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\newcommand{\spec}{\operatorname{Spec }}

\begin{document}

\section{Projektive Moduln und Algebren}

\begin{satz}[Projektiv ist lokal frei]
Sei $A$ ein Ring und $M$ ein $A$-Modul. Die folgenden Eigenschaften sind äquivalent:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $M$ ist endlich erzeugter projektiver $A$-Modul.
\item Es existieren Elemente $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$ mit $\sum_{i \in I} (f_i) = A$, sodass
$M_{f_i}$ freier, endlich erzeugter $A_{f_i}$ Modul ist.
\end{enumerate}
\label{satz:projectiveislocallyfree}
\end{satz}

\begin{proof}
Siehe Theorem 4.6 in \cite{lenstra}.
\end{proof}

\begin{satz}
Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra. Dann gilt
\begin{enumerate}[(a)]
\item $A \to B$ ist genau dann injektiv, wenn $[B : A] \ge 1$.
\item $A \to B$ ist genau dann surjektiv, wenn $[B : A ] \le 1$.
\item $A \to B$ ist genau dann ein Isomorphismus, wenn $[ B : A ] = 1$.
\end{enumerate}
\label{satz:rings-degree}
\end{satz}

\begin{satz}[]
Sei $B$ eine $A$-Algebra und $C$ eine treuflache $A$-Algebra, sodass
$B \otimes_A C$ projektive, separable $C$-Algebra ist. Dann ist $B$ projektive, separable $A$-Algebra.
\label{satz:4.14}
\end{satz}

\begin{proof}
Vortrag 8. Theorem 4.14 in \cite{lenstra}.
\end{proof}

\section{Endlich étale Morphismen}

\begin{definition}[Affiner Morphismus]
Sei $f\colon Y \to X$ ein Morphismus von Schemata. $f$ ist \emph{affin}, wenn
eine offene affine Überdeckung $\{U_i\}_{i \in I}$ von $X$ existiert, sodass
$f^{-1}(U_i)$ affin ist für alle $i \in I$
\end{definition}

\begin{bem}
$f\colon Y \to X$ ist genau dann affin, wenn für jede offene affine Menge $U \subseteq X$,
$f^{-1}(U)$ affin ist.
\end{bem}

\begin{definition}
Sei $f\colon Y \to X$ ein affiner Morphismus von Schemata. $f$ ist \emph{endlich und lokal frei}, wenn
eine offene affine Überdeckung $\{U_i\}_{i \in I}$ existiert mit $U_i = \text{Spec }A_i$, sodass
$f^{-1}(U_i) = \text{Spec }B_i$, wobei $B_i$ eine endliche und freie $A_i$-Algebra ist.
\end{definition}

\begin{lemma}[]
Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus und $S \subseteq A$ ein multiplikatives System. Dann
ist $f(S)$ ein multiplikatives System von $B$ und
\[
S^{-1}B \simeq f(S)^{-1}B
\] als $S^{-1}A$-Algebren.
\label{lemma:localisation}
\end{lemma}

\begin{proof}
Die Formel $\frac{b}{s} \mapsto \frac{b}{f(s)}$ induziert den Isomorphismus.
\end{proof}

\begin{lemma}
Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus und $\varphi\colon \text{Spec }B \to \text{Spec }A$ der induzierte
Morphismus affiner Schemata. Sei $g \in A$. Dann ist
\[
\varphi^{-1}(D(g)) = D(f(g))
.\] Insbesondere gilt
\[
\varphi^{-1}(\text{Spec }A_g) = \text{Spec }B_g
.\]
\label{lemma:d(f)}
\end{lemma}

\begin{proof}
Die erste Gleichung ist aus Algebra 2 bekannt und gilt allgemeiner für Morphismen lokal geringter Räume. Die
zweite Gleichung folgt aus der Ersten, wenn der Isomorphismus $D(g) = \text{Spec }A_g$ eingesetzt wird, unter
Verwendung des Ringisomorphismus
\[
B_g = B \otimes_A A_g \simeq B_{f(g)}
.\]
\end{proof}

\begin{satz}
Sei $f\colon Y \to X$ ein Morphismus von Schemata. Dann ist
$f$ genau dann endlich und lokal frei, wenn für jede offene affine Menge $U = \text{Spec }A$ von $X$,
$f^{-1}(U)$ affin mit
$f^{-1}(U) = \text{Spec }B$ und $B$ eine endliche, projektive $A$-Algebra ist.
\label{satz:morph-local-free-char}
\end{satz}

\begin{proof}
($\Rightarrow$)
%Sei $D$ endliche freie $C$-Algebra. Dann ist $D_g$ endliche freie $C_g$-Algebra für $g \in C$. Außerdem ist
%$\text{Spec }C_g = D(g) \subseteq \text{Spec }C$ eine Basis von $\text{Spec }C$.
Sei $X = \bigcup_{i \in I} U_i$ mit $U_i = \text{Spec }A_i$ offen, $f^{-1}(U_i) = \text{Spec }B_i$
und $B_i$ endliche freie $A_i$-Algebra. Nun sei $g \in A_i$ beliebig.
Mit \ref{lemma:d(f)} ist $f^{-1}((A_i)_g) = \text{Spec }(B_i)_g$ und
da Lokalisieren Freiheit und Rang von Moduln erhält, ist $(B_i)_{g}$ endliche freie $(A_i)_g$-Algebra.
Da die Mengen der Form $D(g) = \text{Spec }(A_i)_g$ mit
$g \in A_i$ eine Basis von $U_i = \text{Spec }A_i$ bilden, können wir
ohne Einschränkung annehmen, dass $\{U_i\}_{i \in I}$ bereits eine Basis von $X$ ist, insbesondere
existiert ein $J \subseteq I$, sodass $U = \bigcup_{j \in J} U_j$.

Ebenfalls
ist $\{D(g)\}_{g \in A}$ eine Basis von $U$, also existiert für alle $j \in J$ eine Familie
$\{g_{jk}\}_{k \in K_j}$, sodass $U_j = \bigcup_{k \in K_j} D(g_{jk})$. Außerdem
ist $D(g_{jk}) \subseteq U_j$ also
\[
\text{Spec }A_{g_{jk}} = D(g_{jk}) = D(g_{jk}) \cap U_j = \text{Spec }(A_{j})_{g_{jk}}
.\] Damit folgt $f^{-1}(\text{Spec }A_{g_{jk}}) = \text{Spec }B_{g_{jk}}$ mit $B_{g_{jk}}$
endliche freie $A_{g_{jk}}$-Algebra. Außerdem ist $U = \bigcup D(g_{jk})$, also
$\sum_{} (g_{jk}) = A$. Also folgt mit \ref{satz:projectiveislocallyfree},
dass $B$ eine endliche, projektive $A$-Algebra ist.

($\Leftarrow$) Sei $X = \bigcup_{i \in I} U_i$ mit $U_i = \text{Spec }A_i$ offen. Dann
ist $f^{-1}(U_i) = \text{Spec }B_i$ mit einer endlichen, projektiven $A_i$-Algebra $B_i$. Nach
\ref{satz:projectiveislocallyfree}
existieren $\{g_{ij}\}_{j \in J_i} \subseteq A_i$, sodass $\sum_{j \in J_i} (g_{ij}) = A_i$ und
$(B_i)_{g_{ij}}$ endliche, freie $(A_{i})_{g_{ij}}$-Algebra. Es folgt
\[
U_i = \bigcup_{j \in J_i} D(f_{ij}) = \bigcup_{j \in J_i} \text{Spec } (A_i)_{g_{ij}}
.\] Da die $\{U_i\}_{i \in I}$ eine Überdeckung von $X$ sind, folgt die Behauptung.
\end{proof}

\begin{bem}[Grad]
Sei $f\colon Y \to X$ ein endlicher, lokal freier Morphismus von Schemata und $U = \text{Spec }A$ offen in $X$
mit $f^{-1}(U) = \text{Spec }B$. Nach 4.9 existiert eine stetige Funktion
\[
[B : A] \colon U = \text{Spec }A \to \Z, \mathfrak{p} \mapsto \text{rang}_{A_{\mathfrak{p}}} B_{\mathfrak{p}}
.\]
Sei $U' = \text{Spec }A'$ offen in $X$ mit $f^{-1}(U') = \text{Spec }B'$. Dann stimmen
$[B' : A']$ und $[B : A]$ auf $U \cap U'$ überein, d.h. wir erhalten eine Funktion
\[
\text{deg}(f) = [Y : X] \colon \operatorname{sp}(X) \to \Z
,\] wobei $\operatorname{sp}(X)$ den unterliegenden topologischen Raum von $X$ bezeichne.
\end{bem}

\begin{proof}
Sei zunächst $U \subseteq U'$ und $x \in U$. Da $\{D(g)\}_{g \in A'}$ eine Basis von $U'$ ist, existiert ein
$g \in A'$, sodass $x \in D(g) \subseteq U$. Dann ist
\[
\text{Spec }A'_{g} = D(g) = D(g) \cap U = \text{Spec }A_{g_{|U}}
.\] Also folgt
\[
[B' : A'](x) = [B'_g : A'_g](x) = [B_{g_{|U}} : A_{g_{|U}} ](x) = [ B : A ](x)
.\] Im Allgemeinen sei $x \in U \cap U'$. Dann existiert eine offene affine Menge $x \in V \subseteq U \cap U'$
und wir können zweimal den Spezialfall für $V \subseteq U$ und $V \subseteq U'$ anwenden.
\end{proof}

