readd ana1

lecture.cls

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sose2020/ana/lectures/ana1.tex

@@ -0,0 +1,357 @@
+\documentclass{../../../lecture}
+
+\begin{document}
+
+\section{Folgen und Reihen von Funktionen}
+
+\subsection{Funktionenfolgen und gleichmäßige Konvergenz}
+
+\begin{definition}
+    Sei für $n \in \N$, $f_n \colon D \to  \R$, $D \subset \R$ eine Funktion.
+    Die Folge $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert punktweise gegen
+    eine Funktion $f\colon D \to \R$ falls $\forall x \in D$
+    die Folge $(f_n(x))_{n\in\N}$ gegen $f(x)$ konvergiert, d.h.
+    \[
+        \forall \epsilon > 0 \quad \exists N = N(\epsilon, x) > 0 \text{ s.d. }
+        |f_n(x) - f(x)| < \epsilon \quad \forall n \ge N
+    .\] 
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item \begin{align*}
+                &f_n(x)\colon [0,2] \to  \R \\
+                &f_n(x) = \begin{cases}
+                    n^2x & 0 \le x \le \frac{1}{n} \\
+                    2n - n^2x & \frac{1}{n} \le x \le \frac{2}{n} \\
+                    0 & \frac{2}{n} \le x \le 2
+                \end{cases}
+            .\end{align*}
+            $(f_n(x))_{n\in\N}$ konvergiert punktweise gegen $f(x) \equiv 0$ $\forall x \in [0,2]$.
+
+            $x=0$: $f_n(0) = 0 = f(0)$\\
+            $0 < x \le 2$: $\forall n \ge \frac{2}{x}$, $f_n(x) = 0 = f(x)$
+        \item $f_n(x) = x^{n}$, $f_n\colon [0,1] \to \R$.
+            \begin{figure}[h!]
+                \begin{tikzpicture}
+                    \begin{axis}%
+                        [grid=both,
+                         minor tick num=4,
+                         grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+                         major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+                         axis lines=middle,
+                         enlargelimits={abs=0.2},
+                         ymax=1,
+                         ymin=0
+                        ]
+                        \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^1};
+                        \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^2};
+                        \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^3};
+                        \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^4};
+                      \end{axis}
+                \end{tikzpicture}
+                \begin{tikzpicture}
+                    \begin{axis}%
+                        [grid=both,
+                         minor tick num=4,
+                         grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
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+                         axis lines=middle,
+                         enlargelimits={abs=0.2},
+                         ymax=1,
+                         ymin=0
+                        ]
+                        \addplot[domain=0:1.1,samples=1000,smooth,red] {(and(x>=0  , x<1)   * 0 + (and(x>=1, x< 10) * 1};
+                      \end{axis}
+                \end{tikzpicture}
+                \caption{$f_n(x) = x^{n}$ und ihre Grenzfunktion}
+            \end{figure}
+            \begin{align*}
+                (f_n(x))_{n\in\N} \xrightarrow[\text{punktweise}]{n \to \infty} f(x)
+                = \begin{cases}
+                    1 & \text{ falls } x = 1 \\
+                    0 & \text{ falls } 0 \le x < 1
+                \end{cases}
+            .\end{align*}
+    \end{enumerate}
+    \label{bsp:punktweisekonvergenz}
+\end{bsp}
+
+\begin{bem}
+    Punktweiser Limes stetiger Funktionen muss nicht stetig sein.
+\end{bem}
+
+\begin{definition}
+    Die Folge $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig gegen $f\colon D \to \R$ falls gilt
+    \[
+        \forall \epsilon > 0 \quad \exists N = N(\epsilon) \text{ s.d. }
+        |f_n(x) - f(x)| < \epsilon \quad \forall x \in D \text{ und } n \ge N
+    .\] 
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    $\forall \epsilon > 0$, $\exists N = N(\epsilon)$, $\forall n \ge N$ gilt
+    \[
+        \text{graph}(f_n) \subset \epsilon\text{-Umgebung von Graphen von } f
+        := \{ (x, y) \in D \times \R  \mid | y - f(x)| < \epsilon\} 
+    .\] 
+    \begin{figure}[h!]
+        \begin{tikzpicture}
+            \begin{axis}%
+                [grid=both,
+                 minor tick num=4,
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+                 major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+                 axis lines=middle,
+                 enlargelimits={abs=0.2},
+                 ymax=1,
+                 ymin=0
+                ]
+                \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.7};
+                \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.5};
+                \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,blue] {0.1 * sin(deg(40*x)) + 0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.5};
+                \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.3};
+              \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+        \begin{tikzpicture}
+            \begin{axis}%
+                [grid=both,
+                 minor tick num=4,
+                 grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+                 major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+                 axis lines=middle,
+                 enlargelimits={abs=0.2},
+                 ymax=1,
+                 ymin=-0.4,
+                ]
+                \addplot[domain=0:1.1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3};
+                \addplot[domain=0:1.001,samples=1000,smooth,red] {(and(x>=0  , x<1)   * 0 + (and(x>=1, x< 10) * 1};
+                \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,blue] {x^8};
+                \addplot[domain=0:1.1,samples=50,smooth,dashed, blue] {-0.3};
+              \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+        \caption{Links: ,,$\epsilon$-Schlauch'', Rechts: \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (b) nicht gleichmäßig konvergent}
+    \end{figure}
+    Beispiele \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (a) und (b) nicht gleichmäßig konvergent, zu (a):
+    Für $\epsilon = \frac{1}{2}$ gilt
+    $\left|f_n\left(\frac{1}{n}\right)- f\left(\frac{1}{n}\right)\right| = n > \frac{1}{2}$
+\end{bem}
+
+\begin{bsp}
+    $f_n\colon [0,2] \to \R$, $f_n(x) := \frac{1}{n} \sin \left( 2\pi n \cdot x \right) $ konvergiert
+    gleichmäßig gegen $f(x) = 0$.
+    \[
+        | \sin(2 \pi n \cdot x) | \le 1 \quad \forall x \in R \implies
+        f_n(x) \xrightarrow{n \to \infty} 0 \quad \forall x \in [0,2] \implies \text{punktweise Konvergenz}
+    .\] Sei nun $\epsilon > 0$, dann $\exists N \in \N$ mit $\frac{1}{N} < \epsilon$. Damit folgt
+    \[
+        \forall n \ge N \quad |f_n(x)| \le \frac{1}{N} < \epsilon \quad \forall x
+        \implies \text{gleichmäßige Konvergenz}
+    .\] 
+\end{bsp}
+\begin{bem}
+    Konvergiert $f_n \colon D \to \R$ gleichmäßig gegen $f \colon  D \to \R$, dann konvergiert $f_n$ punktweise
+    gegen $f$. Die Umkehrung gilt nicht, siehe \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (a) und (b).
+\end{bem}
+
+\begin{satz}[Gleichmäßiger Limes stetiger Funktionen ist stetig]
+    Es sei $D \subset \R$ und $f_n\colon D \to \R$ $\forall n \in \N$ stetig in $D$.
+    Sei $(f_n)_{n\in\N}$ gleichmäßig konvergent gegen $f\colon D \to \R$. Dann gilt:
+    $f$ ist stetig in $D$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Seien $x_0 \in D$ und $\epsilon > 0$.
+    Zu zeigen:
+    $\exists \delta > 0$ $\forall x \in D\colon |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - f(x_0)| < \epsilon$.
+    \[
+        (f_n)_{n\in\N} \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to  \infty} f
+        \implies \exists N \in \N \text{ s.d. } \forall n \ge N \quad \forall x \in D
+        \text{ gilt } | f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{3}
+    .\] 
+    \[
+    f_n \text{ stetig in } x_0 \implies \exists \delta \text{ s.d. } \forall x \in D \text{ gilt }
+    |x - x_0| < \delta \implies |f_n(x) - f_n(x_0)| < \frac{\epsilon}{3}
+    .\] 
+    Zusammen: $\forall x$ mit $|x - x_0| < \delta $ gilt:
+    \begin{align*}
+        |f(x) - f(x_0)| &= |f(x) - f_n(x) + f_n(x) - f_n(x_0) + f_n(x_0) - f(x_0)| \\
+                        &\le |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(x_0)| + |f_n(x_0) - f(x_0)| \\
+                        &\le \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} \\
+                        &= \epsilon
+    .\end{align*}
+\end{proof}
+
+\subsection{Der Funktionenraum $C[a,b]$}
+
+\begin{definition}[Maximumnorm $\Vert\cdot \Vert_\infty$]
+    Es sei $D$ ein beschränktes, abgeschlossenes Intervall $I = [a,b]$ und
+    $f\colon [a,b] \to \R$ (oder $\mathbb{C}$) stetig. Dann
+    \[
+        \Vert f \Vert_\infty := \max \{ |f(x)|  \mid  x \in [a,b]\} 
+    .\] Das Maximum existiert wegen der Stetigkeit des Absolutbetrags und weil $[a,b]$ beschränkt und
