $\mathfrak{p} \in \spec A$ |
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|
existiert genau ein $i \in I$, sodass $\mathfrak{p} \in \spec A_i$ und |
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|
|
$A_{\mathfrak{p}} = (A_{i})_{\mathfrak{p}}$ und $B_{\mathfrak{p}} = (B_{i})_{\mathfrak{p}}$. |
|
|
|
Also ist $A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ genau dann frei separabel für |
|
|
|
alle $\mathfrak{p} \in \spec A$, wenn |
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|
|
$(A_i)_{\mathfrak{p}} \to (B_{i})_{\mathfrak{p}}$ frei separabel ist für alle $\mathfrak{p} \in \spec A_i$ und |
|
|
|
alle $i \in I$. |
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Insgesamt ist $A \to B$ genau dann endlich étale, wenn $A_i \to B_i$ endlich étale ist für alle $i \in I$. |
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|
%Endlich étale ist eine lokale Eigenschaft auf $A$, genauer: Für alle $i \in I$ existieren |
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%$\{f_{ij}\}_{j \in J_i}$, sodass $A_i = \sum_{j \in J_i} (f_{ij})$ und |
|
|
|
%$(B_i)_{f_{ij}}$ separable, freie $(A_{i})_{f_{ij}}$-Algebra für alle $j \in J_i$. Dann |
|
|
|
%setze $\tilde{f}_{ij} = (0, \ldots, 0, f_{ij}, 0, \ldots, 0)$. Dann ist mit \ref{lemma:localised-product-ring} |
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%$B_{\tilde{f}_{ij}} = (B_i)_{f_{ij}}$ separable, freie $A_{\tilde{f}_{ij}} = (A_i)_{f_{ij}}$-Algebra |
|
|
|
%und $A = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J_i} (\tilde{f}_{ij})$. Also ist $B$ endlich separable $A$-Algebra. |
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|
Sei nun $f\colon \prod_{i \in I} A_i \to B$ endlich étale. Es ist |
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|
$\spec A = \coprod_{i \in I} \spec A_i$. Nach \ref{bem:clopen-sets} existieren |
|
|
|
also idempotente Elemente $e_i \in A$, sodass $\spec A = \coprod_{i \in I} D(e_i)$. Nach |
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\ref{lemma:preimage-of-d} ist $\spec B = \coprod_{i \in I} D(f(e_i))$. Wir haben das folgende kommutative |
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Diagramm |
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\[ |
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|
|
\begin{tikzcd} |
|
|
|
B \arrow{r} & \prod_{i \in I} B_{e_i} \\ |
|
|
|
A \arrow{u} \arrow{r} & \prod_{i \in I} A_{e_i} \arrow{u} |
|
|
|
\end{tikzcd} |
|
|
|
.\] Nach \ref{lemma:disjoint-union-of-spec} sind die horizontalen Pfeile Isomorphismen |
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|
und wir sind in der obigen Situation. |
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|
Die Gradformel folgt aus $\spec A = \coprod_{i \in I} \spec A_i$ und durch Berechnung in der Überdeckung aus dem |
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|
ersten Absatz. |
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|
\end{proof} |
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\begin{satz} |
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Sei $B$ eine $A$-Algebra. Dann ist $B$ genau dann endlich étale, |
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wenn $B \otimes_A C$ total zerlegbare $C$-Algebra ist für eine treuprojektive $A$-Algebra $C$. |
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\label{th:5.10} |
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|
\end{satz} |
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\begin{proof} |
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Die Rückrichtung ist klar nach \ref{kor:finite-etale}. Hinrichtung: Sei $B$ eine endlich |
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étale $A$-Algebra und sei zunächst $[ B : A ] = n$ konstant. Dann zeigen wir die Behauptung per Induktion |
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nach $n$. |
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Falls $n = 0$: Dann ist $B = 0$ und wir können $C = A$ setzen. Sei nun $n > 0$. |
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Nach \ref{satz:4.16} existiert eine $B$-Algebra $B'$ und ein |
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Isomorphismus von $B$-Algebren $B \otimes_A B \to B \times B'$. |
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Nach \ref{satz:basischange} ist $B \otimes_A B$ endlich étale $B$-Algebra und |
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$[ B \otimes_A B : B] = n$. Wenn $B$ natürlicherweise als $B$-Algebra aufgefasst wird, ist $[ B : B ] = 1$, |
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also nach \ref{ex:5.3} $[ B' : B ] = [ B \times B' : B ] - [ B : B ] = n-1$. Also wendet |
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sich die Induktionsvoraussetzung an und es gibt eine treuprojektive $B$-Algebra $C$, sodass |
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$B' \otimes_B C$ total zerlegbare $C$-Algebra ist. |
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Dann ist $B \otimes_A C = B \otimes_A B \otimes_B C = (B \times B') \otimes_B C = |