\begin{lemma}
Sei $f\colon Y \to X$ endlich und lokal frei. Dann ist
$[Y : X]$ lokalkonstant, das heißt eine stetige Abbildung $\operatorname{sp}(X) \to \Z$, wobei $\Z$ die diskrete
Topologie trägt.
Insbesondere ist die Menge
\[
\{x \in \operatorname{sp}(X) \mid [Y : X](x) = n\}
\] offen und abgeschlossen in $X$ und $[Y : X]$ ist konstant, falls $X$ zusammenhängend ist.
\end{lemma}

\begin{proof}
Lokalisieren ist exakt, erhält also den Rang von freien Moduln und $X$ ist lokal frei.
\end{proof}

\begin{definition}[Surjektive Morphismen]
Ein Morphismus $Y \to X$ von Schemata heißt \emph{surjektiv}, falls die zugrundeliegende Abbildung
zwischen den topologischen Räumen surjektiv ist.
\end{definition}

\begin{satz}
Sei $f\colon Y \to X$ endlich und lokal frei. Dann gilt
\begin{enumerate}[(a)]
\item $Y = \emptyset \iff [Y : X] = 0$.
\item $Y \to X$ Isomorphismus $\iff [Y : X] = 1$.
\item $Y \to X$ surjektiv $\iff [Y : X] \ge 1 \iff$ für alle offenen affinen Teilmengen $U = \operatorname{Spec }A$ von
$X$ ist $f^{-1}(U) = \spec B$, wobei $B$ eine treuprojektive $A$-Algebra ist.
\end{enumerate}
\label{satz:degree}
\end{satz}

\begin{proof}
Alle Eigenschaften sind lokal auf $X$, das heißt oE sei $X = \spec A$ affin. Da $f$ affin ist, folgt
$Y = \spec B$, wobei $B$ endliche und projektive $A$-Algebra ist.
\begin{enumerate}[(a)]
\item $Y = \emptyset \iff B = 0 \iff B_{\mathfrak{p}} = 0$
$\forall \mathfrak{p} \in \spec A \iff \text{rang}_{A_{\mathfrak{p}}} B_{\mathfrak{p}} = 0$
$\forall \mathfrak{p} \in \spec A$
$\iff [B : A] = 0$.
\item Das ist \ref{satz:rings-degree}(c).
\item Die zweite Äquivalenz gilt nach Definition von treuprojektiv. Für die erste:
Sei $\spec B \to \spec A$ surjektiv und sei $\mathfrak{p} \in \spec A$ mit Urbild
$\mathfrak{q} \in \spec{B}$. Also ist $B \neq 0$ und damit $B_{\mathfrak{q}} \neq 0$.
Sei $\varphi\colon A \to B$ der induzierte Ringhomomorphismus,
$S = \varphi(A \setminus \mathfrak{p})$ und $T = B \setminus \mathfrak{q}$. Wegen
$\mathfrak{p} = f(\mathfrak{q}) = \varphi^{-1}(\mathfrak{q})$, folgt
$S \subseteq T$. Und damit
\[
B_{\mathfrak{q}} = T^{-1}B \simeq (S^{-1}T)^{-1}(S^{-1}B) = (S^{-1}T)^{-1} B_{\mathfrak{p}},
\] also ist $B_{\mathfrak{q}}$ eine Lokalisierung von $B_{\mathfrak{p}}$. Also folgt
auch $B_{\mathfrak{p}} \neq 0$, also
$[ B : A ](\mathfrak{p}) > 0$. Rückrichtung: Mit \ref{satz:rings-degree}(a) ist $A \to B$ injektiv
und weil $B$ endliche $A$-Algebra, ist $B$ ganze Ringerweiterung von $A$, also folgt
die Aussage aus \cite{macdonald} Theorem 5.10.
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{definition}[Endlich étaler Morphismus]
Sei $f\colon Y \to X$ ein affiner Morphismus von Schemata. $f$ ist \emph{endlich étale}, falls
eine offene affine Überdeckung $\{U_i\}_{i \in I}$ existiert mit
$U_i = \spec A_i$, sodass $f^{-1}(U_i) = \spec B_i$, wobei $B_i$ eine freie, separable $A_i$-Algebra ist.
\end{definition}

\begin{bem}
Jeder endlich étale Morphismus ist endlich und lokal frei, denn separable Algebren sind per Definition endlich.
\end{bem}

%\begin{lemma}
% Seien $M, N$ $A$-Moduln und $M$ endlich präsentiert, d.h. es existiert eine exakte Folge
% \[
% A^{m} \to A^{n} \to M \to 0
% .\] Sei weiter $S \subset A$ ein multiplikatives System. Dann ist der natürliche $A$-Modul Homomorphismus
% \[
% S^{-1}\operatorname{Hom}_A(M, N) \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N)
% \] ein Isomorphismus.
% \label{lemma:localisation-finitely-pres}
%\end{lemma}
%
%\begin{proof}
% $S^{-1}A$ ist ein flacher $A$-Modul und $\operatorname{Hom}_A(-, N)$ bzw. $\operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(-, S^{-1}N)$
% sind linksexakt. So erhalten wir exakte Folgen
% \[
% 0 \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N)
% \to (S^{-1}N)^{n} \to (S^{-1}N)^{m}
% \] und
% \[
% 0 \to S^{-1}\operatorname{Hom}_{A}(M, N) \to (S^{-1}N)^{n} \to (S^{-1}N)^{m}
% .\] Das 5-er Lemma liefert das Ergebnis.
%\end{proof}

\begin{lemma}[]
Sei $M$ endlich präsentierter $A$-Modul, das heißt es existiere eine exakte Folge
\[
A^{m} \to A^{n} \to M \to 0
.\] Sei weiter $C$ eine $A$-Algebra. Dann ist der natürliche $A$-Modulhomomorphismus
\[
\operatorname{Hom}_A(M, A) \otimes_A C \to \operatorname{Hom}_{C}(M \otimes_A C, C)
\] ein Isomorphismus.
\label{lemma:tensor-and-hom}
\end{lemma}

\begin{proof}
Da Tensorieren rechtsexakt ist und $\operatorname{Hom}_{C}(-, C)$ linksexakt, erhalten wir durch anwenden
in dieser Reihenfolge auf die exakte Folge $A^{m} \to A^{n} \to M \to 0$, die exakte Folge
\[
0 \to \operatorname{Hom}_{C}(M \otimes_A C, C) \to C^{n} \to C^{m}
.\] Andererseits liefert zunächst anwenden von $\operatorname{Hom}_{A}(-, A)$ die exakte Folge
\[
0 \to \operatorname{Hom}_{A}(M, A) \to A^{n} \to A^{m}
.\] Tensorieren mit $C$ liefert die exakte Folge
\[
\underbrace{\operatorname{Tor}_{1}^{A}(A^{m}, C)}_{= 0} \to \operatorname{Hom}_{A}(M, A) \otimes_A C \to C^{n} \to C^{m}
.\] Der linke Term verschwindet, weil $A^{m}$ flach ist. Untereinanderschreiben der beiden Folgen mit
den natürlichen Homomorphismen und Auffüllen mit $0$ nach links liefert ein kommutatives Diagramm und mit dem 5-er Lemma
die Behauptung.
\end{proof}

\begin{bem}
\ref{lemma:tensor-and-hom} wendet sich insbesondere dann an, wenn $M$ endlich erzeugter projektiver Modul ist.
\end{bem}

\begin{korollar}
Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra und $S \subset A$ ein multiplikatives System. Dann
ist der natürliche $A$-Modulhomomorphismus
\[
\operatorname{Hom}_{A}(B, A) \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}B, S^{-1}A)
\] ein Isomorphismus.
\label{lemma:localisation-finitely-pres}
\end{korollar}

\begin{korollar}
Ein Morphismus von Schemata $f\colon Y \to X$ ist genau dann endlich étale, wenn
eine Basis von offenen affinen Mengen $\{U_i\}_{i \in I}$ von $X$ existiert, sodass
$U_i = \spec A_i$ und $f^{-1}(U_i) = \spec B_i$, wobei $B_i$ freie, separable $A_i$-Algebra ist.

\label{bem:finite-etale-basis}
\end{korollar}

\begin{proof}
Die Rückrichtung ist klar. Für die Hinrichtung beachte, dass eine endliche, projektive $A$-Algebra $B$ genau dann
separabel ist, wenn der von der Spur induzierte $A$-Modulhomomorphismus $B \to \operatorname{Hom}_A(B, A)$
ein Isomorphismus ist. Diese Eigenschaft bleibt nach \ref{lemma:localisation-finitely-pres}
durch Lokalisieren erhalten.
\end{proof}

\begin{lemma}
Sei $B$ eine endliche, projektive $A$-Algebra und
$\phi\colon B \to \operatorname{Hom}_A(B, A)$ die von der Spur induzierte Abbildung. Dann ist
$B$ genau dann separabel über $A$, wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt sind:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\phi$ ist ein Isomorphismus.
\item Die induzierte Abbildung
$B_{\mathfrak{p}} \to \operatorname{Hom}_{A_{\mathfrak{p}}}(B_{\mathfrak{p}}, A_{\mathfrak{p}})$
ist ein Isomorphismus für alle $\mathfrak{p} \in \spec A$.
\end{enumerate}
\label{lemma:separable-is-local}
\end{lemma}

\begin{proof}
Isomorphismus zu sein ist eine lokale Eigenschaft und $B$ ist endlich erzeugter, projektiver $A$-Modul, das
heißt insbesondere endlich präsentiert, also folgt die Behauptung mit \ref{lemma:localisation-finitely-pres}.
\end{proof}

\begin{satz}
Sei $f\colon Y \to X$ ein Morphismus von Schemata. Dann ist $f$ genau dann endlich étale, wenn
für jede offene affine Teilmenge $U = \spec A$ von $X$, $f^{-1}(U)$ affin mit $f^{-1}(U) = \spec B$ und
$B$ eine projektive, separable $A$-Algebra ist.
\label{satz:equiv-finite-etale}
\end{satz}

\begin{proof}
($\Rightarrow$) Sei $U = \spec A$ offen in $X$ und sei $f^{-1}(U) = \spec B$.
Dann ist $B$ nach \ref{satz:morph-local-free-char} endliche, projektive $A$-Algebra.
Sei $\mathfrak{p} \in \spec A$ und $x \in U$ der zugehörige Punkt. Dann
ist $A_{\mathfrak{p}} = \mathcal{O}_{U,x} = \mathcal{O}_{V,x}$ für jede offene Menge $x \in V \subseteq U$.
Nach \ref{bem:finite-etale-basis} existiert
$x \in V \subseteq U$ offen affin mit $V = \text{Spec }A'$ und $f^{-1}(V) = \text{Spec }B'$, wobei
$B'$ freie, separable $A'$-Algebra. Dann ist nach \ref{lemma:localisation-finitely-pres}
$B'_{\mathfrak{p}} \to \operatorname{Hom}_{A'_{\mathfrak{p}}}(B'_{\mathfrak{p}}, A'_{\mathfrak{p}})$ ein
Isomorphismus, also auch
$B_{\mathfrak{p}} \to \operatorname{Hom}_{A_{\mathfrak{p}}}(B_{\mathfrak{p}}, A_{\mathfrak{p}})$. Also
nach \ref{lemma:separable-is-local} ist $B$ separable $A$-Algebra.