+    abgeschlossen ist.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[$\Vert \cdot \Vert_\infty$ und gleichmäßige Konvergenz]
+    Es sei $D = [a,b]$ und $f\colon [a,b] \to \R$ stetig. Dann gilt
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig gegen $f \colon [a,b] \to \R
+            \iff \Vert f_n - f \Vert_\infty \to 0$, $n \to \infty$
+        \item Cauchy-Kriterium: $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b]
+            \iff \forall \epsilon > 0$ $\exists N_0 \in \N$, s.d. $\forall n, m \ge N_0$ gilt
+            $\Vert f_n - f_m \Vert_{\infty} < \epsilon$
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item ,,$\implies$'': Sei $\epsilon > 0$. Dann $\exists N \in \N$ s.d.
+            $|f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{2}$ $\forall x \in [a,b]$ und $\forall n \ge N$. Damit folgt:
+            \[
+                \max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| = \Vert f_n - f \Vert_{\infty} < \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \implies \Vert f_n - f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0
+            .\] 
+            ,,$\impliedby$'': Sei $\epsilon > 0$. Wegen
+            $\Vert f_n -f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0$ $\exists N \in \N$ s.d.
+            $\Vert f_n - f \Vert_\infty < \epsilon$ $\forall n \ge N$. Damit folgt
+            $\forall n \ge N$ und $\forall x \in [a,b]$
+            \[
+                |f_n(x) - f(x)| \le \max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| =
+                \Vert f_n - f \Vert_{\infty} < \epsilon \implies \text{gleichmäßige Konvergenz}
+            .\] 
+        \item ,,$\implies$'' $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h.
+            $\exists f: [a,b] \to \R$ s.d. $f_n \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f$.
+
+            Sei $\epsilon > 0$, dann $\exists N_0 \in \N$ s.d. $|f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{4}$
+            $\forall n \ge N_0$ und $\forall x \in [a,b]$.
+
+            Damit gilt $\forall n, m \ge N_0$ und $\forall x \in [a,b]$:
+            \begin{align*}
+                &|f_n(x) - f_m(x)| \le |f_n(x) - f(x)| + |f(x) - f_m(x)|
+                \le \frac{\epsilon}{4} + \frac{\epsilon}{4} = \frac{\epsilon}{2} \\
+                \implies &\max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f_m(x)| = \Vert f_n - f_m \Vert_\infty
+                \le \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \quad \forall n, m \ge N_0
+            .\end{align*}
+
+            ,,$\impliedby$'': Sei $\epsilon > 0$, dann $\exists N_0 \in \N$, s.d.
+            \[
+                |f_n(x) - f_m(x)| \le \Vert f_n - f_m \Vert_\infty < \frac{\epsilon}{2} \quad
+                \forall n,m \ge N_0 \quad \forall x \in [a,b]
+            .\] $\implies (f_n(x))_{n\in\N}$ ist eine Cauchy-Folge in $\R$.\\
+            $\implies (f_n(x))_{n\in\N}$ konvergiert \\
+            $\implies$ Definiere $f(x) := \lim_{n \to \infty} f_n(x)$, $x \in [a,b]$.
+
+            Dann gilt $\forall n \ge N_0$, $\forall x \in [a,b]$:
+            \[
+                |f_n(x) - f(x)| = \lim_{m \to \infty} |f_n(x) - f_m(x)| < \frac{\epsilon}{2}
+                \implies (f_n)_{n\in\N} \text{ konvergiert gleichmäßig gegen } f
+            .\] 
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    $\Vert \cdot \Vert_{\infty}$ erfüllt s.g. Normeigenschaften:
+    \begin{enumerate}[(N1)]
+        \item $\Vert f \Vert_\infty = 0 \implies f(x) = 0, x \in [a,b]$ (Definitheit)
+        \item $\Vert \alpha f \Vert_{\infty} = |\alpha| \cdot \Vert f \Vert_\infty$, $\alpha \in \R$ (Homogenität)
+        \item $\Vert f + g \Vert_{\infty} \le \Vert f \Vert_\infty + \Vert g \Vert_\infty$ (Dreiecksungleichung)
+    \end{enumerate} folgen direkt aus den Eigenschaften des Absolutbetrags.
+\end{bem}
+
+\begin{definition}
+    Der Funktionenraum $C[a,b]$ definiert durch
+    \[
+        C[a,b] := \{ f \colon [a,b] \to \R  \mid f \text{ stetig }\}
+    .\] mit $\Vert f \Vert_\infty$ einen normierten Vektorraum.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[Vollständigkeit]
+    Der Raum $C[a,b]$ ist vollständig bezüglich gleichmäßiger Konvergenz, d.h. jede
+    Cauchy-Folge von Funktionen aus $C[a,b]$ besitzt einen Limes in $C[a,b]$
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Rannacher
+\end{proof}
+
+\subsection{Integration und Grenzübergänge}
+
+Wichtige Frage: Wenn $f_n \to f$, gilt dann auch $\int_{a}^{b} f_n \to \int_{a}^{b} f$?
+
+\begin{satz}
+    Seien $f_n \colon [a,b] \to R$ stetige Riemann-integrierbare Funktionen und $f\colon [a,b] \to \R$
+    mit $\Vert f_n - f \Vert_\infty \xrightarrow{n \to \infty} 0$ (gleichmäßige Konvergenz). Dann gilt
+    $f$ stetig und Riemann-integrierbar und
+    \[
+        \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx
+        = \int_{a}^{b} \lim_{n \to \infty} f_n(x) dx 
+    .\] 
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    $f_n \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f \implies f$ stetig $\implies f$ Riemann-integrierbar.
+
+    Es gilt
+    \[
+        \left| \int_{a}^{b} f_n(x) dx - \int_{a}^{b} f(x) dx\right| = \left| \int_{a}^{b} (f_n(x) - f(x))dx\right|   
+        \le \int_{a}^{b} |f_n(x) - f(x)| dx \le \underbrace{\max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)|}_{= \underbrace{\Vert f_n - f \Vert_\infty}_{\xrightarrow{n \to \infty} 0}\underbrace{(b-a)}_{\text{beschränkt}}}
+    .\] 
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+    Seien $f_n \colon [a,b] \to \R$ stetige Funktionen $(n \in \N)$ und die Reihe
+    $\sum_{n=0}^{\infty} f_n$ konvergiere gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h. die Folge der Partialsummen
+    $(\sum_{n=0}^{N} f_n)_{n\in\N}$ sei gleichmäßig konvergent. Dann gilt:
+    \[
+        f(x) := \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \quad \forall x \in [a,b]
+    .\] ist stetig und Riemann-integrierbar und
+    \begin{align*}
+        \int_{a}^{b} f(x) dx &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx \\
+        \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx  
+    ,\end{align*} d.h. die Reihe wird gliedweise integriert.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    $f_n$ sind stetig $\implies \sum_{n=0}^{N} f_n(x)$ stetig und Riemann-integrierbar.
+
+    Die Folge der Partialsummen $(\sum_{n=0}^{N} f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig, d.h.
+    \[
+        f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \text{ stetig } = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{n=0}^{N} f_n(x) \right) \text{ gleichmäßiger Limes}
+    .\] Es gilt
+    \[
+        \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx =
+        \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) dx + \int_{a}^{b} \sum_{n=N+1}^{\infty} f_n(x) dx
+    .\] Die Reihe konvergiert gleichmäßig, d.h. $\forall \epsilon > 0$ $\exists N_{\epsilon} \in \N$, s.d.
+    $\forall N \ge N_{\epsilon}$ gilt
+    \begin{align*}
+        &\left| \int_{a}^{b} \sum_{n=N+1}^{\infty} f_n(x) dx \right| \le \epsilon \cdot (b-a)  \\
+        \implies &\left| \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx - \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) dx \right| \le \epsilon \\
+        \implies& \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx   
+    .\end{align*}
+\end{proof}
+
+\begin{korrolar}[Integration von Potenzreihen]
+    Es sei $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n}$ eine reelle Potenzreihe mit Konvergenzradius $\rho > 0$.
+    Dann konvergiert $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^{n}$ in jedem Intervall
+    $[x_0 - r, x_0 + r]$ für $0 < r < \rho$ gleichmäßig und für $[a,b] \subset \;]x_0 - \rho, x_0 + \rho[$ gilt
+    \[
+        \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n} dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}
+        \Big|_{a}^{b}
+    .\] 
+\end{korrolar}
+
+\begin{proof}
+    Nur die gleichmäßige Konvergenz für $| x - x_0| \le r$ ist zu beweisen: Für $|x - x_0| \le r$, $r < \rho$ gilt:
+    \begin{align*}
+        \left\Vert \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^{n} - \sum_{n=0}^{N} a_n(x-x_0)^{n} \right\Vert_{\infty}
+        &= \left\Vert \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n}\right\Vert_\infty \\
+        &\stackrel{|x - x_0| < r}{\le} \quad \sum_{n=N+1}^{\infty} |a_n| \cdot r^{n} \\
+        &\stackrel{(*)}{\le} \sum_{n=N+1}^{\infty} \left(\frac{1}{\rho - \epsilon}\right)^{n} \cdot r^{n} \\
+        &= \sum_{n=N+1}^{\infty} \underbrace{\left( \frac{r}{\rho-\epsilon} \right)^{n}}_{< 1}
+        \xrightarrow[\text{geometrische Reihe}]{N \to \infty} 0
+    .\end{align*}
+    $(*)$: $\rho = \frac{1}{\limsup \sqrt[n]{|a_n|} }$, $r < \rho - \epsilon$ für ein $\epsilon > 0 \implies
+    \exists N_0 \in \N$, s.d. $\sqrt[n]{|a_n|} < \frac{1}{\rho - \epsilon} $ $\forall n \ge N_0$
+\end{proof}
+
+\end{document}