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(B \otimes_B C) \times (B' \otimes_B C) = C \times (B' \otimes_B C)$. Da $C$ |
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und $B' \otimes_B C$ als $C$-Algebren total zerlegbar sind, ist auch $B \otimes_A C$ total zerlegbar als |
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$C$-Algebra. |
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Nach \ref{satz:composition-projective} ist $C$ endliche, projektive $A$-Algebra. Da $[ B : A ] \ge 1$ |
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und $[ C : B ] \ge 1$ ist $\spec C \to \spec B \to \spec A$ surjektiv, also |
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$C$ treuprojektive $A$-Algebra nach \ref{satz:degree}. |
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Im Allgemeinen Fall sei $\spec A = \coprod_{n \ge 0} [ B : A ]^{-1}(\{n\})$. Dann existieren |
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idempotente Elemente $(e_n)_{n \ge 0}$, sodass $D(e_n) = [B : A]^{-1}(\{n\})$, also |
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$\spec A = \coprod_{n \ge 0} D(e_n)$. Mit \ref{lemma:disjoint-union-of-spec} |
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ist also $A = \prod_{n \ge 0}^{} A_{e_n}$, wobei wegen der Quasikompaktheit von $\spec A$ fast alle $e_n = 0$ sind. |
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Mit \ref{satz:projective-prod} ist also |
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$B = \prod_{n \ge 0} B_{e_n}$ mit $A_{e_n} \to B_{e_n}$ endlich étale. |
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Nun ist $[ B_{e_n} : A_{e_n} ] = n$ und |
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mit dem ersten Teil existiert eine treuprojektive $A_{e_n}$-Algebra $C_{n}$, sodass |
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$B_{e_n} \otimes_A C_n$ total zerlegbare $C_n$-Algebra ist. Setze |
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nun $C = \prod_{n \ge 0} C_{n}$. Nach \ref{satz:projective-prod} ist |
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$C$ endliche, projektive $A$-Algebra und $[C : A]|_{D(e_n)} = [ C_{e_n} : A_{e_n} ] \ge 1$, also |
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$[ C : A] \ge 1$ und damit $C$ treuprojektiv. |
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Weiter ist |
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\[ |
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B \otimes_A C = \left(\prod_{n \ge 0} B_{e_n} \right) \otimes_{\prod_{n \ge 0} A_{e_n} } |
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\left(\prod_{n \ge 0} C_n\right) |
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= \prod_{n \ge 0}^{} B_{e_n} \otimes_{A_{e_n}} C_n |
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\simeq \prod_{n \ge 0} C_n^{n} |
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\] wobei der letzte Isomorphismus aus der totalen Zerlegbarkeit von $B_{e_n} \otimes_{A_{e_n}} C_n$ folgt. |
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\end{proof} |
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\begin{satz}[] |
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Sei $B$ endlich étale $A$-Algebra und $C$ endlich étale $B$-Algebra. Dann ist |
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$C$ endlich étale $A$-Algebra. |
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\end{satz} |
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\begin{proof} |
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Sei zunächst $B$ total zerlegbar über $A$ von konstantem Grad. Dann |
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ist $B = A^{n}$ und |
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nach \ref{satz:projective-prod} $C = \prod_{i=1}^{n} C_i$, wobei $C_i$ endlich étale $A$-Algebra. Dann |
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ist $C$ endlich étale nach \ref{ex:5.3}. |
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Falls $B$ total zerlegbar über $A$ von nicht notwendig konstantem Grad, ist $A = \prod_{n \ge 0} A_n$ |
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und $B = \prod_{n \ge 0} A_n^{n}$. Dann ist $C = \prod_{n \ge 0} C_n$ mit $C_n$ endlich étale |
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$A_n^{n}$-Algebra nach \ref{satz:projective-prod}. Wende |
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nun den ersten Fall auf $A_n \to A_n^{n} \to C_n$ an. Mit \ref{satz:projective-prod} folgt dann die Behauptung. |
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Im Allgemeinen: Mit \ref{th:5.10} wähle $D$ treuprojektive $A$-Algebra, sodass |
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$B \otimes_A D$ total zerlegbare $D$-Algebra. Nach \ref{satz:basischange} ist dann |
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$C \otimes_A D = C \otimes_B (B \otimes_A D)$ endlich étale $B \otimes_A D$-Algebra. Mit dem obigen Speziallfall |
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ist also $C \otimes_A D$ endlich étale $D$-Algebra. Da $A \to D$ treuprojektiv war, folgt |