($\Leftarrow$) Da endlich étale eine auf $X$ lokale Eigenschaft ist, sei oE $X = \spec A$. Dann ist
$Y = f^{-1}(X) = \spec B$ mit $B$ projektive, separable $A$-Algebra. Nach \ref{satz:projectiveislocallyfree}
existieren $\{f_i\}_{i \in I}$, sodass $\sum_{i \in I} (f_i) = A$ und
$B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_i}$-Algebra. Da Lokalisieren Separabilität erhält, ist $B_{f_i}$ auch separabel
über $A_{f_i}$ und es folgt die Behauptung wegen $X = \bigcup_{i \in I} D(f_i)$.
\end{proof}

\begin{satz}[Basiswechsel]
Sei $f\colon Y \to X$ endlich étale und $g\colon W \to X$ ein Morphismus von Schemata. Dann ist
$Y \times_{X} W \to W$ endlich étale.
\label{satz:basischange}
\end{satz}

\begin{proof}
Endlich étale ist eine lokale Eigenschaft auf $W$ und damit insbesondere auf $X$. Genauer:
Sei $w \in W$ beliebig. Dann existiert eine offene affine Menge $g(w) \in U \subseteq X$ und
offene affine Mengen $U_i \subseteq W$, sodass $g^{-1}(U) = \bigcup_{i \in I} U_i$. Da $w \in g^{-1}(U)$ existiert
ein $i_0 \in I$, sodass $w \in U_{i_0}$. Durch Ersetzen von $W$ durch $U_{i_0}$ und $X$ durch $U$ können
wir also oE annehmen, dass $W = \spec C$ und $X = \spec A$. Da $f$ affin, ist damit
auch $Y = f^{-1}(X) = \spec B$ affin. Dann ist $Y \times_{X} W = \spec B \otimes_A C$.

Es bleibt also folgende Aussage zu zeigen: Sei $B$ projektive, separable $A$-Algebra und $C$ eine $A$-Algebra. Dann
ist $B \otimes_A C$ projektive, separable $C$-Algebra.

Zunächst ist $B \otimes_A C$ projektiv, denn da $B$ endlich erzeugter, projektiver $A$-Modul ist,
existiert ein $A$-Modul $Q$, sodass
$A^{n} \simeq B \oplus Q$ als $A$-Moduln für ein $n \ge 0$. Da der natürliche Isomorphismus
$A^{n} \otimes_A C \to C^{n}$ auch $C$-linear ist, folgt durch
Tensorieren mit $C$
\[
C^{n} \simeq A^{n} \otimes_A C \simeq (B \oplus Q) \otimes_A C = (B \otimes_A C) \oplus (Q \otimes_A C)
.\] Also ist $B \otimes_A C$ projektiver $C$-Modul.

Für die Separabilität ist zu zeigen, dass der von der Spurabbildung induzierte Homomorphismus
$B \otimes_A C \to \operatorname{Hom}_{C}(B \otimes_A C, C)$ ein Isomorphismus ist. Das folgt aus
\ref{lemma:tensor-and-hom} und dem kommutativen Diagramm:
\[
\begin{tikzcd}
B \otimes_A C \arrow{r} & \operatorname{Hom}_C(B\otimes_A C, C) \\
B \otimes_A C \arrow{u}{\operatorname{id}} \arrow[swap]{r}{\sim}
& \operatorname{Hom}_A(B, A) \otimes_A C \arrow[swap]{u}{\sim}
\end{tikzcd}
.\]
\end{proof}

\begin{satz}
Sei $f\colon Y \to X$ affiner Morphismus von Schemata und $g\colon W \to X$ ein
surjektiver, endlicher und lokal freier Morphismus. Dann ist $Y \to X$ genau dann endlich étale, wenn
$Y \times_X W \to W$ endlich étale ist.
\end{satz}

\begin{proof}
Die Hinrichtung gilt für beliebige Basiswechsel nach \ref{satz:basischange}. Zur Rückrichtung: Sei
$U \subseteq X$ affin und $U = \spec A$.
Also ist $f^{-1}(U) = \spec B$, da $f$ affin. Es genügt nun zu zeigen, dass $B$ projektive, separable $A$-Algebra ist.

Nach \ref{satz:degree} ist $g^{-1}(U) = \spec C$, wobei
$C$ eine endliche, treuprojektive $A$-Algebra ist. Sei $\mathfrak{m}$ ein Maximalideal von $A$. Angenommen
$C = \mathfrak{m}C$. Dann folgt insbesondere $C_{\mathfrak{m}} = \mathfrak{m}C_{\mathfrak{m}}$, also
da $C$ endlich erzeugter $A_{\mathfrak{m}}$-Modul folgt mit Nakayama $C_{\mathfrak{m}} = 0$, also
$[ C : A ](\mathfrak{m}) = 0 < 1$. Widerspruch. Da $C$ insbesondere flach, folgt mit Algebra 2, dass
$C$ treuflache $A$-Algebra ist.

Nun sei $p\colon Y \times_X W \to W$. Dann ist $p^{-1}(\spec C) = \spec B \otimes_A C$. Da
$p$ endlich étale, folgt mit \ref{satz:equiv-finite-etale}, dass $B \otimes_A C$ eine projektive separable
$C$-Algebra ist. Mit der Treuflachheit von $C$ und \ref{satz:4.14} folgt nun die Behauptung.
\end{proof}

\end{document}

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\makeatother

\newcommand{\spec}{\operatorname{Spec }}

\begin{document}

\section{Projektive Moduln und Algebren}

\begin{satz}[Projektiv ist lokal frei]
Sei $A$ ein Ring und $M$ ein $A$-Modul. Die folgenden Eigenschaften sind äquivalent:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $M$ ist endlich erzeugter projektiver $A$-Modul.
\item $M$ ist endlich präsentiert und $M_{\mathfrak{p}}$ ist freier
$M_{\mathfrak{p}}$-Modul für alle $\mathfrak{p} \in \spec A$.
\item Es existieren Elemente $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$ mit $\sum_{i \in I} (f_i) = A$, sodass
$M_{f_i}$ freier, endlich erzeugter $A_{f_i}$ Modul ist.
\end{enumerate}
\label{satz:projectiveislocallyfree}
\end{satz}

\begin{proof}
Siehe Theorem 4.6 in \cite{lenstra}.
\end{proof}

\begin{satz}
Sei $B$ eine $A$-Algebra und $C$ eine treuflache $A$-Algebra, sodass
$B \otimes_A C$ projektive, separable $C$-Algebra ist. Dann ist $B$ projektive, separable $A$-Algebra.
\label{satz:4.14}
\end{satz}

\begin{proof}
Vortrag 8. Theorem 4.14 in \cite{lenstra}.
\end{proof}

\begin{satz}
Sei $A$ ein Ring und $B$ projektive separable $A$-Algebra. Dann
existiert eine $B$-Algebra $C$ und ein $B$-Algebraisomorphismus
$B \otimes_A B \to B \times C$.
\label{satz:4.16}
\end{satz}

\begin{proof}
Vortrag 8. Proposition 4.16 in \cite{lenstra}.
\end{proof}

\section{Endlich étale Morphismen}

\begin{definition}
Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus.
$f$ ist \emph{endlich und lokal frei}, wenn eine Familie $(f_i)_{i \in I}$ existiert, sodass
$A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und $B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_{i}}$ Algebra ist für alle $i \in I$.