sose2020/ana/lectures/analysisII.tex

@@ -0,0 +1,22 @@
+\documentclass[titlepage]{../../../lecture}
+
+\usepackage{standalone}
+\usepackage{tikz}
+\usepackage{subcaption}
+
+\title{Analysis II}
+\author{Prof. Dr. Ekaterina Kostina}
+\date{SoSe 2020}
+
+\begin{document}
+
+\newgeometry{right=15mm, left=15mm}
+\maketitle
+\restoregeometry
+
+\tableofcontents
+\newpage
+
+\input{ana1.tex}
+
+\end{document}

sose2020/proseminar/skript.tex

@@ -0,0 +1,276 @@
+\documentclass{../../lecture}
+
+\begin{document}
+
+\setcounter{section}{2}
+
+\section{Prime Restklassen und der Satz von Euler-Fermat}
+
+\textit{Einleitung: - Besondere Eigenschaften von Restklassenringen bei Primzahlen
+- Satz von Euler-Fermat}
+
+\begin{definition}[Nullteiler]
+    Es sei $R$ ein Ring. Ein Element $x \in R$ heißt ein Nullteiler, wenn es ein $y \in R, y\neq 0$
+    mit $xy = 0$ gibt. Der Ring $R$  heißt nullteilerfrei, wenn $R \neq 0$  ist und
+    0 der einzige Nullteiler in $R$ ist.
+\end{definition}
+
+\textit{Anmerkung: Der Nullring ist nicht nullteilerfrei und die 0 ist kein Nullteiler, da kein
+$y \in R, y \neq 0$ existiert.}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{itemize}
+        \item Nullring hat keinen Nullteiler, da kein $y \in R$, $y \neq 0$ existiert.
+        \item Nullteiler in $\Z / 3\Z: \overline{0}$, also ist $\Z / 3 \Z$ nullteilerfrei.
+        \item Nullteiler in $\Z / 4 \Z: \overline{0}$, $\overline{2}$ ($\overline{2}\cdot \overline{2} = \overline{4} = \overline{0}$), also nicht nullteilerfrei.
+    \end{itemize}
+\end{bsp}
+
+\begin{definition}[Einheit]
+    Es sei $R$ ein Ring. Ein Element $x \in R$  heißt eine Einheit, wenn es ein $y \in R$ mit $xy = 1$ gibt.
+    \textit{also: wenn ein Inverses bezüglich Multiplikation existiert}
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{itemize}
+        \item Einheiten in $\Z / 3\Z: \overline{1}$, $\overline{2}$
+            ($\overline{2} \cdot \overline{2} = \overline{4} = \overline{1}$).
+        \item Einheiten in $\Z / 4\Z: \overline{1}, \overline{3}$:
+            ($\overline{3} \cdot \overline{3} = \overline{9} = \overline{1}$)
+    \end{itemize}
+\end{bsp}
+
+\begin{lemma}
+    \label{lemma:einheitengruppe}
+    Es sei $R$ ein Ring. Dann gilt
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item $R^{\times } := \{ x \in R  \mid x \text{ ist eine Einheit}\} $ ist eine abelsche
+            Gruppe bezüglich der Multiplikation, die sogenannte Einheitengruppe von $R$.
+            Insbesondere gibt es für jedes $x \in R^{\times }$ genau ein $y \in R^{\times }$ mit
+            $xy = 1$. Dieses Element bezeichnen wir mit $x^{-1}$ und nennen es das
+            (multiplikativ) Inverse zu $x$.
+        \item Ist $x \in R^{\times }$, dann ist $x$ kein Nullteiler.
+            \label{lemma:einheitengruppe:nullteiler}
+        \item Falls $R$ endlich ist, dann gilt auch die Umkehrung von (b): Ist $x \in R$ kein Nullteiler,
+            dann ist $x$ eine Einheit.
+    \end{enumerate}
+    \textit{Insbesondere gilt im Fall $R = \Z / n \Z$ , $n \in \N$, für $\overline{x} \in R$, dass $\overline{x}$
+    genau dann eine Einheit ist, wenn $\overline{x}$ kein Nullteiler ist.} Die Einheiten im
+    Ring $\Z / n \Z$ nennt man prime Restklassen modulo n, die Gruppe $(\Z / n \Z)^{\times }$
+    dementsprechend die Gruppe der primen Restklassen modulo n.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Sind $a, b \in R^{\times }$, dann ist auch $ab \in R^{\times }$, denn dann existieren
+            $c, d \in R$ mit $ac = 1$, $bd = 1$, damit folgt
+            $(ab)(cd) = (ac)(bd) = 1$.
+
+            Assoziativität und Kommutativität folgen aus der Multiplikation in $R$.
+
+            Neutrales Element: $1 \in R^{\times}$ wegen $1 \cdot 1 = 1$.
+
+            Inverse: Ist $a \in R^{\times}$, dann existiert nach Definition ein $b \in R$ mit
+            $ab = 1 \implies ba = 1$. Damit folgt $b \in R^{\times }$.
+
+            Damit ist $R^{\times }$ eine abelsche Gruppe bezüglich der Multiplikation.
+        \item Falls $R = 0$, dann ist $0 = 1$ also eine Einheit, aber kein Nullteiler. Falls
+            $R \neq 0$: Sei $x \in R^{\times }$ und $y \in R$ mit $xy = 0$. Damit folgt
+            $y = x^{-1}xy = x^{-1} \cdot 0 = 0$, also ist $x$ kein Nullteiler.
+        \item Sei $R$ endlich und $x \in R$ kein Nullteiler. Wir betrachten die Abbildung
+            $\tau: R \to R, a \mapsto xa$. $\tau$ ist injektiv, denn aus $\tau(a) = \tau(b)$
+            folgt $xa = xb \implies x(a-b) = 0$. Da $x$ kein Nullteiler ist, folgt damit
+            $a - b = 0 \implies a = b$. Als injektive Selbstabbildung der endlichen Menge $R$ ist
+            $\tau$ auch surjektiv, damit existiert ein $y \in R$ mit $\tau(y) = 1$, was
+            $xy = 1$ und deshalb $x \in R^{\times}$ impliziert.
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Körper]
+    Ein Ring $R$ heißt ein Körper, wenn $R^{\times } = R \setminus \{0\}$ ist.
+\end{definition}
+
+\textit{Anmerkung: Nullring $R = 0$ ist nach Definition kein Körper}
+
+\begin{bsp}
+    $\Z / 3\Z$ ist ein Körper, $\Z / 4 \Z$ ist kein Körper.
+\end{bsp}
+
+\begin{satz}
+    Es sei $n \in \N$. Dann sind äquivalent
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item $n$ ist eine Primzahl
+        \item $\Z / n \Z$ ist ein Körper
+        \item $\Z / n \Z$ ist nullteilerfrei.
+    \end{enumerate}
+    Für Primzahlen $p$ schreiben wir auch $\mathbb{F}_p := \Z / p \Z$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    (i) $\implies$ (ii): Sei $n$ eine Primzahl, $\overline{a} \in \Z / n \Z$, $\overline{a} \neq 0$.
+    Zz.: $a \in (\Z / n \Z)^{\times}$. Wegen $\overline{a} \neq 0$ folgt $n \nmid a$. Da
+    $n$ eine Primzahl ist, erhalten wir $\text{ggT}(n,a) = 1$. Aufgrund des erweiterten
+    Euklidischen Algorithmus gibt es $u, v \in \Z$ mit
+    $un + va = 1 \implies \overline{un} + \overline{va} = \overline{1} \implies \overline{v} \cdot \overline{a} = \overline{1}$.
+    Mit $\overline{a}^{-1} := \overline{v}$ folgt $a \in R^{\times}$.
+
+    (ii) $\implies$ (iii): Sei $\Z / n \Z$ ein Körper. Damit ist $\Z / n \Z \neq 0$ und
+    $(\Z / n \Z)^{\times} = \Z / n \Z \setminus \{0\}$. Wegen \ref{lemma:einheitengruppe}
+    \ref{lemma:einheitengruppe:nullteiler} ist dann $\overline{0}$ der einzige
+    Nullteiler in $\Z / n \Z$, d.h. $\Z / n \Z$ ist nullteilerfrei.
+
+    (iii) $\implies$ (i): Kontraposition: Sei $n$ keine Primzahl. Falls $n = 1$, dann ist
+    $\Z / n \Z = 0$, also nicht nullteilerfrei. Falls $n > 1$ ist, dann gibt es $a, b \in \N$
+    mit $1 < a,b < n$, so dass $n = ab$ gilt. Damit folgt
+    $\overline{0} = \overline{n} = \overline{ab} = \overline{a} \overline{b}$ mit
+    $\overline{a}, \overline{b} \neq 0$, also sind $\overline{a}$, $\overline{b}$ Nullteiler,
+    insbesondere ist $\Z / n \Z$ nicht nullteilerfrei.
+\end{proof}
+
+\textit{Anmerkung: Den erweiterten euklidischen Algorithmus verwenden wir noch weiter um die Einheiten
+im Ring $\Z / n \Z$ zu charakterisieren.}
+
+\begin{lemma}
+    Es seien $a$, $b \in \Z$, $n \in \N$. Dann sind äquivalent:
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item Die Kongruenz $ax \equiv b$ $(\text{mod } n)$ besitzt eine Lösung in $\Z$.
+        \item $\text{ggT}(a,n) \mid b$.
+    \end{enumerate}
+    \label{lemma:kongruenz}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    (i) $\implies$ (ii): Sei $x \in \Z$ mit $ax \equiv b$ $(\text{mod }n)$. Dann existiert
+    ein $k \in \Z$ mit $ax = b + kn$, also mit $b = ax - kn$. Wegen
+    $\text{ggT}(a,n) \mid a$ und $\text{ggT}(a,n) \mid n$ folgt $\text{ggT}(a,n) \mid b$.
+
+    (ii) $\implies$ (i): Es gelte $\text{ggT}(a,n)  \mid b$. Aus dem erweiterten Euklidischen Algorithmus
+    folgt die Existenz von $u$, $v \in \Z$ mit
+    \[
+        ua + vn = \text{ggT}(a,n)
+    .\] Durch Multiplikation mit der nach Voraussetzung ganzen Zahl $\frac{b}{\text{ggT}(a,n)}$ erhalten
+    wir
+    \[
+        ua \frac{b}{\text{ggT}(a,n)} + vn \frac{b}{\text{ggT}(a,n)} = b
+    ,\] was die Kongruenz
+    \[
+        a \cdot \frac{bu}{\text{ggT}(a,n)} \equiv b \quad (\text{mod }n)
+    \] und damit die Behauptung zeigt.
+\end{proof}
+
+\begin{korrolar}
+    Es sei $a \in \Z, n \in \N$. Dann sind äquivalent
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item Die Kongruenz $ax \equiv 1$ $(\text{mod } n)$ besitzt eine Lösung in $\Z$.
+        \item $\overline{a} \in (\Z / n\Z)^{\times }$
+        \item $\text{ggT}(a,n) = 1$
+    \end{enumerate}
+\end{korrolar}
+
+\begin{proof}
+    (i) $\iff$ (ii): Die Kongruenz $ax \equiv 1$ $(\text{mod }n)$ entspricht der Gleichung
+    $\overline{a} \cdot \overline{x} = \overline{1}$ in $\Z / n \Z$, welche
+    genau dann lösbar ist, wenn $\overline{x}$ eine Einheit in $\Z / n \Z$ ist.
+
+    (i) $\iff$ (iii): Folgt mit $b = 1$ aus \ref{lemma:kongruenz}.
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}
+    %\begin{enumerate}[(a)]
+        %\item Die Kongruenz $15x \equiv 7$ $(\text{mod } 21)$ hat wegen $ggT(15,21) = 3 \nmid 7$ keine
+        %    Lösung.
+        %\item
+    Die Kongruenz $15x \equiv 6$ $(\text{mod } 21)$ hat wegen $\text{ggT}(15,21) = 3  \mid 6$ eine Lösung.
+    Der erweiterte Euklidische Algorithmus ergibt
+    \[
+        \text{ggT}(15, 21) = 3 = 3 \cdot 15 + (-2) \cdot 21
+    .\] Damit folgt \textit{wie im Beweis durch Multiplikation mit 2}
+    \[
+        6 = 6 \cdot 15 + (-4) \cdot 21 \equiv 15 \cdot 6 \quad (\text{mod } 21)
+    \] d.h. $x = 6$ ist eine Lösung der Kongruenz.
+    %\end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{definition}[Ordnung]
+    Es sei $G$ eine endliche Gruppe. Die Ordnung von $G$ (Notation: $|G|$) ist definiert als die Anzahl
+    der Elemente von $G$.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Eulersche $\varphi$-Funktion]
+    Die Abbildung
+    \begin{align*}
+        \varphi \colon &\N \to \N \\
+                       &n \mapsto |(\Z / n \Z)^{\times}| = \# \{ a \in \N_0  \mid 0 \le a < n \text{ und } \text{ggT}(a,n) = 1\} 
+    .\end{align*}
+\end{definition}
+
+\textit{Anmerkung: also zählt die $\varphi$-Funktion die zu einer Zahl $n$ teilerfremden Zahlen zwischen
+$0$ und $n$.}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Es ist wie $(\Z / 4 \Z)^{\times} = \{\overline{1}, \overline{3}\} $, also $\varphi(4) = 2$.
+        \item Sei $p$ eine Primzahl. Dann ist $\Z / p \Z$ ein Körper, d.h.
+            \[
+                \varphi(p) = |(\Z / p\Z)^{\times }| = \# \{\Z / p \Z\} - 1 = p - 1
+            .\] 
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{lemma}
+    \label{lemma:endlichegruppe}
+    Es sei $G$ eine endliche abelsche Gruppe und $g \in G$. Dann gilt
+    \[
+    g^{|G|} = 1
+    .\] 
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Betrachte die Abbildung $\tau_g\colon G \to  G, x \mapsto gx$. Diese ist injektiv, denn
+    aus $\tau_g(x) = \tau_g(y)$ für $x, y \in G$ folgt $gx = gy$ und nach Linkskürzung $x = y$. Als injektive
+    Selbstabbildung auf der endlichen Gruppe $G$, ist $\tau_g$ auch surjektiv, also bijektiv.
+    Da $G$ endlich folgt damit
+    \[
+    \prod_{x \in G} x \qquad \qquad\stackrel{\tau \text{ bijektiv, } G \text{ abelsch}}{=} \qquad\qquad \prod_{x \in G} \tau_g(x) = \prod_{x \in G} gx = g^{|G|} \prod_{x \in G} x
+    .\] Mit Rechtskürzung folgt damit $g^{|G|} = 1$.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Satz von Euler-Fermat]
+    Es sei $n \in \N$ und $\overline{a} \in (\Z / n \Z)^{\times }$. Dann gilt
+    \[
+        \overline{a}^{\varphi(n)} = \overline{1}
+    .\] 
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Nach Definition ist $\varphi(n) = |(\Z / n \Z)^{\times }|$. Die Behauptung folgt damit direkt aus
+    \ref{lemma:endlichegruppe} mit $G = (\Z / n \Z)^{\times }$.
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}
+    Es ist $3^{19} \equiv 10$ $(\text{mod } 17)$, denn $\overline{3} \in (\Z / 17 \Z)^{\times}$ und
+    \[
+        3^{16} = 3^{\varphi(17)} \qquad\qquad \stackrel{\text{Satz v. Euler-Fermat}}{\equiv} \qquad \qquad 1 \quad (\text{mod } 17)
+    .\] Damit folgt
+    \[
+        3^{19} = 3^{3} \cdot 3^{16} = 27 \cdot 1 \equiv 10 \quad (\text{mod } 17)
+    .\] 
+\end{bsp}
+
+\begin{korrolar}[Kleiner Satz von Fermat]
+    Es sei $p$ eine Primzahl. Dann gilt
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Für jedes $\overline{a} \in \mathbb{F}_p^{\times }$ ist $\overline{a}^{p-1} = \overline{1}$.
+        \item Für jedes $\overline{a} \in \mathbb{F}_p$ ist $\overline{a}^{p} = \overline{a}$.
+    \end{enumerate}
+\end{korrolar}
+
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Mit $\varphi(p) = p - 1$ folgt das direkt aus dem Satz von Euler-Fermat.
+        \item Falls $\overline{a} \in \mathbb{F}_p^{\times }$: Dann ist
+            $\overline{a}^{p} = \overline{a} \cdot \overline{a}^{p-1} = \overline{a} \cdot \overline{1} = \overline{a}$.
+            Falls $\overline{a} = \overline{0}$ ist $\overline{a}^{p} = \overline{0}^{p} = \overline{0} = \overline{a}$.
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+\end{document}