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mit \ref{kor:finite-etale} die Behauptung. |
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\end{proof} |
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Sei $A$ ein Ring und $E$ eine endliche Menge. Dann schreiben wir $A^{E}$ für $\prod_{e \in E} A$. Sei |
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$\phi\colon D \to E$ eine Abbildung zwischen endlichen Mengen. Für $d \in D$ sei |
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$\psi_d \colon A^{E} \to A$ gegeben durch $(a_e)_{e \in E} \mapsto a_{\phi(d)}$. Das induziert |
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einen Ringhomomorphismus $A^{E} \to A^{D}$. |
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\begin{lemma} |
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Der induzierte Ringhomomorphismus $A^{E} \to A^{D}$ ist endlich étale. |
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\label{lemma:induced-finite-etale} |
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\end{lemma} |
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\begin{proof} |
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$A \to A$ und $A \to 0$ sind endlich étale, also mit \ref{satz:projective-prod} auch |
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$\psi_d \colon A^{E} \to A = A \times 0 \times \ldots \times 0$ |
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und damit $A^{E} \to A^{D}$ nach \ref{ex:5.3}. |
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\end{proof} |
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\begin{lemma} |
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Sei $(A, \mathfrak{m})$ ein lokaler Ring. Dann hat $A$ keine nicht-trivialen idempotenten Elemente. |
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\label{lemma:local-idempotents} |
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\end{lemma} |
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\begin{proof} |
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Sei $e \in A$ idempotent. Dann ist $e(1-e) = e^2 - e = e - e = 0$. Falls $e \in A^{\times }$, folgt |
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$1-e = 0$ also $e = 1$. Falls $e \not\in A^{\times}$: Dann ist $e \in \mathfrak{m}$. Angenommen |
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$1-e \in \mathfrak{m}$, dann ist auch $1 = 1-e +e \in \mathfrak{m}$. Widerspruch. Also ist |
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$1-e \not\in \mathfrak{m}$. Da $A$ lokal, ist also $1-e \in A^{\times}$ und damit $e = 0$. |
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\end{proof} |
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\begin{lemma} |
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Sei $A$ ein Ring ohne nicht-triviale Idempotente und seien $E,D$ endliche Mengen. Dann |
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ist jeder $A$-Algebra Homomorphismus $A^{E} \to A^{D}$ induziert von einer Abbildung $D \to E$. |
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\label{lemma:no-idempotents} |
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\end{lemma} |
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\begin{proof} |
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Sei $\psi\colon A^{E} \to A^{D}$ ein $A$-Algebra Homomorphismus. |
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Setze $f_e \coloneqq (\delta_{\tilde{e}e})_{\tilde{e} \in E} \in A^{E}$. Dann ist $f_e^2 = 1$ und |
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$f_ef_{\tilde{e}} = 0$ falls $e \neq \tilde{e}$. |
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Sei nun $d \in D$ beliebig. Dann gilt |
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$\psi(f_e)^2 = \psi(f_e^2) = \psi(f_e)$, also $\psi(f_e)_d$ idempotent, also $\psi(f_e)_d \in \{0, 1\}$. |
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Weiter ist $1 = \psi(1)_d = \psi(\sum_{e \in E} f_e)_d$ und für $e \neq \tilde{e} \in E$ ist |
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$0 = \psi(f_ef_{\tilde{e}})_d = \psi(f_e)_d \psi(f_{\tilde{e}})_d$. Es existiert also |
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genau ein $e(d) \in E$, sodass $\psi(f_e)_d = 1$. |
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Setze nun $\phi\colon D \to E$, $d \mapsto e(d)$. Nun sei $f = (a_e)_{e \in E} \in A^{E}$ beliebig. Dann |
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gilt |
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$f = \sum_{e \in E} a_e f_e$ und |
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\[ |
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\psi(f)_d = \sum_{e \in E} a_e \psi(f_e)_d = a_{\phi(d)} |
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.\] |
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\end{proof} |
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\begin{lemma} |