%Sei $f\colon Y \to X$ ein affiner Morphismus von Schemata. $f$ ist \emph{endlich und lokal frei}, wenn
%eine offene affine Überdeckung $\{U_i\}_{i \in I}$ existiert mit $U_i = \text{Spec }A_i$, sodass
%$f^{-1}(U_i) = \text{Spec }B_i$, wobei $B_i$ eine endliche und freie $A_i$-Algebra ist.
\end{definition}

\begin{lemma}[]
Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus und $S \subseteq A$ ein multiplikatives System. Dann
ist $f(S)$ ein multiplikatives System von $B$ und
\[
S^{-1}B \simeq f(S)^{-1}B
\] als $S^{-1}A$-Algebren.
\label{lemma:localisation}
\end{lemma}

\begin{proof}
Die Formel $\frac{b}{s} \mapsto \frac{b}{f(s)}$ induziert den Isomorphismus.
\end{proof}

%\begin{lemma}
% Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus und $\varphi\colon \text{Spec }B \to \text{Spec }A$ der induzierte
% Morphismus affiner Schemata. Sei $g \in A$. Dann ist
% \[
% \varphi^{-1}(D(g)) = D(f(g))
% .\] Insbesondere gilt
% \[
% \varphi^{-1}(\text{Spec }A_g) = \text{Spec }B_g
% .\]
% \label{lemma:d(f)}
%\end{lemma}
%
%\begin{proof}
% Die erste Gleichung ist aus Algebra 2 bekannt und gilt allgemeiner für Morphismen lokal geringter Räume. Die
% zweite Gleichung folgt aus der Ersten, wenn der Isomorphismus $D(g) = \text{Spec }A_g$ eingesetzt wird, unter
% Verwendung des Ringisomorphismus
% \[
% B_g = B \otimes_A A_g \simeq B_{f(g)}
% .\]
%\end{proof}

\begin{bem}
Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus. Dann ist $f$ genau dann endlich und lokal frei,
wenn $B$ endliche, projektive $A$-Algebra ist.
\label{satz:morph-local-free-char}
\end{bem}

\begin{proof}
\ref{satz:projectiveislocallyfree}
\end{proof}

\begin{satz}[Komposition]
Sei $A$ ein Ring, $B$ endliche, projektive $A$-Algebra und $C$ endliche, projektive $B$-Algebra. Dann
ist $C$ endliche, projektive $A$-Algebra.
\label{satz:composition-projective}
\end{satz}

\begin{proof}
Sei $A^{n} = B \oplus Q$ und $B^{m} = C \oplus P$. Dann haben wir Isomorphismen von $A$-Moduln
\[
A^{mn} = (A^{n})^{m} = (B \oplus Q)^{m} = B^{m} \oplus Q^{m} = C \oplus P \oplus Q^{m}
.\]
\end{proof}

\begin{bem}
Sei $B$ endliche projektive $A$-Algebra und $\mathfrak{p} \in \spec A$. Nach \ref{satz:projectiveislocallyfree}
existiert eine Familie $\{f_i\}_{i \in I}$, sodass $A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und
$B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_i}$-Algebra. Da $\mathfrak{p} \subsetneq A$ existiert ein $i \in I$, sodass
$f_i \not\in \mathfrak{p}$. Also ist $A_{\mathfrak{p}} = (A_{f_i})_{\mathfrak{p}}$ und
$B_{\mathfrak{p}} = (B_{f_i})_{\mathfrak{p}}$, also insbesondere $B_{\mathfrak{p}}$ endliche freie
$A_{\mathfrak{p}}$-Algebra.
\end{bem}

\begin{definition}[Grad]
Sei $B$ endliche projektive $A$-Algebra. Dann ist
\[
[ B : A ] \colon \spec A \to \Z, \mathfrak{p} \mapsto \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}}B_{\mathfrak{p}}
\] die \emph{Gradabbildung}.
\end{definition}

\begin{satz}
Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra. Dann gilt
\begin{enumerate}[(a)]
\item $A \to B$ ist genau dann injektiv, wenn $[B : A] \ge 1$.
\item $A \to B$ ist genau dann surjektiv, wenn $[B : A ] \le 1$.
\item $A \to B$ ist genau dann ein Isomorphismus, wenn $[ B : A ] = 1$.
\end{enumerate}
\label{satz:rings-degree}
\end{satz}

\begin{proof}
Vortrag 8.
\end{proof}

\begin{lemma}
Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra. Dann ist
$[B : A]$ lokalkonstant, das heißt eine stetige Abbildung $\spec A \to \Z$, wobei $\Z$ die diskrete
Topologie trägt. Insbesondere ist die Menge
\[
\{\mathfrak{p} \in \spec A \mid [B : A](\mathfrak{p}) = n\}
\] offen und abgeschlossen in $\spec A$ und $[B : A]$ ist konstant, falls $\spec A$ zusammenhängend ist.
\end{lemma}

\begin{proof}
Erneut nach \ref{satz:projectiveislocallyfree} seien $\{f_i\}_{i \in I}$ in $A$, sodass
$A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und $B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_i}$-Algebra für alle $i \in I$. Dann
ist $\spec A = \bigcup_{i \in I} D(f_i)$, wobei $D(f_i) = \{ \mathfrak{p} \in \spec A \mid f_i \not\in p\}$.
Per Definition der Zariskitopologie auf $\spec A$ sind die Mengen $D(f_i)$ offen und
$[B : A]|_{D(f_i)}$ ist konstant.
\end{proof}

\begin{bem}[Offene und abgeschlossene Mengen in $\spec A$]
Sei $A$ ein Ring. Dann sind die offenen und abgeschlossenen Mengen in $\spec A$
von der Form $D(e)$, wobei $e$ idempotent und eindeutig bestimmt ist. Insbesondere
existiert für alle $n \ge 0$ genau ein Idempotent $e$, sodass
$\{\mathfrak{p} \in \spec A \mid [ B : A](\mathfrak{p}) = n\} = D(e)$.
\label{bem:clopen-sets}
\end{bem}

\begin{definition}[Treuprojektive Algebren]
Sei $B$ endliche projektive $A$-Algebra. Dann ist $B$ \emph{treuprojektiv}, wenn $[B : A] \ge 1$.
\end{definition}

%\begin{definition}[Surjektive Algebren]
% Eine $A$-Algebra $B$ heißt $\emph{surjektiv}$, falls die induzierte Abbildung
% $\spec B \to \spec A$ surjektiv ist.
%\end{definition}

\begin{satz}
Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra. Dann ist
\begin{enumerate}[(a)]
\item $B = 0 \iff [B : A] = 0$.
\item $A \to B$ Isomorphismus $\iff [B : A] = 1$.
\item $\spec B \to \spec A$ surjektiv $\iff$ $B$ treuprojektive $A$-Algebra.
\end{enumerate}
\label{satz:degree}
\end{satz}

\begin{proof}
\begin{enumerate}[(a)]
\item $B = 0 \iff B_{\mathfrak{p}} = 0$
$\forall \mathfrak{p} \in \spec A \iff \text{rang}_{A_{\mathfrak{p}}} B_{\mathfrak{p}} = 0$
$\forall \mathfrak{p} \in \spec A$
$\iff [B : A] = 0$.
\item Das ist \ref{satz:rings-degree}(c).
\item
Sei $\spec B \to \spec A$ surjektiv und sei $\mathfrak{p} \in \spec A$ mit Urbild
$\mathfrak{q} \in \spec{B}$. Also ist $B \neq 0$ und damit $B_{\mathfrak{q}} \neq 0$.
Sei $\varphi\colon A \to B$ der induzierte Ringhomomorphismus,
$S = \varphi(A \setminus \mathfrak{p})$ und $T = B \setminus \mathfrak{q}$. Wegen
$\mathfrak{p} = f(\mathfrak{q}) = \varphi^{-1}(\mathfrak{q})$, folgt
$S \subseteq T$. Und damit
\[
B_{\mathfrak{q}} = T^{-1}B \simeq (S^{-1}T)^{-1}(S^{-1}B) = (S^{-1}T)^{-1} B_{\mathfrak{p}},
\] also ist $B_{\mathfrak{q}}$ eine Lokalisierung von $B_{\mathfrak{p}}$. Also folgt
auch $B_{\mathfrak{p}} \neq 0$, also
$[ B : A ](\mathfrak{p}) > 0$. Rückrichtung: Mit \ref{satz:rings-degree}(a) ist $A \to B$ injektiv
und weil $B$ endliche $A$-Algebra, ist $B$ ganze Ringerweiterung von $A$, also folgt
die Aussage aus \cite{macdonald} Theorem 5.10.
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{definition}[Endlich étale Algebren]
Eine $A$-Algebra $B$ ist \emph{endlich étale}, wenn Elemente $\{f_i\}_{i \in I}$ existieren, sodass
$A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und $B_{f_i}$ freie, separable $A_{f_i}$-Algebra ist für alle $i \in I$.
\end{definition}

\begin{bem}
Jede endlich étale Algebra ist auch endlich und lokal frei, denn separable Algebren sind per Definition endlich.
\label{bem:finite-etale-is-locally-free}
\end{bem}

%\begin{lemma}
% Seien $M, N$ $A$-Moduln und $M$ endlich präsentiert, d.h. es existiert eine exakte Folge
% \[
% A^{m} \to A^{n} \to M \to 0
% .\] Sei weiter $S \subset A$ ein multiplikatives System. Dann ist der natürliche $A$-Modul Homomorphismus
% \[
% S^{-1}\operatorname{Hom}_A(M, N) \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N)
% \] ein Isomorphismus.
% \label{lemma:localisation-finitely-pres}
%\end{lemma}
%
%\begin{proof}
% $S^{-1}A$ ist ein flacher $A$-Modul und $\operatorname{Hom}_A(-, N)$ bzw. $\operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(-, S^{-1}N)$
% sind linksexakt. So erhalten wir exakte Folgen
% \[
% 0 \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N)
% \to (S^{-1}N)^{n} \to (S^{-1}N)^{m}
% \] und
% \[
% 0 \to S^{-1}\operatorname{Hom}_{A}(M, N) \to (S^{-1}N)^{n} \to (S^{-1}N)^{m}
% .\] Das 5-er Lemma liefert das Ergebnis.
%\end{proof}

\begin{lemma}[]
Sei $M$ endlich präsentierter $A$-Modul, das heißt es existiere eine exakte Folge
\[
A^{m} \to A^{n} \to M \to 0
.\] Sei weiter $C$ eine $A$-Algebra und $N$ ein $A$-Modul.
Falls $N$ oder $C$ flach sind, ist der natürliche $C$-Modulhomomorphismus
\[
\operatorname{Hom}_A(M, N) \otimes_A C \to \operatorname{Hom}_{C}(M \otimes_A C, N \otimes_A C)
\] ein Isomorphismus.
\label{lemma:tensor-and-hom}
\end{lemma}

