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- \documentclass[uebung]{../../../lecture}
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- \title{Lineare Algebra 2: Übungsblatt 4}
- \author{Dominik Daniel, Christian Merten}
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- \usepackage[]{gauss}
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- \begin{document}
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- \punkte[16]
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- \begin{aufgabe}
- Seien $L$ und $K$ Teilkörper mit $K \subseteq L$.
- \begin{enumerate}[a)]
- \item \begin{enumerate}[(i)]
- \item Beh.: Für $f, g \in K[t]$ gilt $\text{ggT}_{L[t]}(f,g) = \text{ggT}_{K[t]}(f,g)$.
- \begin{proof}
- Seien $f, g \in K[t]$. Der euklid. Algorithmus in $K[t]$ liefert
- $a_2, \ldots, a_k \in K[t]$ mit $a_k \in \text{GGT}_{K[t]}(f, g)$. Da
- $K$ Teilkörper von $L$ ist, ist $K[t]$ Unterring von $L[t]$. Das heißt,
- der euklid. Algorithmus kann in $L[t]$ mit den selben $a_2, \ldots a_k$
- ausgeführt werden. Damit folgt $a_k \in \text{GGT}_{L[t]}(f,g)$.
-
- Definiere $d \in K[t]$, als das normierte Polynom von $a_k$. Wegen
- der Eindeutigkeit des größten gemeinsamen Teilers in $L[t]$ und $K[t]$ folgt damit
- \[
- \text{ggT}_{L[t]}(f, g) = d = \text{ggT}_{K[t]}(f,g)
- .\]
- \end{proof}
- \item Beh.: Für $A, B \in M_{n, n}(K)$ so gilt
- \[
- A \approx B \text{ in } M_{n,n}(K)
- \iff
- A \approx B \text{ in } M_{n, n}(L)
- .\]
- \begin{proof}
- Seien $A, B$ in $M_{n, n}(K)$. ,,$\implies$'' ist trivial.
-
- ,,$\impliedby$'': Sei $A \approx B$ in $M_{n,n}(L)$. Da
- $P_{A} \in M_{n,n}(K[t])$ folgt
- \begin{salign*}
- d_{l_{L[t]}}(A) &=
- \text{ggT}_{L[t]}\{ \underbrace{\text{det}(C)}_{\in K[t]} \mid C \text{ ist } l \times l \text{ Untermatrix von } P_A\} \\
- &\stackrel{(i)}{=} \text{ggT}_{K[t]}\{ \text{det}(C) \mid C \text{ ist } l \times l \text{ Untermatrix von } P_A\} \\
- &= d_{l_{K[t]}}(A)
- .\end{salign*}
- Analog für $B$. Wegen $A \approx B$ in $M_{n,n}(L)$ gilt $\forall l=1,\ldots, n$:
- \[
- d_{l_{K[t]}}(A) = d_{l_{L[t]}}(A) = d_{l_{L[t]}}(B) = d_{l_{K[t]}}(B)
- .\] Damit folgt $A \approx B$ in $M_{n,n}(K)$.
- \end{proof}
- \end{enumerate}
- \item Beh.: Für $A \in M_{n,n}(K)$ ist $A \approx A^{T}$.
- \begin{proof}
- Es ist $Fit_{l}(P_A) = Fit_{l}((P_A)^{T})$ $\forall l = 1, \ldots, n$. Also
- $P_{A} \sim (P_A)^{T}$. Wegen $(P_A)^{T} = (tE_n - A)^{T} = tE_n - A^{T} = P_{A^{T}}$ folgt
- $P_{A} \sim P_{A^{T}}$. Damit folgt mit dem Satz von Frobenius: $A \approx A^{T}$.