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Sei $A$ ein Ring, $M$ ein $A$-Modul und $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann ist |
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\[ |
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M_{\mathfrak{p}} = \colim_{f \in A \setminus \mathfrak{p}} M_f |
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\] wobei $A \setminus \mathfrak{p}$ durch die Teilbarkeitsrelation halbgeordnet ist. |
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\label{kor:localisation-is-colim} |
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\end{lemma} |
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\begin{proof} |
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Für eine multiplikative Menge $S$ vertaucht $- \otimes_A S^{-1}A$ mit Kolimites, da das Tensorprodukt linksadjungiert |
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ist. Es genügt also den Fall $M = A$ zu zeigen. |
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Sei $S = A \setminus \mathfrak{p}$. Dann ist $S$ halbgeordnet und gerichtet. |
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Für alle $f \in S$ ist $\frac{f}{1} \in A_{\mathfrak{p}}^{\times}$, |
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also existiert eine natürliche Abbildung $A_f \to A_{\mathfrak{p}}$. Für $f, g \in S$ mit |
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$f \mid g$ kommutieren diese Abbildungen mit $A_f \to A_g$ und induzieren damit |
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eine Abbildung $\colim_{f \in S} A_f \to A_{\mathfrak{p}}$. Wir zeigen, dass |
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diese Abbildung bijektiv ist. |
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Surjektiv: Sei $x = \frac{a}{f} \in A_{\mathfrak{p}}$. Also $f \in S$ und das Bild von $\frac{a}{f} \in A_f$ |
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in $\colim_{f \in S} A_f$ ist ein Urbild von $x$. |
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Injektiv: Sei $x \in \colim_{f \in S} A_f$ mit Bild $0$ in $A_{\mathfrak{p}}$. Dann |
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existiert ein $f \in S$ und $a \in A$, sodass $\frac{a}{f^{n}} = 0$ in $A_{\mathfrak{p}}$. Also |
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existiert ein $g \in S$, sodass $ga = 0$. Insbesondere ist $fga = 0$ also $\frac{a}{f} = 0$ in $A_{fg}$. |
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Außerdem ist $f \mid fg$ und damit $x = 0$. |
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\end{proof} |
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\begin{lemma} |
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Seien $A, B, C$ Ringe und $f\colon A \to B$, $g\colon A \to C$ total zerlegbar und $h\colon C \to B$ ein |
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Ringhomomorphismus mit $f = hg$. Sei weiter $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann |
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existiert ein $a \in A$, sodass $a \not\in \mathfrak{p}$ und $f, g$ und $h$ trivial über $D(a)$ sind. Das heißt |
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es existieren endliche Mengen $D$ und $E$ und Isomorphismen $\alpha\colon A_a^{D} \to B_a$ |
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und $\beta\colon A_a^{E} \to C_a$ und eine Abbildung $\phi\colon D \to E$, sodass das Diagramm |
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\[ |
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\begin{tikzcd} |
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B_a & & & \arrow[from=1-4,to=1-1,swap]{}{h} C_a \\ |
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& \arrow{ul}{\alpha} A_a^{D} & \arrow{l} A_a^{E} \arrow{ur}{\beta} & \\ |
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A_a \arrow[from=3-1,to=1-1]{}{f} \arrow{ur} & & & \arrow[from=3-4,to=3-1]{}{\operatorname{id}_{A_a}} \arrow{ul} A_a \arrow[from=3-4,to=1-4]{}{g} |
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|
\end{tikzcd} |
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\] kommutiert. |
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\label{lemma:locally-trivial} |
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\end{lemma} |
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\begin{proof} |
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Da die Mengen der Form $D(a)$ eine Basis der Topologie von $\spec A$ bilden, kann $a$ so gewählt werden, dass |
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$[B : A]$ und $[C : A]$ von konstantem Grad auf $D(a)$ sind mit $\mathfrak{p} \in D(a)$. |
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Durch ersetzen von $A$, $B$ und $C$ |
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durch $A_a$, $B_a$ und $C_a$ können wir wegen der totalen Zerlegbarkeit von $f$ und $g$ ohne Einschränkung |
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annehmen, dass $B \simeq A^{D}$ und $C \simeq A^{E}$. |