\begin{proof}
Da Tensorieren rechtsexakt ist und $\operatorname{Hom}_{C}(-, N \otimes_A C)$ linksexakt, erhalten wir durch anwenden
in dieser Reihenfolge auf die exakte Folge $A^{m} \to A^{n} \to M \to 0$, die exakte Folge
\[
0 \to \operatorname{Hom}_{C}(M \otimes_A C, N \otimes_A C) \to (N \otimes_A C)^{n} \to (N \otimes_A C)^{m}
.\] Andererseits liefert zunächst anwenden von $\operatorname{Hom}_{A}(-, N)$ die exakte Folge
\[
0 \to \operatorname{Hom}_{A}(M, N) \to N^{n} \to N^{m}
.\] Tensorieren mit $C$ liefert die exakte Folge
\[
\underbrace{\operatorname{Tor}_{1}^{A}(N^{m}, C)}_{= 0} \to \operatorname{Hom}_{A}(M, N) \otimes_A C
\to (N \otimes_A C)^{n} \to (N \otimes_A C)^{m}
.\] Der linke Term verschwindet, weil $N^{m}$ oder $C$ flach ist. Untereinanderschreiben der beiden Folgen mit
den natürlichen Homomorphismen und Auffüllen mit $0$ nach links liefert ein kommutatives Diagramm und mit dem 5-er Lemma
die Behauptung.
\end{proof}

\begin{bem}
\ref{lemma:tensor-and-hom} wendet sich insbesondere dann an, wenn $M$ endlich erzeugter projektiver Modul ist.
\end{bem}

\begin{korollar}
Seien $M$, $N$ $A$-Moduln und $M$ endlich präsentiert. Sei weiter $S \subset A$ ein multiplikatives System. Dann
ist der natürliche $S^{-1}A$-Modulhomomorphismus
\[
S^{-1}\operatorname{Hom}_{A}(M, N) \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N)
\] ein Isomorphismus.
\label{lemma:localisation-finitely-pres}
\end{korollar}

%\begin{korollar}
% Ein Morphismus von Schemata $f\colon Y \to X$ ist genau dann endlich étale, wenn
% eine Basis von offenen affinen Mengen $\{U_i\}_{i \in I}$ von $X$ existiert, sodass
% $U_i = \spec A_i$ und $f^{-1}(U_i) = \spec B_i$, wobei $B_i$ freie, separable $A_i$-Algebra ist.
%
% \label{bem:finite-etale-basis}
%\end{korollar}
%
%\begin{proof}
% Die Rückrichtung ist klar. Für die Hinrichtung beachte, dass eine endliche, projektive $A$-Algebra $B$ genau dann
% separabel ist, wenn der von der Spur induzierte $A$-Modulhomomorphismus $B \to \operatorname{Hom}_A(B, A)$
% ein Isomorphismus ist. Diese Eigenschaft bleibt nach \ref{lemma:localisation-finitely-pres}
% durch Lokalisieren erhalten.
%\end{proof}

\begin{lemma}
Sei $B$ eine endliche, projektive $A$-Algebra. Dann ist $A \to B$ genau dann separabel, wenn
$A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ separabel ist für alle $\mathfrak{p} \in \spec A$.
\label{lemma:separable-is-local}
\end{lemma}

\begin{proof}
$A \to B$ ist genau dann separabel, wenn die von der Spur induzierte Abbildung
$B \to \operatorname{Hom}_{A}(B, A)$ ein Isomorphismus ist. Das
ist eine lokale Eigenschaft. Da außerdem $B$ endlich erzeugter, projektiver $A$-Modul ist, das
heißt insbesondere endlich präsentiert ist, folgt mit \ref{lemma:localisation-finitely-pres}
\[
\operatorname{Hom}_{A}(B, A)_{\mathfrak{p}} =
\operatorname{Hom}_{A_{\mathfrak{p}}}(B_{\mathfrak{p}}, A_{\mathfrak{p}})
\] und damit die Behauptung.
\end{proof}

\begin{satz}
Sei $B$ eine $A$-Algebra. Dann ist $B$ genau dann endlich étale über $A$, wenn
$B$ projektive, separable $A$-Algebra ist.
\label{satz:equiv-finite-etale}
\end{satz}

\begin{proof}
($\Rightarrow$)
Nach \ref{bem:finite-etale-is-locally-free} ist $B$ endliche projektive $A$-Algebra. Weiter sei
$\{f_i\}_{i \in I}$ in $A$, sodass $A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und
$B_{f_i}$ endliche separable $A_{f_i}$ Algebra für alle $i \in I$. Nun sei $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann
existiert ein $i \in I$, sodass $f_i \not\in \mathfrak{p}$. Also
folgt $B_{\mathfrak{p}} = (B_{f_i})_{\mathfrak{p}}$ und $A_{\mathfrak{p}} = (A_{f_i})_{\mathfrak{p}}$.
Nach \ref{lemma:separable-is-local} ist also
$A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ separabel.
Da $\mathfrak{p}$ beliebig war, folgt erneut mit \ref{lemma:separable-is-local} die Behauptung.

($\Leftarrow$) Sei $B$ projektive, separable $A$-Algebra. Nach \ref{satz:projectiveislocallyfree}
existieren $\{f_i\}_{i \in I}$, sodass $\sum_{i \in I} (f_i) = A$ und
$B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_i}$-Algebra. Da Lokalisieren Separabilität erhält, ist $B_{f_i}$ auch separabel
über $A_{f_i}$ und es folgt die Behauptung.
\end{proof}

\begin{satz}[Basiswechsel endlich projektive]
Sei $B$ endlich projektive $A$-Algebra und $C$ eine weitere $A$-Algebra. Dann
ist $B \otimes_A C$ endlich projektive $C$-Algebra.
Insbesondere kommutiert das folgende Diagramm
\[
\begin{tikzcd}
\spec C \arrow[swap]{dr}{[B \otimes_A C : C]} \arrow[from=1-1,to=1-3] & & \spec A \arrow{dl}{[B : A]} \\
& \Z &.
\end{tikzcd}
\]
\label{satz:basischange-projective}
\end{satz}

\begin{proof}
Da $B$ endlich erzeugter, projektiver $A$-Modul ist,
existiert ein $A$-Modul $Q$, sodass
$A^{n} \simeq B \oplus Q$ als $A$-Moduln für ein $n \ge 0$. Da der natürliche Isomorphismus
$A^{n} \otimes_A C \to C^{n}$ auch $C$-linear ist, folgt durch
Tensorieren mit $C$
\[
C^{n} \simeq A^{n} \otimes_A C \simeq (B \oplus Q) \otimes_A C = (B \otimes_A C) \oplus (Q \otimes_A C)
.\] Also ist $B \otimes_A C$ (endlich erzeugter) projektiver $C$-Modul.

Für die Grade: Sei $\mathfrak{p} \in \spec C$ und $\mathfrak{q} \coloneqq \mathfrak{p}^{c}$. Sei
weiter $\text{rank}_{A_{\mathfrak{q}}} B_{\mathfrak{q}} = n$. Also
folgt
\[
(B \otimes_A C)_{\mathfrak{q}} = B \otimes_A C \otimes_A A_{\mathfrak{q}} = B_{\mathfrak{q}}
\otimes_A C = A_{\mathfrak{q}}^{n} \otimes_A C = (A^{n} \otimes_A C)_{\mathfrak{q}} = (C^{n})_{\mathfrak{q}}
.\] Die natürlichen Isomorphismen sind auch $C_{\mathfrak{q}}$ linear, also folgt
$\text{rank}_{C_{\mathfrak{q}}} (B \otimes_A C)_{\mathfrak{q}} = n$. Da
$(B \otimes_A C)_{\mathfrak{p}}$ bzw. $C_{\mathfrak{p}}$ eine Lokalisierung von
$(B \otimes_A C)_{\mathfrak{q}}$ bzw. $C_{\mathfrak{q}}$ ist und Lokalisieren den Grad erhält, folgt die
Behauptung.
\end{proof}

\begin{satz}[Basiswechsel endlich étale]
Sei $B$ endlich étale $A$-Algebra und $C$ eine weitere $A$-Algebra. Dann ist
$B \otimes_{A} C$ endlich étale $C$-Algebra.
\label{satz:basischange}
\end{satz}

\begin{proof}
Mit \ref{satz:equiv-finite-etale} genügt es zu zeigen:
Sei $B$ projektive, separable $A$-Algebra und $C$ eine $A$-Algebra. Dann
ist $B \otimes_A C$ projektive, separable $C$-Algebra. Mit
\ref{satz:basischange-projective} genügt es die Separabilität zu zeigen.