- \end{proof}
- \end{enumerate}
- \end{aufgabe}
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- \begin{aufgabe}
- \begin{enumerate}[(a)]
- \item Kurze Rechung ergibt
- \begin{align*}
- P_A &= \begin{gmatrix}[p] t-10 & 11 & 11 & 32 \\
- 1 & t & 2 & - 4 \\
- -1 & 1 & t-1 & 4 \\
- -2 & 2 & 2 & t+6
- \rowops
- \swap{0}{1}
- \end{gmatrix}
- \sim
- \begin{gmatrix}[p]
- 1 & t & 2 & - 4 \\
- t-10 & 11 & 11 & 32 \\
- -1 & 1 & t-1 & 4 \\
- -2 & 2 & 2 & t+6
- \rowops
- \add[-(t-10)]{0}{1}
- \add{0}{2}
- \add[2]{0}{3}
- \colops
- \add[-t]{0}{1}
- \add[-2]{0}{2}
- \add[4]{0}{3}
- \end{gmatrix} \\
- &\sim
- \begin{gmatrix}[p]
- 1 & 0 & 0 & 0 \\
- 0 & 11-t^2 + 10t & -8 + 4t \\
- 0 & t+1 & t+1 & 0 \\
- 0 & 2+2t & 6 & t-2
- \rowops
- \swap{1}{3}
- \colops
- \swap{1}{2}
- \end{gmatrix}
- \sim
- \begin{gmatrix}[p]
- 1 & 0 & 0 & 0 \\
- 0 & 6 & 2+2t & t-2 \\
- 0 & t+1 & t+1 & 0 \\
- 0 & 31-2t & 11-t^2 + 10t & -8+4t
- \rowops
- \mult{1}{\cdot \frac{1}{6}}
- \end{gmatrix} \\
- &\sim
- \begin{gmatrix}[p]
- 1 & 0 & 0 & 0 \\
- 0 & 1 & \frac{1}{3} + \frac{1}{3}t & \frac{1}{6}t - \frac{1}{3} \\
- 0 & t+1 & t+1 & 0 \\
- 0 & 31-2t & 11-t^2+10t & -8+4t
- \rowops
- \add[-(t+1)]{1}{2}
- \add[-(31-2t)]{1}{3}
- \colops
- \add[-\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3}t \right)]{1}{2}
- \add[-\left(\frac{1}{6}t - \frac{1}{3} \right)]{1}{3}
- \end{gmatrix}
- \sim
- \begin{gmatrix}[p]
- E_2 & 0 & 0 \\
- 0 & -\frac{1}{3} t^2+\frac{2}{3} + \frac{1}{3}t & -\frac{1}{6}t^2 + \frac{1}{6}t + \frac{1}{3} \\
- 0 & \frac{2}{3} + \frac{1}{3}t - \frac{1}{3}t^2 & \frac{1}{3}t^2 - \frac{11}{6}t + \frac{7}{3}
- \rowops
- \add[-1]{1}{2}
- \colops
- \add[-\frac{1}{2}]{1}{2}
- \end{gmatrix} \\
- &\sim
- \begin{gmatrix}[p]
- E_2 & 0 & 0 \\
- 0 & -\frac{1}{3}t^2 + \frac{1}{3}t + \frac{2}{3} & 0 \\
- 0 & 0 & \frac{1}{2}t^2 - 2t + 2
- \rowops
- \mult{1}{\cdot (-3)}
- \mult{2}{\cdot 2}
- \end{gmatrix}
- \sim
- \begin{gmatrix}[p]
- E_2 & 0 & 0 \\
- 0 & (t+1)(t-2) & 0 \\
- 0 & 0 & (t-2)^2
- \rowops
- \add{1}{2}
- \colops
- \add[-1]{1}{2}
- \end{gmatrix} \\
- &\sim
- \begin{gmatrix}[p]
- E_2 & 0 & 0 \\
- 0 & (t+1)(t-2) & -(t+1)(t-2) \\
- 0 & (t+1)(t-2) & -3t + 6
- \rowops
- \swap{1}{2}
- \colops
- \swap{1}{2}
- \end{gmatrix}
- \sim
- \begin{gmatrix}[p]
- E_2 & 0 & 0 \\
- 0 & -3t + 6 & (t-2)(t+1) \\
- 0 & -(t-2)(t+1) & (t-2)(t+1)
- \rowops
- \mult{1}{\cdot \left( -\frac{1}{3} \right)}
- \colops
- \mult{2}{\cdot 3}
- \end{gmatrix} \\
- &\sim
- \begin{gmatrix}[p]
- E_2 & 0 & 0 \\
- 0 & t - 2 & -(t-2)(t+1) \\
- 0 & -(t-2)(t+1) & 3(t-2)(t+1)
- \rowops
- \add[t+1]{1}{2}
- \colops
- \add[t+1]{1}{2}
- \end{gmatrix}
- \sim
- \begin{gmatrix}[p]
- E_2 & 0 & 0 \\
- 0 & t-2 & 0 \\
- 0 & 0 & (t-2)^2(t+1)
- \end{gmatrix}
- .\end{align*}
- Damit folgen als Invariantenteiler: $c_1 = c_2 = 1$, $c_3 = t- 2$ und $c_4 = (t-2)^2(t+1)$.
- Die Determinantenteiler sind damit $d_1 = 1$, $d_2 = 1$, $d_3 = t-2$ und $d_4 = (t-2)^{3}(t+1)$.
- \item Hier ist sofort ersichtlich:
- \begin{align*}
- \text{det}(P_B)
- = \begin{gmatrix}[v]
- t+5 & 3 & -5 \\
- 0 & t-1 & 1 \\
- 8 & 4 & t-7
- \end{gmatrix}
- = (t-1)^{3}
- \neq
- (t-2)(t-1)(t+1)
- =
- \begin{gmatrix}[v]
- t+3 & -8 & -12 \\
- -1 & t+2 & 3 \\
- 2 & -4 & t-7
- \end{gmatrix}
- = \text{det}(P_C)
- .\end{align*}
- Damit ist $d_3_{B} \neq d_3_{C}$, also sind nach Invariantenteilersatz
- $B$ und $C$ nicht ähnlich.
- \end{enumerate}
- \end{aufgabe}
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- \end{document}
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