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Der lokale Ring $A_{\mathfrak{p}}$ hat nach \ref{lemma:local-idempotents} keine nicht trivialen idempotenten Elemente. |
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Also ist die induzierte Abbildung $h \colon A_{\mathfrak{p}}^{E} \to A_{\mathfrak{p}}^{D}$ nach |
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\ref{lemma:no-idempotents} induziert von einer Abbildung $\phi\colon D \to E$. $\phi$ induziert |
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nun eine Abbildung $\psi\colon A^{E} \to A^{D}$ und $h$ und $\psi$ haben selbes Bild |
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in |
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\begin{salign*} |
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\operatorname{Hom}_A(A^{E}, A^{D})_{\mathfrak{p}} &\stackrel{\ref{lemma:localisation-finitely-pres}}{=} \operatorname{Hom}_{A_{\mathfrak{p}}}(A_{\mathfrak{p}}^{E}, |
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A_{\mathfrak{p}}^{D}) |
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.\end{salign*} |
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Nach \ref{kor:localisation-is-colim} existiert nun ein $a \in A \setminus \mathfrak{p}$, sodass |
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$h$ und $\psi$ die selbe Abbildung $A_a^{E} \to A_a^{D}$ induzieren. |
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\end{proof} |
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\begin{satz} |
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Seien $f\colon A \to B$ und $g\colon A \to C$ endlich étale Ringhomomorphismen und |
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$h\colon C \to B$ ein Ringhomomorphismus mit $f = gh$. Dann ist $h$ endlich étale. |
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\end{satz} |
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\begin{proof} |
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Seien zunächst $f$ und $g$ total zerlegbar. Die Eigenschaft endlich étale ist lokal auf $C$ und damit |
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insbesondere auf $A$. Es genügt also für jedes $\mathfrak{p} \in \spec A$ ein $a \in A$ zu finden, sodass |
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$h\colon C_a \to B_a$ endlich étale. |
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Damit folgt die Aussage aus \ref{lemma:locally-trivial} und \ref{lemma:induced-finite-etale}. |
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Im Allgemeinen seien $D_1$ und $D_2$ treuprojektive $A$-Algebren, sodass |
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$D_1 \to B \otimes_A D_1$ und $D_2 \to C \otimes_A D_2$ total zerlegbar sind. Dann |
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ist mit \ref{satz:composition-projective} und \ref{satz:basischange-projective} |
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auch $A \to D_2 \to D_1 \otimes_A D_2$ endlich und projektiv. Da |
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$[ D_1 : A ] \ge 1$ folgt erneut mit \ref{satz:basischange-projective}, dass |
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$[ D_1 \otimes_A D_2 : D_2] \ge 1$. Also |
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sind mit \ref{satz:degree} $\spec D_1 \otimes_A D_2 \to \spec D_2$ und $\spec D_2 \to \spec A$ surjektiv, also |
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auch $\spec D_1 \otimes_A D_2 \to \spec A$. Damit ist $D = D_1 \otimes_A D_2$ treuprojektive $A$-Algebra. |
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Da $D_1 \to B \otimes_A D_1$ total zerlegbar ist und $- \otimes_A D_2$ mit endlichen Produkten kommutiert, ist auch |
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$D = D_1 \otimes_A D_2 \to B \otimes_A D_1 \otimes_A D_2 = B \otimes_A D$ total zerlegbar. Analog |
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ist $D \to C \otimes_A D$ total zerlegbar und |
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\[ |
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\begin{tikzcd} |
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C \otimes_A D \arrow[from=1-1,to=1-3] & & B \otimes_A D \\ |
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& \arrow{ul} D \arrow{ur} & |
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|
\end{tikzcd} |
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\] kommutiert, also wendet sich der obige Speziallfall an und $C \otimes_A D \to B \otimes_A D$ ist endlich étale. |
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Da $A \to D$ treuprojektiv, folgt mit \ref{satz:basischange-projective}, dass $C \to C \otimes_A D$ treuprojektiv ist. |
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Anwenden von \ref{kor:finite-etale} auf $C \otimes_A D \to B \otimes_A D = B \otimes_C (C \otimes_A D)$, liefert |
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$h\colon C \to B$ endlich étale. |
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\end{proof} |
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\end{document} |