Es ist also zu zeigen, dass der von der Spurabbildung induzierte Homomorphismus
$B \otimes_A C \to \operatorname{Hom}_{C}(B \otimes_A C, C)$ ein Isomorphismus ist. Das folgt aus
\ref{lemma:tensor-and-hom} und dem kommutativen Diagramm:
\[
\begin{tikzcd}
B \otimes_A C \arrow{r} & \operatorname{Hom}_C(B\otimes_A C, C) \\
B \otimes_A C \arrow{u}{\operatorname{id}} \arrow[swap]{r}{\sim}
& \operatorname{Hom}_A(B, A) \otimes_A C \arrow[swap]{u}{\sim}
\end{tikzcd}
.\]
\end{proof}

\begin{satz}[Treuprojektiv ist treuflach]
Sei $B$ treuprojektive $A$-Algebra. Dann ist $B$ treuflach.
\label{satz:faithfully-projective-faithfully-flat}
\end{satz}

\begin{proof}
Wir zeigen die Kontraposition: Sei $B$ nicht treuflach, dann existiert
nach Algebra 2 ein Maximalideal $\mathfrak{m}$ von $A$, sodass $B = \mathfrak{m}B$.
Dann folgt insbesondere $B_{\mathfrak{m}} = \mathfrak{m}B_{\mathfrak{m}}$.
Da $B_{\mathfrak{m}}$ endlich erzeugter $A_{\mathfrak{m}}$-Modul folgt mit Nakayama $B_{\mathfrak{m}} = 0$, also
$[ B : A ](\mathfrak{m}) = 0 < 1$.
\end{proof}

\begin{korollar}
Sei $B$ eine $A$-Algebra und $C$ treuprojektive $A$-Algebra.
Dann ist $B$ genau dann endlich étale $A$-Algebra, wenn
$B \otimes_A C$ endlich étale $C$-Algebra ist.
\label{kor:finite-etale}
\end{korollar}

\begin{proof}
Die Hinrichtung gilt für beliebige Basiswechsel nach \ref{satz:basischange}.
Zur Rückrichtung: Nach \ref{satz:faithfully-projective-faithfully-flat} ist $C$ treuflach. Damit folgt
die Behauptung aus \ref{satz:4.14}.
\end{proof}

\begin{definition}[Total zerlegbare Algebren]
Eine $A$-Algebra $B$ ist \emph{total zerlegbar}, wenn
$A$ ein Produkt von Ringen $A_n$ ist mit $n \ge 0$ und
$B$ isomorph ist zu $\prod_{n \ge 0} A_n^{n}$, sodass
\[
\begin{tikzcd}
B \arrow{r}{\sim} & \prod_{n \ge 0}^{} A_n^{n} \\
A \arrow{u} \arrow{r}{\sim} & \prod_{n \ge 0} A_n \arrow{u}
\end{tikzcd}
\] kommutiert.
\end{definition}

\begin{satz}[Aufgabe 5.3]
Sei $A$ ein Ring und $B_i$ $A$-Algebren für $1 \le i \le n$. Sei weiter
$B = \prod_{i=1}^{n} B_i$. Dann ist $B$ genau dann endlich étale, wenn
jedes $B_i$ endlich étale ist. In diesem Fall gilt
$[B : A] = \sum_{i=1}^{n} [B_i : A]$.
\label{ex:5.3}
\end{satz}

\begin{proof}
Als $A$-Modul ist $B \simeq \bigoplus_{i = 1}^{n} B_i$. Also ist $B$ genau dann endlich erzeugt bzw. projektiv, wenn
$B_i$ endlich erzeugt bzw. projektiv ist für $1 \le i \le n$. Ebenso
existiert ein natürlicher $A$-Modulisomorphismus
\[
\text{Hom}_A(B, A) = \text{Hom}_A\left( \bigoplus_{i=1}^{n} B_i, A \right)
= \prod_{i=1}^{n} \text{Hom}_A(B_i, A)
.\] Das heißt
$B \to \text{Hom}_A(B, A)$ ist genau dann ein Isomorphismus, wenn $B_i \to \text{Hom}_A(B_i, A)$ ein Isomorphismus
ist für $1 \le i \le n$.

Gradformel: Sei $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann ist
\[
[B : A](\mathfrak{p})% = \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} B_{\mathfrak{p}}
= \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} \left(\bigoplus_{i = 1}^{n} B_i\right)_{\mathfrak{p}}
= \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} \left( \bigoplus_{i = 1}^{n} (B_{i})_{\mathfrak{p}} \right)
= \sum_{i=1}^{n} \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} (B_{i})_{\mathfrak{p}}
= \sum_{i=1}^{n} [B_i : A ](\mathfrak{p})
.\]
\end{proof}

\begin{lemma}
Seien $A_1, \ldots, A_n$ Ringe und $f \in \prod_{i=1}^{n} A_i$. Dann ist der natürliche Homomorphismus
\[
\left(\prod_{i=1}^{n} A_i\right)_f \longrightarrow \prod_{i=1}^{n} (A_i)_{f_i}
\] ein Isomorphismus.
\label{lemma:localised-product-ring}
\end{lemma}

\begin{proof}
Man bediene sich der Endlichkeit.
\end{proof}

\begin{lemma}
Sei $A$ ein Ring und $\{f_i\}_{i \in I}$ Elemente von $A$, sodass
$\spec A = \coprod_{i \in I} D(f_i)$. Dann ist der natürliche Ringhomomorphismus
\[
A \longrightarrow \prod_{i \in I} A_{f_i}
\] ein Isomorphismus.
\label{lemma:disjoint-union-of-spec}
\end{lemma}

\begin{proof}
Sei $\mathfrak{p} \in \spec A$ und $i \in I$. Falls $f_i \not\in \mathfrak{p}$ ist
$(A_{f_i})_{\mathfrak{p}} = A_{\mathfrak{p}}$. Sei nun $f_i \in \mathfrak{p}$. Beh.: $(A_{f_i})_{\mathfrak{p}} = 0$.

Wir zeigen $f_i$ nilpotent in $A_{\mathfrak{p}}$.
Sei $\mathfrak{q} \in \spec A$ mit $f_i \not\in \mathfrak{q}$. Dann ist
$\{\mathfrak{q}\} \subseteq D(f_i)$ und $D(f_i)$ ist abgeschlossen. Also folgt
$V(\mathfrak{q}) = \overline{\{\mathfrak{q}\}} \subseteq D(f_i)$. Da $\mathfrak{p} \not\in D(f_i)$, folgt
a fortiori $\mathfrak{p} \not\in V(\mathfrak{q})$. M.a.W.: $\mathfrak{q} \not\in \spec A_{\mathfrak{p}}$.
Kontraposition: Für $\mathfrak{q} \in \spec A_{\mathfrak{p}}$ folgt bereits $f_i \in \mathfrak{q}$.
Also ist $f_i$ nilpotent in $A_{\mathfrak{p}}$ und damit
$(A_{f_i})_{\mathfrak{p}} = (A_{\mathfrak{p}})_{f_i} = 0$.

Es existiert nun genau ein $i_{0} \in I$, sodass $\mathfrak{p} \in D(f_{i_0})$. Lokalisieren
von $A \to \prod_{i \in I} A_i$ ergibt also
\[
A_{\mathfrak{p}} \to \left(\prod_{i \in I} A_{f_i}\right)_{\mathfrak{p}}
= \prod_{i \in I} (A_{f_i})_{\mathfrak{p}} = A_{\mathfrak{p}}
.\] Das erste Gleichheitszeichen gilt, da Spektren von Ringen quasikompakt sind, das heißt $I$ endlich ist.
Weil Isomorphismus eine lokale Eigenschaft ist, folgt die Behauptung.
\end{proof}

\begin{lemma}
Sei $f\colon A \to B$ Ringhomomorphismus und $\varphi \colon \spec B \to \spec A$ die induzierte
Abbildung. Dann ist für $a \in A$:
\[
\varphi^{-1}(D(a)) = D(f(a))
.\]
\label{lemma:preimage-of-d}
\end{lemma}

\begin{proof}
$\mathfrak{p} \in \varphi^{-1}(D(a)) \iff \varphi(\mathfrak{p})\in D(a) \iff a \not\in \varphi(\mathfrak{p})
= f^{-1}(\mathfrak{p}) \iff \mathfrak{p} \not\in D(f(a))$.
\end{proof}

\begin{satz}
Seien $(A_i)_{i \in I}, (B_i)_{i \in I}$ Ringe mit $I$ endlich und sei $B_i$ endlich étale $A_i$-Algebra
für alle $i \in I$. Dann ist $\prod_{i \in I} B_i$ endlich étale $\prod_{i \in I} A_i$-Algebra. Außerdem
ist jede endlich étale $\prod_{i \in I} A_i$ Algebra von dieser Form.
Weiter ist
\[
\left[ \prod_{i \in I} B_i : \prod_{i \in I} A_i \right]\Big|_{\spec A_j} = [ B_j : A_j]
.\]
\label{satz:projective-prod}
\end{satz}

\begin{proof}
Die Folge abelscher Gruppen
\[
\begin{tikzcd}
\left( \prod_{i \in I} A_i \right)^{n} \arrow{r}\arrow{d}{\simeq}
& \left( \prod_{i \in I} A_i \right)^{m} \arrow{r}\arrow{d}{\simeq}
& \prod_{i \in I} B_i \arrow{r} \arrow{d}{=} & 0 \\
\prod_{i \in I} A_i^{n} \arrow{r} & \prod_{i \in I} A_i^{m} \arrow{r} & \prod_{i \in I} B_i \arrow{r} & 0
\end{tikzcd}
\] ist genau dann exakt, wenn
\[
\begin{tikzcd}
A_i^{n} \arrow{r} & A_i^{m} \arrow{r} & B_i \arrow{r} & 0
\end{tikzcd}
\] exakt ist für alle $i \in I$. Also ist $\prod_{i \in I} B_i$ genau dann endlich präsentierter
$\prod_{i \in I} A_i$-Modul, wenn $B_i$ endlich präsentierter $A_i$-Modul ist für alle $i \in I$.

Außerdem ist $\spec A = \coprod_{i \in I} \spec A_i$. Also für $\mathfrak{p} \in \spec A$
existiert genau ein $i \in I$, sodass $\mathfrak{p} \in \spec A_i$ und
$A_{\mathfrak{p}} = (A_{i})_{\mathfrak{p}}$ und $B_{\mathfrak{p}} = (B_{i})_{\mathfrak{p}}$.
Also ist $A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ genau dann frei separabel für
alle $\mathfrak{p} \in \spec A$, wenn
$(A_i)_{\mathfrak{p}} \to (B_{i})_{\mathfrak{p}}$ frei separabel ist für alle $\mathfrak{p} \in \spec A_i$ und
alle $i \in I$.