ws2019/ana/lectures/analysis10.tex

@@ -40,8 +40,8 @@ Dies führt zur weiteren Darstellung komplexer Zahlen mit Hilfe von $\sin$ und $
 \begin{satz}[Vorteil der Exponentialdarstellung]
     Für $z = r e^{i \varphi} = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$
     \[
-    z_k = r_k e^{i \varphi k} \qquad k = 1,2 \text{ gilt}
+    z_k = r_k e^{i \varphi_k} \qquad k = 1,2 \text{ gilt}
-    .\] 
+    \] 
     \begin{enumerate}[(a)]
         \item $\overline{z} = r \cdot e^{-i\varphi}$
         \item $z_1 \cdot z_2 = r_1\cdot r_2 \cdot e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}$
@@ -101,8 +101,8 @@ tolle Grafik von der Kostina, die gibt's nur in der Vollversion.
     \begin{align*}
         &z^{n} = \rho^{n} e^{i n \psi}
         \stackrel{!}{=} r e^{i \varphi} = w \\
-        \iff &\rho^{n} = r \text{ und } n \psi = \varphi + 2 \pi k, k \in \Z \\
+        \iff &\rho^{n} = r \text{ und } n \psi = \varphi + 2 \pi k \quad k \in \Z \\
-        \iff &\varrho = \sqrt[n]{r} \text{ und } \psi = \frac{1}{n}(\varphi + 2 \pi k) k \in \Z
+        \iff &\rho = \sqrt[n]{r} \text{ und } \psi = \frac{1}{n}(\varphi + 2 \pi k) \quad k \in \Z
     .\end{align*}
 
     Betrachte: $z_k = \sqrt[n]{r} e^{i\psi_k}, \psi_k = \frac{1}{n}\left( \varphi + 2 \pi k \right), k = 0, 1, \ldots, n-1$ 

ws2019/ana/lectures/analysis11.tex

@@ -4,17 +4,19 @@
 
 \section{Folgen und Reihen}
 \subsection{Folgen}
+\begin{definition}[Folgen]
     Eine Zahlenfolge ist eine Abbildung von $\N$ nach $\R$, d.h. $n \mapsto a_n \in \R$.
 
-Teilfolge: $(a_{n_k})_{k \in\N}$ von $(a_n)_{n\in\N}$ wobei $(n_k)_{k \in \N}$ eine Folge natürlicher
+    Die Folge $(a_{n_k})_{k \in\N}$ ist eine Teilfolge von $(a_n)_{n\in\N}$
-Zahlen, weile streng monoton wächst, d.h. $n_1 < n_2 < \ldots.$ bzw. $n_k < n_{k+1} \forall k \in \N$ 
+    wobei $(n_k)_{k \in \N}$ eine Folge natürlicher
+    Zahlen ist, die streng monoton wächst, d.h. $n_1 < n_2 < \ldots.$ bzw. $n_k < n_{k+1} \forall k \in \N$.
+\end{definition}
 
 \begin{bsp}
     $(-1)^{n}$ hat zwei Teilfolgen: $(-1)^{2n} = 1$ und $(-1)^{2n+1} = -1$.
 \end{bsp}
 
 \begin{definition}[Konvergenz, Beschränktheit, Monotonie von Folgen]
-
     \begin{enumerate}
         \item Eine Folge $(a_n)_{n\in\N} \in \R$ heißt \textit{beschränkt}, wenn es eine
             Konstante $c \in \R$ gibt mit $|a_n| \le C$.
@@ -50,10 +52,10 @@ Zahlen, weile streng monoton wächst, d.h. $n_1 < n_2 < \ldots.$ bzw. $n_k < n_{
 
 \begin{proof} Angenommen $a \neq a'$. Definiere $\epsilon := \frac{|a - a'|}{2} > 0$.
 
