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TeX
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\documentclass[uebung]{../../../lecture}
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\author{Leon Burgard, Christian Merten}
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\title{Einführung in die Numerik: Übungsblatt 6}
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\usepackage[]{gauss}
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\usepackage{blkarray, bigstrut}
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\begin{document}
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\punkte
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\begin{aufgabe}
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\begin{itemize}
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\item
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Berechnung der LU-Zerlegung. Es ist
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\begin{align*}
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PA = \begin{gmatrix}[p] -2 & 6 & 3 & 10 \\
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0 & -4 & 10 & \frac{15}{2} \\
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2 & -6 & 7 & -\frac{11}{2} \\
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-2 & 10 & -12 & 0
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\rowops
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\add{0}{2}
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\add[-1]{0}{3}
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\end{gmatrix}
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\sim
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\begin{gmatrix}[p]
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-2 & 6 & 3 & 10 \\
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0 & -4 & 10 & \frac{15}{2} \\
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0 & 0 & 10 & \frac{9}{2} \\
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0 & 4 & -15 & -10
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\rowops
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\add{1}{3}
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\end{gmatrix}
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\\\sim
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\begin{gmatrix}[p]
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-2 & 6 & 3 & 10 \\
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0 & -4 & 10 & \frac{15}{2} \\
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0 & 0 & 10 & \frac{9}{2} \\
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0 & 0 & -5 & -\frac{5}{2}
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\rowops
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\add[\frac{1}{2}]{2}{3}
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\end{gmatrix}
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\sim
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\begin{gmatrix}[p]
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-2 & 6 & 3 & 10 \\
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0 & -4 & 10 & \frac{15}{2} \\
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0 & 0 & 10 & \frac{9}{2} \\
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0 & 0 & 0 & -\frac{1}{4}
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\end{gmatrix}
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=: U
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.\end{align*}
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$L$ ergibt sich durch die Faktoren der Zeilenoperationen, also
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\begin{align*}
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L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\
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0 & 1 & 0 & 0 \\
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-1 & 0 & 1 & 0 \\
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1 & -1 & -\frac{1}{2} & 1\end{pmatrix}
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.\end{align*}
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Damit folgt
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\begin{align*}
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PA = LU =
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\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\
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0 & 1 & 0 & 0 \\
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-1 & 0 & 1 & 0 \\
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1 & -1 & -\frac{1}{2} & 1\end{pmatrix}
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\begin{gmatrix}[p]
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-2 & 6 & 3 & 10 \\
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0 & -4 & 10 & \frac{15}{2} \\
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0 & 0 & 10 & \frac{9}{2} \\
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0 & 0 & 0 & -\frac{1}{4}
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\end{gmatrix}
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.\end{align*}
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\item Es ist
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\[
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\text{det}(PA) = \text{det}(LU) = \text{det}(L) \text{det}(U) = -20
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\implies \text{det}(A) = - \frac{20}{\text{det}(P) } = 20
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.\]
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Es ist zunächst $\tilde{e}_1 = P e_1 = e_2$, $\tilde{e}_2 = P e_2 = e_1, \tilde{e}_3 = P e_3 = e_3$ und
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$\tilde{e}_4 = P e_4 = e_4$. Damit folgt durch Vorwärtseinsetzen in $Ly_i = \tilde{e}_i$:
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\begin{align*}
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y_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},
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y_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix},
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y_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix},
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y_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
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.\end{align*}
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Und durch Rückwärtseinsetzen in $R x_i = y_i$ folgt
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\begin{align*}
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x_1 = \begin{pmatrix} - \frac{541}{20} \\ -\frac{13}{4} \\ \frac{9}{5} \\ -4 \end{pmatrix},
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x_2 = \begin{pmatrix} \frac{271}{20} \\ \frac{7}{4} \\ -\frac{4}{5} \\ 2 \end{pmatrix},
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x_3 = \begin{pmatrix} -\frac{49}{4} \\ -\frac{5}{4} \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix},
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x_4 = \begin{pmatrix} -\frac{263}{10} \\ -3 \\ \frac{9}{5} \\ -4\end{pmatrix}
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.\end{align*}
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Die $x_i$ sind die Spalten von $A^{-1}$, also folgt direkt
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\begin{align*}
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A^{-1}
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=
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\begin{pmatrix}
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-\frac{541}{20} & \frac{271}{20} & -\frac{49}{4} & -\frac{263}{10} \\
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-\frac{13}{4} & \frac{7}{4} & -\frac{5}{4} & -3 \\
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\frac{9}{5} & - \frac{4}{5} & 1 & \frac{9}{5} \\
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-4 & 2 & -2 & -4
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\end{pmatrix}
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.\end{align*}
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Damit folgt direkt
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\begin{align*}
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Ax = b \implies x = A^{-1}b = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}
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.\end{align*}
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\item Für die Kondition gilt nach VL
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\begin{align*}
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\text{cond}_{\infty}(A) = \Vert A \Vert_{\infty} \Vert A^{-1} \Vert_\infty
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= 24 \cdot 79 \frac{3}{20} = 1899 \frac{3}{5}
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.\end{align*}
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\end{itemize}
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\end{aufgabe}
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\begin{aufgabe}
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Sei $T$ wie in der Aufgabe gegeben mit $bc > 0$.