Insgesamt ist $A \to B$ genau dann endlich étale, wenn $A_i \to B_i$ endlich étale ist für alle $i \in I$.

%Endlich étale ist eine lokale Eigenschaft auf $A$, genauer: Für alle $i \in I$ existieren
%$\{f_{ij}\}_{j \in J_i}$, sodass $A_i = \sum_{j \in J_i} (f_{ij})$ und
%$(B_i)_{f_{ij}}$ separable, freie $(A_{i})_{f_{ij}}$-Algebra für alle $j \in J_i$. Dann
%setze $\tilde{f}_{ij} = (0, \ldots, 0, f_{ij}, 0, \ldots, 0)$. Dann ist mit \ref{lemma:localised-product-ring}
%$B_{\tilde{f}_{ij}} = (B_i)_{f_{ij}}$ separable, freie $A_{\tilde{f}_{ij}} = (A_i)_{f_{ij}}$-Algebra
%und $A = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J_i} (\tilde{f}_{ij})$. Also ist $B$ endlich separable $A$-Algebra.

Sei nun $f\colon \prod_{i \in I} A_i \to B$ endlich étale. Es ist
$\spec A = \coprod_{i \in I} \spec A_i$. Nach \ref{bem:clopen-sets} existieren
also idempotente Elemente $e_i \in A$, sodass $\spec A = \coprod_{i \in I} D(e_i)$. Nach
\ref{lemma:preimage-of-d} ist $\spec B = \coprod_{i \in I} D(f(e_i))$. Wir haben das folgende kommutative
Diagramm
\[
\begin{tikzcd}
B \arrow{r} & \prod_{i \in I} B_{e_i} \\
A \arrow{u} \arrow{r} & \prod_{i \in I} A_{e_i} \arrow{u}
\end{tikzcd}
.\] Nach \ref{lemma:disjoint-union-of-spec} sind die horizontalen Pfeile Isomorphismen
und wir sind in der obigen Situation.

Die Gradformel folgt aus $\spec A = \coprod_{i \in I} \spec A_i$ und durch Berechnung in der Überdeckung aus dem
ersten Absatz.
\end{proof}

\begin{satz}
Sei $B$ eine $A$-Algebra. Dann ist $B$ genau dann endlich étale,
wenn $B \otimes_A C$ total zerlegbare $C$-Algebra ist für eine treuprojektive $A$-Algebra $C$.
\label{th:5.10}
\end{satz}

\begin{proof}
Die Rückrichtung ist klar nach \ref{kor:finite-etale}. Hinrichtung: Sei $B$ eine endlich
étale $A$-Algebra und sei zunächst $[ B : A ] = n$ konstant. Dann zeigen wir die Behauptung per Induktion
nach $n$.

Falls $n = 0$: Dann ist $B = 0$ und wir können $C = A$ setzen. Sei nun $n > 0$.
Nach \ref{satz:4.16} existiert eine $B$-Algebra $B'$ und ein
Isomorphismus von $B$-Algebren $B \otimes_A B \to B \times B'$.
Nach \ref{satz:basischange} ist $B \otimes_A B$ endlich étale $B$-Algebra und
$[ B \otimes_A B : B] = n$. Wenn $B$ natürlicherweise als $B$-Algebra aufgefasst wird, ist $[ B : B ] = 1$,
also nach \ref{ex:5.3} $[ B' : B ] = [ B \times B' : B ] - [ B : B ] = n-1$. Also wendet
sich die Induktionsvoraussetzung an und es gibt eine treuprojektive $B$-Algebra $C$, sodass
$B' \otimes_B C$ total zerlegbare $C$-Algebra ist.

Dann ist $B \otimes_A C = B \otimes_A B \otimes_B C = (B \times B') \otimes_B C =
(B \otimes_B C) \times (B' \otimes_B C) = C \times (B' \otimes_B C)$. Da $C$
und $B' \otimes_B C$ als $C$-Algebren total zerlegbar sind, ist auch $B \otimes_A C$ total zerlegbar als
$C$-Algebra.

Nach \ref{satz:composition-projective} ist $C$ endliche, projektive $A$-Algebra. Da $[ B : A ] \ge 1$
und $[ C : B ] \ge 1$ ist $\spec C \to \spec B \to \spec A$ surjektiv, also
$C$ treuprojektive $A$-Algebra nach \ref{satz:degree}.

Im Allgemeinen Fall sei $\spec A = \coprod_{n \ge 0} [ B : A ]^{-1}(\{n\})$. Dann existieren
idempotente Elemente $(e_n)_{n \ge 0}$, sodass $D(e_n) = [B : A]^{-1}(\{n\})$, also
$\spec A = \coprod_{n \ge 0} D(e_n)$. Mit \ref{lemma:disjoint-union-of-spec}
ist also $A = \prod_{n \ge 0}^{} A_{e_n}$, wobei wegen der Quasikompaktheit von $\spec A$ fast alle $e_n = 0$ sind.
Mit \ref{satz:projective-prod} ist also
$B = \prod_{n \ge 0} B_{e_n}$ mit $A_{e_n} \to B_{e_n}$ endlich étale.

Nun ist $[ B_{e_n} : A_{e_n} ] = n$ und
mit dem ersten Teil existiert eine treuprojektive $A_{e_n}$-Algebra $C_{n}$, sodass
$B_{e_n} \otimes_A C_n$ total zerlegbare $C_n$-Algebra ist. Setze
nun $C = \prod_{n \ge 0} C_{n}$. Nach \ref{satz:projective-prod} ist
$C$ endliche, projektive $A$-Algebra und $[C : A]|_{D(e_n)} = [ C_{e_n} : A_{e_n} ] \ge 1$, also
$[ C : A] \ge 1$ und damit $C$ treuprojektiv.
Weiter ist
\[
B \otimes_A C = \left(\prod_{n \ge 0} B_{e_n} \right) \otimes_{\prod_{n \ge 0} A_{e_n} }
\left(\prod_{n \ge 0} C_n\right)
= \prod_{n \ge 0}^{} B_{e_n} \otimes_{A_{e_n}} C_n
\simeq \prod_{n \ge 0} C_n^{n}
\] wobei der letzte Isomorphismus aus der totalen Zerlegbarkeit von $B_{e_n} \otimes_{A_{e_n}} C_n$ folgt.
\end{proof}

\begin{satz}[]
Sei $B$ endlich étale $A$-Algebra und $C$ endlich étale $B$-Algebra. Dann ist
$C$ endlich étale $A$-Algebra.
\end{satz}

\begin{proof}
Sei zunächst $B$ total zerlegbar über $A$ von konstantem Grad. Dann
ist $B = A^{n}$ und
nach \ref{satz:projective-prod} $C = \prod_{i=1}^{n} C_i$, wobei $C_i$ endlich étale $A$-Algebra. Dann
ist $C$ endlich étale nach \ref{ex:5.3}.

Falls $B$ total zerlegbar über $A$ von nicht notwendig konstantem Grad, ist $A = \prod_{n \ge 0} A_n$
und $B = \prod_{n \ge 0} A_n^{n}$. Dann ist $C = \prod_{n \ge 0} C_n$ mit $C_n$ endlich étale
$A_n^{n}$-Algebra nach \ref{satz:projective-prod}. Wende
nun den ersten Fall auf $A_n \to A_n^{n} \to C_n$ an. Mit \ref{satz:projective-prod} folgt dann die Behauptung.

Im Allgemeinen: Mit \ref{th:5.10} wähle $D$ treuprojektive $A$-Algebra, sodass
$B \otimes_A D$ total zerlegbare $D$-Algebra. Nach \ref{satz:basischange} ist dann
$C \otimes_A D = C \otimes_B (B \otimes_A D)$ endlich étale $B \otimes_A D$-Algebra. Mit dem obigen Speziallfall
ist also $C \otimes_A D$ endlich étale $D$-Algebra. Da $A \to D$ treuprojektiv war, folgt
mit \ref{kor:finite-etale} die Behauptung.
\end{proof}

Sei $A$ ein Ring und $E$ eine endliche Menge. Dann schreiben wir $A^{E}$ für $\prod_{e \in E} A$. Sei
$\phi\colon D \to E$ eine Abbildung zwischen endlichen Mengen. Für $d \in D$ sei
$\psi_d \colon A^{E} \to A$ gegeben durch $(a_e)_{e \in E} \mapsto a_{\phi(d)}$. Das induziert
einen Ringhomomorphismus $A^{E} \to A^{D}$.

\begin{lemma}
Der induzierte Ringhomomorphismus $A^{E} \to A^{D}$ ist endlich étale.
\label{lemma:induced-finite-etale}
\end{lemma}

\begin{proof}
$A \to A$ und $A \to 0$ sind endlich étale, also mit \ref{satz:projective-prod} auch
$\psi_d \colon A^{E} \to A = A \times 0 \times \ldots \times 0$
und damit $A^{E} \to A^{D}$ nach \ref{ex:5.3}.
\end{proof}

\begin{lemma}
Sei $(A, \mathfrak{m})$ ein lokaler Ring. Dann hat $A$ keine nicht-trivialen idempotenten Elemente.
\label{lemma:local-idempotents}
\end{lemma}

\begin{proof}
Sei $e \in A$ idempotent. Dann ist $e(1-e) = e^2 - e = e - e = 0$. Falls $e \in A^{\times }$, folgt
$1-e = 0$ also $e = 1$. Falls $e \not\in A^{\times}$: Dann ist $e \in \mathfrak{m}$. Angenommen
$1-e \in \mathfrak{m}$, dann ist auch $1 = 1-e +e \in \mathfrak{m}$. Widerspruch. Also ist
$1-e \not\in \mathfrak{m}$. Da $A$ lokal, ist also $1-e \in A^{\times}$ und damit $e = 0$.
\end{proof}

\begin{lemma}
Sei $A$ ein Ring ohne nicht-triviale Idempotente und seien $E,D$ endliche Mengen. Dann
ist jeder $A$-Algebra Homomorphismus $A^{E} \to A^{D}$ induziert von einer Abbildung $D \to E$.
\label{lemma:no-idempotents}
\end{lemma}

\begin{proof}
Sei $\psi\colon A^{E} \to A^{D}$ ein $A$-Algebra Homomorphismus.
Setze $f_e \coloneqq (\delta_{\tilde{e}e})_{\tilde{e} \in E} \in A^{E}$. Dann ist $f_e^2 = 1$ und
$f_ef_{\tilde{e}} = 0$ falls $e \neq \tilde{e}$.