-    Dann $\exists n_1,n 2 \in \N$ mit $|a_n - a| < \epsilon \quad \forall n \ge n_1$
+    Dann $\exists n_1,n_2 \in \N$ mit $|a_n - a| < \epsilon \quad \forall n \ge n_1$
     und $|a_n - a'| < \epsilon \quad \forall n \ge n_2$.
 
-    Dann $\forall n \ge \text{max}\{n_1, n_2\}$ gilt:
+    Dann gilt $\forall n \ge \text{max}\{n_1, n_2\}$:
     \begin{align*}
         |a - a'| = |a - a_n + a_n -a'| \le |a-a_n| + |a_n - a'| < \epsilon + \epsilon = | a - a'|
     .\end{align*}

ws2019/ana/lectures/analysis13.tex

@@ -14,7 +14,7 @@ Aus Definitionen:
     |z| := \sqrt{(\text{Re}(z))^{2} + (\text{Im}(z))^{2}}
 .\] und der Ungleichung:
 \[
-    max(|x|, |y|) \le \sqrt{x^2 + y^2}  \le |x| + |y| \quad \forall x,y \in \R
+    \max(|x|, |y|) \le \sqrt{x^2 + y^2}  \le |x| + |y| \quad \forall x,y \in \R
 .\] folgt:
 
 \begin{enumerate}
@@ -73,7 +73,7 @@ Aus Definitionen:
     Folge der Partialsummen
     \[
     s_n = \sum_{k=0}^{n} q^{k} = \begin{cases}
-        \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \quad q \neq 1 & q \neq 1 \\
+        \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} & q \neq 1 \\
         n + 1 & q = 1
     \end{cases}
     .\]

ws2019/ana/lectures/analysis14.tex

@@ -163,7 +163,7 @@ Kostina glaubt, dass das so stimmt, aber offensichtlich ist sie sich nicht siche
 \subsection{Umordnen von Reihen}
 
 \begin{definition}[Umordnung]
-    Sei $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ eine Reihe und $\tau: N \to N$ eine
+    Sei $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ eine Reihe und $\tau: \N \to \N$ eine
     bijektive Abbildung.
 
     Dann heißt $\sum_{n=1}^{\infty} a_{\tau(n)} =
@@ -214,10 +214,10 @@ Kostina glaubt, dass das so stimmt, aber offensichtlich ist sie sich nicht siche
     absolut konvergente Reihen. Für $n \in \N_0$ sei $c_n$ definiert
     durch
     \[
-        c_n := \sum_{k=0}^{\infty} a_k b_{n-k} = a_0b_n + a_1b_{n-1}
+        c_n := \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k} = a_0b_n + a_1b_{n-1}
         + \ldots + a_nb_0
-    .\] Dann ist die Reihe $\sum_{n=0}^{\infty} c_n$ absolut konvergent
+    .\] Dann ist die Reihe $\sum_{k=0}^{\infty} c_k$ absolut konvergent
-    mit $\sum_{k=0}^{\infty} c_n = \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n \right)
+    mit $\sum_{k=0}^{\infty} c_k = \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n \right)
     \left( \sum_{n=0}^{\infty} b_n \right)$ 
 \end{satz}
 
@@ -317,7 +317,7 @@ Kostina glaubt, dass das so stimmt, aber offensichtlich ist sie sich nicht siche
     Zur Potenzreihe $\sum_{k=1}^{\infty} a_k(z-z_0)^{k}$ definiere
     den Konvergenzradius $\rho$ durch
     \[
-        \rho := \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \text{sup } \sqrt[n]{|a_n|} }
+        \rho := \frac{1}{\lim \sup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} }
     .\] 
 \end{definition}
 

ws2019/ana/lectures/analysis15.tex

@@ -15,7 +15,7 @@
         (f+g)(x) &:= f(x) + g(x) \\
         (f-g)(x) &:= f(x) - g(x) \\
         (f\cdot g)(x) &:= f(x) \cdot g(x) \\
-        \left(\frac{f}{g}\right)(x) &:= \frac{f(x)}{g(x)}\\
+        \left(\frac{f}{g}\right)(x) &:= \frac{f(x)}{g(x)}
     .\end{align*}
 \end{definition}
 
@@ -98,9 +98,10 @@
         H(x) := \begin{cases}
             1 & x > 0 \\
             \frac{1}{2} & x = 0 \\
-            0, x < 0
+            0 & x < 0
         \end{cases}
-    .\] Für $x_0 > 0$ gilt $\lim_{x \to x_0} H(x) = 1$.
+    .\]
+    Für $x_0 > 0$ gilt $\lim_{x \to x_0} H(x) = 1$.
     \begin{proof}
         Sei $\epsilon > 0$, wähle $\delta := \frac{x_0}{2} > 0$. Dann gilt
         \[
@@ -116,7 +117,7 @@
         Dann wählen wir $\epsilon = \frac{1}{4}$, dann ex. $\delta > 0$ mit
         \[
             |H(x) - y_0| < \frac{1}{4} \quad \forall x \text{ mit } x \in \;]-\delta, \delta[
-        .\] $\implies 1 = |H(-\delta)| - H(\delta)| \le |H(-\delta) - y_0| + |y_0 - H(\delta)| < \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ Widerspruch! \\
+        .\] $\implies 1 = |H(-\delta) - H(\delta)| \le |H(-\delta) - y_0| + |y_0 - H(\delta)| < \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ Widerspruch! \\
         $\implies \lim_{x \to 0} H(x) $ existiert nicht.
     \end{proof}
 

ws2019/ana/lectures/analysis16.tex

@@ -116,7 +116,7 @@ in dieser Umgebung.
                 0 \le x_n \le 1 \; \forall n \stackrel{\text{Sandwich}}{\implies} 0 \le x_0 \le 1 \implies x_0 \in [0,1] \quad \text{abgeschlossen}
             .\] 
 
-            $[0,1]$ ist nicht offen, da $0 \in [0,1]$, aber $\underbrace{]-r, r[}_{B_r(0) \subset [0,1]} \quad \forall r > 0$
+            $[0,1]$ ist nicht offen, da $0 \in [0,1]$, aber $\underbrace{]-r, r[}_{B_r(0) \not\subset [0,1]} \quad \forall r > 0$
         \item $\R$ ist offen, abgeschlossen aber nicht kompakt.
     \end{enumerate}
 \end{bsp}
@@ -167,15 +167,15 @@ in dieser Umgebung.
     Sei $f \colon D \to \R$, $D \subset \R$.
 
     \begin{align*}
-        \operatorname{sup}_{x \in D} f(x) \quad &\text{kleinste obere Grenze der Bildmenge } B_f := \{f(x)  \mid x \in D\}  \\
+        \sup_{x \in D} f(x) \quad &\text{kleinste obere Grenze der Bildmenge } B_f := \{f(x)  \mid x \in D\}  \\
-                                                & := \text{sup } B_f := \text{min}\{\beta \in \R  \mid  y \le \beta \; \forall y \in B_f \}
+                                                & := \sup B_f := \text{min}\{\beta \in \R  \mid  y \le \beta \; \forall y \in B_f \}
     .\end{align*}
     \begin{align*}
-        \operatorname{inf}_{x \in D} f(x) \; := \text{inf } B_f := \text{min}\{\beta \in \R  \mid  y \le \beta \; \forall y \in B_f\}
+        \inf_{x \in D} f(x) \; := \text{inf } B_f := \text{min}\{\beta \in \R  \mid  y \le \beta \; \forall y \in B_f\}
     .\end{align*}
     Falls $B_f := f(D)$ beschränkt ist, dann $\exists $ inf und sup.
 
-    $x_min \in D$ heißt Minimum, $x_max$ Maximum von $f$, falls
+    $x_{\text{min}} \in D$ heißt Minimum, $x_{\text{max}}$ Maximum von $f$, falls
     \[
     \begin{cases}
         \text{inf } f(x) = f(x_{min}) =: \text{min } f(x) \\

ws2019/ana/lectures/analysis18.tex

@@ -83,7 +83,7 @@
 
     $k \to \infty$. Dann konvergiert auch $(y_{n_k})_{k\in\N}$ gegen $p$,
     d.h. $y_{n_k} \to p, k \to \infty$ (weil $|x_{n_k} - y_{n_k}| < \frac{1}{n_k}$ \\
-    $\implies \epsilon_0 \le |f(x_{n_k} - f(y_{n_k})| \to |f(p) - f(p)| = 0$.
+    $\implies \epsilon_0 \le |f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| \to |f(p) - f(p)| = 0$.
     Widerspruch
 \end{proof}
 
@@ -113,7 +113,7 @@
 \subsection{Trigonometrische Funktionen}
 
 \begin{satz}
-    Für $x \in \R$ definiere $\cos(x) := \text{Re}(e^{-x})$ und
+    Für $x \in \R$ definiere $\cos(x) := \text{Re}(e^{ix})$ und
     $\sin(x) := \text{Im}(e^{ix})$. Dann gilt
     $\forall x \in \R$.
     \begin{enumerate}

ws2019/ana/lectures/analysis19.tex

@@ -202,21 +202,21 @@ Ziel: Analytische Definition von $\pi \in \R$.
     \begin{enumerate}[(i)]
         \item Die Tangensfunktion
             \begin{align*}
-                &\tan: \R \setminus \{x = (k + \frac{1}{2}) \pi | k \in \Z\} 
+                &\tan: \R \setminus \left\{x = \left(k + \frac{1}{2}\right) \pi  \mid  k \in \Z\right\} 
                 \to \R
             \intertext{ist definiert durch}
                 &\tan x := \frac{\sin x}{\cos x}
             .\end{align*}
         \item Die Cotangensfunktion
             \begin{align*}
-                &\cot: \R \setminus \{x = k \pi | k \in \Z\} \to \R
+                &\cot: \R \setminus \{x = k \pi  \mid  k \in \Z\} \to \R
             \intertext{ist definiert durch}
                 &\cot x := \frac{\cos(x)}{\sin(x)}
             .\end{align*}
     \end{enumerate}
 \end{definition}
 