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\begin{enumerate}[(a)]
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\item Es gilt
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\[
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(v_{k})_i = \nu^{i} \sin\left( i \frac{k \pi}{n+1} \right)
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.\] Es sei außerdem $(v_{k})_{0} = (v_{k})_{n+1} = 0$. Damit folgt
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\[
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(Tv_k)_i = c (v_{k})_{i-1} + a (v_k)_{i} + b (v_{k})_{i+1}
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.\]
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Es gilt außerdem
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\begin{align}
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b \nu^{i+1} = b \frac{c^{\frac{i}{2} + \frac{1}{2}}}{b^{\frac{i}{2} + \frac{1}{2}}}
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= \frac{c^{\frac{i}{2} + \frac{1}{2}}}{b^{\frac{i}{2} - \frac{1}{2}}}
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= c \frac{c^{\frac{i}{2} - \frac{1}{2}}}{b^{\frac{i}{2} - \frac{1}{2}}} = c \nu^{i-1}
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.\end{align}
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Weiter ist
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\begin{salign*}
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(\lambda_k v_k)_{i}
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&= \left[a + 2b \nu \cos \left( \frac{k\pi}{n+1} \right) \right]
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\nu^{i} \sin\left( i \frac{k\pi}{n+1} \right) \\
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|
&= a \nu^{i} \sin\left( i \frac{k\pi}{n+1} \right)
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+ 2b\nu^{i+1} \cos\left( \frac{k\pi}{n+1} \right) \sin\left( i \frac{k\pi}{n+1} \right) \\
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&\stackrel{\text{nützl. Formel}}{=}
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a (v_{k})_i + b \nu^{i+1} \sin\left( (i+1) \frac{k\pi}{n+1} \right)
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+ b \nu^{i+1} \sin\left( (i-1) \frac{k\pi}{n+1} \right) \\
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&\stackrel{\text{(1)}}{=} a (v_{k})_i + b (v_{k})_{i+1} + c (v_k)_{i-1}
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.\end{salign*}
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Damit folgt
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\[
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(T v_k)_i = (\lambda_k v_k)_i \implies T v_k = \lambda_k v_k
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.\] Also $v_k$ Eigenvektoren zu EW $\lambda_k$. Da $T \in \R^{n \times n}$, sind
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die $n$ Eigenwerte $\lambda_k$ alle Eigenwerte von $T$.
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\item Beh.: $\text{cond}_2(T) = \mathcal{O}(n^2)$.
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\begin{proof}
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Für $a = 2$ und $b = c = -1$ ist $T$ symmetrisch. Außerdem gilt für die Eigenwerte
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von $T$:
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\[
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\lambda_k = 2 -2 \cos\left( \frac{k \pi}{n+1} \right)
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|
.\] Es gilt für $k = 1,\ldots, n$:
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\[
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0 < \frac{k \pi}{n+1} < \pi \implies \left| \cos\left( \frac{k\pi}{n+1} \right) \right|
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< 1 \implies \lambda_k > 0
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|
.\] Also ist $T$ positiv definit. Es gilt weiter
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\begin{align*}
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\min_{1 \le k \le n} \cos\left( \frac{k\pi}{n+1} \right)
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&= \cos\left( \frac{n \pi}{n+1}\right) \\
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|
\max_{1 \le k \le n} \cos\left( \frac{k \pi}{n+1} \right) &=
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|
\cos\left( \frac{\pi}{n+1} \right)
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.\end{align*}
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Damit folgt
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$\lambda_{\text{min}}(T) = \lambda_{1} = 2 - 2 \cos\left( \frac{\pi}{ n+1} \right) $
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und $\lambda_{\text{max}}(T) = \lambda_{n} = 2 - 2 \cos\left( \frac{n \pi}{ n+1} \right) $.
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Da $T$ symmetrisch und positiv definit gilt also
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\begin{align*}
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\text{cond}_2(T) = \frac{\lambda_{\text{max}}(T)}{\lambda_{\text{min}}(T)}
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= \frac{ 1 - \cos\left( \frac{n\pi}{n+1} \right) }{1 - \cos\left( \frac{\pi}{n+1} \right) }
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\le
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\frac{2}{1 - \cos\left( \frac{\pi}{n+1} \right) }
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.\end{align*}
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Für $\frac{\pi}{n+1} \xrightarrow{n \to \infty} 0$. Also folgt mit Taylorentwicklung 2.