Sei nun $d \in D$ beliebig. Dann gilt
$\psi(f_e)^2 = \psi(f_e^2) = \psi(f_e)$, also $\psi(f_e)_d$ idempotent, also $\psi(f_e)_d \in \{0, 1\}$.
Weiter ist $1 = \psi(1)_d = \psi(\sum_{e \in E} f_e)_d$ und für $e \neq \tilde{e} \in E$ ist
$0 = \psi(f_ef_{\tilde{e}})_d = \psi(f_e)_d \psi(f_{\tilde{e}})_d$. Es existiert also
genau ein $e(d) \in E$, sodass $\psi(f_e)_d = 1$.

Setze nun $\phi\colon D \to E$, $d \mapsto e(d)$. Nun sei $f = (a_e)_{e \in E} \in A^{E}$ beliebig. Dann
gilt
$f = \sum_{e \in E} a_e f_e$ und
\[
\psi(f)_d = \sum_{e \in E} a_e \psi(f_e)_d = a_{\phi(d)}
.\]
\end{proof}

\begin{lemma}
Sei $A$ ein Ring, $M$ ein $A$-Modul und $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann ist
\[
M_{\mathfrak{p}} = \colim_{f \in A \setminus \mathfrak{p}} M_f
\] wobei $A \setminus \mathfrak{p}$ durch die Teilbarkeitsrelation halbgeordnet ist.
\label{kor:localisation-is-colim}
\end{lemma}

\begin{proof}
Für eine multiplikative Menge $S$ vertaucht $- \otimes_A S^{-1}A$ mit Kolimites, da das Tensorprodukt linksadjungiert
ist. Es genügt also den Fall $M = A$ zu zeigen.

Sei $S = A \setminus \mathfrak{p}$. Dann ist $S$ halbgeordnet und gerichtet.
Für alle $f \in S$ ist $\frac{f}{1} \in A_{\mathfrak{p}}^{\times}$,
also existiert eine natürliche Abbildung $A_f \to A_{\mathfrak{p}}$. Für $f, g \in S$ mit
$f \mid g$ kommutieren diese Abbildungen mit $A_f \to A_g$ und induzieren damit
eine Abbildung $\colim_{f \in S} A_f \to A_{\mathfrak{p}}$. Wir zeigen, dass
diese Abbildung bijektiv ist.

Surjektiv: Sei $x = \frac{a}{f} \in A_{\mathfrak{p}}$. Also $f \in S$ und das Bild von $\frac{a}{f} \in A_f$
in $\colim_{f \in S} A_f$ ist ein Urbild von $x$.
Injektiv: Sei $x \in \colim_{f \in S} A_f$ mit Bild $0$ in $A_{\mathfrak{p}}$. Dann
existiert ein $f \in S$ und $a \in A$, sodass $\frac{a}{f^{n}} = 0$ in $A_{\mathfrak{p}}$. Also
existiert ein $g \in S$, sodass $ga = 0$. Insbesondere ist $fga = 0$ also $\frac{a}{f} = 0$ in $A_{fg}$.
Außerdem ist $f \mid fg$ und damit $x = 0$.
\end{proof}

\begin{lemma}
Seien $A, B, C$ Ringe und $f\colon A \to B$, $g\colon A \to C$ total zerlegbar und $h\colon C \to B$ ein
Ringhomomorphismus mit $f = hg$. Sei weiter $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann
existiert ein $a \in A$, sodass $a \not\in \mathfrak{p}$ und $f, g$ und $h$ trivial über $D(a)$ sind. Das heißt
es existieren endliche Mengen $D$ und $E$ und Isomorphismen $\alpha\colon A_a^{D} \to B_a$
und $\beta\colon A_a^{E} \to C_a$ und eine Abbildung $\phi\colon D \to E$, sodass das Diagramm
\[
\begin{tikzcd}
B_a & & & \arrow[from=1-4,to=1-1,swap]{}{h} C_a \\
& \arrow{ul}{\alpha} A_a^{D} & \arrow{l} A_a^{E} \arrow{ur}{\beta} & \\
A_a \arrow[from=3-1,to=1-1]{}{f} \arrow{ur} & & & \arrow[from=3-4,to=3-1]{}{\operatorname{id}_{A_a}} \arrow{ul} A_a \arrow[from=3-4,to=1-4]{}{g}
\end{tikzcd}
\] kommutiert.
\label{lemma:locally-trivial}
\end{lemma}

\begin{proof}
Da die Mengen der Form $D(a)$ eine Basis der Topologie von $\spec A$ bilden, kann $a$ so gewählt werden, dass
$[B : A]$ und $[C : A]$ von konstantem Grad auf $D(a)$ sind mit $\mathfrak{p} \in D(a)$.
Durch ersetzen von $A$, $B$ und $C$
durch $A_a$, $B_a$ und $C_a$ können wir wegen der totalen Zerlegbarkeit von $f$ und $g$ ohne Einschränkung
annehmen, dass $B \simeq A^{D}$ und $C \simeq A^{E}$.

Der lokale Ring $A_{\mathfrak{p}}$ hat nach \ref{lemma:local-idempotents} keine nicht trivialen idempotenten Elemente.
Also ist die induzierte Abbildung $h \colon A_{\mathfrak{p}}^{E} \to A_{\mathfrak{p}}^{D}$ nach
\ref{lemma:no-idempotents} induziert von einer Abbildung $\phi\colon D \to E$. $\phi$ induziert
nun eine Abbildung $\psi\colon A^{E} \to A^{D}$ und $h$ und $\psi$ haben selbes Bild
in
\begin{salign*}
\operatorname{Hom}_A(A^{E}, A^{D})_{\mathfrak{p}} &\stackrel{\ref{lemma:localisation-finitely-pres}}{=} \operatorname{Hom}_{A_{\mathfrak{p}}}(A_{\mathfrak{p}}^{E},
A_{\mathfrak{p}}^{D})
.\end{salign*}
Nach \ref{kor:localisation-is-colim} existiert nun ein $a \in A \setminus \mathfrak{p}$, sodass
$h$ und $\psi$ die selbe Abbildung $A_a^{E} \to A_a^{D}$ induzieren.
\end{proof}

\begin{satz}
Seien $f\colon A \to B$ und $g\colon A \to C$ endlich étale Ringhomomorphismen und
$h\colon C \to B$ ein Ringhomomorphismus mit $f = gh$. Dann ist $h$ endlich étale.
\end{satz}

\begin{proof}
Seien zunächst $f$ und $g$ total zerlegbar. Die Eigenschaft endlich étale ist lokal auf $C$ und damit
insbesondere auf $A$. Es genügt also für jedes $\mathfrak{p} \in \spec A$ ein $a \in A$ zu finden, sodass
$h\colon C_a \to B_a$ endlich étale.
Damit folgt die Aussage aus \ref{lemma:locally-trivial} und \ref{lemma:induced-finite-etale}.

Im Allgemeinen seien $D_1$ und $D_2$ treuprojektive $A$-Algebren, sodass
$D_1 \to B \otimes_A D_1$ und $D_2 \to C \otimes_A D_2$ total zerlegbar sind. Dann
ist mit \ref{satz:composition-projective} und \ref{satz:basischange-projective}
auch $A \to D_2 \to D_1 \otimes_A D_2$ endlich und projektiv. Da
$[ D_1 : A ] \ge 1$ folgt erneut mit \ref{satz:basischange-projective}, dass
$[ D_1 \otimes_A D_2 : D_2] \ge 1$. Also
sind mit \ref{satz:degree} $\spec D_1 \otimes_A D_2 \to \spec D_2$ und $\spec D_2 \to \spec A$ surjektiv, also
auch $\spec D_1 \otimes_A D_2 \to \spec A$. Damit ist $D = D_1 \otimes_A D_2$ treuprojektive $A$-Algebra.

Da $D_1 \to B \otimes_A D_1$ total zerlegbar ist und $- \otimes_A D_2$ mit endlichen Produkten kommutiert, ist auch
$D = D_1 \otimes_A D_2 \to B \otimes_A D_1 \otimes_A D_2 = B \otimes_A D$ total zerlegbar. Analog
ist $D \to C \otimes_A D$ total zerlegbar und
\[
\begin{tikzcd}
C \otimes_A D \arrow[from=1-1,to=1-3] & & B \otimes_A D \\
& \arrow{ul} D \arrow{ur} &
\end{tikzcd}
\] kommutiert, also wendet sich der obige Speziallfall an und $C \otimes_A D \to B \otimes_A D$ ist endlich étale.

Da $A \to D$ treuprojektiv, folgt mit \ref{satz:basischange-projective}, dass $C \to C \otimes_A D$ treuprojektiv ist.
Anwenden von \ref{kor:finite-etale} auf $C \otimes_A D \to B \otimes_A D = B \otimes_C (C \otimes_A D)$, liefert
$h\colon C \to B$ endlich étale.
\end{proof}

\end{document}

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