-\begin{figure}[htpb]
+\begin{figure}[h!]
     \centering
     \begin{tikzpicture}
         \begin{axis}%
@@ -235,7 +235,7 @@ Ziel: Analytische Definition von $\pi \in \R$.
     \caption{$\tan(x)$}
 \end{figure}
 
-\begin{figure}[htpb]
+\begin{figure}[h!]
     \centering
     \begin{tikzpicture}
         \begin{axis}%
@@ -254,8 +254,7 @@ Ziel: Analytische Definition von $\pi \in \R$.
     \caption{$\cot(x)$}
 \end{figure}
 
-\begin{definition}[Arcusfunktionen (Umkehrfunktionen der Trigonometrischen
+\begin{definition}[Arcusfunktionen]
-    Funktionen)]
     \begin{enumerate}[(i)]
         \item $\cos\colon  [0, \pi] \to  [-1, 1]$ ist streng monoton fallend
             und bijektiv. Die Umkehrfunktion heißt

ws2019/ana/lectures/analysis20.tex

@@ -152,7 +152,7 @@
     \[
         f(x) - f(x_0) = f'(x_0)\underbrace{(x-x_0)}_{\to 0}
         + \underbrace{\frac{R(x)}{x -x_0}}_{\to 0}\underbrace{(x-x_0)}_{\to 0}
-    .\] d.h. $f(x) \to f(x_0) \stackrel{\text{Def. Stetigkeit}}{\implies} f$ stetig.
+    .\] d.h. $f(x) \to f(x_0) \qquad \stackrel{\text{Def. Stetigkeit}}{\implies} \qquad f$ stetig.
 \end{proof}
 
 \begin{bem}
@@ -173,8 +173,8 @@
             stetig differenzierbar mit $f'(x) = n x^{n-1}$ $\forall x$, weil
             \begin{align*}
                 \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^{n} - x^{n}}{h}
-                &\stackrel{a^{n} - b^{n} = \ldots}{=}
+                &=
-                \lim_{h \to 0} \frac{(x+h-x)(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}\cdot x + \ldots + (x-h)x^{n-2} + x^{n-1}}{h} \\
+                \lim_{h \to 0} \frac{(x+h-x)(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}\cdot x + \ldots + (x+h)x^{n-2} + x^{n-1}}{h} \\
                 &= \underbrace{x^{n-1} + x^{n-2} \cdot x + \ldots + x^{n-1}}_{n\text{-mal}}  \\
                 &= n x^{n-1}
             .\end{align*}
@@ -222,7 +222,7 @@
             mit
             \begin{align*}
                 e^{h} &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{h^{k}}{k!} = 1 + h + \frac{h^2}{2} + \frac{h^{3}}{3!} + \ldots \\
-                \frac{e^{h} - 1}{h} &= 1 + \frac{h}{2} + \frac{h^2}{3!} + \ldots \xrightarrow{h \to 0} \to  1
+                \frac{e^{h} - 1}{h} &= 1 + \frac{h}{2} + \frac{h^2}{3!} + \ldots \xrightarrow{h \to 0} 1
             .\end{align*}
         \item Sinus / Cosinus.
              mit $\sin(x) - \sin(y) = 2 \cos \frac{1}{2} (x+y) \cdot \sin \frac{1}{2}(x-y)$ folgt
@@ -335,7 +335,7 @@
 
 \begin{satz}[Kettenregel]
     Seien $f\colon D_f \to \R$, $g\colon D_g \to \R$ stetige Funktionen.
-    $f \in x_0 \in D_f$ differenzierbar, $g \in y_0 = f(x_0) \in D_g$ 
+    $f$ in $x_0 \in D_f$ differenzierbar, $g$ in $y_0 = f(x_0) \in D_g$ 
     differenzierbar. Dann ist $(g \circ f): D_f \to \R$ differenzierbar
     in $x_0$ und es gilt die Kettenregel
     \[

ws2019/ana/lectures/analysis21.tex

@@ -7,7 +7,7 @@
 \begin{definition}[globales / lokales Extremum]
     Die Funktion $f\colon D \to \R$ hat in
     $x_0 \in D$ ein globales Extremum (Maximum oder Minimum), falls
-    gilt $f(x_0) \ge f(x)$ bzw. $f(x_0 \le f(x)$ $\forall x \in D$.
+    gilt $f(x_0) \ge f(x)$ bzw. $f(x_0) \le f(x)$ $\forall x \in D$.
 
     Die Funktion $f$ hat in $x_0 \in D$ ein
     lokales Extremum (Maximum oder Minimum), falls

ws2019/ana/lectures/analysis22.tex

@@ -26,18 +26,19 @@
     Für $x = x_0$: klar.
 
     Sei $x \neq x_0$. Betrachte $R = R(x, x_0)$ definiert durch
-    $f(x) = T_N(f, x, x_0) + \frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot R$.
+    $f(x) = T_n(f, x, x_0) + \frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot R$.
 
     Für $y \in D$ definiere
     \[
         \varphi(y) := f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(y)}{k!}(x-y)^{k} - \frac{(x-y)^{n+1}}{(n+1)!}R
     .\] 
     Dann folgt $\varphi(x_0) = 0 = \varphi(x)$, $\varphi \in C^{1}$.\\
-    $\stackrel{\text{Satz von Rolle}}{\implies}$ $\exists \xi$ zwischen $x$ und $x_0$ mit $\varphi'(\xi) = 0$.
+    $\stackrel{\text{Satz von Rolle}}{\implies} \qquad$
+    $\exists \xi$ zwischen $x$ und $x_0$ mit $\varphi'(\xi) = 0$.
     \begin{align*}
         0 = \varphi'(\xi) &= - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k+1)}(\xi)}{k!} (x-\xi)^{k}
          - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(\xi)}{k!}k(x-\xi)^{k-1}(-1)
-         - \frac{(n+1)(x-\xi)^{n}}{(n+1)!} R \\
+         + \frac{(n+1)(x-\xi)^{n}}{(n+1)!} R \\
                           &\stackrel{\mathclap{\text{Teleskop}}}{=} \quad - \frac{f^{n+1}(\xi)}{n!}(x-\xi)^{n} + \frac{(x-\xi)^{n}}{n!} R \\
                           &= \frac{(x-\xi)^{n}}{n!} \left( - f^{(n+1)}(\xi) + R \right)
      .\end{align*} $\implies R = f^{(n+1)}(\xi)$, $\xi$ zwischen $x$ und $x_0$.
@@ -59,7 +60,7 @@
 \begin{proof}
     \[
         |f(x) - T_n(f, x, x_0)| \le \frac{\left| f^{(n+1)}(\xi)\right|}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}
-        \le \frac{M}{(n+1)!(b-a)^{n+1}}
+        \le \frac{M}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}
     .\] $\implies \forall \epsilon > 0$ $\exists n_{\epsilon}$, s.d. $\frac{M}{(n+1)!}(b-a)^{n+1} < \epsilon$
 \end{proof}
 
@@ -78,7 +79,7 @@
     Sei $f \in C^{n}(D, \R)$, $D = (a,b)$ und
     für $x_0 \in (a,b)$ gelte
     \[
-        f'(x_0) = f''(x_0) = \ldots = f^{(n-1)}(x_0) \quad \text{und} \quad f^{(n)}(x_0) \neq 0
+        f'(x_0) = f''(x_0) = \ldots = f^{(n-1)}(x_0) = 0 \quad \text{und} \quad f^{(n)}(x_0) \neq 0
     .\] Dann gilt
     \begin{enumerate}
         \item Ist $n$ gerade und $f^{(n)}(x_0) < 0$ bzw. $f^{(n)}(x_0) > 0$, dann ist
@@ -88,7 +89,7 @@
     \end{enumerate}
 \end{korrolar}
 
-\begin{figure}
+\begin{figure}[h!]
     \centering
     \begin{subfigure}{.4\textwidth}
     \caption{$f(x) = x^3$}
@@ -129,7 +130,7 @@
 \end{figure}
 
 \begin{proof}
-    Taylor Satz $\implies$ $f(x) = f(x_0) + \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!} (x-x_0)^{n}$
+    Satz von Taylor $\implies$ $f(x) = f(x_0) + \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!} (x-x_0)^{n}$
     $f^{(n)}$ stetig in $x_0$, $f^{(n)} \neq 0$ in $x_0$ \\
     $\implies \exists \delta > 0$, s.d. $f^{(n)}(x) \neq 0$ für
     $x \in \; ]x_0 - \delta , x_0 + \delta [$ und hat das gleiche
@@ -139,9 +140,8 @@
             $x \neq x_0$.
             \[
                 f(x) = f(x_0) + \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}\underbrace{(x-x_0)^n}_{> 0}
-            .\] $\implies$ $f(x) > f(x_0)$, falls $f^{(n)}(\xi) > 0$, dann
+            .\] $\implies$ Wegen $f^{(n)}(x_0) = f^{(n)}(\xi)$ folgt $f(x) > f(x_0)$, falls $f^{(n)}(x_0) > 0$
-            $f^{(n)}(x_0) > 0$.
+            und $f(x) < f(x_0)$, falls $f^{(n)}(x_0) < 0$.
-            $f(x) < f(x_0)$, falls $f^{(n)}(x_0) < 0$.
         \item $n$ ungerade, wechselt $(x-x_0)^{n}$ das Vorzeichen.
     \end{enumerate}
 \end{proof}

ws2019/ana/lectures/analysis23.tex

@@ -16,7 +16,7 @@ berechnen.
 