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Ordnung
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\[
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\frac{2}{1 - \cos\left( \frac{\pi}{n+1} \right) }
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= \frac{2}{1 - \left( 1 - \frac{\pi^2}{2 (n+1)^2} + \mathcal{O}\left(\frac{\pi^{3}}{(n+1)^{3}}\right)\right) }
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\quad \stackrel{\frac{\pi}{n+1} \ll 1}{\approx} \quad \frac{2}{\frac{\pi^2}{2 (n+1)^2}}
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= \frac{4 (n+1)^2}{\pi^2}
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.\] Damit folgt
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\begin{align*}
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\lim_{n \to \infty} \frac{2}{1 - \cos\left( \frac{\pi}{n+1} \right) } \cdot \frac{1}{n^2}
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\approx
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\lim_{n \to \infty} \frac{4n^2 + 8n + 4}{\pi^2 n^2}
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= \frac{4}{\pi^2} < \infty
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.\end{align*}
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Damit folgt $\text{cond}_2(T) = \mathcal{O}(n^2)$.
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\end{proof}
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\end{enumerate}
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\end{aufgabe}
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\begin{aufgabe}
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\begin{enumerate}[a)]
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\item Es sei
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\begin{align}
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A^{(k)} &= \begin{gmatrix}[b] R_{11}^{(k)} & R_{12}^{(k)} \\
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0 & B^{(k)}\end{gmatrix}
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\intertext{mit}
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B^{(k)} &= \begin{gmatrix}[b] \alpha ^{(k)} & (w^{(k)})^{T} \\
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\sigma ^{(k)} & C^{(k)}
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\end{gmatrix}
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.\end{align}
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wobei $C^{(k)} \in \R^{(n-k-1)\times (n-k-1)}$ und
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$\sigma ^{(k)}, w^{(k)} \in \R^{n-k-1}, \alpha ^{(k)} \neq 0$.
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Da $\alpha ^{(k)} \neq 0$, ist die Pivotisierung bereits
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durchgeführt oder nicht notwendig. Es gilt damit nach VL
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\begin{align}
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A^{(k+1)} = A^{(k)} - l^{(k+1)}(u^{(k+1)})^{T}
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.\end{align}
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|
mit
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\[
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l^{(k+1)}_i = \begin{cases}
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0 & 1 \le i \le k \\
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\frac{a_{i,k}^{(k)}}{a_{k,k}^{(k)}} & k+1 \le i \le n
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\end{cases} \text{ und }
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u_j^{(k+1)} = \begin{cases}
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0 & 1 \le j \le k \\
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|
a_{k,j}^{(k)} & k \le j \le n
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|
\end{cases}
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|
.\]
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Mit (2) folgt damit
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\begin{align*}
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l^{(k+1)} = \begin{gmatrix}[b] 0 \\ \frac{1}{a_{k,k}^{(k)}} \sigma ^{(k)}
|
|
\end{gmatrix}
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|
\text{ und }
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u^{(k+1)} = \begin{gmatrix}[b] 0 & (w^{(k)})^{T} \end{gmatrix}
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|
.\end{align*}
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Mit (1) und (3) folgt somit
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\begin{align*}
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A^{(k+1)} &= A^{(k)} - \begin{gmatrix}[b] 0 & 0 & 0\\
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0 & 0 & 0 \\
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0 & 0 & \frac{1}{\alpha ^{(k)}} \sigma ^{(k)} (w^{(k)})^{T} \end{gmatrix}
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\intertext{Für $B^{(k+1)}$ gilt damit}
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B^{(k+1)} &= C^{(k)} - \frac{1}{\alpha ^{(k)}} \sigma ^{(k)} (w^{(k)})^{T}
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.\end{align*}
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\item Der Algorithmus führt die Gauß-Elimination zeilenweise durch. Dabei wird für Zeile $i$
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folgendermaßen verfahren:
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\begin{enumerate}[1)]
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\item Für jede Spalte, die nicht rechts der Diagonale ist, wird
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zunächst das $i$-te Element des $l^{(j)}$-Vektors berechnet.
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\[
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l_i^{(j)} = a_{i,j-1} = \frac{a_{i,j-1}}{a_{j-1,j-1}}
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|
.\] Das Element $a_{j-1, j-1}$ ist das Pivotelement des $j$-ten Schritts
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der LU Zerlegung aus der VL.
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In der Schleife für $k$, werden dann für $a_{i,j}$ sukzessiv alle Rang-1-Updates
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ausgeführt, der bis dahin berechneten $l^{(k)}_i$.
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\item Die Elemente in den Spalten rechts der Diagonale sind keine Pivotelemente. Deshalb
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werden hier direkt die Rang-1-Updates $l_i^{(1)}$ bis $l_i^{(i-1)}$, die
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links der Diagonale stehen, ausgeführt.
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\end{enumerate}
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Damit ist die Zeile $i$ auf die finale Form gebracht und es wird mit $i+1$ weitergemacht.
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\end{enumerate}
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\end{aufgabe}
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\begin{aufgabe}
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Implementierung siehe \textit{prog\_sparse\_matrix.cc}. Plot in \textit{sparse\_plot.png}.
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Die Komplexität in der \lstinline{DenseMatrix} Variante ist wie zu erwarten $\mathcal{O}(N^2)$ und
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die Komplexität der \lstinline{SparseMatrix} Variante $\mathcal{O}(N)$, da
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die Anzahl der Nicht-Null Elemente der verwendeten Flussmatrix aus dem Rohrleitungsnetzwerk
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linear ansteigt.
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\end{aufgabe}
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\end{document}
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