 \subsection{Riemannintegral}
 
-\begin{definition}[Zerlegungen]
+\begin{definition}[Zerlegungen, Stützpunkte]
     Eine endliche Zerlegung $Z$ von einem (beschränkten) Intervall $[a,b]$ ist
     eine endliche Folge  $z = (x_0, x_1, \ldots, x_n)$ mit
     $x_0 = a < x_1 < \ldots < x_n = b$. $x_k$ heißen Teilungs- oder
@@ -45,7 +45,7 @@ berechnen.
 
 \begin{bem}
     Eine Verfeinerung der Zerlegung $Z$ ist eine
-    Zerlegung $Z'' = (x_0'', \ldots, x''_{n''}$
+    Zerlegung $Z'' = (x_0'', \ldots, x''_{n''})$
     s.d. $(x_0, \ldots, x_n) \subset (x_0'', \ldots, x''_{n''})$ und
     $h'' \le h$. Zu Zerlegungen $Z = (x_0, \ldots, x_n)$ und
     $Z' = (x_0', \ldots, x'_{n'})$ gibt es eine 
@@ -83,10 +83,10 @@ berechnen.
     Ober- und Unterintegral und für jede Folge von Zerlegungen
     $Z_n \in \mathcal{Z}(a,b)$, $n \in \N$ mit $h_n \xrightarrow{n \to \infty} 0$ gilt
     \[
-    \lim_{n \to \infty} \underline{S}_{Z_n} 
+        \lim_{n \to \infty} \underline{S}_{Z_n}(f)
     = \underline{\int_{a}^{b}  } f(x) dx
     \le \overline{\int_{a}^{b}} f(x) dx
-    = \lim_{n \to \infty} f(x) \overline{S}_{Z_n}
+    = \lim_{n \to \infty} \overline{S}_{Z_n}(f)
     .\] 
 \end{lemma}
 

ws2019/ana/lectures/analysis24.tex

@@ -57,7 +57,7 @@
         \lim_{h \to 0} (\beta \cdot RS_Z(g)) \\
                                   &= \lim_{h \to 0} RS_Z(\alpha f) + \lim_{h \to 0} RS_Z(\beta g) \\
                                   &= \lim_{h \to 0} RS_Z(\alpha f + \beta g) \\
-                                  &= \int_{a}^{b} (\alpha f + \beta g)(x)dx  \\
+                                  &= \int_{a}^{b} (\alpha f + \beta g)(x)dx
     .\end{align*}
 \end{proof}
 
@@ -91,7 +91,7 @@
     $g \equiv 1 \implies \int_{a}^{b} 1 dx = (b - a)$ Damit folgt
     \begin{align*}
         m (b-a) = \int_{a}^{b} m \cdot dx
-        \stackrel{\text{Satz \ref{satz:riemann-monoton}}}{\le}
+        \quad \stackrel{\text{Satz \ref{satz:riemann-monoton}}}{\le} \quad
         \int_{a}^{b} f(x) dx
         \le \int_{a}^{b} M dx
         = M (b-a)
@@ -296,17 +296,17 @@
     Für $h \neq 0$, $x \in [a,b]$
     \begin{align*}
         \frac{F_0(x+h) - F_0(x)}{h}
-        = \frac{1}{h} \left( \int_{a}^{x+h} f(t) dt
+        &= \frac{1}{h} \left( \int_{a}^{x+h} f(t) dt
         - \int_{a}^{x} f(t) dt \right)
         = \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t) dt 
         \quad \stackrel{\text{1. MWS}}{=}
         \quad \frac{1}{h} f(\xi_h) \cdot h
         \xrightarrow[h \to 0]{f\text{ stetig}} f(x) \\
-        \implies F_0'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{F_0(x+h) - F_0(x)}{h} = f(x)
+        \implies F_0'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{F_0(x+h) - F_0(x)}{h} = f(x)
     .\end{align*}
-        \item Sei $F$ eine Stammfunktion ovn $f$, dann gilt
+        \item Sei $F$ eine Stammfunktion von $f$, dann gilt
             $(F - F_0)' = f - f = 0
-            \stackrel{\text{MWS Diff.}}{\implies} F - F_0 \equiv
+            \quad \stackrel{\text{MWS Diff.}}{\implies} \quad F - F_0 \equiv
             \text{konstant} = C \implies F = F_0 + C$ für ein $C \in \R$.
         \item $F(b) - F(a) \stackrel{\text{(b)}}{=} F_0(b) - F_0(a)
             = \int_{a}^{b} f(t) dt $

ws2019/ana/lectures/analysis3.tex

@@ -60,10 +60,11 @@
 
     \begin{proof}[Alternativbeweis mit Teleskop-Summe]
         \begin{align*}
-            1-x^{n+1} &= 1 - x + x - x^2 + x^2 - \ldots - x^n + x^n - x^n+1 \\
+            1-x^{n+1} &= 1 - x + x - x^2 + x^2 - \ldots - x^n + x^n - x^{n+1} \\
             &= \sum_{k=0}^{n} x^{k} - \sum_{k=1}^{n+1} x^{k} \\
             &= \sum_{k=0}^{n} x^{k} - \sum_{k=0}^{n} x^{k+1} \\
-            &= \sum_{k=0}^{n} x^{k} - x \\
+            &= \sum_{k=0}^{n} x^{k} - x \sum_{k=0}^{n} x^{k} \\
+            &= (1-x) \sum_{k=0}^{n} x^{k}
         .\end{align*}
     \end{proof}
 
@@ -79,13 +80,11 @@ $ \forall a, b \in \R$ und $n \in \N$ gilt:
 \begin{proof}
     Für $a=0$ und  $a = b$ stimmt die Formel offenbar.\\
     Betrachte geometrische Reihe mit $x := \frac{b}{a} \neq 1$
-    \[
+    \begin{align*}
-    1 - \left(\frac{b}{a}\right)^n = 1 - x^n = (1 - x) \sum_{k=0}^{n-1} x^k
+    &1 - \left(\frac{b}{a}\right)^n = 1 - x^n = (1 - x) \sum_{k=0}^{n-1} x^k
-    = (1 - \frac{b}{a}) \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{b}{a}\right)^k
+    = (1 - \frac{b}{a}) \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{b}{a}\right)^k \quad \Big| \cdot a^{n}\\
-    \] 
+    \implies &a^n - b^n = (a-b) \sum_{k=0}^{n-1} b^k a^{-k} a^{n-1} = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^k 
-    \[
+    .\end{align*}
-    a^n - b^n = (a-b) \sum_{k=0}^{n-1} b^k a^{-k} a^{n-1} = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^k 
-    \] 
 \end{proof}
 
 \subsection{Elemente der Kombinatorik}
@@ -113,16 +112,16 @@ Für $n \in \N$ ist die Fakultät $n!$ rekursiv definiert durch:
 \end{proof}
 
 \begin{definition}[Binomialkoeffizient]
-    Für $n, k \in \N$ definieren wir:\\
+    Für $n, k \in \N_0$ definieren wir:\\
     \begin{align*}
-        n \ge  k \ge  1:& \binom{n}{k} := \frac{n(n-1) \ldots (n -k + 1)}{k!} \\
+        n \ge  k \ge  1\colon & \binom{n}{k} := \frac{n(n-1) \ldots (n -k + 1)}{k!} \\
-        k = 0:& \binom{n}{0} := 1
+        k = 0\colon & \binom{n}{0} := 1
     \end{align*}
     $\binom{n}{k}$ ist die Anzahl der k-Elementigen Teilmengen einer n-Elementigen Menge, z.B.: Lotto $\binom{49}{6} = 13.983.816$.
     \begin{align*}
         \binom{n}{k} &= \frac{n(n-1) \ldots (n - k +1)}{k!}\\
                      &= \frac{n(n-1) \ldots (n-k+1)(n-k)!}{k!(n-k)!}\\
-                     &= \frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{n-k}\\
+                     &= \frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{n-k}
     .\end{align*}
     Es folgt $\binom{n}{0} = 1$, $\binom{n}{n} = 1$,
     $\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n, \forall n \in \N.$

ws2019/ana/lectures/analysis4.tex

@@ -56,7 +56,7 @@
 \binom{n}{n-1}a b^{n-1} + \binom{n}{n}b^{n}\right) \\
         &= \binom{n}{0}a^{n+1}+\binom{n}{1}a^{n}b + \ldots +
         \binom{n}{n-1} a^{2} b^{n-1} + \binom{n}{n} a b^{n} \\
-        &+ \binom{n}{0} a^{n}b + \binom{n}{1} a^{n-1}b^{2} + \ldots +
+        & \quad \; + \binom{n}{0} a^{n}b + \binom{n}{1} a^{n-1}b^{2} + \ldots +
         \binom{n}{n-1}a b^{n}+\binom{n}{n}b^{n+1} \\
         &= \binom{n+1}{0}a^{n+1}+\binom{n+1}{1}a^{n}b+\ldots+
         \binom{n+1}{n}ab^{n} + \binom{n+1}{n+1}b^{n+1}
@@ -66,13 +66,13 @@
 \subsection{Grundlegendes über Zahlenmengen}
 \[
     \N = \{1, 2, 3, \ldots\} \text{ natürliche Zahlen}
-.\] auf $\N$ sind die arithmetischen Operationen ,,$+$'' (Addition) und ,,$\cdot$''
+.\] Auf $\N$ sind die arithmetischen Operationen ,,$+$'' (Addition) und ,,$\cdot$''
 (Multiplikation) definiert. Für diese gelten u.a. die Regeln:
-\begin{align*}
+\begin{flalign*}
-    n + m = m + n &\text{ bzw. } n \cdot m = m \cdot n \text{ Kommutativität} \\
+    &n + m = m + n \text{ bzw. } n \cdot m = m \cdot n &\text{ Kommutativität} \\
-    (n + m) + k = n + (m + k) &\text{ bzw. } (n \cdot m) \cdot k = n \cdot (m \cdot k) \text{ Assoziativität}\\
+    &(n + m) + k = n + (m + k) \text{ bzw. } (n \cdot m) \cdot k = n \cdot (m \cdot k) &\text{ Assoziativität}\\
-    (n + m) \cdot k &= n \cdot k + m \cdot k \text{ Distributivität}
+    &(n + m) \cdot k = n \cdot k + m \cdot k &\text{ Distributivität}
-\end{align*}
+\end{flalign*}
 
 Subtraktion und Division sind nicht für alle Paare der natürlichen Zahlen definiert
 ($1 - 2 \not\in \N, \frac{1}{2} \not\in \N$), d.h. die natürlichen Zahlen
@@ -89,8 +89,8 @@ Deshalb werden die natürlichen Zahlen zu den ganzen Zahlen erweitert.
 $x = m - n \in \Z$.
 
 $\Z$ ist vollständig bezüglich der Subtraktion aber unvollständig bezüglich
-der Division, d.h. für beliebige $b, y \in \Z$, $b \neq 0$, die ,,lineare''
+der Division, d.h. für beliebige $b, y \in \Z$, $b \neq 0$, ist die ,,lineare''
-Gleichung $b \cdot x = y$ nicht immer durch ein $x \in \Z$ lösbar ist.
+Gleichung $b \cdot x = y$ nicht immer durch ein $x \in \Z$ lösbar.
 
 Diese Beschränkung wird durch die Einführung der rationalen Zahlen behoben:
 \[
@@ -105,29 +105,29 @@ a = \frac{r}{s}, b = \frac{u}{v} \in \Q = \begin{cases}
     a \cdot b &:= \frac{r \cdot u}{s \cdot v} \\
     \frac{a}{b} &:= \frac{r \cdot v}{s \cdot u} \\
 \end{cases}
-.\] $\Q$ bildet mit der Operation ,,+'' und ,,-'' einen ,,Körper'' bildet.
+.\] $\Q$ bildet mit der Operation ,,$+$'' und ,,$\cdot$'' einen ,,Körper''.
 
 \subsection{Was ist ein Körper?}
 
 Sei $K$ eine Menge mit Operationen ,,$+$'' und ,,$\cdot$''.
 
 Operation ,,$+$'' erfüllt die Axiome der Addition
-\begin{enumerate}
+\begin{enumerate}[label=(A\arabic*)]
-    \item Kommutativität $\forall a,b \in K: a + b = b + a$
+    \item Kommutativität $\forall a,b \in K\colon a + b = b + a$
-    \item Assoziativität $\forall a, b, c \in K: (a+b)+c = a+(b+c)$
+    \item Assoziativität $\forall a, b, c \in K\colon (a+b)+c = a+(b+c)$
-    \item Neutrales Element $\exists 0 \in K: \forall a \in K: a + 0 = a$
+    \item Neutrales Element $\exists 0 \in K\colon \forall a \in K\colon a + 0 = a$
-    \item Additives Inverses $\forall a \in K: \exists -a \in K: a + (-a) = 0$
+    \item Additives Inverses $\forall a \in K\colon \exists -a \in K\colon a + (-a) = 0$
 \end{enumerate}
 
-Operation ,,$\cdot$'' erfüllt Axiome der Multiplikation
+Operation ,,$\cdot$'' erfüllt die Axiome der Multiplikation
-\begin{enumerate}
+\begin{enumerate}[label=(M\arabic*)]
-    \item Kommutativität $\forall a,b \in K: a \cdot b = b \cdot a$
+    \item Kommutativität $\forall a,b \in K\colon a \cdot b = b \cdot a$
-    \item Assoziativität $\forall a, b, c \in K: (a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)$
+    \item Assoziativität $\forall a, b, c \in K\colon (a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)$
-    \item Neutrales Element $\exists 1 \in K \setminus\{0\} =: K^{*}: \forall a \in K: a \cdot 1 = a$
+    \item Neutrales Element $\exists 1 \in K \setminus\{0\} =\colon K^{*}\colon \forall a \in K\colon a \cdot 1 = a$
-    \item Additives Inverses $\forall a \in K: \exists a^{-1} \in K: a \cdot a^{-1} = 1$
+    \item Additives Inverses $\forall a \in K\colon \exists a^{-1} \in K\colon a \cdot a^{-1} = 1$
 \end{enumerate}
 
-Zusätzlich gilt ,,$+$'' und ,,$\cdot$'' erfüllen die Distributivität (D):
+Zusätzlich erfüllen ,,$+$'' und ,,$\cdot$'' die Distributivität (D):
 \[
     \forall a,b,c \in K: a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c
 .\] 

ws2019/ana/lectures/analysis5.tex

@@ -26,7 +26,7 @@
     $a<b, a = b, a >b$.
 \end{definition}
 
-Es gelten Regeln:
+Es gelten folgende Regeln:
 \begin{itemize}
     \item $a < b, b < c \implies a < c$ Transitivität
     \item $a < b \implies a + c < b +c, c \in K$
@@ -43,7 +43,7 @@ Es gelten Regeln:
 
 \begin{definition}[Absolutbetrag]
     Sei $(K, +, \cdot, >$ ein angeordneter Körper
-    Dann
+    Dann ist
     \[
     |a| := \begin{cases}
         a & \text{für } a > 0 \\
@@ -52,9 +52,9 @@ Es gelten Regeln:
     \end{cases}
     .\] 
 
-    Abbildung $|\cdot|$: $K \to K$ mit Eigenschaften:
+    eine Abbildung $|\cdot|$: $K \to K$ mit den Eigenschaften:
     \begin{itemize}
-        \item $|a| = 0 \iff a = 0$ (Definiertheit) 
+        \item $|a| = 0 \iff a = 0$ (Definitheit) 
         \item $|ab| = |a| |b|$ (Multiplikativität)
         \item $|a+b| \le |a| + |b|$ (Dreiecksungleichung)
     \end{itemize}
@@ -80,7 +80,7 @@ Es folgt aus den Eigenschaften:
     oder periodische Dezimalbruchdarstellung der Form:
     \[
         a = \pm (a_0 + 0,d_1\ldots d_s): \iff
-        a = \pm \left(a_0 + \sum_{k=1}^{s} ds \cdot 10^{-k}\right)
+        a = \pm \left(a_0 + \sum_{k=1}^{s} d_k \cdot 10^{-k}\right)
     .\] bzw. 
     \[
         a = \pm (a_0 + 0,d_1\ldots d_s \overline{d_{s+1} \ldots d_{s+t}})
@@ -142,7 +142,7 @@ ein $x \in \Q$ lösbar.
     E \implies E_1 \implies E_2 \implies \ldots \implies E_k \implies V
     .\] Indirekter Beweis: Zeigen $E$ und $\neg V$ immer
     falsch. Da $E$ immer wahr ist, muss $\neg V$ falsch sein.
-    Da $\neg V$ falsch ist, dann ist $V$ wahr.
+    Da $\neg V$ falsch ist, ist $V$ wahr.
 \end{bem}
 
 \textbf{Ziel}: Konstruiere rationale Zahlen, welche die
@@ -162,22 +162,22 @@ $a_1 < b_1, a_1^2 = 1,96 < 2 < 2,25 = b_1^2$
 
 Fall a) Es liege für ein $n \in \N$ eine Einschließung vor:
 \[
-    a_n = 1,d_1d_2, \ldots d_{n-1}d_n < b_n = 1,d_1d_2\ldots d_{n-1}(d_{n+1})
+    a_n = 1,d_1d_2, \ldots d_{n-1}d_n < b_n = 1,d_1d_2\ldots d_{n-1}(d_n + 1)
 .\] 
 \[
     a_n^2 < 2 < b_n^2
-.\] $d_k \in \{0,1, \ldots, 9\}, k=1 \ldots n-1, dn \le 8 $
+.\] $d_k \in \{0,1, \ldots, 9\}, k=1 \ldots n-1, d_n \le 8 $
 
 Die nächste Einschließung ist
 \[
-    a_{n+1} := 1,d_1\ldots d_n, d_{n+1},   d_{n+1} \in \{0,1,\ldots_,9\} 
+    a_{n+1} := 1,d_1\ldots d_n, d_{n+1}   \qquad d_{n+1} \in \{0,1,\ldots_,9\} 
 .\] $a_{n+1}$ möglichst groß aber $a_{n+1}^2 < 2$.
 
 und
 \[
 b_{n+1} := \begin{cases}
     1,d_1, \ldots d_n (d_{n+1} + 1) & \text{für } d_{n+1} \le 8 \\
-    1,d_1, \ldots (d_n + 1) 0 & für d_{n+1} = 9 \\
+    1,d_1, \ldots (d_n + 1) 0 & \text{für } d_{n+1} = 9 \\
 \end{cases}
 .\] Nach Konstruktion:
 \[
@@ -192,7 +192,7 @@ Fall b) Für ein $n \in \N$ liegt eine Einschließung vor
     a_1 = 1, d_1\ldots d_{n-1} d_{n} < b_{n} = 1, d_1 d_2 \ldots d_{n-1} (d_n + 1) 0 \ldots 0
 .\] 
 \[
-    a_n^2 < 2 < b_n^2 \text{ mit } d_k \in \{0, 1, \ldots ,9\}, k=1, n = 1
+    a_n^2 < 2 < b_n^2 \text{ mit } d_k \in \{0, 1, \ldots ,9\}, k=1 \ldots n-1
 .\] 
 \[
 d_n \le 8, d_{n+1} = \ldots = d_n = 9
@@ -241,7 +241,7 @@ $\implies$ wir sollen die Zahl $\sqrt{2}$ eventuell erfassen!
 Offenbar, $1 + \frac{1}{n} \to 1, n \to \infty$
 bzw.
 \[
-    \lim_{n \to \infty} (1+ \frac{1}{n}) = 1
+    \lim_{n \to \infty} \left(1+ \frac{1}{n}\right) = 1
 .\] d.h. Folge konvergiert gegen 1
 
 \begin{definition}[Konvergenz]